CC BY
21
УДК 624.072.221
В. Ф. КИРИЛЕНКО, Е. А. ПИНЧУК (Национальная академия природоохранного и курортного строительства, Симферополь), Е. Н. ТРАЧ (ДИИТ)
НАПРЯЖЕНИЯ В ДВУСКАТНЫХ КОРОБЧАТЫХ БАЛКАХ В ЗОНАХ ПОПЕРЕЧНОГО И ЧИСТОГО ИЗГИБА
У статл приведено дослщження напруженого стану двотаврових коробчатих клеефанерних балок змш-ного перетину при ди зосереджених сил. Порiвнюються аналиичне ршення, ршення МКЕ i елементарне рiшення для нормальних i дотичних напружень в стшщ балки.
Ключовi слова: балка, зосереджена сила, напружений стан, напруження
В статье приведено исследование напряжённого состояния двутавровых коробчатых клеефанерных балок переменного сечения при действии сосредоточенных сил. Сравниваются аналитическое решение, решение МКЭ и элементарное решение для нормальных и касательных напряжений в стенке балки.
Ключевые слова: балка, сосредоточенная сила, напряжённое состояние, напряжение
In the article research of the tense state of box-type wooden j-beams of variable section is resulted at the action of the concentrated forces. An analytical decision, decision of eventual elements and elementary decision a method, is compared for normal and tangent tensions in the wall of beam.
Keywords: beam, concentrated forces, tense state, tensions
Постановка задачи
Рациональное очертание строительных конструкций достигается в большинстве случаев изменением высоты сечения по длине. В сооружениях из стали это в первую очередь рамные системы, ригели которых выполнены из металлических двутавров с плоскими или гофрированными стенками [1, 2]. При применении деревянных клееных конструкций такие возможности намного шире - это дощатоклееные и деревофанерные односкатные и двускатные балки, трёхшарнирные рамы и арки как прямоугольного, так и двутаврового, коробчатого и двутаврово-коробчатого сечения.
Переменность высоты сечения по длине оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние, однако учёт этого, в частности, в нормативных документах по проектированию деревянных конструкций для двускатных клееных балок сводится только к определению сечения с максимальными нормальными напряжениями и вычислению прогибов балки. Известно, что в элементах переменной высоты кроме напряжений изгиба ох возникают касательные напряжения т и напряжения оху , действующие в перпендикулярном направлении, характер и величина которых отличается от вычисленных для элементов постоянного сечения.
Для определения напряжений в элементах переменной высоты существуют аналитические
решения и численные способы, основанные в последнее время на методе конечного элемента (МКЭ). Классические методы теории упругости существуют для изгиба симметричного клина сосредоточенной силой или моментом, приложенными в его вершине. Для клина с одной горизонтальной гранью имеются решения при действии равномерно распределённой нагрузки и нагрузки, распределённой по линейному закону [3-6]. Поскольку при малых (до 5...100) углах наклона граней распределение напряжений изгиба практически не отличается от элементарного решения, то это обстоятельство использовано для определения различными способами остальных компонент напряжения т и
оу в элементах с плавным изменением прямоугольного сечения по длине [7-10].
Указанный прием использован также для определения касательных напряжений в стенках двутавровых (коробчатых) балок переменного сечения, причём полученное здесь решение по своей структуре является общим и пригодно как для симметричных относительно продольной оси элементов, так и имеющих одну горизонтальную грань. Кроме того, такое решение применимо и для аналогичных элементов прямоугольного сечения [11]. В дальнейшем оно использовано для определения скалывающих напряжений в фанерных стенках двускатных коробчатых и двутаврово-коробчатых деревянных балок, загруженных равномерно распределённой нагрузкой [12].
© Кириленко В. Ф., Пинчук Е. А., Трач Е. Н., 2012
Следует отметить, что для элементов двутаврового (коробчатого) сечения, в отличие от призматических, задача аналитического определения напряжений оу, действующих в поперечном направлении в стенках и поясах весьма трудоёмка и в настоящем времени не решена. Открытым остается и вопрос определения скалывающих напряжений в поясах двутавровых и коробчатых балок.
