CC BY
20
УДК 629.4.01 5:625.1.03
Напряженное состояние в контакте колеса и рельса при наличии скольжения и сцепления
С. В. Кротов 1, Д. П. Кононов 2, Е. В. Пакулина 2
1 Ростовский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 344038, Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2
2 Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, Российская Федерация, 190031, Санкт-Петербург, Московский пр., 9
Для цитирования: Кротов С. В., Кононов Д. П., Пакулина Е. В. Напряженное состояние в контакте колеса и рельса при наличии скольжения и сцепления // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб.: ПГУПС, 2021. - Т. 18. - Вып. 2. - С. 177-187. БО1: 10.20295/1815-588Х-2021-2-177-187
Аннотация
Цель: Прогнозирование напряженно-деформированного состояния колеса или рельса при их взаимодействии в зависимости от нормального давления. Методы: Проведено исследование напряженно-деформированного состояния в колесе вагона и в контакте его с рельсом с помощью метода конечных элементов при всевозможных сочетаниях нагружающих факторов, учете влияния температуры, динамических воздействий, параметров контакта, явлений усталости; рассчитаны силы взаимодействия колеса и рельса, обусловливающие напряженное состояние колеса, износ и разрушение контактирующих поверхностей, и как следствие надежность вагона и безопасность движения. Результаты: Оценено влияние касательных нагрузок на напряженно-деформированное состояние при наличии скольжения в зоне контакта колеса с рельсом. Приведены параметры опасных напряжений в зависимости от осевой нагрузки. Показаны экспериментальные и теоретические подходы к определению напряженно-деформированного состояния контактирующих тел при наличии как скольжения, так и сцепления в контакте колеса и рельса. Получены составляющие тензора напряжений в зависимости от контактного давления по расчетным формулам. Построены эпюры распределения касательных напряжений в контакте колеса с рельсом при наличии зон сцепления и скольжения. Рассчитана интенсивность изменения напряженного состояния в контакте колеса с рельсом. Практическая значимость: Полученные результаты показывают, как влияют зоны скольжения и сцепления на напряженное состояние в зоне контакта в сравнении с полным скольжением. Они полезны с точки зрения прогнозирования напряженно-деформированного состояния колеса или рельса при их взаимодействии в зависимости от нормального давления.
Ключевые слова: Касательная нагрузка, нормальное давление, скольжение, сцепление, напряженное состояние, контакт.
Введение
Известно, что микротрещины усталости зарождаются у самой поверхности контактирующих тел ввиду специфических условий напряженного состояния поверхности тела. Для оценки опасности напряженного состояния на поверхности контакта колеса с рельсом и оценки
возможного появления микротрещин контактной усталости весьма полезно знание всех составляющих напряжений. Немаловажную роль здесь играют эксперименты при взаимодействии образцов, выполненных из рельсовой и колесной сталей, которое осуществляется при всевозможных сочетаниях нагрузок, скорости вращения, наличия или отсутствия смазки, проскальзыва-
ния и т. п. Эти исследования с достаточной степенью точности воссоздают натурные условия взаимодействия колеса и рельса, и их результаты имеют значительную ценность в обеспечении безопасности движения железнодорожного транспорта.
Учет влияния касательной нагрузки при наличии в контакте одной зоны скольжения
При торможении на поверхности колеса и рельса возникают касательные усилия. Даже при перекатывании колесной пары происходит упругое скольжение колес, сопровождающееся возникновением касательных усилий в контакте. Задача установления зависимости касательных усилий в контакте от упругих скольжений очень сложна и до настоящего времени не имеет полного решения. При наличии видимого относительного скольжения принимается пропорциональная зависимость между касательными и нормальными усилиями, полагая для последних сохранение эллипсоидального закона и справедливости формул [1].
В таком случае
q==Q=f=const, P Po P
(1)
пытки решения этого вопроса, предпринятые рядом исследователей [2-4]. Касательные силы оказывают значительное влияние на напряженное состояние в непосредственной близости к контакту, особенно для точек самой поверхности.
