CC BY
29
УДК 539.3
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСЛОЙНОЙ КОМПОЗИТНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ НАЛИЧИИ
МЕЖСЛОЕВЫХ ДЕФЕКТОВ
А.Л. Медведский, М.И. Мартиросов, А.В. Хомченко
Представлены результаты решения задачи, моделирующей поведение плоской прямоугольной многослойной композитной пластины при наличии эллиптического межслоевого расслоения под действием динамических нагрузок.
Ключевые слова: межслоевой дефект, композитная пластина, динамическое воздействие, численное моделирование.
Поведение многослойных композитных пластин и панелей под действием динамических нагрузок при наличии межслоевого расслоения является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела [1-5]. В качестве внешнего воздействия могут быть рассмотрены нестационарные акустические поля давления, индуцированные набегающим потоком, а также воздействие акустического шума, излучаемого волнами неустойчивости.
Указанные межслоевые расслоения являются технологическими дефектами, либо возникают в процессе эксплуатации конструкции (например, в результате удара) причем форма расслоения в плане достаточно произвольная [6-10].
1. Постановка задачи. Рассмотрим прямоугольную плоскую пластину длиной а и шириной Ь (рис.1).
Рис. 1. Прямоугольная слоистая пластина
Пластина представляет собой многослойную конструкцию, состоящую из п слоев, каждый из которых изготовлен из однородного упругого ортотропного материала с упругими характеристиками: Ех - модуль упругости в направлении оси х, Е2 - модуль упругости в направлении оси у, С - модуль сдвига в плоскости пластины, )11 и )12 - коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие в направлениях х и у соответственно.
Уравнение движения каждого слоя в рамках гипотезы Кирхгофа имеет вид [11]:
рк
д2 w nдw , ч , ч
э^+р_э7= ог< (^+р (х •у'1);
_д4 дх4
д4
^ = + 2А дх^2
+ В,
2 ду4
(1)
где р - плотность материала пластины, к - толщина пластины, w -нормальное перемещение срединной поверхности пластины, р - полное давление, р - коэффициент, описывающий диссипацию энергии.
В уравнение (1) введены следующие жёсткостные параметры для ортотропной пластины:
Е к3
Е-; (I = 1,2), Вз = Вт 2 + 2 Вк;
(2)
В = ■
12(1 "М# 2)
Вк = о
12
где В - изгибная жёсткость в направлении х и у, Вк - крутильная жёсткость. Отметим также, что В1т2 = В2т1.
Предполагается, что между определёнными слоями находится расслоение (рис.2), в общем случае произвольной формы. При решении задачи необходимо учитывать условия одностороннего контакта для области Ц [12,13].
1 -ый слой
|-ый слой
а
У
Область расслоения
О
X
Рис. 2. Область расслоения
В области а2 (рис.2) слои находятся в условиях жёсткого сцепления, что предполагает равенства прогибов и углов поворота (эти условия также справедливы для областей других слоёв пластины, в которых отсутствуют расслоения):
а
dw dw dw +1
м. = W■ ,; —- = —-—; —- = —-—; - = 1,...,п — 1.
1 -+ ' dx dx ' dy dy
где - - номер слоя.
Граничные условия на контуре пластины имеют вид: - жёсткое защемление
(3)
м|х=0=0; м|х=а = 0; м |у=о=0; м 1 у=ь =0;
шарнирное опирание
м|х=0 = 0; м|х=й = 0;
м | у=0=0; м | у=ь =0;
dw
dx dw
= 0; ^
х=0 ^
dx д2 w
= 0
dw
у=0
dy
0;
= 0.
(4)
у=Ь
дx2 2 м
= 0;
д 2м
x=0
' ду2
= 0;
д2
дx2
= 0;
д2
у=0
ду2
(5)
= 0.
у=Ь
Пластина находится под действием внешней нагрузки - давления
р = р( x, у, t).
Далее рассмотрим два случая нагружения пластины:
Случай 1. Стационарное поле давления, действующее на пластину:
Р = Р0( ^ у )е'ш. (6)
где со - циклическая частота; р0 - амплитуда.
Случай 2. Нестационарное поле давления:
р = Р0 (^ у, ()Н (Г). (7)
где Н (/) - функция Хэвисайда.
2. Пластина в поле стационарного давления. Применяя к (1) преобразование Фурье [14,15] по временной переменной Р.
/V = | /(с)в-^с /(©) = — | /(t)высЬ
(8)
где «~» обозначается трансформанта Фурье, а со -параметр преобразования.
