Напряженно-деформированное остояние полосы переменной толщины, ослабленной трещиной с концевыми пластическимизонами при неравномерном нагреве Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 75-87

^ Механика ^

УДК 539.374

Напряженно-деформированное состояние

о /•' о

полосы переменной толщины, ослабленной трещиной с концевыми пластическими зонами при неравномерном нагреве

М. В. Грязев, М. В. Мирсалимов

Аннотация. Рассматривается неравномерный нагрев полосы (стержня) переменной толщины, ослабленной сквозной прямолинейной трещиной с концевыми пластическими зонами. Считается, что полоса с нецентрально расположенной трещиной подвергается неравномерному нагреву по ширине поперечного сечения. Исследовано влияние переменности толщины стержня и пластических деформаций на развитие трещины.

Ключевые слова: полоса переменной толщины, неравномерный нагрев, трещина с концевыми пластическими зонами.

Полосы (стержни) переменной толщины нашли широкое применение в технике. Это вызвано, в частности тем, что изделия требуемых свойств чаще всего можно получить с помощью изменения их толщины.

Рассмотрим однородную изотропную полосу (стержень) переменной толщины, ослабленную сквозной прямолинейной трещиной, направленной перпендикулярно к боковым граням полосы (рис. 1).

Рис. 1. Полоса с трещиной

Обозначим через 2с и 2 Н соответственно ширину и толщину полосы, а через 2£ длину трещины. Пусть полоса с нецентрально расположенной трещиной подвергается неравномерному нагреву по ширине попе-

речного сечения. Будем считать, что температура является только функцией х и не зависит от других координат. Материал полосы считается упруго-идеальнопластическим, удовлетворяющим условию пластичности Треска-Сен-Венана.

При рассмотрении задачи будем использовать прямолинейную систему декартовых координат ж0у, считая что декартовы координаты ж, у в срединной плоскости полосы являются плоскостью симметрии и в плоскости ж0у трещина расположена вдоль оси 0ж при а ^ ж ^ Ь, где а, Ь — абсциссы концов трещины.

Полоса переменной толщины с трещиной находится под воздействием неравномерного температурного поля. Под действием температурных напряжений, вызванных неравномерным нагревом, в кончиках трещины будут возникать зоны пластических деформаций. Рассмотрим задачу о начальном развитии пластических деформаций в кончиках трещины. Исследование напряженного состояния в рассматриваемой полосе (стержне) в упругой постановке, показывает [1], что первые зоны пластических деформаций следует ожидать на продолжении линии трещины.

На основании расчетной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла пластическая область будет представлять собой узкий слой на продолжении трещины.

Как показывают многочисленные опыты, пластические зоны будут представлять в этих случаях отрезки длины (1\ = а1 — а и ¿2 = Ь\ — Ь, расположенные на продолжении трещины. Полагаем, что толщина полосы 2Л(ж, у) удовлетворяет условиям 0 < ^1 ^ Л(ж, у) ^ Л-2, где Л4 и ^2 — наименьшее и наибольшее значение толщины полосы, соответственно.

Функция толщины может быть представлена в виде [1]

Л(ж, у) = Ло [1 + еЛ(ж,у)] ,

где Л0 = (Л1 + Л2)/2; е = (Л2 — Л1)/(Л2 + Л1) — малый параметр; Л(ж, у) — некоторая известная безразмерная непрерывная функция, (—1 ^ Л(ж, у) ^ 1). При заданном законе изменения толщины е будет постоянным.

Берега трещины считаются свободными от внешних нагрузок. Грани полосы, параллельные плоскости ж0у, приняты свободными от внешних напряжений.

Рассматриваемая задача заключается в определении напряженно-деформированного состояния стержня, а также в нахождении предельной интенсивности неравномерного нагрева, по достижении которой произойдет рост трещины.

