Напряженно-деформированное состояние от вертикальной равномерно распределенной полосовой нагрузки, приложенной внутри упругой полуплоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Иванов И.С., Чепасов В.И.

Оренбургский государственный университет

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОЛОСОВОЙ НАГРУЗКИ, ПРИЛОЖЕННОЙ ВНУТРИ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

В статье рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии упругой, однородной по глубине, невесомой полуплоскости при воздействии на нее вертикальной полосовой нагрузки для условий плоского напряженного состояния.

Рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии упругой, однородной по глубине, невесомой полуплоскости с модулем упругости Е, коэффициентом Пуассона V, нагруженной вертикальной полосовой нагрузкой на глубине d от поверхности (см. рис. 1 - схема расчета) для условий плоского напряженного состояния.

Известно решение Е. Мелана, исправленное и дополненное М.И. Горбуновым-Посадо-вым [1], для действия вертикальной сосредоточенной силы P, приложенной на глубине d от поверхности; в частности, бигармоническое уравнение ф дано в виде:

1

У У

arctg----------+ arctg

x - d

x + d

1 + V

dx(x + d) - IzV(x - d )n

(x + d)2 + y2 4 ( )

2 + У2

(x + d )2 + y 2

(1)

На основании уравнения (1) определены компоненты напряжений и перемещений по известным соотношениям теории упругости [2].

Воспользуемся решением Е. Мелана для решения поставленной задачи. Выделим бесконечно малый элемент d£, на расстоянии ^ от оси х, при этом (- b = £, = b), и тогда бигармоничес-кая функция от полосовой нагрузки интенсивностью p = const будет:

j = Н

- b ■

y-X

x + d

1 + V

dblx+d)

1-V

z Л , r\2 4

( x+d) +( y-x)

(x - d )lr

( x - d ) 2 + ( y - X) 2

J( x + d ) 2 +( y - X) 2 Интегрируя выражение (2), имеем:

j._PJluR*-dЯ +x- + b)2 arctgy+b

p I 2 4 x - d

(x-d)2 +(y-b)2 arctgy-b +(x+d)2 +(y+b)2

4 x - d 4

y + b (x + d )2 +(y - b)2 y - b

arctg-------- ----- ----—-----— arctg--------

x + d 4 x + d

dX (2)

- dx 1 -V

arctg

y + b

- arctg

y - lb

x+d x+d

V

- (x - d )2 + (y + b)2

2

arctg

y + b

- (x - d )2 +(y - b)2

3(x + d )2 +(y + b)2

arctg

arctg

x - d

y-b+

x - d

y + b x + d

3(x + d )2 +(y - b)2

- arctg

2

y-b

y-b „ ,/ y + b

arctg------------2d(x + d I arctg------

x + d ^ x + d

(x + d )2 + (y + b )

x+d

(x - d )y - b) 2

+ (x - d )y + b) )n 2

)n

(x - d )2 + (y + b)2 (x + d )2 + (y - b )2

(3)

(x - d )2 + (y - b )2

Частный случай выражения (3), при d = 0, будет:

y + b

j d=o=--P- i[ 2 +(y + b)2 ]ctg

2P [

- [x2 + (y - b)2 ^irctg y

- b x

(4)

b

2

2

+

2

2

Выражение (4) точно совпадает с бигармо-нической функцией, полученной из известного решения Г.В. Колосова [3] от действия полосовой нагрузки, приложенной к поверхности полуплоскости.

Компоненты напряжений и перемещений определим, используя известные соотношения теории упругости [2].

Э2 ф

эТ:

2

P 11+v p

У + b у - b

arctg----------arctg ■

x - d

x - d

( y + b y - Ьл

arctg----------arctg---------

x + d x + d

v 7

(x - d ) + b)

2[(x - d )2 + (y + b )2 j

2dx(x + d ) - b) [(x + d )2 +(y - b)2 j2

1 -v 4

arctg

y + b x - d

- arctg

У - b x-d

і y + b y - b

I arctg---------arctg

x + d x + d

2 x(y - b )

(x + d )2 + (y + b )2 (x + d )2 + (y - b )2

2 x(y + b )

(5)

s y =

Э ф p 11 + v

Эx2

p I 2

arctg

y + b x-d

- arctg

У - b x-d

arctg

y + b x + d

- arctg

У - b x + d

(x - d ) + b )

2[(x - d )2 + (y + b )2 j

_ (x - d ) - b) _ _ (x + d ) + b) _

2[(x - d )2 + (y - b )2 j ^[(x + d )2 + (y + b)2 j (x + d )(y - b) + 2d (y + b) -

2[(x + d ) + (y - b)2 j (x + d )2 + (y + b)2

2d (y - b)

2dx(x + d ) + b) (x + d )2 +(y - b)2 [(x + d)2 +(y + b)2 j2

2dx(x+d) - b)

(+d )2 +(y - b)2f

J y + b y - b

+ 3 arctg--------arctg■

1-v f

4 - V

y + b y - b

arctg---------------arctgr-

x - d x - d

2x(y + b) ,

x + d

x + d

(x + d )2 + (y + b)2

2 x(y - b )

(x + d )2 + (y - b)2

(б)

xy

Э 2 Ф =-pl.

