Напряженно-деформированное состояние оснований фундаментов различной формы с использованием решения Кельвина Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

05.23.00 СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА

УДК 502/504 : 691.535

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОСНОВАНИЙ ФУНДАМЕНТОВ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕШЕНИЯ КЕЛЬВИНА

Поступила 23.11.2015 г.

© А. В. Пилягин

Чебоксарский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)», г. Чебоксары

THE STRESS-STRAIN STATE OF THE FOUNDATION

OF VARIOUS FORMS

USING THE KELVIN EQUATION

Received November 23, 2015

© A. V. Pilyagin

Cheboksary Institute of Moscow State University of Mechanical Engineering, Cheboksary, Russia

В статье рассматривается напряженнодеформированное состояние оснований фундаментов различной формы. Отмечается, что лля фундаментов на естественном основании традиционно используется решение Буссинеска (1885 г.) о силе, приложенной к поверхности грунта, т. е. без учета факта заглубления фундаментов, а решение, полученное Миндлиным (1950 г.) учитывает факт заглубления фундаментов, но не рассматривает развитие растягивающих напряжений выше отметки приложения нагрузки. Приводится анализ уравнения Кельвина для сосредоточенной силы, приложенной на бесконечно большой глубине. Выполненный анализ напряженного состояния оснований для заглубленных фундаментов с использованием решения Кельвина указывает на возможность его использования в случае применения фундаментов глубокого заложения.

Ключевые слова: грунт, фундамент, напряжение, расчет по деформациям.

The article discusses the stress-strain state of Foundation of various forms. It is noted that for foundations on natural basis is traditionally used for the solution of Boussinesq (1885) about the force applied to the ground surface, i^e. without taking into account the fact that the depth of the foundations, and

the solution obtained Mindlin (1950) takes into account the fact that the depth of foundations, but does not consider the development of

tensile stresses above the level of application of the load. The analysis of the Kelvin

equation for concentrated force applied at an infinitely large depth. The analysis of

the stress state of grounds for the buried foundations using solution of Kelvin indicates the possibility of its use in the case of the use of deep foundations.

Keywords: soil, Foundation, stress, calculation of deformation.

Проектирование оснований и фундаментов зданий и сооружений предусматривает оценку напряженного состояния оснований и прогноз перемещений. Для фундаментов на естественном основании традиционно используется решение Буссинеска [1] о силе, приложенной к поверхности грунта, т. е. без учета факта заглубления фундаментов. Решение, полученное Миндлиным [2] учитывает факт заглубления фундаментов, но не рассматривает развитие растягивающих напряжений выше отметки приложения нагрузки. Причем при заглублении фундаментов на глубину более 5b (b - ширина подошвы фундамента) значение растягивающих напряжений достигает 50 % от величины приложенного давления. Факт развития растягивающих напряжений действующими нормами РФ в проектировании фундаментов не учитываются.

Наряду с указанными выше решениями имеется также решение Кельвина о сосредоточенной силе, приложенной к телу бесконечной длины [3]. Анализ данного решения представляет практический интерес в виду использования фундаментов с большой глубиной заложения (используются сваи длиной 100 м).

Согласно данному решению вертикальные напряжения и осадки от единичной сосредоточенной силы равны:

P

а =

S =

8п (1 - ц)

PU + ц)

8п (1 - ц) E

z 3z3

(1 - 2ц) RF+Ж

1 z2

(3 - 4ц) R+R3

J1 — Z'

и

J — 3z2

и

dф rdr

(R2+z2) 3/2 dф rdr

—1 -

z

V R2+z2'

(r2 + z2) / 2

—1 -

1+R2

3

2 2

■; ( 4 )

z

1

4

№ 4, 2015

CONSTRUCTION AND ARCHITECTURE

Jo —

/ /■

Оф rd r

—-—■— R2+z2 - z.

Р L (r2 И (2) /2 П/л/ подотп—овки значений

joj^—гченны x ннт егр ал о— в ро+мулы ( 1 ) и (2) полу! сны ф трмулы ои ;р^д^е ления лпрожений и перем—щениО (осадок) по централгной вероик ар осроваоий jpyr-eeo ШунОаме н тов и лиштампоо:

(Т) Ja—

а( о - т)

(О - 2[т)

3 -

■ж

И е°1

и

+

3 -

зиРЁ?

о / /2

Для центрольн—й еертикиш z — 0 напряжени я рааны cz = 0,5Р:

Р- ( 3 И- rP

при

J —

+

ае о о г/

(2

й ( 3 -ас) [ ррр

■е2 - т|И

е -

jHR2

■ е 2

(7)

Осадоа птвиртнгсои шнамиа Офрода-мента) при н = 0 равна:

Р( 3 И ))

к —

■О (о т аr)R}.

(8)

4О ( т - ))

Воцапиение (8) приведено к виду формулы тпределения осадок круглых штампоа пуоем умножения чиолителя и знамзнптеля на z(1 - р). Т огда можно za—HREь прп z р 0:

к(3 и п)

+5 —

г{-о - ап) о}.