Принимая, что соотношения (1) справедливы на всей площадке контакта, Б. С. Ковальский [5] ввел формулы для напряжений от касательных усилий. В случае эллиптической площадки контакта и направления касательных усилий в сторону отрицательной оси эти формулы имеют вид (для самой поверхности контакта)
a^ = 2q0ß D + ц
2 D - K
аУ = 2qoß -ц
Г I 1
2 D - K
V
12
' - = fPo A1 > a a
■- = fPv Bi1 a a
< = q
V
K - D - 2ц ^ ■ (2D - K)
V 1J
x y = fpoCi y, b b
= Ml -
f \ 2 f \
x y
V a j V b J
= fPo Y.
(2)
Здесь К - полный эллиптический интеграл первого рода по модулю I, Е - то же второго рода,
где д - интенсивность касательных усилий в произвольной точке площадки контакта; д0 - их наибольшая интенсивность; Р - вертикальная составляющая нагрузки на колесо; р0 - удельное давление в пятне контакта колеса с рельсом; Q - горизонтальная составляющая нагрузки на колесо; /- коэффициент трения качения. Так, в средних условиях эксплуатации сцепных колес локомотивов можно считать / = 0,15-0,20. При более тяжелых условиях и на пределе (буксование) коэффициент трения достигает величины / = 0,30-0,33 и может быть выше.
Практическое значение проблемы влияния на износ и прочность касательных нагрузок является очевидным и вполне оправдывает по-
D =
K - E
Вычислим величины полуосей а, Ь, удельное давлениер0 и размеры площади контакта Е, используя формулы из [1, с. 29] соответственно:
а = 0,91 • 10-2 • ^Р , см; Ь = 1,568•Ю-2 • ^Р , см; Е = 19,216•Ю-4 • ^Р2, см 2; р0 = 780,6 • ^Р , кг/см 2.
ТАБЛИЦА 1. Результаты расчета параметров площадки контакта колеса с рельсом
Случай Г1/Г2 а •Ю 2, см b -102, см ß = b/a F • 10 4, см 2 р0, кг/см2
I да/30 3,434 2,529 0,7365 27,29 560,2
II 20/30 3,901 1,568 0,4020 19,22 780,6
III 51/30 3,942 2,965 0,7522 36,72 408,6
IV 20/20 3,990 1,424 0,3569 17,85 840,3
Аналогично определим их и для остальных случаев контакта колеса и рельса [1]. Результаты приведем в табл. 1.
Вычислим напряжения в характерных точках площадки контакта для случая I, в котором эксцентриситет контурного эллипса при
Ь
р = - = 0,7365 а
составляет
12 = 1 - р2 = 1 - 0,73652 = 1 - 0,5424 = 0,4576 и I = 0,676.
По таблицам полных эллиптических интегралов [6] находим при I = 8та, а = 42°30' значения К = 1,8189, Е = 0,3026, С1 = 0,9376. Тогда
В = К—Е = 0,9762. I2
Определим постоянные члены формул (2):
А1 = 1,5668, В1 = 0,3026, С1 = 0,9376.
Теперь формулы (2) для напряжений принимают вид
^ = 1,5668fX, Po a
G x
= 0,3026f-, Po a
^ = 0,9376fy, Po b
— = А/1 -
Po
( ь л 2 (,л
x У
V a V b )
(3)
На конце большой полуоси х = а, у = 0 и при / = 0,3 будем иметь
G G У
= 1,5668, f = 0,47, = 0,0908,
P0 P0
Т т
^ = 0, Ь* = 0.
P0 P0
От нормального давления в этой же точке возникнут напряжения [1]
р (Л (\ сл 0,7365 х ар = Р0(1 - 0,6)--х
гл 2a • cth0,676^ 1 +
0,676
0, 4576 = 0,1390P0,
)
g P =-0,1390P0
тp = 0.
xy
При одновременном действии нормальной и касательной нагрузок суммарная величина напряжений на конце большой полуоси составит
а х = 0,609Р0, о у =-0,048Р0.
Ввиду малой величины оу в сравнении с ох напряженное состояние на конце большой полуоси (х = - а, у = 0) является близким к линейному с растягивающим напряжением адх = 0,609р0.
Заменяя р0 его выражением через нагрузку Р на колесо, получим (в кг/см2)
ах = 0,609 • 550,2^Р .
