CC BY
29
The combined mechanical and thermal calculation of shallow spherical shells made of materials which properties depend on the type of stress has been considered with finite displacement. The effect of different resistance, connectedness and geometric nonlinearity on the stress-strain state of simply supported spherical shell made of constructional graphite AРВ has been estimated.
Key words: different resistant, geometric nonlinearity, connectedness, thermoelasticity, shell.
Delyagin Miknail Yurievich, postgraduate, m. delyaginayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Treschev Alexander Anatolievich, doctor of technical science, professor, the head of department, taa58ayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University.
УДК 539.3.
НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
МАТЕРИАЛА ШПИНДЕЛЯ ЗАТВОРА ТРУБОПРОВОДА ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
С.П. Судаков, И.В. Лопа, А.И. Ефимова
Моделируется распространение продольных волн нормальных напряжений в шпинделе затвора трубопровода из упруго - вязкопластического матерала при динамическом нагружении в результате гидравлического удара. Показано, что решение задачи чувствительно к изменению скорости деформации, не только количественно, но и качественно зависит от материала шпинделя и отражение переднего фронта волны от его торцев значительно изменяет напряженно - деформированное состояние материала.
Ключевые слова: продольные волны, шпиндель затвора, гидравлический удар, фронт волны, отражение, напряженно - деформированное состояние.
При определенной совокупности граничных условий в материале шпинделя затвора трубопровода генерируются и распространяются продольные волны нормальных напряжений. Например, при ударных нагрузках в результате быстрого перекрытия перемещаемого в трубопроводе потока необходимо учитывать волновой характер нагружения и определять соответствующее напряженно - деформированное состояние материала шпинделя [1]. Решение задачи строится в рамках гипотезы плоских сечений, что сводит процесс деформирования к распространению в материале шпинделя одномерных продольных волн, и напряженно-
деформированное состояние полностью описывается напряжением О и
деформацией £, являющимися функциями только координаты z и времени 1 Система уравнений, описывающая задачу, включает уравнение движения, условие неразрывности и определяющее соотношение:
где р - плотность материала шпинделя; V(z,t) - скорость частиц шпинделя в сечении z в момент времени ^ ф(о ,£) - функция, аппроксимирующая
свойства материала шпинделя.
В начальный момент времени материал шпинделя ненапряжен, не-деформирован и неподвижен: 0(1,0) = £р 0) = V(I 0)= 0. Граничные условия
описываются функцией: 0(0 , г) = Е(г), где ^(г) - наперед заданная функция.
Уравнения (1), начальные и граничные условия образуют полную и замкнутую систему уравнений относительно напряжений, деформаций и скорости частиц, однозначно и полностью описывающую напряженно-деформированное состояние материала шпинделя и распространение в нем падающих плоских продольных волн напряжений для любой точки до момента времени, соответствующего приходу в нее отраженной от свободного торца волны растяжения.
На рис. 1 изображена фазовая плоскость zot, зона I которой соответствует зоне распространения падающей волны напряжений сжатия. Прямая АВ является характеристическим направлением, вдоль которого распространяется фронт отраженной волны растяжения (причем он распространяется в предварительно неоднородно напряженном и деформированном материале) и одновременно принадлежит зоне II, напряженно-деформированное состояние в которой определяется интерференцией волн растяжения и сжатия. Напряжение на фронте отраженной волны разгружает сжатый материал по мере распространения фронта отраженной волны к нагружаемому торцу, и в случае, если амплитуда растягивающих напряжений больше, чем напряжение сжатия в падающей волне, происходит нагружение материала напряжением обратного знака.
Таким образом, особенностью зоны II являются в общем случае ненулевые начальные условия. Для получения решения в зоне II использовалась система (1) с начальными условиями, заданными вдоль прямой АВ, характеристики напряженно-деформированного состояния шпинделя вдоль которой определялись из решения в зоне I. При этом суммар-
(1)
Эг Эг
р Эе(г , г) Эо(г , г) р \
Е(£р,Т)—^—- = —^------ЧЕ(£р,Т)ф(о ,£)
Эг Эг
ное состояние на переднем фронте отраженной волны записывались так:
2 Ь - 2
а
- ХР
- Х11
2
2Ь - 2
а
+ X
С
2
2Ь - 2
а
(2)
V
где Хц - суммарное значение искомых величин на фронте отраженной
волны в результате ее взаимодействия с падающей волной; XР - амплитудное значение искомой величины, привносимое в рассматриваемую точку передним фронтом отраженной волны; X
С
I - соответствующим параметр состояния в рассматриваемой точке шпинделя до прихода в нее
Е
фронта отраженной волны; Ь - длина шпинделя; а = материале шпинделя.