1 + v

Э x Э y

(x - d )2 2[(x - d )2 + (y + b)2 j

x 2 - 2dx - d 2

(x - d )2

2[(x - d )2 +(y - b)2 j ^[(x + d )2 + (y + b )2 j

x2 - 2dx - d 2 2dx(x + d)2

2[(x + d )2 +(y - b)2 j [(x + d )2 +(y + b )2 j2

2dx(x + d )2

[(x + d )2 +(y - b)2 j2 1 -v

1 -v

1 ln (x - d)2 +(y + b)2

2 (x - d )2 +(y - b)2

1 ln (x - d )2 +(y + b)2 -1 ln (x + d )2 +(y + b )2

(x - d )2 + (y - b)2 (x + d )2 +(y - b)2

2 2

2 x(x + d )

2 x(x + d )

(x + d )2 +(y + b)2 (x + d )2 + (y - b)2

u = Jєxdx = J J[sx -vsy jx =

p Ї1 -v 2 / ,/ y + b

------<--------(x - d I arctg--------------arctg

pE [ 2 V \ x - d

(l-v)2 / ,/ y + b y-b

+ ------— (x + d ) arctg--------— - arctg---------

(7)

У - b x - d

2

3 + 2v-v

x + d

8

3 + 2v-v 8

5 - 2v + v2 8

5 - 2v+v

2

(y + b)ln|(x - d)2 +(y + b)2 j -(y - b)ln (x - d )2 +(y - b)2 +

(y + b)ln (x + d )2 + (y + b)2

2

(l+v)

8 (y - b)ln|(x + d )2 +(y - b )2| -

dx(y+b) (l+v)2 dx(y - b)

2 (x+d )2 +(y+b)2 2 (x+d )2 +(y - b)2

U = Je ydy = ^‘ll [s y -vs x j =

[(8)

= —{l - v) + b)arctg - (l - v) - b)arctg +

pE x + d x d

7 - 2v-v 8

+ (1 + v)2

2

(x + d )ln

(x + d )2 + (y - b)2

(x + d )2 +(y + b)2 (x - d )2 + (y - b )2

(x - d )ln „

8 (x - d) + (y + b)

2

(l+v)

3 + 2v - v 4

dx(x+d)

-d In

(x + d )2 + (y - b )2

(x + d )2 + (y + b )2 (l+v)2 dx(x+d)

2 (x+d )2 +(y + b)2 2 [(;x+d )2 +(y - b)

x2 - 2dx - d2 x2 - 2dx - d2

2[(x + d )2 + (y + b )2 j ^[(x + d )2 + (y - b )2 j

+

+

+

2dx(x + d )2

2dx(x + d )2

[(x + d )2 + (y + b)2 ]2 [(x + d )2 + (y - b )2 j2

1 -v 1 ln (x - d )2 +(y + b)2 -1 ln (x + d )2 +(y+b)2

(x - d )2 +(y - b)2 (x + d )2 + (y - b)2

4 2 2

2 х(х + d ) 2 х(х + d )

(х + d )2 + (у + Ь)2 (х + d )2 + (у - Ь)2 ^ (10)

При d = 0 выражения (5) ^ (10) точно соответствуют частному случаю, рассмотренному Г.В. Колосовым от полосовой нагрузки, приложенной к поверхности полуплоскости.

Проанализируем результаты полученного решения.

Компоненты напряжений ст , ст , т , а так-

х’ у’ ху’

же перемещений и, и, Уху при удалении точки М (х, у) на бесконечность (х ® ¥, у ® ¥) обращаются в ноль.

При х = d в интервале (- Ь < у < Ь) стх = р, а при х = 0 стх = 0 (Пт ох = 0), что и должно быть,

х®0

т. к. поверхность полуплоскости свободна.

Напряжение стх, сту, перемещение и, и симметричны относительно оси х, напряжение тху, перемещение уху обращаются в нуль на оси симметрии (у = 0), что полностью соответствует теории упругости для задач с симметрией.

Для доказательства правильности решения выполнена проверка условия совместности деформаций вида:

Эм Эи

1ху = эу +эх (11)

Дифференцируя уравнение (8) по у и уравнение (9) по х, после математических преобразований убеждаемся в точном выполнении уравнения (11) (математические выкладки ввиду громоздкости не приводим).

