Напряженно-деформированное состояние в краевой зоне цилиндрической оболочки переменной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

В КРАЕВОЙ ЗОНЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

В.В. Фирсанов

С позиции трехмерной задачи теории упругости рассматриваются результаты построения варианта уточненной теории расчета цилиндрических оболочек с несимметричной существенно переменной толщиной, это дает возможность оценить напряженно-деформированное состояние тонкостенных авиационных конструкций как во внутренних областях, так и в узких краевых зонах вблизи нерегулярностей типа авиационных соединений, стыковразностенных элементов конструкций и т.п.

Рассматривается построение соотношений краевого эффекта и напряженного состояния «погранслой» для цилиндрической оболочки с несимметричной существенно переменной толщиной. Применяется метод асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости.

Ключевые слова: круговая цилиндрическая оболочка; переменная толщина; уравнения теории упругости; метод асимптотического интегрирования; напряженно - деформированное состояние; краевой эффект; граничные условия; функции Бесселя; краевая плоская деформация.

Существующие методы расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных оболочек в основном построены для частного случая постоянной толщины [1, 2]. Известны работы [1], где в рамках классической теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа - Лява, рассматриваются способы расчета круглых пластинок и цилиндрических оболочек переменной толщины симметричной относительно оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений.

В работе [3] показано существенное влияние толщины оболочки на величины ее изгибных напряжений и прогибов, особенно в зонах искажения НДС. Этим подтверждается необходимость исследования НДС в краевых зонах оболочек с позиции уточнения классической теории.

В то же время известно, что многие элементы машиностроительных конструкций, в том числе авиационных изделий (обечайки топливных отсеков, корпуса ракет, переходные зоны соединений, стыков, патрубки и др.), конструктивно оформляются в виде оболочек вращения переменной толщины, геометрической особенностью которых является то, что их наружное основание наклонено под некоторым углом к другому основанию.

В связи с этим в данной работе для цилиндрической оболочки с несимметрично изменяющейся толщиной рассматривается построение НДС, соответствующих ее изгибу и определяемых с помощью уравнений простого краевого эффекта, уточненных по отношению к [1, 2], а также краевой плоской деформации [3 - 5].

1. Постановка задачи

Цилиндрическая оболочка из изотропного материала (рис. 1) нагружена поперечной распределенной нагрузкой д(0,2), отнесена к цилиндрической системе координат (г, 0, 2).

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка переменной толщины

Обозначим через R характерный радиус кривизны оболочки, a через 2h - ее переменную, несимметрично изменяющуюся по длине толщину, определяемую соотношением

h = hm - ztga, (1)

где

tga = hm-h0. (2)

Наряду с системой координат (r, 0, z) будем рассматривать косоугольную систему координат, (р, 0, zi), для которой справедливы равенства

z

р= r - R + zisin a; zi =-; - h <р< h . (3)

cos a

Для определенности положим, что край оболочки z = о - жестко защемленный. Другой край может быть любым, в том числе и свободным, нагруженным сосредоточенными силовыми факторами типа изгибающих моментов и перерезывающих сил, передающихся на оболочку со стороны других отсеков конструкции.

Будем считать далее всюду, что для рассматриваемой оболочки выполняются все условия [2] применимости безмоментной теории и, следовательно, внутреннее (основное) НДС оболочки, соответствующее классической теории, составляется как сумма безмоментного НДС и НДС простых краевых эффектов [2]. В данной работе модифицированные уравнения безмоментной теории не приводятся, но их можно найти в [4]. Далее

кратко излагаются сущность метода прямого асимптотического интегрирования и основные результаты, при этом опускаются промежуточные уравнения и выкладки.

Интегрируется система дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости в цилиндрической системе координат.

Перейдем в этой системе к косоугольным координатам р, 0, z\ пу-

Э Э Э Э

тем перехода от производных —, — к производным —, — по форму-

Эг Эz Эр Эzl

лам

Э Э Э 1 Э Э

; v=—, (4)

Эг Эр Эz cos а Эzl Эр

вытекающим из (3).

Кроме того, полагая, что оболочка достаточно тонкая, в получен-

1

ной системе уравнений заменим переменную величину - на постоянную

r

величину —, что эквивалентно пренебрежению в дифференциальных R

h

уравнениях членами порядка h (h* = —) по сравнению с h .

R

Представим все напряжения и перемещения в виде

k=K

0 = hT p X hk-1Q( k}, (5)

k=1

где p - числа, которые выбираются разными для различных напряжений и перемещений.

