CC BY
3УДК 620.194.2
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НАСЛЕДСТВЕННО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ШАРА ПРИ ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ВНУТРЕННЕМ
ДАВЛЕНИИ
МАМЕДОВА МЕХРИБАН АЛИ КЫЗЫ
Доцент, ведущий научный сотрудник отдела "Механика деформируемого твердого тела", Институт Математики и Механики, Баку Азербайджан БОТ: 0000-0002-6762-4059
Аннотация. Рассматриваем толстостенный полый шар из наследственно упругопластического материала. Будем считать материал шара механически несжимаемым и его наследственноупругопластические свойства описывается известными соотношениями В.ВМосквитина [1]. Наследственно упругопластичное свойства материала шара при исходном нагружении математически описываются соотношениями физически нелинейной наследственной упругости.
При условии механической несжимаемости и при степенной аппроксимации функции нелинейности мы получим точное решение задачи определения напряженно-деформированного состояния шара, при исходном нагружении в общем случае произвольного ядра наследственности.
Так как материал шара наследственно упругопластический, то при отмеченной разгрузке шар будет иметь остаточные напряжения, деформации и перемещения. Определяются остаточные перемещения и напряжения.
Таким образом, построено решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния толстостенного наследственно упругопластического шара при действии внутреннего давления изменяющегося по закону пульсирующих задачи при первом нагружении.
Ключевые слова: циклическое нагружение, наследственность, упругопластический шар, напряжение, деформация, разрушение, обратная ползучесть пульсирующее внутренное давление.
Постановка задачи: Толстостенным полый шар из наследственно упруго-пластического материала внутреннего радиуса a, внешнего радиуса b циклически
деформируется внутренним давлением Pn (t), где n = число циклов, зависящие от
времени следующим образом
Р(Л=Р)' f°r *»-! < t < *n-l + ta
n () [0, for tn_x + ta < t < tn = tn_x + ta + tb
здесь
n
= 1Д-- (tо = 0)
n
Как видим, продолжительность каждого цикла нагружения ta + tb. При этом в каждом
P(t)
ом цикле происходит нагружение шара внутренним давлением V '. Длительность
t п t = t , +1„
нагружения в одном цикле есть a. Затем при времени n_1 a происходит мгновенное снятие давления. При этом в точках шара имеет место процесс разгрузки,
продолжительностью по времени ^b. Таким образом, процессы нагружения и разгрузки чередуются в каждом цикле до времени разрушения.
Будем считать материал шара механически несжимаемым и его наследственно упруго-пластические свойства описываются известными соотношениями В.В.Москвитина [1]. Решение задачи
1. Напряженно-деформированное состояние шара при первом исходном нагружении.
Исходное нагружение шара происходит в интервале времени ^ е ^ ^. Пусть при этом
^(г,t)> <(r>Г) = „U(r,t)
возникающие в шаре компонент напряжения будут г V > л р V ' / в V ' деформации
г \ > » <р \ > ; в \ > / и перемещения-и V' Ч. постановку задачи:
s (r t) S , t s t
r \ > p <p v'V "в v-'v и перемещения-1 У>4. Для их определения имеем следующую
v = i
2G0
2,
(sH'-sr") Si"-Sr')-
3
-fR(t-фГ2(sM-s^SM-sfyr . (1.1)
Д1 LocC )
s^ 2sv ) = 0, (1.2)
da® 2(g(> })
dr r
(1 )| ^ )l -
(1.3)
'i =-p(t )> ^ = 0> (1.4)
, ^ (1(1 ] , ^ 1!(1 ) s( )=(U-> sV> = — . (1.5)
or r
Уравнения (1.1) вместе с (1.2) являются определяющими соотношениями. Уравнение (1.1) написано при предположении, что наследственно упруго-пластическое свойство материала шара при исходном нагружении математически описывается соотношениями физически нелинейной наследственной упругости. Исходя из этого, при написании (1.1) использовано следующее нелинейное соотношение В.В.Москвитина для физически нелинейной наследственной упругости:
j = Wty -\R(t - тУ^ШК&т 2G0 0
S I1'
где 1 1 1 1 1 1 - соответственно девиаторы тензоров напряжений 1 и
s(i) • f7(i) =^(i) S /3 s(i) =S(i)S /3 -деформаций 11 ' 11 1 ' 1 1 средние напряжения и деформации,
s(i)=f2 e (l)e (l)~li/2 -
S - s+ [-i ei ei I G -
11 символы Кронекера; ^3 ' интенсивность деформаций; 0 мгновенный
модуль сдвига;
R(t)-
функция наследственности (релаксации); v функция характеризующая физическую нелинейность материала. Как видим, интенсивность
деформаций s+ в нашем случае имеет вид:
si'=2 (si'-si")
Соотношения (1.2)-(1.5) соответственно являются условием механической несжимаемости, уравнением равновесия, граничными условиями и геометрическими соотношениями Коши.