Е —

S

(11)

Для определения вертикальных напряжений и осадки ленточных фундаментов необходимо вычислить следующие двойные интегралы:

a и.

/ /

тОпО.

-a -С [(Х - 0ОИ(У - л)2 И к2] /о

— 2

^arctg

x И a

- arctg

J5 — 2-0

//

x - a

z

оло.

-a -00 [ Т - 9 ОИ(У - Л]2 И ТО] /о

x И a x - a аат[(a - z)2 - x2l

—2 (arctg — arctg—+Jxоико~-aо]о+нaоко

При определении интеграла:

а со

1 1 —dndW=0,

-i 0 z2 + У2 + Z2] 1/2

( ihj

(13)

(14)

-а -о a b

внутренний интеграл в бесконечных пределах равен бесконечности. Для практических расчетов можно взять конечные пределы интегрирования,

напримор, длина l = 5a, a - п олушир ина подошвы ленточног- фуноамента , тогда :

a b

на п

а ы

_а -b t(x - ои+(т--т2 -ф +и ] 1/и

dx dy

РЕ EH - )) 2 От известной формулы Буссинеска данная ппвисимость отличается на

ко—ффи ципн) 0, з нгчснио иотор кг о равно

— — ( а - а п) / р (о а)) 2. (10)

Следовательно, модуль деформации грунта, являясь не физической характ ершои кой, а параметром связи ктпраовний и дефапмаций (закон Гука) при HcnoxB3 овании решения Кельвина, к —т Оузтинеока, будот больше и должен оп—ерелпи>ср но формуле:

Р-(3 - / 2со

а - x+У(о - х)2+ 21 -+ т/2 + о2

=(b + у)ln----2 - П 2 У- +

-л - тЫ( (а- х) 2+(b + у)2 + о2

а - x+У (а - х)2+ (0 + у)2 + о2 +(b - t)ln---2 - - н +2

- а - x+У (а - х)2+(Ь - у)2 + о2

, ( ы ы ( b- у+У (а + х) 2+(0 - у) 2 + о 2 ^

- b- у + У (а + х)2+(b + у)^+ о2

, ( 0, b -у+У (а - x22+(b - у22+z2

+(а - x)ln-----у . (15)

- b - у+У (а + х)2+(0 + у)2+ о2

Вертикальные напр яжения az и осадка S дляленточ вото фу+ дам+н та. р> авны,

=z п В (1 _ л [ (Во :^Ц+Н^ “В (5+ (+6)

p (1+й)

Т п (Ыы[-3 - '‘й)На + ^Но)' <17>

Значения вертикахьных напряжений длп прямоуго^ню- ле+точныти круслых фундам=нтов при р = 0,5 приведены в таблице.

b а

d?(dn

Н7п

ы ы

-b -а

Ы ) [(В -о) 2 + () - П)2 + о2]

1 ] -2

а - х+У (а - x)2+(0 + у)2 + о2 п (0 Ы у)ln------+ у + +

- а - x + У (а + х) 2+(0 + у)2 + о2

а - х+л/(а - x)2+(^ - у) )+о2

+(0 - yP^n-------+ ( ^ + - 2 +

ы а - x + У (а + х)2+(0 - у)2+о2

-ь 0- у+у (а ■+■ у) 12+(0 - ы)2+ о2

+(а + х) ln--------в +

ы 0 - у + У (а -I- х)2+(0 + у) 2 + о2

У1 0 - у -^-л- °(t - x22+(^° - у2/+о2

+(а - x)ln---------, ==. (18)

