Налоговая игра в дуополии курно Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.8 ББК22.1

НАЛОГОВАЯ ИГРА В ДУОПОЛИИ КУРНО 1

Галегов А. И. 2 , Гарнаев А. Ю. 3

(Факультет прикладной математики - процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург )

Модель Штакельберга для иерархических олигопольных рынков с однородными продуктами исследовалась учеными интенсивно. В данной работе мы расширим на общий случай иерархической структуры решение по Штакельбергу в аналитическом виде. Игра может рассматриваться как многошаговая с полной информацией. Главной особенностью игры является наличие лидирующих групп фирм, которые первыми устанавливают объем выпуска товаров, а остальные фирмы ориентируются в своих расчетах на них.

Ключевые слова: иерархические структуры, равновесие Штакельберга в иерархических структурах, Курно-Нэш равновесия.

Введение

Во многих странах налоговая ставка зависит от базы налогообложения. В России в 2003 г. для поддержки малого бизнеса была введена так называемая упрощенная налоговая система, которая состоит из двух налоговых ставок (6% и 15%). Именно поэтому некоторые фирмы оказываются перед проблемой выбора

1 Текст приводится в соответствии с изданием «Математическая теория игр и ее приложения. - 2009. - Т. 1. №1».

2 Александр Игоревич Галегов, аспирант, (galegov@rambler.ru).

3 Андрей Юрьевич Гарнаев, доктор физико-математических наук, профессор (agarnaev@rambler.ru).

одной из них: либо налоговая ставка с чистой прибыли (когда фирма платит налоги от совокупного дохода минус общие затраты), либо налоговая ставка с совокупного дохода (когда фирма платит налог с совокупного дохода). Налоговая ставка с совокупного дохода (6%) меньше чем налоговая ставка с чистой прибыли (15%), потому что база налогообложения в первом случае больше.

В конкурентной среде, когда есть несколько фирм, производящих однородную продукцию для рынка, проблема выбора становится теоретико-игровой задачей, так как каждая фирма должна взять в рассмотрение поведение его конкурента. Мы назовем эту ситуацию налоговой игрой. Цель данной статьи состоит в обобщении проблемы выбора налоговой ставки так же как и критериев этого выбора для случая конкуренции. В этой работе мы рассматриваем два сценария данной задачи. Первый сценарий - двухшаговая игра. На первом шаге фирмы планируют их производство в модели Курно для каждой комбинации возможных налоговых ставок, в то время как на втором шаге они решают, какую налоговую ставку лучше использовать. Таким образом, двухшаговая игра является комбинацией модели Курно и биматричной игры, как это было сделано в R&D игре в транспорте и коммуникациях Lambertini, Mantovani и Rossini ([3], [4])

Второй сценарий - одношаговая игра, где фирмы выбирают оптимальную налоговую ставку после установки плана производства, и этот сценарий является модификацией модели Курно.

1. Модель двухшаговой игры

Мы исследуем дуополию, где две фирмы (1 и 2) конкурируют некооперативно в двухшаговой структуре модели Курно. Обе фирмы производят однородную продукцию. Рыночная конкуренция описывается с помощью игры Курно, где каждая фирма выбирает максимизирующее прибыль количество продукции по отдельности. На первом шаге фирмы планируют свое производство в модели Курно для каждой комбинации возможных налоговых ставок, в то время как на втором шаге они решают какую налоговую ставку лучше использовать. Мы используем обратную 178

индукцию.

2. Первый шаг игры: модель Курно

В этом разделе и в последующих четырех подразделах мы исследуем первый шаг налоговой игры, где фирмы планируют их производство в модели Курно для каждой комбинации возможных налоговых ставок (совокупный доход и чистая прибыль). Пусть qi - количество продукции, произведенной фирмой г, где г = 1, 2, и р - цена продукции, которая зависит от его общего количества на рынке по следующей линейной модели ([5])

где А - максимально возможная цена продукции, поддерживаемая рынком. Также мы предполагаем, что предельные затраты для продукции для обеих фирм есть с и А > с (из-за неотрицательности предельных затрат).