Р
скорость звука в
Рис. 1. Фазовая плоскость гоі
В качестве граничного условия для зоны II принималось равенство напряжения на свободном торце шпинделя х = Ь нулю. Аналогичные рассуждения проводились и для последующих зон фазовой плоскости, причем решение в зоне IV эквивалентно решению в зоне II, а в зоне V совпадает с решением в зоне III и т.д.
Система (1) представляет собой систему квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа и, поэтому, ее целесообразно решать методом характеристик [2]. Дополним ее тождественными соотношениями для полных дифференциалов искомых функций:
, \ да(г, х) да(г, х)
ёО(г ,х)= ;т----ёг +--------ёх
дг дх
I ч де(г , X) де(г , X) (3)
ё£(г ,X)=—;т----ёг +--------ёх Ь ( )
дг дх
{ \ д¥(г , х) д¥(г , х)
ёУ (г , х )=— --ёг +--- ----ёх
дг дх
В результате получили систему шести линейных алгебраических
~ 1 да да д£ д£ дУ
уравнений (1) и (3) с неизвестными функциями: ^—, _^—, ^¡~, ^¡~, ^¡~,
дг дх дг дх дг дУ
-гг—. Потребуем, чтобы она имела бесконечное множество решений.
дх
Для этого необходимо, чтобы ее главный определитель равнялся нулю. Из этого условия получили три семейства уравнений характеристик: dz=0,
dz= ± adt. Чтобы решение вдоль характеристик было конечным необходимо рассмотреть равенство нулю других определителей системы. Для этого заменим последний столбец главного определителя соответствующими правыми частями уравнений (1), (3) и рассмотрим его равенство нулю.
Последовательно подставляя в полученное равенство уравнения характеристик, построим дифференциальные соотношения между искомыми функциями а ^Д), £ ^Д) и V(z,t): вдоль характеристик dz = 0:
d а ^Д) - Ed £ ^Д) + E Ф (а, £Щ = 0, (4)
вдоль характеристик dz = a dt:
dа ^Д) - a^dV(z,t) + E Ф (а,£^ = 0, (5)
вдоль характеристик dz = - a dt:
dа (z,t) + a pdV(z,t) + E Ф (а,£^ = 0, (6)
Таким образом, интегрирование квазилинейной системы дифференциальных уравнений гиперболического типа (1) при заданных начальных и граничных условиях сводится к интегрированию соотношений (4) - (6) вдоль соответствующих характеристических направлений.
Решение проводилось числено с использованием модифицированного метода Массо в основе которого лежит комбинация замены дифференциальных уравнений, связывающих искомые функции вдоль характеристических направлений, соответствующими конечно-разностными уравнениями и организации цикла итераций на каждом шаге численного интегрирования. Предполагается использование для решения жестко закрепленной в плоскости zot сетки, линии которой параллельны координатным осям фазовой плоскости. Такая расчетная схема позволяет строить решение последовательно в трех областях фазовой плоскости: на фронте падающей волны напряжений, на границе и во внутренней области, лежащей между границей и фронтом волны. Кроме того, она позволяет с ис-
пользованием (2) унифицировать расчет как для области распространения падающей волны, так и для области распространения отраженной волны напряжений.
При численных расчетах использовались два вида аппроксимирующей функции Ф (О, £):
СТ-/ (£)- М (£)
линейная Ф (О, £) =
степенная Ф (О, £) =
N (£)
О-1 (£)"
. Ь(£) _
а(е)
Анализировался материал шпинделя сталь 3. Обработка экспериментальных данных [2] для стали 3 методом наименьших квадратов привела к следующим аппроксимирующим зависимостям, входящих в структуру определяющих уравнений:
/(£) =241 + 2196£ [МПа], М(£)= 266 - 103£ [МПа],
N (£) = 0.193 + 0.17 £ [МПа * с], Д£)= 98.1 - 232£, а(£) = 5 - 7£.
