Напряжения в рулоне при дополнительном натяжении ленты Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК лтчпл'».

10/2013

УДК 531 В.И. Антонов

НАПРЯЖЕНИЯ В РУЛОНЕ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ НАТЯЖЕНИИ ЛЕНТЫ

Рассмотрена задача определения напряжений, возникающих в сформированном рулоне при дополнительном натяжении ленты, образующей рулон. Замечено, что если к свободному концу ленты, образующей рулон, приложить некоторую силу, то наружные слои приходят в движение и, вытягиваясь, несколько проскальзывают по нижележащим слоям. Поверхность проскальзывания постепенно смещается к центру рулона и либо достигает поверхности сердечника, либо останавливается на некотором удалении от него. Глубина проникновения зависит от начальных напряжений, величины приложенной силы и свойств материала ленты. Таким образом, образуются две зоны: наружная, в которой происходит скольжение ленты, и внутренняя, в которой относительного смещения слоев не происходит, но слои уплотняются под действием дополнительного давления на границах зоны. При некоторых значениях определяющих параметров вблизи поверхности сердечника возникает третья зона, которая, как и наружная, является зоной скольжения. Здесь перераспределение напряжений происходит как за счет относительного смещения слоев, так и за счет дополнительного давления со стороны наружной части рулона. Получено аналитическое решение поставленной задачи в предположении, что сформированный рулон представляет собой изотропный однородный цилиндр.

Ключевые слова: натяжение ленты, скольжение ленты, изотропный однородный цилиндр, напряжение в рулоне.

Рассмотрим цилиндрическое тело, образованное намоткой с натягом некоторой ленты на цилиндрический сердечник — рулон. Задача об определении начального напряженно-деформированного состояния, возникающего при формировании рулона, рассмотрена в [1, 2]. Задача о намотке цилиндра принадлежит классу так называемых задач для растущих тел [3—10]. Среди задач о догрузке сформированного рулона представляет интерес задача о его затяжке. Замечено, что если к свободному концу ленты, образующей рулон, приложить некоторую силу, то наружные слои приходят в движение и, вытягиваясь, несколько проскальзывают по нижележащим слоям. Поверхность проскальзывания постепенно смещается к центру рулона и либо достигает поверхности сердечника, либо останавливается на некотором удалении от него. Глубина проникновения зависит от начальных напряжений, величины приложенной силы и свойств материала ленты. Таким образом, образуются две зоны: наружная, в которой происходит скольжение ленты, и внутренняя, в которой относительного смещения слоев не происходит, но слои уплотняются под действием дополнительного давления на границах зоны. При некоторых значениях определяющих параметров вблизи поверхности сердечника возникает третья зона, которая, как и наружная, является зоной скольжения. Здесь перераспределение напряжений происходит как за счет относительного смещения слоев, так и за счет дополнительного давления со стороны наружной части рулона.

Наличие аналитического решения о начальных напряжениях, возникающих при формировании рулона [1], позволяет предложить достаточно простое решение задачи о затяжке рулона, основанное на усреднении напряжений в

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

VESTNIK

JVIGSU

пределах одного слоя. Основная идея решения состоит в том, что дополнительные напряжения, возникающие при относительном проскальзывании слоев, интерпретируются как напряжения, возникающие при формировании рулона при некотором подлежащем определению напряжении натяга дт. Дополнительные напряжения, возникающие за счет приращения давления на поверхностях раздела зон, могут быть определены из решения задачи Ламе для соответствующего цилиндра.

Существенную роль в рассматриваемой задаче играют касательные напряжения огв, для определения которых используем условие равновесия наруж-

ной части спирали, образованной лентой:

2пг 21сл + hlrae = Tr *, (1)

где h — толщина слоя; l — высота рулона; г — наружный радиус рулона; T = To+T; To — сила натяжения ленты при формировании рулона; T — сила натяжения ленты при затяжке рулона.

Под а(11 понимаем среднее по кольцу радиуса г касательное напряжение и полагаем, что в пределах одного слоя нормальная и тангенциальная составляющие напряжения слабо меняются, так что они могут рассматриваться как функции только координаты г.