Тогда в пространстве изображений Фурье уравнение движения пластины (далее знак «~» в трансформантах Фурье везде опущен):
—pha>2 w + ^ + Ьог1 (w) = iwp( x, у, с). (9)
Решение (9) с учётом условий (3) - (5) ищется с помощью разложения по собственным функциям wk оператора задачи Ъог1 [14,16], которые удовлетворяют следующей задаче на собственные значения:
^о* [ Щ Ъ^к.
к. 170
(10)
x=a
x=a
где wk - собственная функция оператора Lort, а 1k - соответствующее данной собственной функции собственное значение оператора Lort, спектр собственных функция предполагается не вырожденным.
В качестве числового примера рассмотрим плоскую прямоугольную пластину длиной a = 400 мм и шириной b = 200 мм (рис.3). Пластина имеет типовую укладку монослоёв [+457-4570790707-457+45°] (всего 7 слоёв), толщина монослоя 0,285 мм. Жёсткостные характеристики монослоя: E = 68,5 ГПа, E2 = 59,6 ГПа, G = 4,2 ГПа, ^ = 0,06, р = 1580
кг / м . Здесь и далее приведенные механические характеристики соответствуют режиму испытаний RTD (Root Temperature Dry) - испытания композитов при комнатной температуре +23 °С и влажности в состоянии поставки (состояние, в котором находятся образцы сразу после изготовления, содержание влаги в них не превышает 10% от максимального влагонасы-щения при относительной влажности 85%).
Предполагается, что расслоение имеет форму эллипса с осями e1 =
46 мм, e2 = 26 мм, центр эллипса совпадает с центром пластины
(рис.3). Расслоение расположено между слоями №4 (90°) и №5 (0°). Граничные условия на контуре пластины соответствуют жёсткому защемлению (4).
Рис. 3. Расслоение в форме эллипса между слоями №s4-5
Задача решалась методом конечных элементов с помощью программного комплекса Siemens FEMAP v11.4/NX Nastran [17,18]. Пластина моделируется конечными элементами типа Laminate, а моделирование одностороннего контакта в области межслоевого дефекта проводится с помощью элементов типа Gap.
На рис.4 показаны первые несколько форм свободных колебаний и соответствующие им частоты, характерные для «раскрытия» межслоевого дефекта.
Из рис.4 видно, что на определённых частотах свободных колебаний возникают формы, которые нехарактерны для пластины без дефектов.
171
На рис.5-6 представлены зависимости максимальных прогибов пластины в центре от частоты гармонического воздействия при наличии дефекта, так и при его отсутствии.
4009 Гц 5596 Гц
Рис. 4. Собственные формы и частоты, характерные для «раскрытия» расслоения (показана половина модели)
Частота, кГц
Рис. 5. Зависимость амплитуды от частоты (3 - 4,5 кГц)
172
Частота, кГц
Рис. 6. Зависимость амплитуды от частоты (4,5 - 8 кГц)
На рис.5-6 виден сдвиг АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) для пластины с дефектом, такое поведение связано с появлением нехарактерных для конструкции без дефекта форм «раскрытия» расслоения.
3. Пластина в поле нестационарного давления.
Далее рассматривалась задача поведения пластины при действии мгновенно приложенного равномерного давления на верхнюю поверхность пластины (7). Решение получено с помощью программного комплекса LS-DYNA с применением явной схемы интегрирования полной системы уравнений МКЭ (метод конечных элементов).
Геометрические параметры и жёсткостные характеристики материала описаны ранее. Материал монослоя имеет следующие прочностные характеристики: s11 = 800 МПа - предел прочности в направлении x при растяжении, s_11 = 835 МПа - предел прочности в направлении x при сжатии, s22 = 753 МПа предел прочности в направлении y при растяжении, s_22 = 794 МПа предел прочности в направлении y при сжатии, t12 = 97 МПа - предел прочности при сдвиге в плоскости.
На рис.7-14 показаны поля нормальных напряжений для моделей с расслоением и без расслоения при действии мгновенно приложенного равномерно распределенного давления с амплитудой p0 = 0,6МПа.
На рис.15-16 показаны формы разрушения обеих моделей, полученные по критерию Hashin[19]. Данный критерий позволяет оценивать прочность волокна и матрицы в композитном пакете раздельно друг от друга.