Граничные условия в рассматриваемой задаче имеют вид

Ыу (ж, 0) = 0; Ыху (ж, 0) = 0 при у = 0, а ^ ж ^ Ь, (1)

Ыу (ж, 0) = Ж5; Ыху (ж, 0) = 0 при у = 0, а1 ^ ж ^ а и Ь ^ ж ^ Ь1.

Решение системы уравнений статического деформирования полосы ищем в виде разложений по малому параметру [2, 3].

Согласно методу возмущений граничные условия упругопластической задачи принимают соответственно вид:

Ыуо) (ж, 0) = 0; Ыу) (ж, 0) = 0 при у = 0, а ^ ж ^ Ь, (2)

ЫУ0) (ж, 0) = N5; Ыу) (ж, 0) = 0 при у = 0, а0 ^ ж ^ а, Ь ^ ж ^ Ь0, для первого приближения

N = 0; ЫХу = 0 при у = 0, а ^ ж ^ Ь, (3)

N = — ; ЫХу = 0 при у = 0, а1 ^ ж ^ а, Ь ^ ж ^ Ь1.

Здесь при выводе уравнений первого приближения были приняты обо-

значения

N = ЫХ1) — ЫХ0); ЫХ0) = Л(ж,у)ыХ0); N =

N1 = Л(ж,у)Ыу0); Ж*у = Ж(у) — Ж(у); Я« = Л(ж, у)^.

Напряженно-деформированное состояние в окрестности трещины с концевыми пластическими зонами определяем приближенно в том смысле [4], что будем удовлетворять граничным условиям задаче на контуре трещины и зонах пластичности (условиям (2) и (3)), и требовать, чтобы на значительном расстоянии от трещины с концевыми пластическими зонами напряженное состояние в стержне совпадало с термонапряженным состоянием, вызванным неравномерным нагревом для бездефектной сплошной полосы.

Вначале найдем решение задачи в нулевом приближении. Искомое напряженное состояние в нулевом приближении представим в виде

N(0) = N(0) + N(0); N(0) = N(0) + N(0); N(0) = N(0) + N(0) (4)

±Уу ут у1 ’ Х ±УХ Т Х1 > ^’ху ±УХ ут ху1 * \^/

Здесь №), N(Т), N(уТ — соответственно нормальные и сдвигающие усилия, приходящиеся на единицу длины, в сплошной бездефектной полосе

лг(0) лг(0) лг(0)

и вызванной неравномерным нагревом; ^у/, NХ/, NХу1 — соответственно усилия, приходящиеся на единицу длины, вызванные наличием трещины в полосе.

На основании граничных условий (2) и (4) граничное условие (2) задачи в нулевом приближении примет следующий вид:

N1^ = —Nг(0); N^1 =0 при у = 0, а < ж < Ь, (5)

= N5 — N.(У1 = 0 при у = 0, а0 < ж < а, Ь < ж < Ь0.

На основании граничных условий (5) для нахождения комплексных потенциалов $0(^) и Ф0(я) нулевого приближения получим следующую краевую задачу:

Ф0 (ж) + Ф0 (ж) + жФ;0 (ж) + Ф0 (ж) = /0(ж) при у = 0, а ^ ж ^ Ь, (6)

Ф0 (ж) + Ф0 (ж) + жФ;0 (ж) + Ф0 (ж) = + /0 (ж)

при у = 0, ао ^ х ^ а, Ь ^ х ^ Ьо,

где

1 /'с 3х /'с

/0(х) = аЕТ(х) — — I аЕТ(х)^х—I аЕТ(х)х^х. (7)

Введем новую аналитическую функцию ^о(^) = ^ФО(^) + Фо(г). Для определения аналитических функций Фо(^) и ^о(^) на основании граничных условий получим следующую краевую задачу:

Фо (ж) + Фо (ж) + fio (ж) = /о(ж) при y = 0, a ^ x ^ b, (8)

Фо (ж) + Фо (ж) + ^о (ж) = + /о(ж) при y = 0, ao ^ x ^ a, b ^ ж ^ bo.