Касательное напряжение возникает благодаря силе трения. В зоне отсутствия относительного смещения слоев сила трения меньше предельной и определяется из уравнения (1). В зонах, где относительное скольжение слоев имело место, сила трения равна предельному значению:

f r\ = - r, (2)

где f — коэффициент трения скольжения между слоями рулона.

Вводя безразмерную координату, на основании (1) и (2) получаем M -р(ов-Хрог ) = 0 (3)

в зонах, где происходило относительное скольжение слоев, и

M-p(ae-^pa г )< 0 (4)

в зонах, где относительного скольжения слоев не происходило. Здесь обозначено:

TP*

„ hl

Ограничимся случаем упругого изотропного однородного рулона, сформированного при постоянном напряжении натяга о°т = const.

Компоненты тензора напряжений в наружной области, области проскальзывания pT < р < р„ определяются из решения задачи об определении начальных напряжений, возникающих при формировании рулона [1]:

r „ 2nr f r h

M = -

ВЕСТНИК лтчпл'».

10/2013

, р +с г, I хёх ;

°г = °г--— I °(5)

Р Р Х +С

I о ~I р2 - с "г.I xdx

°е = °е + от--— I от , (6)

р J X +с

г р

где (г т — напряжение дополнительного натяга, соответствующее силе Т; постоянная с определяется через упругие постоянные материала рулона и сердечника.

Во второй (внутренней) зоне, 1 < р < рг , дополнительные напряжения возникают только за счет радиального сжатия внутренней части рулона некоторым давлением РТ, равномерно распределенным по поверхности раздела зон, р = рг . Эти дополнительные напряжения определяются из решения задачи о радиальном сжатии составного цилиндра, образованного сердечником и внутренней (застойной) зоной рулона. В рассматриваемом случае упругого изотропного однородного рулона для внутренней зоны имеем:

II _ _0 _ р + С ртРТ . ^11 _ ^о _ Р ~ С рТРТ (7)

_ 2 2,. °е " °е 2 2' (7)

р рт + С Р рт + С

причем

Р = -#, (рт ) = Рт-+С ■ /а- (8)

рт р х +с

ГТ Рт

Координату поверхности раздела зон рг определим, учитывая, что во всей внутренней зоне сила трения между слоями меньше максимально возможной. Подставляя (7) в (4), получаем

М - р ( - Хра„) < [Хр (р2 + с) - (р2 - с)]Ррр. (9)

Если неравенство (9) не выполняется ни в одной точке внутри рулона, то это означает, что первая зона (зона затяжки) охватывает все тело рулона. При некоторых значениях определяющих параметров вблизи поверхности сердечника возникает третья зона, которая, так же как и первая, является зоной проскальзывания. В этом случае неравенство (9) перестает выполняться, начиная с некоторого значения рм < рт .

При наличии трех зон, напряжения в первой зоне (наружной зоне скольжения) определяются по формулам (5) и (6). Дополнительные напряжения во второй (средней) зоне возникают из-за равномерного радиального сжатия давлениями Ры и РТ, распределенными по границам зоны:

п = 0 ■ (р2-рт-(р2 -р*)рт.

"= - р2 (- р*) '

о0 = о0 +

(р2 + Рг -(р2 + Р^ )р2Рт

р2( - р1 )

В третьей (внутренней) зоне дополнительные напряжения возникают как за счет уплотнения слоев при их относительном скольжении, так и за счет сжатия внутренней зоны давлением Ры на внешней границе зоны:

ош » Р +с о = о---—

' xdx п2 P

III лил y>N1N

+ —2-

x

rN i

с Pn + С

xdx PnPn

(ii)

T x2 +c PN + c

Для определения функции дополнительного напряжения натяга ёт (р) используем уравнение (3), которое выполняется в зонах проскальзывания. Подставляя значения ог (р) и ае (р) в уравнение (3), получаем

рг - А (р)У (р)= М; (12)

где

^ (р )=((+с )-(( - с),

z = ит + и T;

