Напряженность плоских элементов и оболочек с приварными ребрами. Часть 1 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.791.672.61

А.Н.Серенко

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ И ОБОЛОЧЕК С ПРИВАРНЫМИ РЕБРАМИ. ЧАСТЬ 1

Конструкции судового корпуса, железнодорожные цистерны, строительные конструкции и многие другие сооружения и машины включают плоские и оболочковые элементы с приварными ребрами, фасонками, надставками и т.п.

Силовые воздействия, воспринимаемые прерывистыми связями (ребрами) передаются через сварные швы на плоские элементы или тонкостенные пологие оболочки, вызывая в последних напряжения, величина и характер распределения которых зависят от соотношения геометрических размеров ребер, их конструктивного очертания, вида и места приложения внешних силовых воздействий. Кроме того тепловые деформации вызванные сваркой, приведут к появлению в тонкостенных элементах дополнительных полей напряжений, которые будут суммироваться с напряжениями от внешних сил.

Практика эксплуатации упомянутых сварных конструкций показывает, что в местах обрыва прерывестых связей могут появляться трещины, чаще всего усталостного типа. Прогнозирование их работоспособности возможно лишь при полном определении напряженного состояния металла в опастных зонах.

Рассмотрим некоторые практические задачи, характерные для судостроения, строительства и железнодорожного цистерностроения [1,2].

Ребро 1 (рис. 1, а) соединено с пластиной 2 сварным швом, загружено внешними усилиями, передаваемыми пластине в виде касательных усилий х(х) по линии сварного шва (рис. 1,6).

Ь)

Рис.1. Расчетная схема соединения ребра с пластиной: а) параметры соединения и действия сил: б) схема нагрузки отдельных частей; в)схема действия усилий в зоне остаточных сварочных напряжений.

Для расчета сварного шва, ребра и пластины необходимо определить закон распределения касательных усилий х(х).

Из условий совместной работы ребра и пластины в продольном направлении (вдоль оси х) следует (рис. 1 ,б,в)

И2 = И/ + 5с, (1)

где ui, U2 - перемещения нижней кромки ребра и центральной части пластины вдоль оси х ;

8с -перемещение границ упругой связи (шва) при сдвиге усилиями х(х). Принимая, что величина 8С будет пропорциональна сдвигающему усилию Ьс=х(х)/Кс и дифференцируя (1) получим

82=81 + ^ , (2)

где g _ d g _ djlh . линейные относительные деформации нижней

д X д X

кромки ребра и центральной части пластины в направлении оси х

Полные деформации элементов 1 и 2 в месте их соединения будут состоять из деформаций от растяжения, сжатия, изгиба и дополнительных деформации от сдвига кромки и центра.

Считая ребро абсолютно жестким при изгибе (EiJi->co) и податливым при растяжении-сжатии, определим полные деформации кромки ребра и центра пластины

g = Ъ ~ TLX1 + Iх . + 1 д1

EXFX E}FX Кхдх £ Т2 + Т(х)_ 3 д х

E2F2 К2дх

где Fi, Fi, Et, Ei - площади поперечных сечений и модули упругости ребра и пластины ;

K\,Ki - коэффициенты жесткости на сдвиг кромки ребра и центра пластины вдоль оси д:;

х

~~ . продольное усилие в сечении д: ребра.

о

Подставляя (3) в условие (2) получим:

1 дг Т(х) Т\ т qx .

-----^ +-1---—--1——О , (4)

КQ д х EF E]F\ E2F2 E\F\

lililí 1

где -=--Ь--1- -

(3)

К0 Кс К} К2 ЕР Е^х Дифференцируя равенство (4) один раз получим:

ЕР

Общий интеграл уравнения (5) имеет вид

х(х) = А-5кХх + В-сИ.\х + -~д , ' (6)

^ -

где А, В - произвольные постоянные:

Я= Й>; Ь = ЛL. \EF ЗД

Для определения двух произвольных постоянных А и В используем следующие граничные условия: 1. при *=0 из уравнения (4) получим :

1Эт_ 71 Т2

■(0) + ---= 0 ;

К0 дх ЕХР! Е2Р2

I

2. \х(х)йх = 7]+^-7]* . О

После соответствующих преобразований данные условия можно представить следующим образом:

е>

1. ; К0 £'2^2

к X I2

где 2) = Х£.

В зависимости от конкретных вариантов действия внешних сил на ребро и пластину можно найти окончательные выражения для произвольных постоянных А и В.

На рис.2 изображены три наиболее характерных варианта передачи нагрузки, для которых произвольные постоянные А и В будут определяться так:

ЧЩХ-Ь

Вариант!: Т1 = Т1 =Г2=0; А-0; В= к

shD

*

* 17:

Вариант 2: 7| = Г2 = 0; ? = 0 ; 7) = -77 А=0;В=—Ц-

Вариант 3: 71 = тС = 0 ; А- ; В = -А Г/г— .

11 '^2 2 Для количественной оценки зависимости \(х) по формуле (6) необходимо знать величину коэфициента жесткости системы Ко (4).

Считая сварной шов при сдвиге бесконечно жестким (Кс=°о) можно выражение для Ко записать в виде

Учитывая значительные трудности получения точных зависимостей К1 и Кг от геометрических размеров соединяемых элементов и свойств металла, запишем приближенные их значения в таком виде [3]:

1 3(1 + ^ 2 (\ + ц)£ пр где ц - коэфициент Пуассона;

Кпр = 3ехр(-\6^) + 0,13 .

Для иллюстрации характера изменения х(х) в зависимости от схемы нагружения ребра и пластины, на рис. 2, г приведены результаты расчета по формуле (6) при следующих исходных данных: 1|=8 мм; 12=12 мм; 111=75 мм; 2Ь=100 мм; 1 = 250мм; ц=0,3; Е1=Е2=Е=2105 МПа;

Т2=Т2*=Т= ^ =10 кН .