Так как напряжения в упруго-идеальнопластическом теле ограничены, то решение краевой задачи (8) следует искать в классе всюду ограниченных функций. Теперь заметим, что в силу условий симметрии относительно оси ж функция /о(ж) действительна, поэтому на основании (8) на всей действительной оси будет Imfio(z) = 0.

Следовательно, учитывая еще условия на значительном расстоянии от трещины с пластическими зонами (на бесконечности), находим

По(*) = 0. (9)

Таким образом, на основании (9) для функции Фо(^) получаем задачу

Дирихле

при y = 0, a ^ ж ^ b КеФо(г) = /о(ж)/2, (10)

при y = 0, ао ^ ж ^ a, b ^ ж ^ Ьо ИеФо(^) = (as + /о(ж))/2, при z ^ то Фо (z) ^ 0.

Краевой задаче (10) соответствует [4] следующая задача линейного сопряжения:

Ф+(ж) + Ф0 (ж) = /о (ж) на a ^ ж ^ b, (11)

Ф+(ж) + Ф0(ж) = + /о(ж) на a0 ^ ж ^ a и b ^ ж ^ Ьо.

Искомое решение задачи (11) запишется в следующем виде:

Ф,) = Ьо) fb° Fo * (ж)^ж (12)

о 2ni Jao ж - z ’

где

F* (ж) = /о(ж) на a < ж < b,

у (ж - ao) (ж - Ьо)

ew \ + /о (ж) , ,

Fo * (ж) = w , ч на ao < ж < a и b < ж < Ьо.

V (ж - ao) (ж - Ьо)

Интеграл в (11) представим в виде

фо = ^- ^- ^о) | &■ /оМЧх ^ + (13)

иао \/(ж - ао)(ж - 6о)(ж - г)

+ Га ¿ж + ГЬо ¿ж ^

5,/ао \/ (ж - ао)(ж - Ьо)(ж - г) 5 Л \/(ж - ао)(ж - Ьо) (ж - г)/

Размеры концевых зон (пластических деформаций) в нулевом приближении определяются из условия разрешимости краевой задачи (условия ограниченности напряжений в кончиках трещины):

ГЬо /о(ж)^ж + Га ¿ж + ГЬо ¿ж _п

Ло у/(ж - ао)(ж - Ьо) чАо \/(ж - ао)(ж - Ьо) Л \/(ж - ао)(ж - Ьо) ] ’

(14)

1'Ьо ж/о(ж)^ж + ['а ж^ж + 1'Ьо ж^ж 0

Ло л/(ж - ао)(ж - Ьо) 5 []а^(ж - ао)(ж - Ьо) Л \/(ж - ао)(ж - Ьо) ]

Система уравнений (14) позволяет определить неизвестные параметры ао и Ьо, а тем самым размеры концевых зон пластических деформаций на продолжении трещины. Зная решение упругопластической задачи в нулевом приближении, находим компоненты усилий ^Уо), жХ^. Затем по формулам _ _ _ _

х = +"8)| * = + «I (15)

находим компоненты объемной силы в первом приближении. При наличии объемных сил (15) искомые усилия в первом приближении представляем в виде суммы

N * ) = N1) + + ж«; *) = + ЖУ1) + (16)

N ( * ) = ж(1) + ж(1) + ж(1)

^*Х у Х УТ 1 Х V* 1 Х У1 )

где NХР, Жу^, N— частное решение уравнений плоской теории упру-

іу "іут ' "іу, 1 "'іуі>

) іа^іпис рсшспис

гости при наличии объемной силы (15); Жу^, N^1 — общее решение

уравнений плоской теории упругости в первом приближении при отсутствии объемных сил; Ж^у, Жу^, — усилия в сплошной полосе при отсутствии

трещины и вызванной неравномерным нагревом в первом приближении.