Результаты расчетов представлены на рис. 2 - 5.
Рисунок 2 иллюстрирует распределение скорости частиц в материале шпинделя при О(0, /) = 320 МПа , Ь = 1,5 * 10-2 м в различные фиксированные моменты времени: кривая 1 - при 1=3*10"6 с, кривая 2 - при 1 = 6 * 10-6 с,кривая 3 - при 1 = 9 * 10-6 с, кривая 4 - при 1 = 12 * 10-6 с. Выбранный интервал времен соответствует времени прохождения фронтом волны всей длины шпинделя. Видно, что после прохождения падающей волны сжатия скорость частиц распределена по длине шпинделя крайне неравномерно и быстро убывает по мере удаления от нагружаемой поверхности. Последующие отражения волн от обоих поверхностей шпинделя приводят к перераспределению скорости по длине, причем существует устойчивая тенденция к выравниванию значений скорости.
Рис. 2. Распределение скорости частиц материала шпинделя в фиксированные моменты времени
324
На рис. 3 изображены моментные снимки профилей волн напряжений при тех же условиях. Видно, что выводы, сделанные для распределения скорости по длине шпинделя, справедливы и для распределения напряжения. Однако, в отличие от скорости, падение напряжения на поверхности 2=0 весьма существенно.
а
о з 6 э г,* юм
Рис. 3. Моментные снимки профилей волн напряжений в различные
моменты времени
На рис. 4 представлено распределение скорости частиц при рассмотренных ранее исходных данных в момент времени 1 = 3 * 10"6 с для различных ударных давлений, при которых скорости движения граничной поверхности: кривая 1 при У0=150 м/с, кривая 2 -У0=100 м/с, кривая 3 -У0=50 м/с. Видно, что влияние ударного потока существенно вблизи нагружаемой поверхности. По мере удаления от нее разница быстро уменьшается. К тому же, уменьшение скорости граничной поверхности при больших ударных давлениях происходит быстрее, что можно объяснить повышением сопротивляемости материала при увеличении динамичности воздействия. Говоря другими словами, налицо влияние скорости деформации на напряженно - деформированное состояние.
V
0 3 6 9 2* Юм
Рис. 4. Распределение скорости частиц материала шпинделя при различных ударных давлениях в фиксированные моменты времени
Таким образом, показано, что решение задачи чувствительно к изменению скорости деформации, не только количественно, но и качественно зависит от материала шпинделя и отражение переднего фронта волны от торцев шпинделя значительно изменяет напряженно - деформированное состояние материала.
Список литературы
1. Лопа И.В., Патрикова Т.С., Ефимова А.И. Поперечный изгиб винта с учетом изменения момента инерции по его длине.// Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С. 241-245.
2. Баранов В.Л., Лопа И.В., Чивиков З.Ч., Симеонов П.С. Устойчивость ударно нагруженных стержней. Тула: ТулГУ. 1997. 128 с.
Судаков Сергей Павлович, канд. техн. наук, доц., pmdm@,tsu. tula.ru Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Лопа Игорь Васильевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ефимова Анна Игоревна, асп., pmdm@,tsu. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
STRESS - STRAIN STATE OF THE MATERIAL SPINDLE SHUTTER PIPELINE UNDER
DYNAMIC LOADING
S.P. Sudakov, I. V. Lopa, A.I. Efimova
Simulated the propagation of longitudinal waves of the normal stresses in the spindle shutter pipeline of elastic - viscoplastic material when dynamically loading as a result of water hammer. It is shown that the solution of the problem is sensitive to the change of the velocity of deformation, not only quantitatively but qualitatively depends on a material spindle and the reflection of the front of the wave front from its ends significantly modifies the stress -strain state of the material.
Key words: longitudinal waves, spindle shutter, water hammer, front of the wave, reflection, stress - strain state.
Sudakov Sergej Pavlovich, candidate of technical Sciences, associate Professor, pmdm@,tsu. tula. ru, Russia, Tula, Tula state University,
Lopa Igor Vasil'evich, doctor of technical Sciences, Professor, [email protected] Russia, Tula, Tula state University,
Efimova Anna Igorevna, postgraduate, pmdm@tsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula state University