причем, для наружной зоны скольжения J1 (р) = + ^г )'

xdx

а для внутренней

И

J111 (р )=i(° Т + % ™)

xdx

x2 + c

о2 P

г N N

PN+c'

Уравнение (12) представляет собой интегральное уравнение типа Вольтерры с вырожденным ядром. Не останавливаясь подробно на решении уравнения (12), приведем полученное решение. Дополнительное напряжение натяга в нар

р ехр (—Ах )х

Si = M

1 + ex,

p C-p )J-

ружной зоне скольжения равно

(13)

р р +с

Для дополнительного напряжения натяга во внутренней зоне скольжения получаем

От =

^г^[О° (pn ) - ] PnexP [-X (p - Pn )] -

p + c +M

1 A (p) , 4Pexp (-Ax )dx

- + ^^exp(p) I-^-

P P2 + c p.

x

(14)

-О

Заметим, что функция сТ (р) не зависит от числа образовавшихся зон и положения их границ. Это обстоятельство оказывается удобным для практических целей.

Библиографический список

1. Антонов В.И. Начальные напряжения в анизотропном неоднородном цилиндре, образованном намоткой // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 1. С. 29—31.

2. Антонов В.И. Метод определения начальных напряжений в рулоне при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 3. С. 177—180.

3. Куцубина Н.В., Удинцева С.Н. Математическое моделирование процессов намотки рулонов бумаги на продольно-резательных станках // Известия вузов. Лесной журнал. 2006. № 1. С. 89—94.

р.

ВЕСТНИК AtM-iMt.

10/2013

4. Механические характеристики органо- и углепластиковых труб, изготовленных методом перекрестной намотки / К.П. Алексеев, Р.А. Каюмов, И.Г. Терегулов, И.Х. Фахрутдинов // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. Т. 4. № 4. С. 3—21.

5. Криканов А.А. Расчет напряжений в композитной оболочке вращения, образованной намоткой ленты конечной ширины // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8. № 2. С. 151—160.

6. Абдулхаков К.А., Котляр В.М. Исследование влияния ширины ленты на прочность композитных оболочек вращения в зависимости от ориентации ленты при намотке // Вестник Казанского технологического университета. 2011. № 8. С. 150—153.

7. Битюков Ю.И. О параметрах, характеризующих схему укладки ленты в процессе намотки // Вестник Московского авиационного института. 2009. Т. 16. № 5. С. 274—281.

8. Lim H., Iwasa Y., Smith J.L. Normal zone propagation in cryocooler-cooled NB3SN tape-wound magnet. Cryogenics. 1995, vol. 35, no. 6, рр. 367—373.

9. Snigirev O.V., Maslennikov Yu.V, Vitale S., Cerdonio M., Prodi G.A. Thermal magnetic noise in a strip wound crystalline ferromagnetic core at 4.2 K. Journal of Applied Physics. 1996, vol. 79, no. 2, pр. 960—962.

10. Crockett J., Foszcz J.L. Tensioning synchronous belts. Plant Engineering. 1996, vol. 50, no. 10, pp. 90—91.

Поступила в редакцию в июне 2013 г.

Об авторе: Антонов Виктор Иванович — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)183-24-01, theormech@mgsu.ru.

Для цитирования: Антонов В.И. Напряжения в рулоне при дополнительном натяжении ленты // Вестник МГСУ. 2013. № 10. С. 24—29.

V.I. Antonov

STRESSES INSIDE A ROLL IN CASE OF HIGHER BELT TENSION

The author considers the problem of stresses arising in the roll in case of higher tension value in the roll-forming belt. It is noticed, that if some force is applied to the loose end of the roll-forming belt, outer layers are set in motion — they stretch and slightly slip along lower layers. The slipping surface gradually shifts to the center of the roll and either reaches the surface of the core, or stops at some distance from it. The penetration depth depends on the initial tension, the intensity of the applied force and the belt material properties. Thus, the two zones are formed — the outer zone where the belt slides, and the inner zone, where no relative motion of layers is demonstrated, but where layers compress under a higher pressure produced on the zone boundaries. At some values of influential parameters, the third zone appears near the core area, which is also a slip zone. Stress redistribution occurs here both due to the relative shift of layers, and to the higher pressure produced by the outer part of the roll. The analytical solution to the problem is found assuming that the formed roll is a homogeneous isotropic cylinder.