Из (1.2) с учётом (1.5) следует
u(i) = „(i)_ 2cM „(i) _„(i)_ C0
2 ' r
Ji)=r(l) = C(
3 ' ^в 3
с(.)
Здесь V ' подлежащая определению неизвестная функция. Аппрокс
в1 > о, д < о
(16)
Аппроксимируем функцию ^ У + /следующим образом:
. г,(4"Г
экспериментально определяемые константы материала. При этом уравнение (1.1) с учётом (1.6) принимает вид:
21+д
3Go В,
01 r 3(i+A)
.i+A
(t )-J R(t-r)c1+A (r)rfz
(1.7)
Из уравнения равновесия (1.3) с использованием (1.7) и первого из граничных условий (1.4), получим
))\
*?> = -p(t ) +
GB 2P+2 (r3(1+A)- a3(1+p,
(1 + P)(ar )3(1+pi>
j+A
(t)-JR(t -r)c1+p, (r)dr
(18)
c
i+Pi
Удовлетворив второму граничному условию (1.4), находим
(Г)-| ^ -т)с (Г)/Г- 22+Д (л^)-а*+*)) Полученное уравнение является интегральным уравнением Вольтерра II рода. Оно
,i+A
является линейным уравнением относительно
с( )
(t)
функцию
it )=
^ i + A T(1+A)
v B,GO2a+2 J
a b
. Решив ее, определим неизвестную
i/(i+p)
p(t)+ Jr(t -r)p(r)d
После определения
деформации
^ по (1.7):
з(1+Д1)- аз(1+д (1+д)
определяется по первой формуле (1.6),
ст(1)
по второй и третьей формулам (1.6), напряжения г по (1.8),
:(t) перемещение u' (r
u W =
f
i + Pi
Ni/(i+Pi )
v B,Go2a+2 ,
3L3
a 3b
2 (b3(i+Pi)- a3(i+Pi ))i/(i+Pi) 1(i+Pi)
p(t)+Jr(t -r)p(r)dr
b
s3(i+Pi)
- i
a
3(i+bi)
p(t),
(19)
(110)
1 (i + 3Рь
-1
r
43(i+Pi)
+1
,3(i+bi)
p(t).
(1.11)
-1
r
r
0
X
X
о
Следовательно, при условии механической несжимаемости и при степенной
р(1)(е(1))
аппроксимации функции нелинейности мы получили точное решение задачи
определения напряженно-деформированного состояния шара, при исходном нагружении в общем случае произвольного ядра наследственности.
2. Обратная ползучесть толстостенного шара. Пусть при времени ^ ^ ^ давление в шаре мгновенно снимается. В этом случае в точках шара происходит разгрузка. Так как материал шара наследственно упруго-пластическое, то при отмеченной разгрузке шар будет иметь остаточные напряжения, деформации и перемещения.
Для определения компонентов остаточных величин напряжения
е(0) е(0)=е(о)
г ' р 0 , перемещения и ' следуя В.В.Москвитину [1], вводим разности:
а(0'> а(о) * r v ,деформации
,(0) > г*-
-(0)
* (i) г = ау' ■
V V
-(0) V '
* (i ) гв =а0'
г(0) 'в >
Sr* = sf ) -s() > si =sU-S?) >se = s^i - se0 > u * = u(l)-u(0).
(2.1)
Предпологая, что процесс разгрузки также описывается нелинейными уравнениями В.В.Москвитина [1], напишем:
2,
* * ^ =v(0)
2G,
2 / * ** * \ -{sv -s*) [sv -s*)-
3
-j R(t* -V 2 (s*-s**)«-s** К
s* + 2Sv = 0.
К (2.2) и (2.3) добавим недостающие уравнения:
да*
2(< -**)
Or
а,
=- p(> )>
а
*
s* =
где
= f - f a (t > f a )
=b *
* u
Or ' v r
= 0,
Ou
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Обратим внимание на одно обстоятельство. В разностях (2.1) величины с верхним
индексами (1.1) берутся в точке ^ > ^, а не в точке ^.
Эти величины соответствуют давлению ) монотонно изменяющимся на 0 ~ ^ ~ ^ и
остающимся неизменными и равными ), при ^ > *1.
р(0) р°)(е* ) = в ер0 Теперь если функцию р аппроксимировать в виде ^ ^ + ' 0 + , после чего
провести сравнения соотношений (2.2)-(2.6) с соответствующими соотношениями (1.1)-(1.5), то придем к заключению
(
*
u =
i + A
у/ (i+A))
G B 2a+2
V G0 B0 2 у
3L3
a b
'■(b3(l+A0
a3(i+A'Y1+Ao)
p(t a )i + jr(t* -z)p{z)dz
Y
i/(i+A0)
(2.7)
r
r
r
0
r
*
*
r=a
X
r
X
0
\3(i+Po)
* v r
G*
v a
N3(i+Po)
-p(ta ) ,
1 (1 + 3Po
-i
'b Y
+1
* *
b
\ 3(i+Po)
■p('a ).
