Накопление повреждений и разрушение высокоэластичного тонкого слоя при циклическом обжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376.43

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4

НАКОПЛЕНИЕ ПОВРЕЖДЕНИИ

И РАЗРУШЕНИЕ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНОГО ТОНКОГО СЛОЯ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ ОБЖАТИИ

Р. А. Арутюнян

С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, Robert.Arutyunyan@paloma.spbu.ru

Введение. Рассмотрена задача о течении высокоэластичного тонкого слоя, многократно сжимаемого двумя жесткими плитами. Показано, что вблизи плоскостей контакта возникает напряженное состояние, близкое к состоянию всестороннего гидростатического сжатия, что способствует разрыхлению и разрушению материала. Полученные результаты могут быть использованы для оценки циклической прочности эластомеров и различных изделий, в которых они используются в качестве рабочего материала (шины, прессовые валы и др.), и для прогнозирования деформационных и деградационных процессов в дорожных асфальтобетонных покрытиях при их длительной эксплуатации.

1. Формулировка уравнений линейно вязкой среды. 1.1. Случай объемного напряженного состояния. В соответствии с результатами опытов высокоэластичные материалы в ограниченных диапазонах температурно-силового воздействия можно рассматривать как линейно вязкие среды, реологические соотношения для которых записываются в виде уравнений Ньютона [1, 2]:

¿х = 1 , 2^ - а), Ъ* = Туг п

¿у = 1 , 2п у - а), 1гх = т*х п

¿2 = 1 , - а), 1ху = тху п

(1.1)

ди ду дт

ех + еу + е2 = — + — + — = 0.

дх ду дг

В уравнениях (1.1) приняты следующие обозначения: ах, ау, а*, ту2, т2х, тху — компоненты тензора напряжений, а = 1/3(ах + ау + а*) — среднее напряжение, ¿х, ¿у, , 1уг, Yzx, 7ху — компоненты тензора скоростей деформаций, и, у, т — составляющие скоростей перемещений, п — коэффициент вязкости.

В общем случае схема решения конкретных задач сводится к следующему. К семи уравнениям (1.1) следует добавить три уравнения равновесия:

0,

0, (1.2) 0.

дах дтху дтхг

+ ■ +

дх ду дг

дтух + дау + дтуг

дх ду дг

дтгх дтгу даг

+ ■ +

дх ду дг

© Р. А. Арутюнян, 2012

С учетом (1.1), а также соотношений Коши

ди Зу

* ~ ' V

зу ди)

1ху

ди Зу ду дх'

дх'

Ъ*

ди

дх '

дх ду '

ди ди дх дх

(1.3)

систему уравнений (1.2) можно записать через составляющие скоростей перемещений и, V, и в форме дифференциальных уравнений Навье:

да

,?Аы + а;

0,

За

»уДи + — ду

0,

да

1]А ги + — дх

0,

(1.4)

где Д = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дх2 — оператор Лапласа.

1.2. Случай плоской деформации. Перейдем к рассмотрению плоской деформации, к которой сводится рассматриваемая задача о сжатии вязкого слоя между длинными параллельными пластинами (рис. 1.1). Пусть ширина слоя 2а мала по сравнению с длиной 26, тогда среда будет находиться в состоянии плоской деформации [3], и в первом приближении можно считать, что вязкое течение происходит в плоскостях, параллельных плоскости ху. Поэтому и = 0, V = 0, а составляющая скорости в направлении оси х равна нулю: и = 0. Равны также нулю следующие компоненты скоростей деформаций и напряжений: = 0, 7у* = 0, 7*х = 0, тх2 = 0, ту* = 0.

Рис. 1.1. Сжатие длинного плоского слоя между длинными параллельными пластинами.

Задача о плоской деформации для линейно-вязкой среды подробно рассмотрена А. Надаи [2]. Нами используются эти результаты для конкретных расчетов по сжатию тонкого слоя из полиуретана. Эти расчеты способствуют пониманию процессов деградации и разрушения материала слоя в условиях циклических нагружений.

В случае плоской деформации реологические уравнения (1.1) сводятся к следующим соотношениям

ах - а = 2^£х, Тху = П1ху, ау — а = 2пеу,

а = 1/2(ах + ау) = а*,

(1.5)

(1.6)

а формулы Коши (1.3) имеют вид

ди Зу ди Зу

1 дх' у ду' ду дх

(1.7)

2

Уравнения (1.4) записываются в следующем виде:

да „ да

г]Аи + — = 0, r]Av + — = О,

ду (1.8) д2и д2и d2v d2v

дх2 ду2' дх2 ду2

+ = — + — = °- (1-9)

С учетом ez = 0, уравнение неразрывности запишем в виде

ди ду дх ду

Известно, что система уравнений (1.8)—(1.9) решается путем введения функции тока у, удовлетворяющая следующим соотношениям:

8lP 8lP (л лсл\

Система уравнений (1.8)—(1.9) для функции у сводится к линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка — бигармоническому уравнению

При рассмотрении конкретных задач можно получить решение уравнения (1.11), задавая граничные условия, в частности, для составляющих скоростей перемещений и, v.