Приведем значения суммарных напряжений на конце большой полуоси эллипса контакта колеса с рельсом при / = 0,3: Р, кг... 10 103 12-10 3 14 103 16 103 20 103 о,
х7
кг/см 2... 7216 7668 8074 8442 9092
Таким образом, при перекатывании с проскальзыванием напряжения у поверхности контакта на большой его полуоси при максимально возможном контакте при максимально возможном значении / = 0,3 увеличилось в 0,470/ 0, 470
0,139 = 3,38 —--= 3,38 раза. При достиже-
0,139
нии растягивающими напряжениями предела прочности здесь не исключена возможность зарождения трещины.
Напряжения на площадке контакта при наличии зон скольжения и сцепления
В общем случае перекатывания колеса по рельсу на поверхности контакта будут иметь место разные условия относительного упругого смещения соприкасающихся частиц. Там, где смещение частиц одного тела относительно другого отсутствует, между данными телами будет жесткое сцепление. На тех же участках, где отношение касательного усилия к нормальному давлению равно коэффициенту трения (д/р =/), будет относительное проскальзывание частиц поверхностей контакта. По вопросам, касающихся размеров и расположения зон сцепления и скольжения и законов распределения усилий в этих зонах, до сих пор нет единого мнения. Согласно теоретическим исследованиям [7], упругое качение ведущего (а также и ведомого) диска по плоскому основанию всегда сопровождается возникновением зоны сцепления в центре контактной площадки, т. е. там, где контактное давление велико. Зоны же скольжения примыкают к граничным точкам контактной полости. К. Джонсон [8] установил, что зона сцепления примы-
кает к набегающему краю контактного пятна, в остальной же части его контактирующие частицы тел будут скользить друг относительно друга. По-видимому, каждое из таких утверждений справедливо имеет место при определенных условиях контакта тел. В. И. Сакало [9] путем сравнения изохроматических полос, полученных поляризационно-оптическим методом при перекатывании дисков из эпоксидной смолы, доказал отсутствие скольжения на набегающем крае контакта Q = 0,3Р в диапазоне скоростей от нуля до 250 км/ч. Интенсивность распределенных касательных усилий в зоне сцепления определялась из условия постоянства линейных деформаций, вызванных данными усилиями, на этой части поверхности контакта.
Для упрощения расчетов предлагается зону сцепления считать эллиптической, подобной эллипсу всей контактной площадки. При действии касательной нагрузки д =/Р, пропорциональной нормальному давлению (т. е. распределенной по закону эллипсоида), нормальные напряжения а® и а® , а также вызванные ими деформации Е^ и Ед изменяются в пределах контактной площадки по линейному закону. Это следует из формул, приведенных в [1]. Поэтому для получения постоянных деформаций в зоне сцепления надо из напряжений (деформаций), соответствующих нагрузке:
( 2 ( ,л
x 1 y
Va j V b J
q = Яо> Yi = qJ1 -
вычесть напряжения (деформации) от нагрузок (рис. 1):
q = ki4oh 1 -
( 2 ( ,л
x 1 y
Va j V b J
Здесь K = з
представляет собой коэф-
abq{
01
фициент подобия вычитаемого эллипсоида. Из соотношения Q = цР после подстановки выражения для Q получим формулу
2 2
Q = 3 па%1 - 3 ncdq02 =
= | ™bfP,{1 - K?) = Pf (1 - Kf).
В итоге будем иметь, что К1 = 31 - .
Таким образом, распределение касательных усилий в контакте при наличии зоны сцепле-
ния, если считать в ней линейные деформации постоянными, находится по следующим выражениям:
= q - =
= ад1 -
f ь Л 2 ( ,Л
x y
V a J V b J
(4)
- qw1 -
2 (л
x Л
V с J Vd J
в зоне скольжения - так:
f ь л 2 f ,л
x y
V a J V b J
т х2 = Яо^1 -
В точках оси х выражение (4) примет вид
с
Т х2 = /р0
1 -
^2
V a
- км 1 -
г л2 ' x-р х
V с J
Постоянные А1 и В1 определяются через полные эллиптические интегралы по модулю I. Эксцентриситет I зависит лишь от отношения в =
= Ь = . Поэтому А и В сохраняют ранее най-
а с денные значения.