Приведенные данные показывают, что наибольшее удельное усилие в сварном шве будет при нагрузке по варианту 2 . Среднее расчетное усилие в шве, определяемое обычным методом, отмечено штриховой линией . Для вариантов 3 характерным является изменение знака продольного усилия в шве в центре его длины.

Зная закон распределения продольных усилий в шве х(х), можно приступить к оценке напряженного состояния в любой точке М пластины (рис.1.).

а) " 1 II 11. 11 Ч| | III и tim.uu

- г I I 111111.1......... / — 2 /

5") ■ " ,

г

СС с/ч

г) \

Рис.2. Варианты действия внешних сил на ребро и пластину, и эпюры напряжений: а) вариант 1; б) вариант 2; в) вариант 3; г) распределение продольных усилий в сварочном шве (индексы соответствуют вариантам нагружения).

Распределенную нагрузку т(х) можно считать совокупностью бесконечного числа бесконечно малых сил х(х)йх. Бесконечно малую силу, приложенную на расстоянии х от рассматриваемой точки пластины (рис. 1,6)

можно считать сосредоточенной силой, а напряжения, вызванные этой силой, определять по известным решениям теории упругости для полосы, загруженную по оси [4,5].

Суммируя эффект влияния бесконечно малых сил на напряжения в рассматриваемой точке, получим:

а Ъ

а Ь

где

<УСг,=—— - средние напряжения в пластине; Р Г2

е Х ¥

г) — — - относительные координаты,

Г Г I

X = г + £-х; а = - ; Ь = - + - ;

Л Л Л .

т^ - функция распределения продольного усилия в шве, выраженная через относительную переменную.

Безразмерные напряжения а(£,г|), р(4,л) и у(^,г|) определяются для 0<т}<1 по формулам

1 °° 1 = ■ г,ц)—]яп 2^2;

271 о

1 00

№,Я) = ¡Сф,г\)*т2£,(12;

У (Ъч) = СОЯ 2^2 ,

(11)

причем

<5

=

[(1 + ц)г сАг - (7 - ц/?/» г](г|г сИх\г + ^г|2) лй2г+22

[(1 + лЛг - 2сН 2](т}2 ¡кг\2 + 2сИг\2) ¡И2г+2г

[(1 + [1)г сИг - (1- \xjsh 2](г|г с/гпг - .?/гг|2)

$Л2г+2г [(1 + ц)г сИг - 2с/г 2}г]2 д/гцг

5И2г+2г [(1 + ц)2 сЬа - (1 - г]т\2

ъЫъ + 1ъ [(1 + ц)г эЬг - 2с\а](ц2 зЩг + ¡кх\2)

зЬ2г + 1х

В этих формулах ъ - переменная интегрирования.

Анализ интегральных функций (11) показывает, что для т1<0,7 они убывают по экспоненциальному закону с ростом г. Поэтому при вычислении на ЭВМ высокая точность их значений будет получена при замене верхнего предела интегрирования на величину г=20.

При необходимости определения напряжений для ц>0,7 существуют специальные приемы вычисления интегральных уравнений [5].

Вычисленные напряжения по формуле (10) будут не полностью определять напряженное состояние пластины. Необходимо еще учесть добавочные напряжения, вызванные остаточными сварочными напряжениями. Расчетная схема определения напряжений изображена на рис. 1, в, согласно которой вычисления напряжений в пластине можно осуществить, используя решения [4] для случая действия двух сил, расположенных на незначительном расстоянии друг от друга. Для случая достаточно широких пластин (Л>50/2) можно принять

Р\ = Р2=атЫ = Р, (12)

где ат - остаточные сварочные напряжения ;

с/ - ширина зоны упругопластических деформаций вдоль сварного шва.

Величина с! зависит от режима сварки и типа металла пластины [6], тогда дополнительные напряжения в произвольной точке пластины М можно вычислить по зависимостям

С

*2

= У 2 ~

1-ц

2л

от5

п 1

i=l ^f + Л

T[l-2sin2(arctg^)]\ z s/

где

5 =

xy2 d

= ^2£sin 2(arctg^~)

/=1

(13)

относительный размер упруго-пластическои зоны;

^¡-а+(г-1)8 - относительное расстояние от точки М до г-й пары сил. Число пар сосредоточенных сил (число разбиений зоны) можно найти по зависимости п = I / й .

Полные напряжения в любой точке пластины будут определяться суммированием напряжений:

°JC = CTXj +<* JC2

° ^ = СТ + 0 72 ' Х ху ~ t xyi +'С ХУ1 •

(14)

Конкретные результаты расчетов напряжений и их анализ в

зависимости от различных параметров соединения будут рассмотрены во второй части статьи .

Перечень ссылок ■

1. Суслов В.П. Кочанов Ю.П. Задачник по строительной механике корабля с

основами теории упругости. - Л.: Судостроение, 1977. - 215 с.

2. Ржаницын А.Р. Строительная механика : Учеб. пособие для вузов. -М. : Высш.

школа. 1982. - 400 с.

3. Сиверс Н.Л. Расчет и конструирование судовых надстроек. -Л. :

Судостроение, 1966. - 300 с.

4. Тимошенко С.П.. Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ.-М.: Наука, 1975.-576 с.

5. Лампси Б.Б. Металлические тонкостенные несущие конструкции при локальных

нагрузках. - М.: Стройиздат. 1979. - 272 с.

6. Касаткин Б.С., Прохоренко В.М., Чертов И.М. Напряжения и деформации

при сварке. - К.: Вища школа, 1987. -246 с.