На основании общих представлений [2, 3] для определения комплексных потенциалов Фі(-г) и Фі(г) первого приближения получаем следующую граничную задачу:

Ф1 (ж) + Ф1 (ж) + жФІ (ж) + Ф1 (ж) = /1 (ж) + зі (ж) при у = 0, а < ж < Ь,

______ _ (17)

Ф1 (ж) + Ф1 (ж) + жФ1 (ж) + Ф1 (ж) = -Л,(ж, 0)а5 + /1 (ж) + 31 (ж)

при y = 0, ai ^ x ^ a и b ^ x ^ bi,

где c c

gi(x) = — -7° / aET(x)h(x)dx+2h°X f aET(x)hxdx, (18)

F J—c J—c

1 D dFi 1 f dF\ dQi ^ n

/i(x)=(T+^) Re "аТ — 2(ГТК°) (, ÜT — при y = a

Здесь функции Fi (z,z) и Qi (z,z) определяются согласно формулам Fi(z,z) = J dz j F(z,z)dz; Qi(z,z) = J dz j F(z,z)dz. (19)

Так как напряжения в упруго-идеальнопластической полосе ограничены, то решение краевой задачи (17) следует искать в классе всюду ограниченных функций.

Искомое решение задачи (17) запишется в виде

V(z — ai)(z — bi) Л rMxlíx, ni(z) = Oi(z). (20)

2п Jai x — z

Здесь

P I 4 F2 (x)

FiH,(x) = --- на a < x < b,

V (x — ai) (x — bi)

ТГ ¡ \ F2(x) — h(x)cs

FiH,(x) = на ai ^ x ^ a и b ^ x ^ bi,

V (x — ai) (x — bi)

F2(x) = fi (x) + gi(x) на ai ^ x ^ bi.

Интеграл в (20) представим в виде

ф (z) = V(z — ai)(z — bi) í ibl F2(x)dx____________(21)

i 2ni \ Ja1 a/(x — ai)(x — bi)(x — z)

fa h(x, 0)dx fbl h(x, 0)dx

— Cs I —/-------------------------- —Cs I —/--------------------------

Jai v(x — ai)(x — bi)(x — z) Jb v(x — ai)(x — bi)(x — z)

Неизвестные параметры ai и bi, характеризующие размер зон пластических деформаций, определяются из условий разрешимости краевой задачи в первом приближении (условия ограниченности напряжений в окрестности

— Cs I =0,

(22)

— Cs [ / + I -.-у-,-,— =0.

a/(x — ai)(x — bi) Jb v(x — ai)(x — bi).

кончиков трещины):

/■ bl F2(x)dx

al a/(x — ai)(x — bi)

r bi xF2(x)dx

al ( x 1 а 1 o-

Система нелинейных уравнений (22) позволяет определить параметры ах и &1, а тем самым размеры концевых зон пластических деформаций на продолжении трещины в первом приближении.

Для определения напряжений и смещений в стержне, а также размеров концевых зон пластических деформаций необходимо задать законы изменения толщины и распределения температуры в стержне.

При известных законах изменения толщины и температурного поля стержня система уравнений (22) решается численно методом итераций. Преобразуем системы уравнений (14) и (22) к виду удобному для численного решения.

Переходя к безразмерным переменным в интегралах и заменяя интегралы квадратурными формулами, системы уравнений (14) и (22) приведем к следующему виду:

м ( м Л

м

. Ьо — Ь 1

г

=1 V (*Г - ао) (¿г - м

м ( м

м 5«»га * =- ъ-щг-агхтв *

м

, Ьо — Ь

г

м Г=1 V (*г — ао) (*г — Ьо)

п Р ! ^ ( а1 — а h (¿г)

77 > ^2 (Жто) — ^- . . = +

м Г=1 I М г=1 \/ (^г — а1) (^г — Ь1)

+ Ь1 — Ь ^ ^ (^Г) \ =0 (24)

М Г=1 V (^Г — а1) ОГ — Ь1) / ’