2.1. ОБЕ ФИРМЫ ВЫБИРАЮТ НАЛОГОВУЮ СТАВКУ С ЧИСТОЙ ПРИБЫЛИ

В этом подразделе мы предполагаем, что обе фирмы выбирают налоговую ставку с чистой прибыли. Тогда их функции прибыли в модели Курно имеют следующий вид

где вР = 1 — Тр и Тр - налоговая ставка с чистой прибыли.

Каждая фирма максимизирует свою прибыль, учитывая количество продукции, проданной на рынке. Поэтому равновесные стратегии задаются соотношениями:

р = А - ді - 42,

вр((А - ді - 42)41 - сді),

вр((А - ді - 42)42 - сд2),

А - с

3

Подставляя равновесные стратегии в функции прибыли, мы получаем равновесные общие прибыли:

п

рр

і

п

рр

2

вр(А - с)2 9

2.2. ОБЕ ФИРМЫ ВЫБИРАЮТ НАЛОГОВУЮ СТАВКУ С СОВОКУПНОГО ДОХОДА

В этом подразделе мы предполагаем, что обе фирмы выбирают налоговую ставку с совокупного дохода. Тогда их функции прибыли в модели Курно имеют следующий вид

п/ = в (А - 4і - 42)41 - С4і, = в(А - 4і - 42)42 - С42,

где в* = 1 — Т и Т* - налоговая ставка с совокупного дохода. Тогда равновесные стратегии задаются уравнениями:

и = ІІ = АА с 4* і — 4* 2 —

3в

с соответствующими равновесными прибылями:

а

пі

_ ы

=п2

(іЗіА - с)2

9&

2.3. ФИРМЫ ВЫБИРАЮТ РАЗЛИЧНЫЕ НАЛОГОВЫЕ СТАВКИ

В этом подразделе мы предполагаем, что фирмы выбирают различные налоговые ставки. Например, фирма 1 выбирает налоговую ставку с чистой прибыли и фирма 2 выбирают налоговую 180

ставку с совокупного дохода. Тогда их функции прибыли в модели Курно имеют следующий вид

Пр* = вр((А — ql — q2)ql — cql), пр* = в* (А — ql — q2)q2 — cq2.

Каждая фирма максимизирует свою прибыль, учитывающую количество, проданное на рынке. Тогда равновесные стратегии задаются уравнениями:

= в*А + (1 — 2А)с 9*1 =

= в*А + (в* — 2)с ^*2 = 3в* ,

с соответствующими равновесными прибылями:

р _ вр(в*А + (1 — 2в*)с)2

п+і 9в2

_р* _ (АА + (А - 2)с)2 п*2

9А

Теперь фирма 2 выбирает налоговую ставку с чистой прибыли и фирма 1 выбирают налоговую ставку с совокупного дохода. Тогда их функции прибыли имеют следующий вид

п1р = в* (А — ql — q2)ql — cql,

п2р = вр((А - 4і - 42)42 - С42).

В этом случае равновесные стратегии и соответствующие равновесные общие прибыли имеют вид:

*р = АА +(А - 2)с 4+і = Зеї ,

ір = АА + (1 - 2А)с

4*2 = зв ,

*р _ (АА + (А - 2)с)2 П+і = 9в ,

ір = вр(АА + (1 - 2А)с)2 п*2 = 9в2

3. Второй шаг игры: выбор налоговой ставки

В этом разделе мы исследуем второй шаг игры, где фирмы выбирают налоговую ставку, чтобы максимизировать свои доходы. Итак, каждая фирма имеет две чистые стратегии: выб рать налоговую ставку с чистой прибыли (Р) и выбрать налоговую ставку с совокупного дохода (Т). Таким образом, второй шаг игры может быть описан следующей биматрицей:

Р Т

Р (Ьіі, Ьіі) (Ьі2,&2і) Т (Ь2і, Ьі2) (Ь22, Ь22)

где

вр(А - с)2 9 ,

(АА + (А - 2)с)2

9в ,

вр(в*А +(1 - 2А)с)2

9в|

(АА - с)2

9ві .