г = 0,8 мс
Слой №4 (90°)
У-э^евв 1.162е+02 1.104е+02 1.046е+02 9.881 е+01 9.300е+01 8.719е+01 8.137е+01 7.556е+01 6.975е+01 6.394е+01 5.812е+01 5.231 е+01 4.650е+01 4.069е+01 3.487е+01 2.906е+01 2.325е+01 1.744е+01 1.162е+01 5.812е+00 0.000е+00
1
Рис. 7. Нормальные напряжения вдоль оси У в пластинес
расслоением, Мпа
г = 0,8 мс
7.620е+01 7.239е+01 6.858е+01 6.477е+01 6.096е+01 5.715е+01 5.334е+01 4.953е+01 4.572е+01 4.191 е+01 3.810е+01 3.429е+01 3.048е+01 2.667е+01 2.286е+01 1.905е+01 1.524е+01 1.143е+01 7.620е+00 3.810е+00 0.000е+00
I
Рис. 8. Нормальные напряжения вдоль оси У в пластине
без расслоения, МПа
г = 0,8 мс
Х^геэв 1.333е+02 1.26864-02 1.204е+02 1.139е+02 1.075е+02 1.010е+02 9.456е+01 8.811е+01 8.165е+01 7.520е+01 6.874е*01 6.229е+01 5.583е+01 4.938е+01 4.293е+01 3.647е+01 3.002е+01 2.356е+01 1.711е+01 1.0666+01 4.202е+00
I
]
Рис. 9. Нормальные напряжения вдоль оси X в пластине
с расслоением, МПа
г = 0,8 мс
Слой №4 (90°)
Х-этезэ 1.333е*02
1.075е+02 1.011е+02 9.461е+01 8.816е+01 8.170е+01 7.525е+01 б.879е+01 6.234е+01 5.588е+01 4.943е+01 4.297е+01 3.652е+01 3.006е+01 2.361е+01 1.715е+01 1.070е+01 4.242е+00
1
Рис. 10. Нормальные напряжения вдоль оси X в пластине
без расслоения, МПа
г = 0,9 мс
Слой №4 (90°)
I
У-э^евв 1.821е+02 1.748е+02 1.675е+02 1.603е+02 1.530е+02 1.457е+02 1.384е+02 1.311е+02 1.238е+02 1.165е+02 1.093е+02 1.020е+02 9.469е+01 8.741 е+01 8.013е+01 7.284е+01 6.556е+01 5.827е+01 5.099е+01 4.370е+01 3.642е+01 2.914е+01 2.185е+01 1.457е+01 7.284е+00 0.000е+00
Рис. 11. Нормальные напряжения вдоль оси У в пластине
с расслоением, Мпа
г = 0,9 мс Слой №4 (90°)
№ 1§ ^
У-э^евв 1.820е+02 1.754е+02 1.687е+02 1.621е+02 1.554е+02 1.488е+02 1.422е+02 1.355е+02 1.289е+02 1.222е+02 1.156е+02 1.090е+02 1.023е+02 9.569е+01 8.905е+01 8.241 е+01 7.577е+01 6.913е+01 6.249е+01 5.585е+01 4.921 е+01 4.257е+01 3.593е+01 2.929е+01 2.265е+01 1.602е+01
;
Рис. 12. Нормальные напряжения вдоль оси У в пластине
без расслоения, МПа
г = 0,9 мс
Слой №4 (90°)
Х-зйтаз 2.323е+02 2.231 е+02 2.139е+02 2.047е+02 1.954е+02 1.862е+02 1.770е+02 1.678е+02 1.586е+02 1.494е+02 1.402е+02 1.310е+02 1.218е+02. 1.126е+02 1.034е+02 9.417е+01 8.497е+01 7.576е+01 6.656е+01 5.735е+01 4.814е+01 3.894е+01 2.973е+01 2.052е+01 1.132е+01 2.110е+00
1
Рис. 13. Нормальные напряжения вдоль оси X в пластине
с расслоением, Мпа
г = 0,9 мс
Слой №4 (90°)
Х-э^евв 2.285е+02 2.194е+02 2.104е+02 2.014е+02 1.923е+02 1.833е+02 1.743е+02 1.652е+02 1.562е+02 1.472е+02 1.381е+02 1.291е+02 1.200е+02 1.110е+02 1.020е+02 9.294е+01 8.390е+01 7.487е+01 6.583е+01 5.680е+01 4.776е+01 3.872е+01 2.969е+01 2.065е+01 1.162е+01 2.580е+00
Рис. 14. Нормальные напряжения вдоль оси X в пластине
без расслоения, МПа
г = 1,12 мс
Слой №4 (90°)
Рис. 15. Форма разрушения по критерию Hashin для модели с расслоением
176
Рис. 16. Форма разрушения по критерию Hashin для модели без расслоения
Из рис.15-16 видно, что в случае пластины с дефектом зона разрушения в слое №4 имеет большую площадь, чем в случае отсутствия расслоения.