Наконец, наиболее важным требованием теории упругости для бигармонической функции (функции Эри) должно выполняться условие бигармоничности в виде (невесомая среда):

Э4Ф +2 Э4ф 4 Эx2Эy

Эx

2 + Ф о

2 Эу4

(12)

Дифференцируя выражение (3) после сложных математических преобразований, убеждаемся, что условие (12) для выражения (3) выполняется.

В связи с тем, что функции в найденном решении достаточно сложны, дополнительно были разработаны программы на ЭВМ, позволившие численными методами доказать полное

соответствие найденных функций требованиям теории упругости.

Ввиду важности исследования приводим текст программы по проверке всех теоретических выкладок (алгоритмический язык FORTRAN).

$large

double precision x,dx,pr1x,pr2x, *pr3x,pr4x,pr1y,pr2y,pr3y,pr4y, *smyx,dy,y,dyp,xn,xk,yn,yk,b,d,pu,dxp double precision pr1xm(500), *pr2xm(500),pr3xm(500),xm(500), *pr4xm(500),pr1ym(500),pr2ym(500), *pr3ym(500),pr4ym(500),smyxm(500) common b,d,pu

open(6,file='iwanow',status='Unknown')

write(*,101)

101 format(1x,'BBeflHTe через пробел ♦начальную и конечную границу',

*' по X') read(*,*) xn,xk write(*,301)

301 format(1x,'ввeдитe через пробел ♦шаги движения и', ♦'дифференцирования по X') read(*,*)dxp,dx write(*,1101)

1101 format(1x,'ввeдитe через пробел ♦начальную и конечную границу',

*' по Y') read(*,*) yn,yk write(*,1301)

1301 ^гта^1х,'введите через пробел ♦шаги движения и',

♦' дифференцирования по Y') read(*,*)dyp,dy write(*,103)

103 format(1x,'ввeдитe через пробел *b,d') read(*,*) b,d

write(6,115) xn,xk,dxp,dx,yn,yk, *dyp,dy,b,d 115 format(1x,'начапьная граница по *X=',f10.4//1x,

♦'конечная граница по X=',f10.4//1x, *'шаг движения по X=',f10.4//1x, *'шаг дифференцирования по *X=',f10.4//1x,

♦'начальная граница по Y=',f10.4//1x, ♦'конечная граница по Y=',f10.4//1x, *'шаг движения по Y=',f10.4//1x, ♦'шаг дифференцирования по ♦Y=',f10.4//1x,

*'b=',f10.4,' d=',f10.4//) pu=0.3 y=yn

75 continue

x=xn k=1 65 continue

call proizw(x,dx,y,dy,pr1x,pr2x, *pr3x,pr4x,pr1y,pr2y,pr3y,pr4y,smyx) pr1xm(k)=pr1x pr2xm(k)=pr2x pr3xm(k)=pr3x pr4xm(k)=pr4x pr1ym(k)=pr1y pr2ym(k)=pr2y pr3ym(k)=pr3y pr4ym(k)=pr4y smyxm(k)=smyx xm(k)=x k=k+1

if(k.le.500) goto 1111 write(6,1112)

1112 format(1x,'количecтво точек ♦больше 500') goto 7799 1111 continue x=x+dxp

if(x.le.xk) goto 65 k=k-1

write(6,2010) y 2010 format(/1x,'измeнeниe по X, ♦графики для точек c y=',f10.5/) write(6,2001)

2001 format(1x,'график первой ♦производной по X'/)

call graf(k,dxp,xm,pr1xm) write(6,2002)

2002 format(1x,'график второй ♦производной по X'/)

call graf(k,dxp,xm,pr2xm) write(6,2003)

2003 format(1x,'график третьей ♦производной по X'/)

call graf(k,dxp,xm,pr3xm) write(6,2004)

2004 format(1x,'график четвертой ♦производной по X'/)

call graf(k,dxp,xm,pr4xm) write(6,2005)

2005 format(1x,'график первой ♦производной по Y'/)

call graf(k,dxp,xm,pr1ym) write(6,2006)

2006 format(1x,'график второй ♦производной по Y'/)

call graf(k,dxp,xm,pr2ym) write(6,2007)

2007 format(1x,'график третьей ♦производной по Y'/)

call graf(k,dxp,xm,pr3ym) write(6,2008)

2008 format(1x,'график четвертой

♦производной по Y'/) call graf(k,dxp,xm,pr4ym) write(6,2017)