Задачи расчёта элементов двутаврового (коробчатого) сечения эффективно решаются при использовании программных комплексов, реализующих метод конечного элемента [13, 14]. Полученные таким образом результаты определения касательных напряжений в стенках двускатных балок с высокой точностью совпадают с аналитическими решениями. Кроме того, этот метод позволяет определить касательные напряжения в наклонных поясах двускатных (односкатных) элементов, а также напряжения О у , направленные поперёк оси балки.
Во всех перечисленных работах не рассматривались вопросы определения напряжённого состояния двутавровых (коробчатых) балок при действии сосредоточенных сил, а также не исследовались напряжения на участках балки, где внутренние усилия представлены только изгибающим моментом. Поставленные вопросы и легли в основу настоящего исследования.
Объект исследования и основные предпосылки
Рассматривается напряженное состояние свободно опертой двускатной коробчатой балки длиной 11,9 м с углом наклона верхних граней а = агс^0,0975 . Пояса балки размерами Ьп X кп = 13,2 х16 см выполнены из четырёх сосновых досок толщиной 3,3 см (4 X 3,3 = 13,2) см, стенки - из клееной берёзовой фанеры марки ФСФ толщиной 5ф = 10 мм. Расчётный пролёт с учётом опи-
рания 1 = 11,7 м, высота торцевого сечения 90 см, высота сечения в середине пролёта 148 см. Нагрузка на балку: две сосредоточенные силы по 45 кН, приложенные в третях пролёта. Направление волокон рубашки фанеры предполагается вдоль продольной оси балки, а клеевые стыки листов фанеры по длине выполняются «на ус», что предусматривает восприятие продольных сжимающих и растягивающих усилий в плоскости стенки. Соединение поясных досок между собой и с фанерной стенкой является клеевым (монолитным) и не преду-
сматривает взаимных смещений в процессе деформирования. Работа элементов балки рассматривается в упругой стадии, а деформации считаются малыми. Неоднородность сечения балки здесь не учитывается, поскольку модуль упругости фанеры вдоль оси балки Еф = 1,2 X 9000 = 10800 МПа незначительно
отличается от модуля упругости древесины сосны Ед = 10000 МПа.
Касательные напряжения в стенке (аналитическое решение)
Для определения касательных напряжений в фанерных стенках используем общее решение для балок, имеющих одну горизонтальную грань и представленных прямоугольным, двутавровым или коробчатым сечением [11]
ОБ М (СБ К Ск Л МБ С1
1ф = — +—I — + -5у— I--- —,
ф 51 51 {Сх 2 Сх I 512 Сх
(1)
где М, О - изгибающий момент и поперечная сила в сечении балки; 5 - толщина стенки (для коробчатой балки 5 = 25ф); у - расстояние от
нейтральной оси до точки, в которой определяются напряжения (положительным считается направление в сторону наклонной грани балки); Ск
— - производная функции высоты сечения
Сх
балки (для балок с линейно изменяющейся высотой - тангенс угла наклона грани).
В выражении (1) момент инерции сечения I, статический момент отсечённой части сечения Б и их производные по х для коробчатой балки вычисляются следующим образом (2)
Б = I
2
(
(Ьп +5) (к -кп) + 5
к - 2кп 2
V
-у
сб_
Сх
с
(Ьп +5)кп +-(к -2кп)
Ск
Сх'
I = 2
(Ьп + 5) К ( к - к
Уп +(Ьп +5) кп
12
+
5(к - 2кп )3 12
С1
5
(Ьп + 5)(к - кп) + 4(к - 2кп )2
Ск (2)
Сх
Вычисление касательных напряжений в стенке проводилось в двух сечениях в зоне поперечного изгиба (х = I/8 = 146,25 см и х = 1/4 = 292,5 см) и двух сечениях в зоне чистого изгиба (х = 31/8 = 438,75 см и
2
2
х = 486 см). В каждом сечении выбраны три сечения; нижняя кромка стенки, контактирую-точки: верхняя кромка стенки, контактирующая щая с нижним поясом. Все расчёты представ-с верхним поясом; точка на нейтральной оси лены в таблице 1.