П м х Р2 (х ) _ . ( а1 — а ^(^г)__________________+

Л /Г / 2 (Хг ) . 5 Л л /г / П-ТТ-^ г +

м г=1 I М г=1 V (^г — а1)(^г — Ь1)

+ Ь1— Ь ^(0___________________________1=о

м 1=1 V (¿Г — а1)(^Г — Ь0

г=

Здесь отрезок интегрирования [-1, 1] разбивался на М равных ячеек. Для первых интегралов в уравнениях (14) и (22) в качестве узлов выбирались

0

чебышевские узлы, а для остальных интегралов в (22) в качестве узлов брались центры ячеек, имеющие координаты

,о _ Ьо + ао . Ьо — ао _о ;

¿г 2 + 2

_ Ь1 + а1 . Ь1 — а1 _ о ;

хг п + 2 Тто;

ао * а а — ао

¿г _ о 1 о Т?

гг

¿г ----

2

а1 * а а — а1

(25)

2

1 Ь1 * Ь Ь1 — Ь

_ —----------1-----— т

2

г ''то

* _ Ь + Ьо , Ьо — Ь

2

*

*

(м + 0,5 — т) о 2т — 1 ( 1 2 м)

тг _ ------------------—-; тг _ соя ^ л ж п (т _ 1, 2,...,М).

м

2м

Окончательно находим

N _ жХ°) [1 + ей(х, у)] + еЖ*; N _ N5°) [1 + ей(х, у)] + еЖу; (26)

Жху _ ЖХУ) [1 + еЛ,(х, у) + еЖ*у; и _ ио + еи1; и _ ио + еи1;

’Жу>

¿1 _ (ао — а) + е (а1 — а); ¿2 _ (Ьо — Ь) + е (Ь1 — Ь).

Предельное состояние полосы. Для определения предельного состояния полосы переменной толщины при неравномерном нагреве используем в качестве критерия хрупкого разрушения критерий критического раскрытия трещины. Согласно этому критерию [5], трещина начнет распространяться, как только ее раскрытие в вершине достигнет предельного (для данного материала при заданных условиях) значения ¿с:

2и* _ ¿с. (27)

Здесь 2и * — расстояние между противоположными берегами трещины в ее конце трещины (у основания пластической зоны).

Используя решение упругопластической задачи, вычислим смещение и пластической линии скольжения (при у _ 0, а + ¿1 < х < а и Ь ^ х ^ Ь + ¿2):

ио + еи1,

1 + ко [ь° /о(^Г(¿,х)^ 1 + ко

(о)/

ио _

Хо(4)

га ^2(о)(£,х)^ ('Ьо .Р2(о)(£,х)^

Хо(4)

Хо (¿)

1 + ко 4п^

-.5

и1

1 + ко 1'Ь1 .Р2(£)^2(1)(£,х)Л:

'®1

Х1(*)

^(¿, 0)^2(1)(£, х)^ [ь1 ^(¿, 0)^21'1 (¿, х)^

(1)

Х^)

+

Х1(*)

Здесь

Хо(¿) _ л/(Ьо — ¿)(* — ао), Х1 (¿) _ ¿)(1—а1),

^2(о)(^,х) _Хо(х)+ -Хо(^) 1п

Хо (¿) — Хо(х) Хо (¿) + Хо(х),

г

г

и

ь

а

ь

^2(1)(;£,х) _ Х1(х) + -Хт(£)1п

Х1 (¿) — Х1(х)

2и* _

Х1 (¿) + Х1(х)' Раскрытие трещины в ее конце при х _ Ь будет равно

2и * _ 2ио + 2еи1,

Ьо /офК^Ь)^

1 + ко 2п^

/ао

Хо(^)

+ . 5

а К2(о)(£, Ь)^ ГЬо К2(о)(;£,Ь)^

ао

Хо(^)

+

Хо (¿)

+

(1 + ко) е [ ГЬ1

.5

2п^ [Ли

^(¿, 0)К2(1)(£,

+

Х^)