2017 format(/1x,'грaфик удвоенной ♦смешанной производной'/lx, ♦'(сначала дважды по у,потом дважды ♦по х)'/) call graf(k,dxp,xm,smyxm)

y=y+dyp

if(y.le.yk) goto 75 x=xn 775 continue y=yn k=1

765 continue

call proizw(x,dx,y,dy,pr1x,pr2x, *pr3x,pr4x,pr1y,pr2y,pr3y,pr4y,smyx) pr1xm(k)=pr1x pr2xm(k)=pr2x pr3xm(k)=pr3x pr4xm(k)=pr4x pr1ym(k)=pr1y pr2ym(k)=pr2y pr3ym(k)=pr3y pr4ym(k)=pr4y smyxm(k)=smyx xm(k)=y k=k+1 y=y+dyp

if(y.le.yk) goto 765 k=k-1

write(6,3010) x 3010 format(/1x,'измeнeниe по Y,грaфики ♦для точек с x=',fl0.5/) write(6,2001) call graf(k,dyp,xm,pr1xm) write(6,2002) call graf(k,dyp,xm,pr2xm) write(6,2003) call graf(k,dyp,xm,pr3xm) write(6,2004) call graf(k,dyp,xm,pr4xm) write(6,2005) call graf(k,dyp,xm,pr1ym) write(6,2006) call graf(k,dyp,xm,pr2ym) write(6,2007) call graf(k,dyp,xm,pr3ym) write(6,2008) call graf(k,dyp,xm,pr4ym) write(6,2017) call graf(k,dyp,xm,smyxm) x=x+dxp

if(x.le.xk) goto 775 7799 continue

write(*,*) 'результат в файле iwanow' pause

close(6,status='keep')

end

function fig(x,y)

double precision b,d,pu,x,y,s1,s2, *s3,s4,s5,f1,z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7,f2 common b,d,pu s1=((x-d)**2+(y+b)**2)/ *4*datan((y+b)/(x-d)) s2=-((x-d)**2+(y-b)**2)/ *4*datan((y-b)/(x-d)) s3=((x+d)**2+(y+b)**2)/ *4*datan((y+b)/(x+d)) s4=-((x+d)**2+(y-b)**2)/ *4*datan((y-b)/(x+d)) s5=-d*x*(atan((y+b)/(x+d))-*datan((y-b)/(x+d))) f1=(1+pu)/2*(s1+s2+s3+s4+s5) z1=((y+b)**2-(x-d)**2)/ *2*datan((y+b)/(x-d)) z2=-((y-b)**2-(x-d)**2)/ *2*datan((y-b)/(x-d)) z3=(3*(x+d)**2+(y+b)**2)/ *2*datan((y+b)/(x+d)) z4=(-(3*(x+d)**2+(y-b)**2))/ *2*datan((y-b)/(x+d)) z5=-2*d*(x+d)*(datan((y+b)/(x+d))-*datan((y-b)/(x+d))) z6=(x-d)*(y+b)/2*alog(((x+d)**2+ *(y+b)**2)/((x-d)**2+(y+b)**2)) z7=-(x-d)*(y-b)/2*alog(((x+d)**2+ *(y-b)**2)/((x-d)**2+(y-b)**2)) f2=(1-pu)/4*(z1+z2+z3+z4+z5+z6+z7) fig=-1./(datan(1.)*4)*(f1+f2) return end

subroutine proizw(x,dx,y,dy,pr1x, *pr2x,pr3x,pr4x,pr1y,pr2y,pr3y,pr4y,smyx) double precision x,dx,pr1x,pr2x, *pr3x,pr4x,pr1y,pr2y,pr3y,pr4y, *del1,del2,del3,del4,ar1,ar2,z1,z2, *z4,z6,z3,z5,z9,z10,z12,*z14,z11,z8,z7,z13,z17,a *r,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,smyx,sum,dy, *y,cyp,xn,xk,yn,yk,b,d,pu,sigxw,sigyw,tayxy, *tau,tau1,upox,vpoy,upoxw,vpoyw,gamxyi, *gamxyw,upoy,vpox pu=0.3 ar1=x+dx ar2=x-dx ar=y

pr1x=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/

*(2*dx)

ar1=x+2*dx

ar2=x

z1=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

ar2=x-2*dx

ar1=x

z2=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

pr2x=(z1-z2)/(2*dx)

ar1=x+3*dx

ar2=x+dx

z4=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

ar1=x-dx

ar2=x-3*dx

z6=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

z3=(z4-pr1x)/(2*dx)

z5=(pr1x-z6)/(2*dx)

pr3x=(z3-z5)/(2*dx)

ar1=x+4*dx

ar2=x+2*dx

z9=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

ar1=x+2*dx

ar2=x

z10=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/

*(2*dx)

ar1=x

ar2=x-2*dx

z12=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/

*(2*dx)

ar1=x-2*dx

ar2=x-4*dx

z14=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/

*(2*dx)

z11=(z10-z12)/(2*dx)

z8=(z9-z10)/(2*dx)

z7=(z8-z11)/(2*dx)

z13=(z12-z14)/(2*dx)

z11=(z10-z12)/(2*dx)

z17=(z11-z13)/(2*dx)