Таблица 1
Касательные напряжения в фанерной стенке
х, см к, см Усилия Геометрические характеристики Напряжения
М, кНм я, кН I, 4 см ё1 ёх' см3 ёЗ ёх ' см2 Б, см3 1 „ ёК -ду—, 2 ёх см2 Ы ' кН/см2 х, кН/см2
146,25 105,2 65,81 45 1043200 2376 15,42 10847 12187 10847 3,57 0 -3,57 0,234 0,263 0,234 0,216 0,224 0,193
292,5 119,5 131,62 45 1424600 2827 16,12 12586 14500 12586 4,27 0 -4,27 0,199 0,229 0,199 0,178 0,170 0,139
438,75 133,8 175,50 - 1873600 3299 16,82 14324 16915 14324 4,96 0 -4,96 - -0,016 0,060 -0,062
486 138,4 175,50 - 2032900 3452 17,04 14884 17714 14884 5,19 0 -5,19 - -0,013 -0,056 -0,054
В предпоследней колонке этой таблицы помещены значения напряжений, вычисленные согласно первому слагаемому выражения (1) -формуле Д. И. Журавского, в последней колонке - полные значения.
Численное решение (решение МКЭ)
Вычисление всех компонент напряжений ох оу и х в поясах и стенке выполнялось с
помощью программного комплекса «Лира» (версия 9.6), реализующего метод конечных элементов.
Расчетная модель балки выполнена в плоско-объемной постановке. Пояса балки описаны изопараметрическими объемными конечными элементами 36, фанерные стенки - универсальными конечными элементами плоской задачи 27. Вблизи наклонного контура КЭ приобретают неправильную форму, в частности типа 34 -в поясах и 24 - в стенке. Размеры КЭ поясов -2 X 2 X 3,3 см, фанерной стенки - 2 X 2 см. По высоте сечений количество конечных элементов расчетной модели составило от 45 на опоре до 74 в середине пролета балки. Всего расчетная схема включает 111696 КЭ. Жесткости КЭ
моделировались изотропными с одинаковыми упругими характеристиками поясов и стенок: модуль упругости Е = 10000 МПа, коэффициент Пуассона п = 0,02, плотность р = 5 кН/м3. Нагрузка в третях пролёта распределялась на группу контурных узлов по ширине верхнего пояса и составила q = 9 X 5 = 45 кН (здесь 9 кН - сила в узле, 5 - число узлов по ширине сечения). Передача опорного давления осуществлялась на длину площадки 20 см, что соответствовало 11 крайним узлам КЭ с каждой стороны нижнего пояса.
В результате расчета получены нормальные ох оу и касательные напряжения х (в кН/см2)
в различных точках по длине и высоте поперечных сечений поясов балки и стенок. На рис. 1 представлены эпюры нормальных напряжений ох на расстоянии 287,5 см (первое
сечение - зона поперечного изгиба) и 486,0 см (второе сечение - зона чистого изгиба) от опоры.
Расчетная схема балки и эпюры распределения напряжений оу по высоте сечений в зонах поперечного и чистого изгиба показаны на рис. 2.
В этих же сечениях на рис. 3 показано распре- деление касательных напряжений тх
а)
б)
0.5 0
Рис. 1. Эпюры напряжений Ох по высоте первого сечения (а) и второго сечения (б)
Рис. 2. Расчетная схема балки и эпюры напряжений Оу по высоте сечений
Рис. 3. Распределение касательных напряжений т в сечениях
Для проверки выполнения условий равновесия в поперечных сечениях балки на рис. 4 показано разбиение на конечные элементы в поясах и стенке и распределение напряжений х
по высоте сечений в зоне поперечного изгиба на расстоянии х = 292,5 см (см. рис. 4, а) и в зоне чистого изгиба при х = 518 см (см. рис. 4, б) в стенке и поясах. Здесь же показано распределение напряжений Оу по высоте
поясов.
б)
Обсуждение полученных результатов
Исследование нормальных напряжений О х в сечениях балки с помощью МКЭ показало, что их распределение носит практически линейный характер, а максимальные значения в верхнем О в и нижнем поясе О н несколько отличаются между собой и от элементарного решения О э = М • к121 :
- в зоне поперечного изгиба для сечения х = 292,5 см соответственно
Ов = 0,464 кН/см2; а„ = 0,552 кН/см2;
Он = 0,45 8 кН/см2;
- в зоне х = 486 см: а. = 0,550 кН/см2;
чистого изгиба для сечения
О,, = 0,508 кН/см2;
Рис. 4. Эпюры напряжений т в сечениях балки и
напряжений О у в поясах
Оэ = 0,5 97 кН/см2.