Так как база налогообложения налога с совокупного дохода больше чем налога на чистую прибыль, то чтобы приблизительно уравнять налоговые выплаты в реальных налоговых ставках, не теряя общности, будем предполагать, что Т < Тр. Итак, в > вр. Например, в Российской Федерации фирма может использовать упрощенную налоговую систему, где Т = 0,06 и Тр = 0,15 ([2]). Тогда, в = 0,94 и вр = 0,85. Мы будем исследовать нашу игру для этих конкретных значений. Таким образом наша цель найти равновесие по Нэшу (КБ) в следующей матричной игре

Р Т

(1) Р (аи,ап) (аі2,й2і)

Т (а2і,аі2) (а22,а22) ,

Ьіі = Ь2і =

Ьі2 =

Ь22 =

где

17 ,2 17 . 17 2

аіі =--------А----------Ас +-------с ,

іі 180 90 180 ’

47 2 53 2809 2

а2і =--------А2-------------Ас +----------с2,

21 450 - 225 21150

17 „2 374 . 8228 2

аі2 —--------А —--------Ас +--------------с ,

180 2115 99405 ’

47 2 2 50 2

а22 =--------А2-----Ас +-------с2.

22 450 9 423

Теорема 1. Пусть

2 160 1 ,-----ч

іі = ^(-^ - ^^7990) и 1,0016,

¿2 = 7 - їії^7990 и 1,065,

2 160 1 ,-----ч

¿3 = ^(— + ^^7990) и 3,54,

¿4 = 3 + 141 л/7990 и 3,6.

Тогда

(a) (Р,Р) - ЫЕ тогда и только тогда, когда А е [¿2с, ¿4е],

(b) (Т,Т) - ЫЕ тогда и только тогда, когда А ^ ¿1с или А ^ ¿3с,

(c) (Т,Р) - ЫЕ тогда и только тогда, когда А е [¿1с, ¿2с],

(й) (Р,Т) - ЫЕ тогда и только тогда, когда А е [¿1с, ¿2с],

(е) (Р,Р) Парето доминирует (Т,Т) тогда и только тогда, когда А е [¿1*с, ¿2*с], где

5 л/7990 , 5 х/7990 „

¿і* = 3 —141— и 1,0327, ¿2* = 3 +—141 и 2,3006.

Доказательство. (а) следует из (1) и факта, что (Р,Р) - КБ тогда и только тогда, когда а11 ^ а21. (Ь) следует из (1) и факта, что (Т,Т) - КБ тогда и только тогда, когда а22 ^ а12. (с) следует из

(1) и факта, что (Т,Р) - КБ тогда и только тогда, когда а21 ^ а11 и а12 ^ а22. (ё) следует из (1) и факта, что (Р,Т) - КБ тогда и только тогда, когда а12 ^ а22 и а21 ^ а11. (е) следует из (1) и факта, что (Р,Р) - Парето доминирует (Т,Т) тогда и только тогда, когда ап ^ 022.

Теорема 2. В игре существует смешанное равновесие по Нэшу тогда и только тогда, когда А е (¿1 с, ¿2 с) или А е

(¿3С,^4С).

Доказательство. Пусть фирма 1 и фирма 2 используют стратегии х = (р, 1 — р) и у = (д, 1 — д) где р, д е (0,1). Тогда

П1(ж, у) = апху + а21у(1 — х) + а12х(1 — у) + 022(1 — х)(1 — у).

Предположим, что стратегия у фирмы 2 зафиксирована. Тогда, фирма 1 хочет максимизировать прибыль п1(х,у).

Пусть Ш равно:

П2(ж, у) = апжу + а2іж(1 - у) + аі2у(1 - ж) + 022(1 - ж)(1 - у).

185

1 6627А2 - 30080Ас + 23480с2 3 с(282А - 649с)

Для фиксированного у Є [0,1] имеем

Аналогично

Наилучший ответ фирмы 2 для фиксированной стратегии x фирмы 1 имеет вид

Í0 для p < W,

любое из [0,1], для p = W,

1 для p > W.

Если p = W, q = W и W e [0,1] (A e (tic, t2c) или A e (t3c, t4c)) имеем NE ((W, 1 — W), (W, 1 — W)) с вектором выигрышей (п, п), где

34 (2209A2 — 4559Ac + 2341c2)c

'Л —-------------------------------------.

2115 282A- 649c

4. Точка переключения для двухшаговой игры

В этом разделе мы рассматриваем точку переключения с одной налоговой ставки на другую. Сначала рассмотрим переключение без модели Курно. Пусть ТЛ - совокупный доход, ТС -общие затраты. Тогда прибыль п = ТЛ - ТС. Таким образом, налоговые выигрыши для обеих налоговых ставок равны, если следующее условие выполнено ([1])

0,06(TR - TC) = 0,015TR.