pr4x=(z7-z17)/(2*dx)

ar1=y+dy

ar2=y-dy

ar=x

pr1y=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/

*(2*dy)

ar1=y+2*dy

ar2=y

z1=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/(2*dy)

ar2=y-2*dy

ar1=y

z2=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/(2*dy)

pr2y=(z1-z2)/(2*dy)

ar1=y+3*dy

ar2=y+dy

z4=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/(2*dy)

ar1=y-dy

ar2=y-3*dy

z6=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/(2*dy)

z3=(z4-pr1y)/(2*dy)

z5=(pr1y-z6)/(2*dy)

pr3y=(z3-z5)/(2*dy)

ar1=y+4*dy

ar2=y+2*dy

z9=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/(2*dy)

ar1=y+2*dy

ar2=y

z10=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/

*(2*dy)

аг1=у

ar2=y-2*dy

z12=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/

*(2*dy)

ar1=y-2*dy

ar2=y-4*dy

z14=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/

*(2*dy)

z11=(z10-z12)/(2*dy)

z8=(z9-z10)/(2*dy)

z7=(z8-z11)/(2*dy)

z13=(z12-z14)/(2*dy)

z11=(z10-z12)/(2*dy)

z17=(z11-z13)/(2*dy)

pr4y=(z7-z17)/(2*dy)

ar1=x+2*dx

ar2=x

ar=y+2*dy

s2=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

ar1=x

ar2=x-2*dx

s3=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

s1=(s2-s3)/(2*dx)

ar1=x+2*dx

ar2=x

ar=y

s5=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

ar1=x

ar2=x-2*dx

s6=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

s4=(s5-s6)/(2*dx)

ar1=x+2*dx

ar2=x

ar=y-2*dy

s8=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

ar1=x

ar2=x-2*dx

s9=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

s7=(s8-s9)/(2*dx)

smyx=2*(s1-2*s4+s7)/(4*dy*dy)

sum=pr4x+pr4y+smyx

sigxw=sigx(x,y)

sigyw=sigy(x,y)

tayxy=tay(x,y)

ar1=x+dx

ar2=x-dx

ar=y+dy

s1=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

ar=y-dy

s2=(fig(ar1,ar)-fig(ar2,ar))/(2*dx)

tau=-(s1-s2)/(2*dy)

ar1=y+dy

ar2=y-dy

ar=x+dx

s1=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/(2*dy)

ar=x-dx

s2=(fig(ar,ar1)-fig(ar,ar2))/(2*dy)

tau1=-(s1-s2)/(2*dx)

ar1=x+dx

ar2=x-dx

ar=y

upox=(uper(ar1,ar)-uper(ar2,ar))/

*(2*dx)

ar1=y+dy

ar2=y-dy

ar=x

vpoy=(vper(ar,ar1)-vper(ar,ar2))/ *(2*dy) upoxw=(pr2y-pu*pr2x) vpoyw=(pr2x-pu*pr2y) с write(6,7812)pr2y,pu,pr2x,upoxw, *vpoyw

7812 format(1x,'sig x,pu,sig y,du/dx, *dv/dy',5f10.5/) gamxyi=gamxy(x,y) gamxyw=2*(1+pu)*tau1 write(6,231) x,y,pr1x,pr2x,sigyw, *pr3x,pr4x write(6,431) pr1y,pr2y,sigxw,pr3y, *pr4y,smyx,sum 231 £огшаЪ(1х,'координаты точки

*х=',£10.5,' у=',£10.5//1х,'первая ♦производная по X=',e15.7/1x,

*'счет вторая производная по Х(сигма *У)=',е15.7/1х,'сигма у Иванов=', *е15.7/1х,'третья производная по *Х=',е15.7/1х,'четвертая производная *по Х=',е15.7/)

431 £огшаЪ(1х,'первая производная по ♦¥='^15.7/^, 'счет вторая ♦производная по У(сигма х)=',е15.7/ *1х,'сигма х Иванов=',е15.7/1х, *'третья производная по У=',е15.7/ *1х,'четвертая производная по *У=',е15.7//1х,'удвоенная смешанная *производная(дважды по у,дважды по *х)=',е15.7/' сумма четвертых ♦производных по Х,У и удвоенной *смешанной=',e15.7/) write(6,567) tayxy,tau,tau1 567 £огшаЪ(/1х,'Ъаи по Иванову=', *е15.7/1х,' Ъаи счет(сначала ♦производная по у,потом по х)=', *е15.7/' Ъаи счет(сначала ♦производная по х,потом по у)=' ♦е15.7/) ar1=y+dy ar2=y-dy ar=x

upoy=(uper(ar,ar1)-uper(ar,ar2))/

*(2*dy)

ar1=x+dx

ar2=x-dx

ar=y

vpox=(vper(ar1,y)-vper(ar2,ar))/

*(2*dx)

sum=upoy+ypox

write(6,4301) upox,upoxw,ypoy, *ypoyw,gamxyi,gamxyw,sum 4301 format(1x,'производнaя du/