Продольная сила трения Q при качении ведомого колеса в наиболее неблагоприятных случаях может достигать значений 0,15 Р. Предполагая существование зоны сцепления у набегаю-
ц 0,15
щего края контактного пятна и при — =-,
/ 0,30
найдем численные значения коэффициента подобия и нормальных напряжений:
к = 3/1 - 015 = 0,7940, ' V 0,30
g42 = ±0,3P • 0,7940 • 1,5668 = ±0,3732P
при а - 2с < х < а, где с = аК1; р = а-с = а(1 -
- К).
Напряжения, обусловленные этими условиями, проще всего определить алгебраическим суммированием, например оХ = оХ1 + адх2.
На контактной площадке в пределах малого «эллипса сцепления», включая и его контур, напряжения от х2 можно вычислить по формулам (2).
Сделаем это для случая I.
Так как нормальные напряжения, вызванные действием касательной нагрузки, изменяются вдоль оси х по линейному закону, то достаточно их найти для точек х1 = ± с, у1 = у = 0.
При направлении сил х2, согласно рис. 1, по формулам (2 и 3) получим
g ? =± qm = ± P кд, xqy = 0, с
gq2 =±402B =± fP0KA, = 0.
с
0
аху2 = ±0,3Р0 • 0,7940 • 0,3026 = ±0,0721Р0.
В результате определим напряжения от действия продольных касательных сил. В пределах зоны сцепления они остаются постоянными и равными их значениям в точке х = а, у = 0:
к = Р 4(1 - К,) = 0,0968Р0, [о£ = /0 В1(1 - К ) = 0,0187 Р0.
За пределами зоны сцепления напряжения измеряются по криволинейному закону. На рис. 1 приведены эпюры оХ1 и оХх . Эпюра напряжений о хх получается путем наложения ее составляющих.
Для прочностной оценки напряженного состояния [10-12] при наличии в контакте сцепления вычислим наибольшее (главное) касательное напряжение ттах. Из кривых рис. 1 следует, что при отсутствии трения наибольшее касательное напряжение на поверхности контакта обусловливается полуразностью ох и ог, т. е.
т =
max ^
В случае одновременного действия нормального давления P и касательных усилий q наибольшее касательное напряжение будет определяться полуразностью главных напряжений
а„ + а.
а„ - а.
агл =-
в виде слагаемых от Р и д. Значения разности напряжений, обусловленных действием нормального давления Р, вычислим по формуле
(аx -аz)p = 0,4Po х
Л\
-l
(1 -ßy) - — arcth —a— al 1 + ßy
J J
поскольку величина аху примерно в 5 раз меньше, чем адх.
Таким образом,
а - а.
+ т;
(5)
и возникает оно в точках большой полуоси контактного эллипса. С целью определения расположения этой точки вычислим отдельные члены выражения (5). Представим разности (ах - а2)
получающейся из [1, с. 31]. Поскольку а X = 0, то разность (ах - а2)х = 0,0968р0 при а - 2 < х < а нами была уже определена, при х < - а и может быть подсчитана по формулам (2) и (3); на остальных участках ее величина мала. Касательные напряжения тХ2 на всей площадке контакта подсчитываем по выражению (4). Результаты вычислений компонентов для определения касательных напряжений в интересующем нас интервале изменения представлены на рис. 2 и приведены в табл. 2. Для удобства сравнения эпюра тХ2 построена внизу.
Рис. 2. Результаты вычислений компонентов для определения касательных напряжений
х
ТАБЛИЦА 2. Компоненты, позволяющие определить касательные напряжения
в заданных точках
Абсцисса точки напряжения 1 0,5 0 -0,588 -1
fCT 1-CT z 1 1 Р0 J P 0,1390 0,2128 0,2303 0,2056 0,1390
x z ^ 1 Р0 J P+q 0,2358 0,3096 0,3271 0,3024 -0,3310
/ Р0 0 0,0186 0,0700 0,2427 0
Анализ приведенных результатов свидетельствует, что наибольшим будет касательное напряжение т в точке при х = - 0,588, у = 0:
Ро \
г 0,3024л2
+ 0,24272 = 0,286.