Применим известный прием растяжения масштаба [2], заменив независимые переменные по формулам

р = hg; -1 <g< 1; z1 =

R_

г 1 \

Zj; о<z< ^^Рj, (6)

R cos а

и примем, что по переменным 7, 0, £ изменяемость искомого НДС не слишком велика. В формулах (7) величина Ь выражается при помощи равенства

Ь1 = (Л*)~'у (7)

в котором ' 1 - числа, 1=1,2.

Рассмотрим НДС оболочки, которые быстро меняются по переменной г1.

Пусть в (7)

'1=2 (8)

22

и p в (5) принимает следующие значения:

p = 1 для se, sz, w; p = 2 для Trz, x9z, u; p = 0 для sr, xr9, u. (9)

Подставляя (5) с учетом (6) - (9) в исходные уравнения, получим

для 0(1) НДС краевого эффекта. В результате имеем следующие соотношения краевого эффекта:

т п „ 2Eh „ D* д2w w w ^ 1 д2w „ cMe

Tz = 0; Tq = Mz = -Mq = vMz; & = cosa^; Se =м;

2

O^^ 1-v n д w 1 dw dw

S = 0; Me, =--D* ; u =--—; u = -p— » 0,

cos a dsdzi cos a dzj ds

а также основное дифференциальное уравнение

(10)

f

+ K (z1) w = 0, (11)

Э2 í D Э2w

LS*

* - 2

^ Эг;

V у

где совершен переход к координатам р, 5, 21 и Эя = ЯЭ0 .В уравнении (11) введены обозначения

2Ек3 ( 2Ек ^

Л=3(Е7); к (2 )=["Е ] с°*4а

Анализ уравнения (16) показывает, что можно ввести новую пере-

Э Э Эк

менную в соответствии с зависимостью — = .

Э21 Эк Э21

Тогда согласно (1) и (3) = -ъта^ и уравнение краевого эффек-

Э21 Э21

та (11) запишется таким образом:

э2™ ^

+ Л4 w = 0; (12)

1 Э2 (. 3 Э 2w ^

h Эк2

2

где l4 = 3(1 2 ) ctg4a; v - коэффициент Пуассона.

R

Форма записи (12) удобна тем, что по аналогии с [1] общее решение уравнения краевого эффекта можно выразить в виде

w = Ä"1/2[Ciji (Z) + С2Ф2(0+Сзф3(0 + C4j4(Z)]; (13)

где Ci - произвольные постоянные; ji - производные от функций, связан-

i /2

ных известным образом с функциями Бесселя и Z = 2lh , i = 1,4.

Показано, что с увеличением расстояния от края оболочки значения функций ф1, ф2 возрастают, а значения функций ф3, ф4 быстро убывают. Поэтому для края z = l оболочки на рис. 1 следует положить C1 = C2 = 0.

В качестве примера рассмотрим стальную цилиндрическую оболочку, (Е » 2,0.105МПа; п = 0,3), нагруженную распределенными по контуру z = I изгибающими моментами М(). Тогда выражение для прогиба принимает вид

щ = л-1/2[СЗфЗ(0 + С4Ф4(0]. (14)

Постоянные С3 и С4 определим из граничных условий на загруженном конце

(Mz ) к=к

2Ек3 2 й2^

3(1-у 2)

'Я а

йк

= М о;

к=ко

3

(Qz) к=к0

2 Ек 2

-у-'Я а

3(1-у 2)

(л 2

3. Л

й щ+кй щ йк2 3 йк3

= 0,

^к=к0

где на основании формулы (14) функции Mz и Qz определяются по аналогии с [1].

Далее с помощью соотношений (10), (14) найдем внутренние силовые факторы и компоненты НДС оболочки. На рис. 2 приведены графики изменений изгибающего момента и прогиба оболочки для различных значений длины оболочки при кт/Я = 0,05.

мп

-0.5

! ] « К Л — =

/I А Л

? I

1

1 = 2. 5м !

;

\1 = 3 .5м

1 [/ = 4.5 м

2 1/ = ^ • 5 и

\

0.05

Рис. 2. График изменения М, по длине цилиндра для различных значений I

Рис. 3. График изменения щ по длине цилиндра для различных значений I

Пусть в (7)

12=1 (15)

ир в выражении (5) принимает следующие значения:

р = т -1 для 02, 00, аz, ^2z; р = т - 2 для T0z, Т20, и, щ; р = т - 3 для и, (16)

где т - пока произвольное число.

По аналогии с п.2, на основании равенств (15), (16) проведем операции интегрирования исходной системы. Далее приведем окончательные результаты. Компоненты соответствующего НДС находятся из соотношений

Э 2Ф(1)

- 2^).