♦dx(Ивaнов)=',f10.5/1x,'производнaя *du/dx(бигaрмоникa)=',f10.5/1x, ♦'производная dv/dy(Ивaнов)=',f10.5/ ♦1x,'производнaя dv/ *dy(бигaрмоникa)=',f10.5/1x, ♦'gammaxy(Ивaнов)=',f10.5/1x, ♦'gammaxy(бигaрмоникa)=',f10.5/1x, ♦'сумма du/dy+dv/dx(Ивaнов)=', ♦fl0.5/) return end

subroutine graf(kt,dx,x,y) dimension y(1),str(41),x(1), *xminx(500),xmaxx(500),yminx(500), *ymaxx(500),kminm(500),kmaxm(500) double precision y,xmax,xmas,dx,x, *xminx,xmaxx,yminx,ymaxx,y1,y2 data prob/' «/,sim/»*'/ if(kt.le.500) goto 5555 write(6,5556) kt 5556 format(1x,'количecтво точек для ♦графики>500=',і4) write(*,5556) kt pause stop 5555 continue

xmax=dabs(y(1)) do 1 i=1,kt

if(xmax.ge.dabs(y(i))) goto 1 xmax=dabs(y(i))

1 continue kx=kt

xmas=xmax/2 0 write(6,2) dx,xmas

2 format(/1x,'Цeнa деления по оси ♦координаты(Х) =',f19.7/1x,'Цeнa ♦деления по оси координаты^) =', ♦fl9.7//)

write(6,3)

3 format(2 0(«_»),'X',19(«_»),'Y') c y1=dabs(y(1))

if(y(1).eq.0) y1=1d-16 do 4 i=1,kt do 5 j=1,41 str(j)=prob 5 continue

str(21)='|' if(y(i).lt.0) goto 7 if(y(i).gt.0) goto 8 str(21)='0" goto 10

7 continue

kk=dabs(y(i))/xmas+0.5 if(kk.eq.O) str(21)='0"

kn=20-kk+1 do 20 j=kn,20 str(j)=sim 20 continue goto 10

8 continue

kk=y(i)/xmas+0.5 if(kk.eq.0) str(21)='0‘ kkon=21+kk do 27 j=22,kkon str(j)=sim 27 continue 10 continue c y2=y(i)/y1

write(6,76) str,y(i)

76 format(41a1,' y=',f24.9)

4 continue

write(6,345)

345 format(//) return end

function sigx(x,y)

double precision x,y,b,d,s1,s2,s3, *s4,s5,s6,s7,s8,s9,pu common b,d,pu

s1=0.5*(datan((y+b)/(x-d))-*datan((y-b)/(x-d))) s2=0.5*(datan((y+b)/(x+d))-*datan((y-b)/(x+d))) s3=(x-d)*(y+b)/(2*((x-d)**2 + *(y+b)**2)) s4=-(x-d)*(y-b)/(2*((x-d)**2+ *(y-b)**2)) s5=(x+d)*(y+b)/(2*((x+d)**2+ *(y+b)**2)) s6=-(x+d)*(y-b)/(2*((x+d)**2+ *(y-b)**2)) s7=2*d*x*(x+d)*(y+b)/((x+d)**2+ *(y+b)**2)**2 s8=-2*d*x*(x+d)*(y-b)/((x+d)**2+ *(y-b)**2)**2 s9=(1+pu)/2*(s1+s2+s3+s4+s5+s6+ *s7+s8)

s1=(datan((y+b)/(x-d))-datan((y-

*b)/(x-d)))

s2=(datan((y+b)/(x+d))-datan((y-

*b)/(x+d)))

s3=2*x*(y+b)/((x+d)**2+(y+b)**2)

s4=-2*x*(y-b)/((x+d)**2+(y-b)**2)

s5=(1-pu)/4*(s1+s2+s3+s4)

sigx=-(s9+s5)/(datan(1.)*4)

return

end

function sigy(x,y) double precision x,y,s1,s2,s3,s4, *s5,s6,s7,s8,s9,s10,s11,b,d,pu common b,d,pu