Сопоставление максимальных значений напряжений в поясах балок показывает, что элементарное решение в этих сечениях даёт завышение от 8 до 20 %.
В двускатной балке, в отличие от балок постоянной высоты, в наклонных поясах возникают касательные напряжения и напряжения, действующие поперёк продольной оси балки. В верхних точках наклонных граней они определяются следующими выражениями (3), полученными из условий равновесия бесконечно малого элемента
Тху = Ох 1ёа , Оу = Тху 18а = Ох 1ё2а (3)
В нашем случае 18а = 0,0975 и эти зависимости с большой точностью подтверждаются вычислениями МКЭ (см. рис. 2, 3) как и в зоне поперечного, так и чистого изгиба.
Касательные напряжения в сечениях балки в зоне поперечного изгиба распределяются несимметрично, что следует из данных табл. 1 и эпюр напряжений согласно приведенному выше рис. 3. При сохранении общих закономерностей их распределения по высоте фанерных стенок в зоне поперечного изгиба между аналитическим решением и решением МКЭ существует отличие значений в различных точках, составляющее от 2 до 12 %. Следует отметить, что значения касательных напряжений во всех точках сечений, вычисленные по формуле Д. И. Журавского, на 9...43 % больше напряжений, полученных аналитически согласно (1), а также вычисленные МКЭ.
В зонах поперечного изгиба эпюра распределения касательных напряжений, построенная
на основе вычислений МКЭ, однозначна и из условия равновесия
У х
/ V вп
+ У х
• А'
+
У хС
• Акэ ,п = Я
• А7
+
(4)
где хвп, хст, хнп - касательные напряжения в 7-ом элементе соответственно верхнего пояса, стенки и нижнего пояса; А^э п, А^э ст - площадь
конечного элемента пояса и стенки в плоскости сечения.
Для сечения при х = 292,5 см количество КЭ в верхнем и нижнем поясе составляет 2X 48, в стенке - 88 (см. рис. 4, а), а вычисление почленно согласно (4) даёт 11,694 + 30,954 + 3,086 = 45,734 кН, что отличается от значения поперечной силы в этом сечении Я = 45 кН на 1,63 %, причём доля восприятия поперечной силы только поясами здесь достигает 32 %.
В отличие от балок постоянной высоты в зоне отсутствия поперечной силы, называемой в сопротивлении материалов зоной чистого изгиба, возникают касательные напряжения, а эпюры их распределения по высоте поперечных сечений двузначны, причем изменение знака происходит в верхних точках стенки при примыкании к верхнему поясу (см. рис. 4, б). Здесь максимальные касательные напряжения в поясах мало отличаются от вычисленных аналитически. В этой зоне из условий равновесия сил в поперечном сечении при х = 518 см (Я = 0 ) согласно (4) получим
-9,98 + 8,74 + 0,86 = -9,98 + 9,6 = -0,38 кН, что на 4 % отличается от значения входящих слагаемых по абсолютной величине.
Изменение сечения по длине как в зоне поперечного, так и чистого изгиба приводит к возникновению напряжений о у , которыми в
сопротивлении материалов пренебрегают. В точках верхнего (наклонного) контура балки их значения, полученные МКЭ, с высокой точностью совпадают с вычисленными согласно (3). В поперечных сечениях наблюдается их уменьшение при продвижении к нижней горизонтальной грани, на которой оу = 0 . В местах
контакта верхнего (и нижнего) пояса со стенкой происходит скачкообразное увеличение напряжений оу , что объясняется большим различием ширины сечения поясов (Ьп = 15,2 см) и толщиной стенок (5 = 2 см). Следует отме-
тить, что наибольшие напряжения оу в верхних точках стенок коробчатой балки возникают в местах действия максимальных нормальных напряжений ох, т. е. вблизи действия сосредоточенных сил в третях пролёта.
Выводы
1. В наклонных поясах двускатных коробчатых балок возникает полный тензор напряжений, что требует для деревянных поясов, как элементов с резко выраженной анизотропией, учёта сложного напряженного состояния при их расчёте.
2. Переменность высоты для стенок коробчатых балок приводит к уменьшению в них касательных напряжений по сравнению с элементами постоянной высоты, что является некоторым резервом их прочности и местной устойчивости.