Его величина меньше, чем при действии только Р [13] и значительно меньше, чем при полном скольжении. Следовательно, напряженное состояние при наличии зон сцепления и скольжения не может быть более опасным, чем при полном скольжении по всему контакту. При этом интенсивность напряженного состояния возрастает с приближением ц/К.
Опасность напряженного состояния в контакте усугубляется циклическим характером изменения напряжений по времени [13-15]. Поэтому способность сопротивляться действию таких напряжений определяется усталостными характеристиками материала колеса.
Полученные результаты имеют практическую значимость и могут применяться в инженерных расчетах оценки напряженно-деформированного состояния.
Библиографический список
1. Кротов С. В. Исследование напряженного состояния в колесе вагона / С. В. Кротов, Д. П. Кононов // Бюл. результатов науч. исследований. - 2020. - Вып. 3. -С. 26-40.
2. Воробьев А. А. Математическое моделирование параметров контакта колеса с рельсом для различных условий эксплуатации вагонов / А. А. Воробьев // Вестн. Ин-та проблем естественных монополий : Техника железных дорог. - М. : Ин-т проблем естественных монополий. - 2016. - № 1 (33). - С. 34-41.
3. Воробьев А. А. Контактное взаимодействие колеса и рельса / А. А. Воробьев // Вестн. Иркутск. гос. технич. ун-та. - Иркутск : ИСТУ, 2009. - № 3 (39). -С. 42-47.
4. Орлова А. М. Определение параметров контакта колеса с рельсом для различных условий эксплуатации полувагона / А. М. Орлова, А. А. Воробьев, А. В. Саи-дова, Д. Е. Керенцев // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2015. -Вып. 2 (43). - С. 74-84.
5. Ковальский Б. С. Расчет деталей на местное сжатие / Б. С. Ковальский. - Харьков : ХВКИУ, 1967. -222 с.
6. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - 7-е изд. / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - СПб. : БХВ-Петербург, 2011. - 1182 с.
7. Глаголев Н. И. Трение качения, тяга, напряженное состояние и износ пар качения / Н. И. Глаголев, Э. А. Томило. - М. : Финпол, 1996. - 188 с.
8. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. - Пер. с англ. / К. Джонсон. - М. : Мир, 1989. -510 с.
9. Сакало В. И. Контактные задачи железнодорожного транспорта / В. И. Сакало, В. С. Коссов. - М. : Машиностроение, 2004. - 496 с.
10. Кротов С. В. Напряженно-деформированное состояние колесной пары вагона при повышении режи-
X
мов нагружения / С. В. Кротов, В. П. Кротов // Вестн. Ростов. гос. ун-та путей сообщения. - Ростов-н./Д. : РГУПС, 2002. - № 2. - С. 36-39.
11. Кротов С. В. Классификация параметров несущей способности прессового соединения колесной пары железнодорожного транспортного средства / С. В. Кротов, В. П. Кротов // Вестн. Ростов. гос. ун-та путей сообщения. - Ростов-н./Д. : РГУПС, 2007. -№ 2 (26). - С. 22-28.
12. Кротов С. В. Контактно-усталостная долговечность рельсовой и колесной сталей / С. В. Кротов, Д. П. Кононов // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2018. - Т. 15. -Вып. 1. - С. 54-61.
13. Кононов Д. П. Использование фрактальных характеристик для анализа развития разрушения цельнокатаных колес / Д. П. Кононов, И. А. Иванов, С. В. Урушев, С. В. Кротов // Транспорт Российской Федерации. - 2018. - № 3 (76). - С. 68-71.
14. Krotov S. V. Application ofthe discriminant analysis at research of bearing ability of the wheel pair of the car / S. V. Krotov, V. P. Krotov // Transport problems (Poland, Gliwice). - 2011. - Vol. 6. - N 1. - P. 43-49.
15. Кротов С. В. Влияние трения на контактно-усталостную долговечность образцов из рельсовой и колесной стали / С. В. Кротов, Д. П. Кононов // Известия Петербургского университета путей сообщения. -СПб. : ПГУПС, 2019. - Т. 16.- Вып. 2. - С. 212-219.