s1=0.5*(datan((y+b)/(x-d))-

*datan((y-b)/(x-d))) s2=0.5*(datan((y+b)/(x+d))-*datan((y-b)/(x+d))) s3=-(x-d)*(y+b)/(2*((x-d)**2+ *(y+b)**2)) s4=(x-d)*(y-b)/(2*((x-d)**2 + *(y-b)**2)) s5=-(x+d)*(y+b)/(2*((x+d)**2+ *(y+b)**2)) s6=(x+d)*(y-b)/(2*((x+d)**2+ *(y-b)**2)) s7=2*d*(y+b)/((x+d)**2+(y+b)**2) s8=-2*d*(y-b)/((x+d)**2+(y-b)**2) s9=-2*d*x*(x+d)*(y+b)/((x+d)**2+ *(y+b)**2)**2 s10=2*d*x*(x+d)*(y-b)/((x+d)**2+ *(y-b)**2)**2 s11=(1+pu)/2*(s1+s2+s3+s4+s5+s6+ *s7+s8+s9+s10) s1=-(datan((y+b)/(x-d))-datan *((y-b)/(x-d))) s2=3*(datan((y+b)/(x+d))-datan *((y-b)/(x+d))) s3=-2*x*(y+b)/((x+d)**2+(y+b)**2) s4=2*x*(y-b)/((x+d)**2+(y-b)**2) s5=(1-pu)/4*(s1+s2+s3+s4) sigy=-(s11+s5)/(datan(1.)*4) return end

function tay(x,y)

double precision x,y,b,d,pu,s1,s2, *s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9 common b,d,pu s1=-(x-d)**2/(2*((x-d)**2+ *(y+b)**2)) s2=(x-d)**2/(2*((x-d)**2+(y-*b)**2))

s3=-(x*x-2*d*x-d*d)/(2*((x+d)**2+ *(y+b)**2)) s4= (x*x-2*d*x-d*d)/(2*((x+d)**2+ *(y-b)**2)) s5=-2*d*x*(x+d)**2/((x+d)**2+ *(y+b)**2)**2 s6=2*d*x*(x+d)**2/((x+d)**2+ *(y-b)**2)**2 s7=(1+pu)/2*(s1+s2+s3+s4+s5+s6) s8=0.5*alog(((x-d)**2+(y+b)**2)/ *((x-d)**2+(y-b)**2)) s9=-0.5*alog(((x+d)**2+(y+b)**2)/ *((x+d)**2+(y-b)**2)) s1=-2*x*(x+d)/((x+d)**2+(y+b)**2) s2=2*x*(x+d)/((x+d)**2+(y-b)**2) s3=(1-pu)/4*(s8+s9+s1+s2) tay=-(s7+s3)/(datan(1.)*4) return end

function uper(x,y)

double precision s1,s2,s3,s4,s5,

*s6,s7,s8,s9,x,y,b,d,pu common b,d,pu

s1=(1-pu*pu)/2*(x-d)*(datan((y+b)/

*(x-d))-datan((y-b)/(x-d)))

s2=(1-pu)**2/2*(x+d)*(datan((y+b)/

*(x+d))-datan((y-b)/(x+d)))

s3=-(1+pu)**2/2*(d*x*(y+b)/

*((x+d)**2+(y+b)**2)-d*x*(y-b)/

*((x+d)**2+(y-b)**2))

s4=(3+2*pu-pu*pu)/8*(y+b)*alog

*((x-d)**2+(y+b)**2)

s5=-(3+2*pu-pu*pu)/8*(y-b)*alog

*((x-d)**2+(y-b)**2)

s6=(5-2*pu+pu**2)/8*(y+b)*alog

*((x+d)**2+(y+b)**2)

s7=-(5-2*pu+pu*pu)/8*(y-b)*alog

*((x+d)**2+(y-b)**2)

s8=datan(1.)*4

uper=-1/s8*(s1+s2+s3+s4+s5+s6+s7)

return

end

function vper(x,y) double precision x,y,b,d,pu,s1, *s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9 common b,d,pu

s1=(7-2*pu-pu*pu)/8*(x+d)*alog

*(((x+d)**2+(y-b)**2)/

*((x+d)**2+(y+b)**2))

s2=(1+pu)**2/8*(x-d)*alog

*(((x-d)**2+(y-b)**2)/

*((x-d)**2+(y+b)**2))

s3=-(3+2*pu-pu*pu)/4*d*alog

*(((x+d)**2+(y-b)**2)/

*((x+d)**2+(y+b)**2))

s4=(1-pu)*y*(datan((y+b)/(x+d))-

*datan((y-b)/(x+d)))

s5=(1-pu)*b*(datan((y+b)/

*(x+d))+datan((y-b)/(x+d)))

s6=(1+pu)**2/4*(d*x*(x+d)/

*((x+d)**2+(y+b)**2)-d*x*(x+d)/

*((x+d)**2+(y-b)**2))

s8=datan(1.)*4

vper=-1/s8*(s1+s2+s3+s4+s5+s6)

return

end

function gamxy(x,y) double precision x,y,b,d,pu,s1,s2, *s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9 common b,d,pu s1=-(x-d)**2/(2*((x-d)**2+ *(y+b)**2)) s2=(x-d)**2/(2*((x-d)**2+ *(y-b)**2)) s3=-(x*x-2*d*x-d*d)/(2*((x+d)**2+ *(y+b)**2)) s4=(x*x-2*d*x-d*d)/(2*((x+d)**2+ *(y-b)**2))