3. В двускатных балках коробчатого сечения по сравнению с балками постоянной высоты доля участия поясов в восприятии поперечной силы значительно возрастает, и это обстоятельство должно учитываться при их проектировании.
4. Напряжения оу , вызванные переменностью сечения по длине в коробчатой балке незначительны как в зоне поперечного, так и чистого изгиба. Судя по значениям, их учёт для верхних участков стенок возможен только в зонах действия максимальных нормальных напряжений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бшик, С. I. Рацюнальш сталевi каркаси малое-нергоемних будiвель iз двотаврiв змшного пе-рерiзу [Текст]: Автореф. докт. техн. наук/ КНУБА: 05.23.01. - К:, 2008. - 33 с.
2. Нилов, А. А. Рамы из сварных двутавров с гофрированной стенкой [Текст] / А. А. Нилов // зб. наук. праць / УкрНДП1 сталевих конструкцш. -К.: Сталь, 2009. - С. 71-78.
3. Тимошенко, С. П., Гудьер, Дж. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М.: Наука, 1979. - 560 с.
4. Самуль, В. И. Основы теории упругости и пластичности [Текст] / В. И. Самуль. - М.: Высш. шк., 1970. - 288 с.
5. Кириленко, В. Ф., Мотина, В. Г. Изгиб клинообразной балки сосредоточенным моментом, приложенным к её вершине [Текст] / В. Ф. Кириленко, В. Г. Мотина // Строительные конструкции и материалы: сб. научн. тр. / КИПКС. - Симферополь, 1997. - С. 95-101. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] /
нп
С. П. Тимошенко. - К.: Наукова думка, 1972. -501 с.
6. Maki, A. C., Kuenzi, E. W. Deflection and stresses of tapered Wood beams [Текст] / A. C. Maki, E. W. Kuenzi // U.S. Forest service Research Paper. -FPL 34 - September, 1965. - 54 p.
7. Ali, S. M., Sarna, S. I. Stress trajectories and stress contours in tapered beams [Текст] / S. M. Ali, S. I. Sarna // Strain. - 14. - № 2. - 1978. - Р. 58-61.
8. Кириленко, В. Ф., Мотина, В. Г. Изгиб симметричных клиньев при малых углах наклона граней [Текст] / В. Ф. Кириленко, В. Г. Мотина // Строительство и техногенная безопасность: Сб. научн. тр. / КАПКС. - Вып. 7. - Симферополь, 2002. - С. 38-40.
9. Кириленко, В. Ф. Определение напряжений в клеевых швах дощатоклееных элементов переменной высоты [Текст] / В. Ф. Кириленко // Композиционные материалы и конструкции для сельскохозяйственного строительства: Межвуз. темат. сб. тр. - Саранск, 1982. - С. 31-34.
10. Кириленко, В. Ф., Пинчук, Е. А. Скалывающие напряжения в деревянных балках переменной высоты [Текст] / В. Ф. Кириленко, Е. А. Пинчук // Науковий вкник будiвництва. - 2009. -
Вип. 54. - Харюв: ХДТУБА, ХОТВ АБУ, 2009. - С. 179-185.
11. Кириленко, В. Ф., Пинчук, Е. А. Напряжения в стенках деревофанерных элементов переменной высоты [Текст] / В. Ф Кириленко, Е. А. Пинчук // Современные строительные конструкции из металла и древесины: Сб. научн. тр. / ОГАСА. -Одесса, 2010. - Вып. 14 (Часть 1). - С. 108-112.
12. Кириленко, В. Ф., Пинчук, Е. А. Клееные деревянные и деревофанерные конструкции для покрытий спортивных сооружений [Текст] /
B. Ф. Кириленко, Е. А. Пинчук // Зб. наук. праць / Укр НДП1 сталевих конструкцш. - Вип. 6. - К.: Сталь, 2010. - С. 21-29.
13. Кириленко, В. Ф., Пинчук, Е. А. Изгиб симметричной двутавровой клинообразной балки [Текст] / В. Ф. Кириленко, Е. А. Пинчук // Науковий вюник будiвництва. - 2010. - Вип. 59.-Харюв: ХДТУБА, ХОТВ АБУ, 2010. -
C. 368-374.
Поступила в редколлегию 17.07.2011. Принята к печати 30.07.2011.