Дата поступления: 26.02.2021 Решение о публикации: 28.02.2021
Контактная информация:
КРОТОВ Сергей Викторович - канд. техн. наук,
доц.; [email protected]
КОНОНОВ Дмитрий Павлович - д-р техн. наук,
проф.; [email protected]
ПАКУЛИНА Елена Вячеславовна - ассистент;
Stress state in contact between wheel and rail in the presence of slip and adhesion
S. V. Krotov 1, D. P. Kononov 2, E. V. Pakulina 2
1 Rostov State Transport University, 2, pl. Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya, Rostov-na-Donu, 344038, Russian Federation
2 Emperor Alexander I Petersburg State Transport University, 9, Moskovsky pr., Saint Petersburg, 190031, Russian Federation
For citation: Krotov S. V., Kononov D. P., Pakulina E. V. Stress state in contact between wheel and rail in the presence of slip and adhesion. Proceedings of Petersburg Transport University. Saint Petersburg, Petersburg State Transport University, vol. 18, no. 2, pp. 177-187. (In Russian) DOI: 10.20295/1815-588X-2021-2-177-187
Summary
Objective: Predicting the stress-strain state of a wheel or rail during their interaction depending on the normal pressure. Methods: The study of the stress-strain state in the car wheel and in its contact with the rail using the finite element method with all possible combinations of loading factors and taking into account the influence of temperature, dynamic influences, contact parameters, fatigue phenomena and the forces of interaction between the wheel and the rail are calculated, determining the stress state of the wheel, wear and deterioration of the contact surfaces and, as a consequence, the reliability of the carriage and traffic safety. Results: The effect of tangential loads on the stress-strain state when there is sliding in the wheel-rail contact zone was evaluated. The parameters of dangerous stresses are given depending on
the axial load. Experimental and theoretical approaches to determining the stress-strain state of contacting elements in the presence of both slip and adhesion in the wheel-rail contact are shown. The components of the stress tensor are obtained depending on the contact pressure according to the calculation formulas. Diagrams of the distribution of shear stresses in the contact of the wheel with the rail in the presence of a zone of adhesion and sliding are made. The intensity of the stress state change in the wheel-rail contact is calculated. Practical importance: The results obtained show how the slip and adhesion zones affect the stress state in the contact zone in comparison with full slip. They are useful from the point of view of predicting the stress-strain state of a wheel or rail during their interaction depending on the normal pressure.
Keywords: Shear load, normal pressure, slip, grip, stress, contact.
References
1. Krotov S. V. & Kononov D. P. Issledovaniye naprya-zhennogo sostoyaniya v kolese vagona [Analysis of the stress state in a car wheel]. Byulleten'rezul'tatov nauch-nykh issledovaniy [Research results bulletin], 2020, iss. 3, pp. 26-40. (In Russian)
2. Vorobyev A. A. Matematicheskoye modelirovaniye parametrov kontakta kolesa s rel'som dlya razlichnykh usloviy ekspluatatsii vagonov [Mathematical modeling of wheel-to-rail contact parameters for various conditions of carriage operation]. Vestnik Instituta problem yestestvennykh monopoliy: Railway engineering [Bulletin of the Institute for Problems of Natural Monopolies: Railway Engineering]. Moscow, Institute for Natural Monopoly Problems Publ., 2016, no. 1 (33), pp. 34-41. (In Russian)
3. Vorobyev A. A. Kontaktnoye vzaimodeystviye kolesa i relsa [Contact interaction of wheel and rail]. Irkutsk State Technical University Bulletin, 2009, iss. 3 (39), pp. 42-47. (In Russian)
4. Orlova A. M., Vorobyev A. A, Saidova A. V. & Kerentsev D. E. Opredeleniyeparametrov kontakta kolesa s rel'som dlya razlichnykh usloviy ekspluatatsiipolu-vagona [Determination of wheel-rail contact parameters for various operating conditions of a gondola car]. Iz-vestiya Peterburgskogo universiteta putey soobshcheniya [Proceedings of Petersburg Transport University]. Saint Petersburg, Petersburg State Transport University Publ., 2015, iss. 2 (43), pp. 74-84. (In Russian)
5. Koval'skiy B. S. Raschet detaley na mestnoye szhatiye [Calculation of parts for local compression]. Kharkov, Kharkov Higher Military Command Engineering School Publ., 1967, 222 p. (In Russian)
6. Gradshteyn I. S. & Ryzhik I. M. Tablitsy integralov, summ, ryadov iproizvedeniy [Tables of integrals, sums, series and products]. Saint Petersburg, BHV-Peterburg Publ., 2011, 1182 p. (In Russian)
7. Glagolev N. I. & Tomilo E.A. Treniye kacheniya, tyaga, napryazhennoye sostoyaniye i iznospar kacheniya [Rolling friction, traction, stress state and wear of rolling pairs]. Moscow, Finpol Publ., 1996, 188 p. (In Russian)
8. Johnson K. Contact mechanics. Cambridge, Cambridge University Press, 1985, 452 p. (Russ. ed.: Johnson K. Mekhanika kontaktnogo vzaimodeystviya. Moscow, Mir Publ., 1989, 510 p.)