°гП = Х Ф

° 2П =

Эу2

агП =

.-1

Э 2Л

ЭуХ Ф; °9П = V

( Э 2 ^ 2Э

С 2 + эУ2

Эу2

Ф

(1)

У

(17)

иП = -ЕЕ \ 2(1+у)х+\Х^у

Э

(1-у 2)х 2 -у(1+V) дУ

Эу

Ф

(1)

w

П

- ЕЕ

-1

(1-v 2)| Х 2^(1+V)

Э

Эу

Ф

(1)

где компоненты краевой плоской деформации помечены индексом "П" и функция Ф(1) (у, 0, £) удовлетворяет уравнению

>2

Э 4Ф(1)

Х4ф(1) + Х 2Ф (1) +Э4Ф^ = 0 Х Эу Эу4

и через с, обозначен дифференциальный оператор

(18)

Х =

Р +

А

Эу,

+

1

соб а

Э

ЭС 2

(19)

Так как внешняя поверхностная нагрузка уравновешена безмомент-ным НДС, то должны выполняться однородные граничные условия

(1) = ЭФ(1)

Эу

= 0

при у = ±1

2Ф(1)

Э 2Ф

Эу2

= 0.

(20)

(21)

Кроме того, функция Ф (1) должна убывать с возрастанием координаты С 2 вместе с производными до второго порядка включительно, что обеспечивает затухание соответствующего НДС в глубь оболочки.

Рассмотрим граничные условия на краю оболочки 21 = 0. Для жестко защемленного края они имеют вид

дw

(22)

и = 0; и = 0; w = 0;

Э21

= 0.

Из равенств (22) методом наложения [2] граничных условий получим последовательность граничных соотношений, из которой можно вы-

В этой формуле

»(0)=-П-о?

Е

делить [5] граничные условия, относящиеся к безмоментной оболочке и краевому эффекту, а также два неоднородных граничных условия, выполняемых за счет произволов интегрирования в уравнении плоской деформации (18). Отметим, что с помощью рассуждений, аналогичных [5], полагая

в (16) ц=2, функции Ф(1) представим в виде

Ф(1) = т(0)Ф(у, С 2). (23)

у = 1

0, (24)

= 0

где Ф - функция, удовлетворяющая уравнению (18). В соотношении (24) ав2 - нормальное напряжение, полученное суммированием соответствующих составляющих, относящихся к безмоментной теории и краевому эффекту.

Таким образом, задача определения плоской деформации у края С2 = 0 сводится к отысканию функции Ф(у, С2), удовлетворяющей в полуполосе у = ±1, С2 > 0 уравнению (18), граничным условиям (20), (21) и убывающей до 0 при С 2 ® вместе с производными до второго порядка включительно.

Анализ показал, что решение краевой задачи о плоской деформации сопряжено с математическими трудностями, не позволяющими получить функцию Ф в аналитической форме. Поэтому поставленная задача решается в энергетической постановке вариационным методом Власова-Канторовича [3].

Согласно принципу минимума полной энергии упругой системы

5Э = 0. (25)

Далее представим функцию Ф в виде конечного ряда

I=п

Ф = I ^ (у)у (С 2), (26)

,=1

в котором Fi (у) - функции, аппроксимирующие функцию Ф по толщине

оболочки и удовлетворяющие граничным условиям

^ = = 0 при у = ±1; (27)

//

= 0, (28)

а У (С2) - функции, подлежащие определению.

Применяя к уравнению (25) вариационный метод для определения искомых функций, получим [4] систему обыкновенных дифференциальных уравнений и необходимое количество естественных граничных условий на жестко защемленном краю.

Далее приведем основные уравнения для краевой плоской деформации в случае оболочки постоянной толщины, для которой на боковой поверхности выполняются только граничные условия (20). Искомые уравнения относительно функции у- (£2) можно получить из соотношений, приведенных в [5], положив в них в соответствии с формулой (1) а = 0. Отметим, что для удобства решения задачи в формуле (26) перейдем от переменной £ 2 к переменной £1 с помощью формул (6) - (8), (15).

Тогда система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет

вид

Е" у \1¥ ) - 2% У? + с1к у - )= 0, (к = 1, п)

(29)

где

г=1

+1

1 +1 / / 1 +1 // //

агк = I РГкЛу;Ь-к = -у | Г Рк ¿Г,С-к = -4 | р Гк ¿у. (30) -1 к* -1 к* -1

Часть произволов интегрирования уравнений (29) определится из

условий затухания функции Ф при £ ® +¥, а другая часть произволов - из

естественных граничных условий на краю £ = 0, которые записываются

следующим образом:

!П Й-к¥(Я) + е-кУг )= Як; !П (/гкУШ) + ёгкУ1 ))= 0, при ^ = 0, (31)

г =1 г =1

где

+1

лгк = I РР^у; е1к = \ к* • I р Гк ¿у;

-1 1 -У -г

У^ к*-2 +1 ' '

+1

Л =-1 Р^лу;

ёгк

(2-у) к

-2 +1

2р

Як — I

-1

т

N

+1

У

(в) I оМ +—ое

1V 1

1 - У

оМ

г ' '

• I Г Гк Лу;

(32)

-1

-1Ч

У

у=1

УГкЛУ

Лв.