Поэтому,

(2) ^ =0,6.

Это соотношение может интерпретироваться следующим образом: если общие затраты составляют больше чем 60% совокупного дохода, тогда фирма выбирает налоговую ставку с чистой прибыли, и если общие затраты меньше 60% совокупного дохода, тогда фирма выбирает налоговую ставку с совокупного дохода.

186

Теперь рассмотрим игру Курно с одной фирмой и найдем эквивалент условия (2), когда фирма предпочитает изменить налоговую ставку. Следуя рассмотренной выше схеме, мы предполагаем, что сначала фирма находит оптимальный план производства относительно каждой комбинации налоговых ставок и затем выбирает оптимальную налоговую ставку. Тогда выигрыши, оптимальные планы производства и соответствующие прибыли задаются следующим образом:

пР = вр((А - q)q - сд),

р А - с =----------

2 ’

пР = п *

вр(А - с)2

п* = в*(А - д)д - сд,

* _ А А - с д* 2в* ,

_* (в*А - с)2

п = ^вТ- •

Сравнивая пр и п* находим, что фирма будет использовать налоговую ставку с совокупного дохода, если А > ¿2*с. Перейдем к двухшаговой игре для двух фирм. Сначала заметим

(а) если А > ¿эс, то единственное возможное КБ для фирм - (Т, Т), поскольку для А е [¿эс, ¿4с] оно доминирует чистое КБ (Р, Р) и использование смешанной стратегии для А е [¿э с, ¿4 с] невыгодно из-за существования чистого КБ.

(b) Если А е (¿2с, ¿эс), то существует единственное КБ для фирм - (Р, Р).

(c) Неотрицательность равновесных прибылей и равновесных количеств для налоговой ставки с совокупного дохода влечет, что А > 50с/47. Таким образом, нет никакого смысла рассматривать налоговую ставку с совокупного дохода для А ^ 50с/47. Если А е (50с/47, ¿2с), то ситуация становится чрезвычайно неопределенной и конкурентоспособной для фирм с маленькими прибылями.

Таким образом, хотя в двухшаговой игре есть несколько КБ, только два из них доступны, а именно, (Т, Т) и (Р, Р) и точка переключения ¿эс. Эта точка переключения больше чем точка переключения для двухшаговой игры с одной фирмой. Это означает, что в конкурентной среде точка переключения повышается и это гарантирует меньшую, но более устойчивую прибыль.

5. Одношаговая налоговая игра Курно

В этом разделе мы исследуем дуополию, где фирма выбирает налоговую ставку оптимальным образом после установления плана производства. Сначала рассмотрим игру с одной фирмой. После сравнения прибыли для налоговых ставок с чистой прибыли и совокупного дохода, прибыль фирмы задается как:

(а) если А > 5с/3, то

для д > А - 5с/3,

для д ^ А - 5с/3,

(Ь) если А ^ 5с/3, то

п(д) = ^((А - д)д- сд).

Оптимальные количества для налоговых ставок с чистой прибыли и совокупного дохода имеют вид

„ Ас * А 25

др =2 - 2 ’ д* = 2 - 47с-

Ясно, что д* < др. Три случая должны быть рассмотрены:

(О Пусть А — 5с/3 < д* < др. Тогда А ^ 320 с/141 и фирма выбирает налоговую ставку с чистой прибыли.

(н) Пусть д* < А — 5с/3 < др. Тогда 320 с/141 < А ^ 7 с/3 и

ф) если 320с/141 < А ^ (5/3 + \/7990/141)с, то фирма выбирает налоговую ставку с чистой прибыли,

(Ь) если (5/3 + \/7990/141)с < А ^ 7с/3, то фирма выбирает налоговую ставку с совокупного дохода,

(ш) Пусть д* < др < А — 5с/3. Тогда А > 7с/3 и фирма выбирает налоговую ставку с совокупного дохода.

Следовательно, следующая теорема доказана для игры с одной фирмой.

Теорема 3. В налоговой игре с одной фирмой

(a) Если А < (5/3 + л/7990/141)с, то фирма выбирает налоговую ставку с чистой прибыли, оптимальное количество продукции др = ^ — 2 и соответствующая прибыль 87 (А — с)2.