9. Sakalo V. I. & Kossov V. S. Kontaktnyye zadachi zheleznodorozhnogo transporta [Contactproblems of railway transport]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2004, 496 p. (In Russian)
10. Krotov S. V. & Krotov V. P. Napryazhenno-de-formirovannoye sostoyaniye kolesnoy pary vagona pri povyshenii rezhimov nagruzheniya [Stress-strain state of a wheelset of a car with increasing loading conditions]. Vestnik Rostovskogo gosudarstvennogo universiteta putey soobshcheniya [Bulletin of Rostov State Transport University]. Rostov-na-Donu, Rostov State Transport University Publ., 2002, no. 2, pp. 36-39 (In Russian)
11. Krotov S. V. & Krotov V. P. Klassifikatsiya parametrov nesushchey sposobnosti pressovogo soyedineniya kolesnoy pary zheleznodorozhnogo transportnogo sred-stva [Classification of the parameters of the bearing capacity of the press connection of the wheelset of a railway vehicle]. Vestnik Rostovskogo gosudarstvennogo universiteta putey soobshcheniya [Bulletin of Rostov State Transport University]. Rostov-na-Donu, Rostov State Transport University Publ., 2007, no. 2 (26), pp. 22-28. (In Russian)
12. Krotov S. V. & Kononov D. P. Kontaktno-ustalost-naya dolgovechnost' rel'sovoy i kolesnoy staley [Contact fatigue life of rail and wheel steels]. Izvestiya Peterburg-skogo universitetaputey soobshcheniya [Proceedings of Petersburg State Transport University]. Saint Petersburg, Petersburg State Transport University Publ., 2018, vol. 15, iss. 1, pp. 54-61. (In Russian)
13. Kononov D. P., Ivanov I.A., Urushev S. V. & Krotov S. V. Ispolzovaniye fraktal'nykh kharakteristik dlya analiza razvitiya razrusheniya tsel'nokatanykh koles [Using fractal characteristics for analyzing the development of destruction of solid-rolled wheels]. Transport of the Russian Federation, 2018, no. 3 (76), pp. 68-71. (In Russian)
14. Krotov S. V. & Krotov V. P. Application of the discriminant analysis at research of bearing ability of the wheel pair of the car. Transport problems (Poland, Gli-wise), 2011, vol. 6, no. 1, pp. 43-49.
15. Krotov S. V. & Kononov D. P. Vliyaniye treniya na kontaktno-ustalostnuyu dolgovechnost' obraztsov iz relso-voy i kolesnoy stali [Influence of friction on the contact fatigue life of samples made from rail and wheel steel]. Izvestiya Peterburgskogo universiteta putey soobshcheniya [Proceedings of Petersburg State Transport University]. Saint Petersburg, Petersburg State Transport University Publ., 2019, vol. 16, iss. 2, pp. 212-219. (In Russian)
Received: February 26, 2021 Accepted: February 28, 2021
Authors' information:
Sergey V. KROTOV - PhD in Engineering, Associate Professor; [email protected] Dmitriy P. KONONOV - D. Sci. in Engineering, Professor; [email protected] Elena V. PAKULINA - Teaching Assistant; [email protected]