- 1
a,
Учитывая (2.7)-(2.9) в соотношениях (2.1) получим выражения искомых величин
V / г лЛ1/1+Д0
р{га И + |
u(о ) =
1+ A__
GB 21+PP b3(l+PP)- a 3(1+PP1
x\1/1+Po
1 + Po
p(a )i + Jr(t -Z)dz
G0 B02
2+Po
b
3(i+Po ) - a3(l+Po )
a 3b3
-ro)=
(1+3Pi
43(i+Pi)
-1
\3(i+Po)
- 1
s3(i+Pi)
43(i+Po)
- 1
- 1
a
a
Ж),
43(i+Pi)
+1 (1 + 3Po
\3(i+Po)
+ 1
\3(,+Pl )
\3(i+Po)
- 1
- 1
a
a
p{ta)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Процесс разгрузки продолжается в течение времени г или до времени г га +г,
начиная от г г а. Поэтому в конце процесса разгрузки остаточные перемещения будут
определяться формулой (2.10), при г — га + г' Остаточные напряжения выражаются в виде (2.11), (2.12).
Если процесс разгрузки происходит по законам линейной вязко-упругости, то в
К — 1, Д — 0
полученных соотношениях следует принять: о о
3. Напряженно-деформированное состояние шара при пульсирующем внутреннем давлении. Пусть амплитуда внутреннего давления останется постоянной всего процесса
циклического пульсирующего давления и будет равна р(а) — р*. Нас интересует циклический процесс нагружения после полной разгрузки. Для определения компонентов напряжения и деформации при любом цикле нагружения, следуя В.В.Москвитину [1], рассмотрим разности:
b
r
a
2
r
b
b
b
b
r
r
2
b
b
а(П' = (-1)"(a*"-1' -a*"'); a?' = (-i)"(О"-1' -а?'); s*;' = (-1)"'); sW = (-i);(si"-1'-si"'>.'
a(;' = a(;'; s("' = sr("'
в* v* ' в* i* (3 1)
где " г 2>t > fi.
(;-i)
Здесь величины с верхним индексами V" 1 являются соответственно напряжениями и
деформациями, которые возникают в шаре внутренним давлением р(г) монотонно
г , < г < г , + г
изменяющимся на отрезке а и остающимся неизменными и равными
Р(п-1 + га ) = Р* , при г > г«-1 + га .
(")
Величины же с верхним индексами есть соответственно искомые напряжения и деформации, возникающие во время нагружения внутренним давлением в " _ ом цикле.
(") ^ (") е(п) е "
Как и выше, для определения компонентов г* ' р* ' г* ' р* воспользуемся
постановкой задачи В.В.Москвитина:
" ) _ (")
^г, =р( п)
2G,
0
2 S '-sf(si; '-si" ')-
-jtffc-^)v,;) 2(s(;)-si;'-s*')dr,
0
s*; '+2s^* '=0,
OL 2(aV;'-a("')
Or r
(; 'I _
a
S" ' =
= -p*> o**"'| = 0,
2 I*=b
Ou*;' (; ) = u*l_ Or v r
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Здесь
t* = t -(f , +1 )> t , +1 -
; V n-1 ah n-1 a
время начала разгрузки и последующего нагружения в цикле.
р(")(е(")) р(")(е("))= В (е("^ /? /? _ Представляя функцию р /в виде ^ ^ +* ' ^ +* ' 'где г^Нп
экспериментально определяеиые константы материала, сравним соотношения (3.2)-(3.6) с
соответствующими соотношениями (1.1)-(1.5) исходного нагружения. При этом, можно
делать следующие выводы, согласно теореме о переменном нагружении В.В.Москвитина:
Если
^(1) = ^(1)(г, г, в17 д, а, Ь, Р(г)), ег(1) = ег(1)(г, г, В1,Д, а, Ь, р(г)),
где То
1 = r,v,e
(3.7)
аЦ^а®* t *, B; > A; > a, b, p* (t)) s«=s«(r, t*, B;, pn, a, b, p* (t)).
Здесь 1 = *,?,в.
(3.8)
В результате с использованием (3.1), (3.7) и (3.8) получим выражения для искомых величин напряжения и деформации:
п
^ ^-Е (- 1М)
к—2 п
) — (- ^), (г—г^е).
к—2
Заключение.
Таким образом, построено решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния толстостенного наследственно упруго-пластического шара при действии внутреннего давления изменяющегося по закону пульсирующих циклов, с использованием решения аналогичной задачи при первом нагружении.
ЛИТЕРАТУРА
1. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций / Москва.- Наука.- 1981.-С.344-375.