s5=-2*d*x*(x+d)**2/((x+d)**2+

*(y+b)**2)**2

s6=2*d*x*(x+d)**2/((x+d)**2+

*(y-b)**2)**2

s7=(1+pu)/2*(s1+s2+s3+s4+s5+s6)

s1=0.5*alog(((x-d)**2+(y+b)**2)/

*((x-d)**2+(y-b)**2))

s2=-0.5*alog(((x+d)**2+(y+b)**2)/

*((x+d)**2+(y-b)**2))

s3=-2*x*(x+d)/((x+d)**2+(y+b)**2)

s4=2*x*(x+d)/((x+d)**2+(y-b)**2)

s5=(1-pu)/4*(s1+s2+s3+s4)

s9=atan(1.)*4

gamxy=-2*(1+pu)/s9*(s7+s5)

return

end

Фрагмент результатов проверки: начальная граница по X= 3.0000 конечная граница по Х= 4.0000 шаг движения по X=.25OO шаг дифференцирования по X=.1000 начальная граница по Y= 3.0000 конечная граница по Y= 4.0000 шаг движения по Y=.25OO шаг дифференцирования по Y=.1000 b= 1.0000 d= 1.5000

координаты точки х= 3.00000 у= 3.00000

первая производная по

Х=.4282594Е-01

счет вторая производная по

Х(сигма у)= -.1106322Е+00

сигма у Иванов= -.1106880Е+00

третья производная по

Х=.2378225Е-01

четвертая производная по

Х=.1907349Е-01

первая производная по У= -.8350170Е+00 счет вторая производная по У(сигма х)= -.9820461Е-01 сигма х Иванов= -.9805545Е-01 третья производная по У=.6374717Е-01

четвертая производная по У= -.4321337Е-01

удвоенная смешанная производная (дважды по у,дважды по х)= .2503395Е-01

сумма четвертых производных по Х,У и удвоенной смешанной=.8940697Е-03

Ъаи по Иванову= -.9591695Е-01 Ъаи счет(сначала производная по у,потом по х)= -.9588599Е-01 Ъаи счет(сначала производная по х,потом по у)= -.9588599Е-01

производная du/dx(Иванов)= -.06484 производная du/dx(бигармоника)=

-. 06501

производная dv/dy(Иванов)= -.07929 производная dv/dy(бигармоника)= -.08117

даттаху(Иванов)= -.24938 даттаху(бигармоника)= -.24930 сумма du/dy+dv/dx(Иванов)= -.24693 координаты точки х= 3.25000 у= 3.00000

первая производная по Х=.159514 0Е-01 счет вторая производная по Х(сигма у)= -.1041830Е+00 сигма у Иванов= -.1042180Е+00 третья производная по Х=.2726912Е-01 четвертая производная по Х=.1013279Е-01

первая производная по У= -.8107674Е+00 счет вторая производная по У(сигма х)= -.1064718Е+00 сигма х Иванов= -.1063339Е+00 третья производная по У=.6523728Е-01 четвертая производная по У= -.4127622Е-01

удвоенная смешанная производная (дважды по у,дважды по х)= .3099442Е-01

сумма четвертых производных по Х,У и удвоенной смешанной =

-.1490116Е-03

Ъаи по Иванову= -.9781913Е-01 Ъаи счет(сначала производная по у,потом по х)= -.9778738Е-01 Ъаи счет(сначала производная по

х,потом по у)= -.9778738Е-01

производная du/dx(Иванов)= -.07505 производная du/dx(бигармоника)= -.07522

производная dv/dy(Иванов)= -.07138 производная dv/dy(бигармоника)= -.07224

даттаху(Иванов)= -.25433 даттаху(бигармоника)= -.25425 сумма du/dy+dv/dx(Иванов)= -.25110

Задача решена для плоского напряженного состояния, но позволяет перейти к условиям плоской деформации с известной заменой коэффициента Пуассона V на величину р в виде: V

т = -— (13)

1 -V При этом размерность величины Р изменит-

сила

ся, вместо (дшну) должна иметь размерность

сила ( площадь )-

Список использованной литературы:

1. М.И. Горбунов-Посадов. Поправка к формуле для определения перемещений упругой полуплоскости // Основания, фундаменты и механика грунтов, №2, 1964.

2. С.П. Тимошенко, Д. Гудьер. Теория упругости. Пер. с английского М.И. Рейтмана, под ред. Шапиро Г.С. изд. 2, М.: Наука, 1970.

3. П.Л. Иванов Грунты и основания гидротехнических сооружений. М., «Высшая школа», 1985.