Key words: tape tension, belt slip, homogeneous isotropic cylinder, tension inside a roll.

References

1. Antonov V. I. Nachal'nye napryazheniya v anizotropnom neodnorodnom tsilindre, obra-zovannom namotkoy [Initial Stresses inside an Anisotropic Heterogeneous Cylinder, Formed by Winding]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 1, pp. 29—31.

2. Antonov V.I. Metod opredeleniya nachal'nykh napryazheniy v rulone pri nelineynoy zavisimosti mezhdu napryazheniyami i deformatsiyami [Method for Identification of initial stresses in a Roll in Case of Nonlinear Dependence between Stresses and Deformations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 177—180.

3. Kutsubina N.V., Udintseva S.N. Matematicheskoe modelirovanie protsessov namotki rulonov bumagi na prodol'no-rezatel'nykh stankakh [Mathematical Modeling of Processes of Paper Roll winding Using longitudinal cutting machines] Izvestiya VUZov. Lesnoy zhurnal [News of Higher Education Institutions. Forestry Magazine]. 2006, no. 1, pp. 89—94.

4. Alekseev K.P., Kayumov R.A., Teregulov I.G., Fakhrutdinov I.Kh. Mekhanicheskie kharakteristiki organo- i ugleplastikovykh trub, izgotovlennykh metodom perekrestnoy namotki [Mechanical Characteristics of the Organoplastic and Carbon-Plastic Pipes Produced Using the Method of Cross Winding]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy [Mechanics of Composites and Structures]. 1998, no. 4, vol. 4, pp. 3—21.

5. Krikanov A.A. Raschet napryazheniy v kompozitnoy obolochke vrashcheniya, obra-zovannoy namotkoy lenty konechnoy shiriny [Analysis of Stresses Research inside a Composite Rotetional Shell Generated by the Winding of Finite Width Belt]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy [Mechanics of Composites and Structures]. 2002, no. 2, vol. 8, pp. 151—160.

6. Abdulkhakov K.A., Kotlyar V.M. Issledovanie vliyaniya shiriny lenty na prochnost' kom-pozitnykh obolochek vrashcheniya v zavisimosti ot orientatsii lenty pri namotke [Research into Influence of Belt Width on the Strength of Composite Rotational Shells depending on the Positioning of the Belt in the Process of Winding]. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta [Bulletin of Kazan Technological University]. 2011, no. 8, pp. 150—153.

7. Bityukov Yu.I. O parametrakh, kharakterizuyushchikh skhemu ukladki lenty v protsesse namotki [On Parameters Characterizing the Belt Laying Pattern in the Process of Winding]. Vestnik Moskovskogo aviatsionnogo instituta [Bulletin of the Moscow Aviation Institute]. 2009, no 5, vol. 16, pp. 274—281.

8. Lim H., Iwasa Y., Smith J.L. Normal zone propagation in Cryocooler-cooled NB3SN Tape-wound Magnet. Cryogenics. 1995, vol. 35, no. 6, pp. 367—373.

9. Snigirev O.V., Maslennikov Yu.V., Vitale S., Cerdonio M., Prodi G.A. Thermal magnetic noise in a strip wound crystalline ferromagnetic core at 4.2 K. Journal of Applied Physics. 1996, vol. 79, no. 2, pp. 960—962.

10. Crockett J., Foszcz J.L. Tensioning synchronous belts. Plant Engineering. 1996, vol. 50, no. 10, pp. 90—91.

About the author: Antonov Viktor Ivanovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 183-24-01; theormech@mgsu.ru;

For citation: Antonov V.I. Napryazheniya v rulone pri dopolnitel'nom natyazhenii lenty [Stresses inside a Roll in Case of Higher Belt Tension]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 10, pp. 24—29.