- 0 - у + У (а - х) 2+(0 + у) 2+о 2

—

№4,2015

5

05.23.00 СТРОИТЕЛЬСТВО ИАРХИТЕКТУРА

Значение напряжений sJP

m = 2z/b Круг Отношение n = l/b

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 3,0 5 10

0 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500

0,4 0,474 0,480 0,484 0,485 0,487 0,487 0,487 0,488 0,488 0,488

0,8 0,378 0,399 0,451 0424 0,429 0,432 0,435 0,439 0,440 0,440

1,2 0,273 0,303 0,326 0,341 0,351 0,358 0,363 0,374 0,377 0377

1,6 0,195 0,224 0,248 0,266 0,279 0,289 0,296 0,313 0,319 0,320

2,0 0,142 0,165 0,189 0,207 0,220 0,231 0,240 0,262 0,272 0,278

2,4 0,106 0,128 0,147 0,162 0,176 0,186 0,195 0,221 0,235 0,238

2,8 0,082 0,100 0,116 0,129 0,141 0,152 0,160 0,188 0,204 0,210

3,2 0,065 0,080 0,093 0,105 0,115 0,125 0,133 0,161 0,180 0,186

3,6 0,050 0,060 0,076 0,086 0,096 0,104 0,112 0,139 0,159 0,167

4,0 0,049 0,054 0,063 0,072 0,080 0,088 0,095 0,120 0,142 0,151

4,4 0,036 0,045 0,053 0,061 0,068 0,075 0,081 0,105 0,127 0,138

4,8 0,030 0,038 0,046 0,052 0,058 0,064 0,070 0,092 0,115 0,127

5,2 0,026 0,033 0,039 0,045 0,051 0,056 0,061 0,081 0,104 0,117

5,6 0,022 0,024 0,034 0,039 0,044 0,049 0,054 0,072 0,099 0,108

6,0 0,020 0,025 0,030 0,034 0,039 0,043 0,047 0,065 0,086 0,101

6,4 0,018 0,022 0,026 0,031 0,034 0,038 z 0,042 0,058 0,078 0,094

6,8 0,015 0,020 0,024 0,027 0,031 0,034 0,038 0,053 0,072 0,088

7,2 0,014 0,017 0,021 0,024 0,027 0,031 0,034 0,047 0,066 0,082

7,6 0,012 0,016 0,019 0,022 0,025 0,028 0,030 0,043 0,061 0,078

8,0 0,011 0,014 0,017 0,020 0,023 0,025 0,028 0,039 0,056 0,073

8,4 0,010 0,013 0,016 0,018 0,021 0,023 0,025 0,036 0,052 0,069

8,8 0,009 0,012 0,014 0,016 0,019 0,021 0,023 0,033 0,048 0,065

9,2 0,008 0,011 0,013 0,015 0,017 0,019 0,021 0,031 0,045 0,062

9,6 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,019 0,028 0,042 0,060

10,0 0,007 0,009 0,011 2 0,013 0,015 0,017 0,018 0,026 0,039 0,056

10,4 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,015 0,017 0,024 0,037 0,053

10,8b 0,006 0,008 0,009 0,011 0,013 0,014 0,016 0,022 0,034 0,050

11,2 0,006 0,007 0,0092 0,010 0,012 0,013 0,015 0,021 0,032 0,048

11,6 0,005 0,007 0,008 0,009 0,011 0,012 0,014 0,020 0,030 0,046

12,0 0,005 0,006 0,007 0,009 0,010 0,011 0,013 0,018 0,028 0,044

Jr = 2 2

22d^dn

= 2

b a

/ _l [(x - ю2+(y - n)2+ 22]3/2

(a - x) (b + y)

arctg

+arctg-

[ (a - x) 2+(b + y)2+22] X/2 a + x b+ y

+

+

+ arctg

+ arctg

[ (a + x) 2+(b + y) 2+22] X/2 (a - x) (b + y)

2 [ (a - x)2+(b - y)2+22]X/2 (a + x) (b - y)

+

(19)

2

b a

JQ=3z3

[ (a + x)2+(b - y)2+22] X/2 Г Г_________dd___________=

i i [(x - 0 2++ -n)2+ z+5/2

z (x + a)(y + b)[)x + a) 2+(y + b++2z2]

[ (x + a) 2+z2] [ (y + b) 2 +z2][ (x + a+2+ (y + b) 2+z2] +2 z (x + a)(y - b)\{x + a)2+(y - b)2+2z2]

[ (x + a)2+z2][(y - b(2 +z2] [(x + a)2+ (y - b(2 +z2] +Z z (x-o)(y - \(\)x-a)2+{y-b)2 + 2z2]

[ (x- a)2+z2][(y - b(2 +z2][(x-a) 2+(y - b)2 +z2] +Z z (x - a) (y - 2(\)x - a) 2+(_y + b)2+2z2]

[(x - a)2+z2][(y + b)2+z2] [(x - a)2+(y + b)2+z2] ^2 (■x + ay (y + b)

+

+

+ arctg-

- arctg z

Kx +) a)++yy + b)2+z2] ^2 (x + o) (y - b)

[(x + o') 2+(y - b) 2+z2]1/12

+

z

z

x a y b

+ arctg-----------------------1—

z [(x - a)2+(y - b)2+z2] /2 x a y + b

- arctg----------------------.

z [(x- a)2+(y + b)2+z2] '2

(20)

Некоторые результаты вычисления вертикальных напряжений для фундаментов различной формы приведены в таблице.

Заключение

Полученные решения на основе задачи Кельвина по оценке напряженнодеформированного состояния оснований фундаментов не противоречат законам механики грунтов и будут способствовать повышению эффективности проектов.

Библиографический список

1. Boussinesq J. Aplication des Potentiels a letudeleduilibreet du mouvement des solidesellastique. - Paris, 1885. - 720 p.

2. Mindlin R. D. Force at a point in the interier of a semi-infinite solid // Phisics. -1963. - Vol.7. - P. 195-202.

3. Тимошенко С. П., Гутьер Дж. Теория упругости. - М: Наука, 1975. - Т. 1 - 832 с.

Сведения об авторе

Пилягин Алексей Васильевич, доктор технических наук, профессор (e-mail: pilyagin.alexei@yandex.ru) Information about the author Piliagin Aleksei Vasilevich, doctor of technical sciences, professor (e-mail: pilyagin.alexei@yandex.ru)

6

№ 4, 2015