ГЬ1 % 0)К2(1)(£, , Х^)

(28)

Аналогично определяется раскрытие трещины в ее конце при х _ а. Для определения критического теплового состояния, вызывающего рост трещины при х _ Ь, на основании соотношений (27) и (28), получаем следующее уравнение:

гЬо /о^К^Ь)^

Ло

Хо (¿)

+ . 5

га к2(о)(г,Ь)^ [Ьо к2(о)(^,

Хо (¿)

+

Хо(4)

+

+

.5

4^ ( ГЬ1 К(¿)К2(1)^Ь)^ пЕ I .1а1 (1)

^¿, 0)К^ (¿,Ь)^ + Л

Х1(*) +л

Х^)

^(¿, 0)К2(1)(£,

(29)

Х^)

_ ¿с.

Аналогично для определения критического теплового состояния, вызывающего развития трещины при х _ а, на основании критерия (27) получаем следующее уравнение:

^ Г Л /о(^)Кги;(М)^

(о)

пЕ

ао

Хо(^)

+ . 5

К2(о) (¿, а)^ [Ьо К2(о) (¿, а)^

ао

Хо (¿) (1)

+

Хо(^)

+

4е ( Г1 К2(¿)К2 '(¿, а)^

+ ПЕ\Уа1

(30)

.5

^(¿, 0)К2(1)(£, а)^ I"Ь1

ХТй + Л

^(¿, 0)К2(1)(£, а)^

ВД)

_ ¿с

Преобразуем полученные уравнения (31) и (30) к виду, удобному для численного решения на компьютере. Переходя к безразмерным переменным в

Ь

а

Ь

а

а

Ь

а

интегралах и заменяя интегралы квадратурными формулами, уравнение (29) приведем к следующему виду:

4

м

ЕМ

£М Хй р(0) (ХМ +

т=1

2^

пЕМ

(я0 — я)

М Р>(0)(*т,6)

2 (6т?

і Х0(Іт) т=1 4 '

+

(31)

м

+ (Ь0- 6) Е +є{ ем £ р2 (Х”") р(1) (Х™6)

2^

пЕМ

М К (іт) Е2(1) (¡т,6)

М т

т=1

Х1 (¡т)

+ (6, - 6)£

к ю р(1) (¡т.*)

т=1

Х1 (¡т)

Аналогично поступая с уравнением (30), получаем 4 м

ЕМ

Е /0 о® р2(0^ хт),я) +

т=1

2^

пЕМ

2 (¡т.

\ Х0(Іт) т=1 4 '

= ¿с.

(32)

М Р (0)(/1 я)

+(60- 6) £ іщтг

т=

м

+ є

т=1

2а^

пЕМ

Здесь

0 Я0 + 60 ,*0 — Я0 0

р —------+ ----т •

2т

Х1 (¡т)

( Л М

| Ем ^ Р2 (хт) р2(1) (хт. я) -

^ т=1

М

К61 - 6)Е

К (*т) Р2<1) ^„„ЯІ Д К (іт) р(1) (*т.“)

т=1

Х1 (¡т)

= ¿с.

2

я1 + я я - я1

¡т — “ + “ Т

Хт —

61 + Я1 61 - Я1 0 0 2т - 1

2 + 2 Тт ’ Тт — С0^-^М-

п;

2

т; ¡т

1 — 61 + 6 + 61 - 6Тт; Тт — (М + 0,5 - т)/М.

2

Полученные уравнения (31) и (32) дают возможность при заданных характеристиках материала найти критическое тепловое состояние, при котором происходит рост трещины.

На рис. 2 представлены графики зависимости размеров зоны пластических деформаций ё — (61 - 6)/2с от безразмерного температурного фактора воздействия в* для стержня с толщиной изменяющей по линейному закону при различных длинах трещины £ * — £/2с — 0, 05; 0,10; 0,15 (кривые 1-3).