(b) Если А > (5/3 + л/7990/141)с, то фирма выбирает налоговую ставку с совокупного дохода, оптимально количество продукции д* = ^ — 27 с и соответствующая прибыль 200 А2 + Ц с2 — 2 Ас.

Перейдем к игре Курно с двумя фирмами. Пусть фирмы производят д1 и д2 количества продукции, тогда из функции прибыли имеют вид :

если 52 < А — 5с/3, то

. 100

Пі(^1,52) =

100((А — 51 — 52)51 — С5і) для 51 > А — 52 — 5с/3,

100

если 52 ^ А — 5с/3, то

100(А — 51 — 52)51 — С51 для 51 ^ А — 52 — 5с/3,

85

^1(51, 52) = 100((А — 51 — 52)51 — С51),

если 51 < А — 5с/3, то

П2(51,52) =

Ц0«А — 51 — 52)52 — С52) для 52 > А — 51 — 5с/3, .100(А — 51 — 52)52 — С52 для52 ^ А — 51 — 5с/3,

если 51 ^ А — 5с/3, то

85

П2(5ъ 52) = 100((А — 51 — 52)52 — с52).

Аналогично теореме 3 получаем следующую теорему.

Теорема 4. В налоговой игре с двумя фирмами

(a) Если А < 135с/47, то фирма выбирает налоговую ставку с

чистой прибыли, оптимальные количества продукции 5^ = 5^ = (А — с)/3 и соответствующая прибыль (А — с)2.

(b) Если А ^ 135с/47, то фирма выбирает налоговую ставку с совокупного дохода, оптимальные количества продукции 51 * = 52* = (47А — 50с)/141 и соответствующая прибыль 4470А2 —

2 а с + _50_ с2

9 Ас Т" 423 с •

6. Заключение

Сначала заметим, что для одношаговой игры с одной фирмой, так же как для двухшаговой игры, точки переключения совпадают и равны ¿2*с. Для игр с двумя фирмами ситуация изменяется. Было показано, что точка переключения с налоговой ставки с чистой прибыли на налоговую ставку с совокупного дохода для двухшаговой игры равна ¿зс и для одношаговой игры - 135с/47 и ¿зс > 135с/47. Это можно объяснить существованием в двухшаговой схеме некоторой дополнительной неопределенности по сравнению с одношаговой схемой. Эта неопределенность влияет на поведение фирм, заставляя их соглашаться получать меньшую прибыль, чтобы получить более устойчивое положение на рынке.

Литература

1. НАРЕГНЫЙ В. Управление малым бизнесом: выгодно ли использовать упрощенную налоговую систему с 2003? // Финансовая газета. - 2002. - №10. - С. 15-18.

2. Налоговый Кодекс Российской Федерации. Раздел N 346.20.

3. LAMBERTINI L., MANTOVANI A. Price vs Quantity in a Duopoly with Technological Spillovers: A Welfare Re-Appraisal// Keio Economic Studies. - 2001. - V. 38. - P. 4152.

4. LAMBERTINI L., MANTOVANI A., ROSSINI G. R&D in Transport and Communication in a Cournot Duopoly// Rivista Intemazionale di Scienze Economiche e Commerciali. - 2003. -V. 50. - №2. - P. 185-198.

5. PETROSYAN L.A., ZENKEVICH N. A. Game Theory. -World Scientific, London, 1996.

A TAX GAME IN A COURNOT DUOPOLY

Alexander Galegov, Faculty of Applied Mathematics and Control

191

Processes, St. Petersburg State University, Saint Petersburg, post-graduate student (galegov@rambler.ru).

Andrey Garnaev, Faculty of Applied Mathematics and Control Processes, St. Petersburg State University, Saint Petersburg, Doctor of Science, professor (agarnaev@rambler.ru).

Abstract: Stackelberg models for hierarchical oligopolistic markets with a homogenous product were studied by researchers extensively. The goal of this paper is to extend the classical solution in closed form of the Stackelberg model for a general hierarchical structures composed by firms arranged into groups of different hierarchical levels.

Keywords: hierarchical structures, multi-level Stackelberg

equilibrium, Nash-Cournot equilibrium.