После того, как функция Ф будет определена, компоненты напряжений плоской деформации находятся из соотношений (17), которые с учетом равенства а = 0 и формул (23), (26) можно преобразовать к виду

г=п т(в)1 =п

ОгП = т(в) I Гг(у)уП(£1); оп = -М IРТу)¥г&); г=1

Н*2 г=1

г=п

оеп = Ме) I

г=1

/ л v к2 у

Г( у)у (£1)+Г (у)У (£1)

0

w=- ^ xV(y)Y; (Z1).

h*

(33)

i=1

где для функции т(0) справедливо равенство (24).

В частном случае осесимметричной задачи в формулах (33) функция т(0) обращается в постоянную величину. Для определенности полагаем

то (0) = 1.

(34)

Тогда в правой части граничных условий (31) вместо Qk надо брать величину Qk 0, которая находится из соотношения

+1

Qkо«1) = J SM

1 - v

g = 1

gFkdg.

(35)

Отметим, что аппроксимирующая функция ^(7) с учетом граничных условий (27), (28) для определения первого приближения берется в виде [3]

F1(g)=g-7 g3+1 g15.

(36)

В качестве примера рассмотрим стальную цилиндрическую оболочку с относительной полутолщиной к* = 0,01, находящуюся под действием внутреннего давления.

Решая краевую задачу (29) - (32) и принимая ^(7) в форме (36),

находим функцию Ф(£ь 7) в виде

Ф = h*2OM exp

f - 4,01^V

h

0,012cos

A 2,39Z1 Л

у h* у

0,031x

x sin

v

h

/у

7 3 1 g^g3 + ^g

66

15

(37)

M

где под о z понимается максимальное напряжение при z = 0 и g = 1, полученное по теории краевого эффекта.

Имея функцию Ф, для определения напряжений подставим формулу (37) в соотношения (33) с учетом (34). Графики искомых напряжений на краю z = 0 в произвольном сечении 0 = const по толщине оболочки представлены на рис. 4.

1

Рис. 4. Графики краевых напряжений по толщине оболочки

Анализ графиков показывает, что дополнительные напряжения составляют 14...35 % от максимальных значений наибольших напряжений

основного НДС - . Здесь индексом «к» обозначены компоненты НДС, соответствующие классической теории, т.е. в рассматриваемом примере

= 0 2К .

Выводы

1. На основании расчетов цилиндрической оболочки показано, что на жестко защемленном краю дополнительные напряжения плоской деформации изменяются в пределах 14...35 % от максимального значения наибольшего напряжения основного НДС.

2. Установлено, что поперечные нормальные и касательные напряжения краевой плоской деформации, которыми в классической теории типа Кирхгофа - Лява пренебрегают, составляют соответственно 28 и 15 % от максимального значения наибольшего напряжения, что очень важно как для изотропных, так и композиционных материалов.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ №13-08-01243).

Список литературы

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.

2. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

3. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием локальной нагрузки // Механика композиционных материалов и конструкций ИПРИМ РАН. 2011. Т. 17. №1. С. 91-106.

4. Фирсанов Вал. В. Динамика и прочность установок авиационного вооружения. М.: Изд-во МАИ, 2007. 400 с.

5. Фирсанов Вал. В. Погранслой и его влияние на прочность цилиндрической оболочки переменной толщины // Вестник Московского авиационного института. 2010. Т. 17. № 5. С. 212-218.

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)

STRAIN-STRESS STA TE IN FRINGE ZONES OF CILINDRICAL SHELL WITH VARIABLE THICKNESS

V. V. Firsanov

From a position of a three-dimensional problem of the theory of elasticity results of construction of a variant of the specified theory of calculation of cylindrical shells with a symmetrical essentially variable thickness are considered. It gives the chance to estimate the stress-strain state of thin-walled aircraft structures both in internal areas, and in narrow boundary zones near to irregularities of type of aviation connections, joints elements of structure with variation in wall thickness, etc.Construction of strain-stresses offringe effect and "boundary layer" relationships for a cylindrical shell with asymmetrically essentially variable thickness is considered. The method asymptotic integration of the differential equations of a three-dimensional problem of the theory of elasticity is applied.

Key words: the circular cylindrical shell, variable thickness; the equations of theory elasticity. method of asymptotic integration, strain-stress state, fringe effect;boundary conditions, the Bessell s functions, fringe flat deformation.

Valeriy Vasilievich Firsanov, doctor of technical sciences, professor, head of chair, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)