В расчетах было принято, что V — 0, 3; М — 30; є — 0,15.

Докритический рост трещины. Опыт показывает, что перед наступлением критического состояния равновесия трещины в полосах из упруго-пластического материала, почти всегда наблюдается стадия медленного устойчивого докритического роста. Стадии докритического развития трещины придается большое значение.

Для рассматриваемой задачи описание докритического роста трещины проведем с помощью обобщенной ¿с-теории.

0,06

0,05

0,04

Л-Й-Ь)/2е

1 1 . = 0,15

1 I I /

3 / 2 /1 /

/ //

/

У

0,2

0,4

0,6

Д =a£TJa

Рис. 2. Графики зависимостей d(/3*)

Согласно обобщенной ¿с-теории Е.М.Морозова [5] уравнение докрити-ческой диаграммы разрушения (зависимость тепловой нагрузки от длины устойчивой трещины) находится из условия

2у* — 5 с

1 -

£fc - £ £fc - £о

(33)

где — Іо (2 - exp (-£о)); Іо — A0; І — A; A — ; ^О — (b - а) - начальная

длина трещины.

Используя критерий (33), окончательно получаем следующее уравнение:

пЕ{.

гь0 /о(г)Е2(0)(г,ь)^

Хо (t)

+

F2W(t,b)dt Гbo F2W(t,b)dt'

Хо(і)

+

Хо(і)

+ (34)

+

4£ ґ Гbl F2(t)F2(1)(t,b)dt

_

nE

(1)

Оі

Xi(t)

h(t, 0)F^') (t, b)dt + fbl h(t, 0)F2(1)(t, b)dt

Оі

Xi (t)

— 5c.

Xi(t)

1

£fc - £ 6 - £о

2n

Аналогично получаем уравнение, описывающее докритический рост трещины со стороны вершины х = а.

Для численного решения уравнение (34) приведем к виду, аналогичному (31):

4

M

EM S

m=1

/о (x^) Ff (xm,b) +

2as

nEM

(ао - а)

Л Fj^b)

m=iХо (tm)

+

(35)

2

О

b

О

b

X

Аналогично получаем уравнение, описывающее докритическое развитие трещины с вершины х = а:

Решая (35) или (36) совместно с системой (14) и (22) при заданном законе изменения толщины полосы и известном распределении температуры численно методом итерации, получим диаграмму докритического разрушения.

1. Мирсалимов М.В. Решение задачи механики разрушения для полосы переменной толщины // Изв. ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2006. Т. 1. Вып. 2. С. 241-247.

2. Грязев М.В., Мирсалимов М.В. Предельно-равновесное состояние полосы переменной толщины при наличии трещины с пластическими концевыми зонами // Изв. ТулГУ. Сер. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. 2006. Вып. 2. С. 13-24.

3. Мирсалимов М.В. Контактное взаимодействие берегов трещины при изгибе полосы переменной толщины // Механика машин, механизмов и материалов.

2007. № 1. С. 56-59.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

5. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1985. 504 с.

Список литературы

Грязев Михаил Васильевич, д. т. н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Мирсалимов Мир Ахмед Керим Вагиф оглы (a-mirsalimov@yandex.ru), к. ф.-м.н., технический директор, компания «Учтено».

The stress-strain state of the band of the variable thickness weakened by the crack with end plastic zones at non-uniform heating

M.V. Gryazev, M.V. Mirsalimov

Abstract. Non-uniform heating a band (core) of the variable thickness weakened by a through rectilinear crack with end plastic zones is considered. It is considered, that the band with off-center position the located crack is exposed to non-uniform heating on width of cross section. Influence of changeability of thickness of a core and plastic deformations on development of a crack is investigated.

Keywords: band of variable thickness, non-uniform heating, crack with end plastic zones.

Gryazev Mikhail, doctor of technical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Mirsalimov Mir Akhmed Kerim (a-mirsalimov@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, technical director, «Uchteno» Co.

Поступила 08.12.2009