Представленная в работе методика численного моделирования поведения плоской композитной пластины под действием динамических нагрузок позволяет учитывать наличие межслоевых дефектов при расчётах отклика конструкции на динамические нагрузки, что является актуальной задачей при проектировании конструкций из композиционных материалов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (кода проекта № 18-08-01153 А).
Список литературы
1. Вольмир А.С. Современные концепции применения композитных материалов в летательных аппаратах и двигателях // Механика композитных материалов, 1985, № 6. С. 1049-1056.
2. Лютцау В.Г., Махутов Н.А., Полилов А.Н. Проблемы и перспективы применения композиционных материалов в машиностроении. М.: Машиноведение, 1988, № 2. С. 3 - 11.
3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: МГУ, 1984. 336 с.
4. Карпов Я.С. Механика композиционных материалов. Харьков: ХАИ, 1997. 200 с.
5. Ишлинский А.Ю. Черный Г.Г. Прикладная механика композитов. М.: Мир, 1989. 360 с.
6. Heslehurst R.B. Defects and Damage in Composite Materials and Structures. CRC Press, 2014. 154 p.
7. Берлин А.А. Тополкараев В.А., Баженов С.Л. О влиянии расслоения на процесс разрушения композитов // Физические аспекты прогнозирования разрушения и деформирования гетерогенных материалов. Л.: Физ.-техн. ин-т им. Иоффе, 1987. С. 102-112.
8. Болотин В.В. Дефекты типа расслоений в конструкциях из композитных материалов // Механика композитных материалов. 1984. № 2. С. 239-255.
9. Болотин В.В. Разрушение композиционных материалов по типу отслоений // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1986. Вып. 27. С. 8-20.
10. Воронцов А.Н., Мурзаханов Г.Х., Щугорев В.Н. Разрушение конструкций из композитных материалов по типу расслоений // Механика композитных материалов. 1989. № 6. С. 1007-1023.
11. Бажанов В. Л. и др. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. М., Высшая школа, 1970. 408 с.
12. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти. М.: Наука, Физматлит, 1980. 304 с.
13. Горшков А.Г. Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука. Физматлит, 1995. 352 с.
14. Горшков А.Г. Медведский А.Л. Рабинский Л.Н. Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах: учеб. пособие для вузов. М.: Физматлит, 2004. 472 с.
15. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.
16. Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 408 с.
17. Рычков С.П. Моделирование конструкций в среде Femap with NX Nastran. М.: ДМК Пресс, 2013. 784 с.
18. Рудаков К.Н. Femap 10.2.0. Геометрическое и конечно-элементное моделирование конструкций. К.: КПИ, 2011. 317 с.
19. Hashin Z. Failure Criteria for Unidirectional Fiber Composites // Journal of Applied Mechanics, 1980. Vol. 47. P. 329-334.
Медведский Александр Леонидович, д-р физ.-мат. наук, доцент, mdv66@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Мартиросов Михаил Иванович, канд. техн. наук, доцент, vst@vst-st.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Хомченко Антон Васильевич, инженер-конструктор 1 категории, anton.homchenko@,irkut.com, Россия, Москва, ПАО «Научно-производственная корпорация «Иркут»
STRESSED-DEFORMED STATE OF LAMINETED COMPOSITE PLATE AT PRESENCE
INTERLAMINAR DEFECT
A.L. Medvedskiy, M.I. Martirosov, A.V. Khomchenko
The results of numerical simulation flat rectangular laminated composite plate at presence interlaminar elleptical defect under the action of dynamic load.
Key words: interlaminar defect, composite plate, dynamic load, numerical simulation.
Medvedskiy Aleksandr Leonidovich, doctor of physical and mathematical sciences, docent, mdv66@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Martirosov Mikhail Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, vst@vst-st.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Khomchenko Anton Vasilevich, design engineer 1 category, anton.homchenko@,irkut.com, Russia, Moscow, IRKUTCORPORATION
УДК 658.513
КОНКУРЕНТНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПАРТИЙ ЗАПУСКА В ПОЗАКАЗНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ
А.А. Саратов
Описывается реализованная в системе «САПФОРД» технология синтеза производственных расписаний дискретного позаказного производства машиностроительного завода. Предложен алгоритм расчёта размеров партий запуска.
Ключевые слова: производственное расписание, размер партий запуска, система «САПФОРД»
Современное промышленное производство по своей организации характеризуется всё большим преобладанием изготовления продукции на заказ. Позаказное производства обеспечивает сокращение объемов незавершенного производства и запасов, а, следовательно, и снижение себестоимости продукции. В то же время распространение такой организации производства требует решения проблем управления многономенклатурным производством, в частности согласования производственных циклов изделий, синхронизации производства и снабжения, а также оптимизации производственных расписаний.