Примем, что слой вязкого материала сдавливается двумя плоскими пластинками без проскальзывания при их сближении. При этих ограничениях скорости у плоскостей у = ±h будут равны

и = 0, v = — vo = const при у = h, , ,

u = 0, v = vo = const при у = —h.

Согласно соотношениям (1.10) для функции тока у имеем соответствующие граничные условия:

dV п и

tp = Vox, —— = U при у = п,

ду (1.13)

П h

tp = —Vox, —— = U при у = —п.

ду

Для случая длинной прямоугольной пластины решение уравнения (1.11) выражается в форме полиномов [2], в частности, в виде полинома четвертой степени у = ах4 + Ьх3у + сху + dху3 + еу4. С учетом граничных условий получим а = 0, b = 0, е = 0, с = 3v0/2h, d = —v0/2h3.

Таким образом, бигармоническому уравнению (1.11) удовлетворяет функция тока, заданная аналитическим выражением

bh-y*). (1.14)

В соответствии с (1.10) для скоростей перемещений и, v выполняются соотношения

v = -^(3h2y-y3). (1.15)

55

Рис. 1.2. Линии тока р = const.

Линии тока определяются из условия p = const. Они показаны на рис. 1.2.

В начальный момент линии тока перпендикулярны к направляющим пластинам (рис. 1.2), затем очень быстро загибаются в направлении главного движения, которое параллельно пластинам. Поэтому, если полимерный слой обладает достаточно высокими начальными упругими и вязкими характеристиками или если остаточные поверхностные напряжения по знаку не благоприятны к действующим усилиям, то в начальный момент возможно возникновение перенапряжений, которые могут быть причиной разрывов и микротрещин, обеспечивающих вязкое течение в направлении оси х.

Скорость и частиц увеличивается с удалением от центральной плоскости x = 0. Поэтому непосредственно по линии контакта скорости частиц равны нулю. Наибольшие значения скоростей возможны в удаленных от линии контакта сечениях.

Рассмотрим распределение компонент напряжений. Среднее напряжение а или давление P = —а вычисляется по формулам

да dP 3-qvox i]Au = ——— =

дх дх h3 '

7]AV — -— — — —

ду ду h3

Решение системы (1.16) имеет вид

(1.16)

P = Po + |g(r-x2), (1.17)

где Ро — величина давления в начале координат х = 0, у = 0, которая определяется путем наложения на последнее равенство приближенного условия Р « 0 при х = ±а, у = 0, тогда из формулы (1.17) следует

Щура2

Внося (1.18) в (1.17), получаем

Р = (а2 + у2 — х2) . (1.19)

а2

Максимальное давление Р = Ро достигается вдоль линии х = 0, у = 0. В точке х = а, у = 0 давление падает до нуля.

Скорости деформаций определяются по формулам Коши и имеют вид

х ~ дх ~ 2h? { У > '

dv 3vo / ,2 £у = ~д~у = ~2h?

du dv 3voxy = яГ + ~aZ =

(h2 - y2) , (1.20)

ду дх Н3

С учетом (1.19) и (1.20) компоненты напряжений могут быть записаны в следующем виде

ах = -Р + 2г/ех = ^(х2- Ъу2 - а2 + 2Ь2) ,

9 \х

a2

= -P + 2r1ey = ^{x2+y2-a2-2h2), (1.21)

a2

2Poxy 3-qvoxy

h3 •

Согласно (1.21) на плоскости контакта y = h касательные напряжения имеют

вид

ху | y=h--• (1-22)

Таким образом, из (1.21) и (1.22) следует, что касательные напряжения по длине и по поперечному сечению слоя меняются по линейному закону. Рассмотрим характер распределения нормальных напряжений. Из формул (1.21) следует, что в любом поперечном сечении x = const нормальные напряжения ах, ау меняются по параболическому закону. Для двух сечений x = 0 и x = a нормальные напряжения вычисляются по формулам

' - = I? I2"2" %2> - ■ - = р<»2 ~ - (L2:i)

Vx I х=0 = (2ь2 - Зу2 - а2) , ау | х=0 = (у2 - 2h2 - а2) .

Для выполнения расчетов по полученным реологическим соотношениям коэффициент вязкости п определялся из результатов опытов на одноосное сжатие и ползучесть стандартных цилиндрических образцов из полиуретана при двух уровнях напряжений 2 МПа и 4 МПа. Согласно кривым ползучести, показанным на рис. 1.3, на начальных участках наблюдается линейно вязкое поведение. Рассматривая квазистатическое нагружение, определяем коэффициент вязкости из соотношений

¿х = тг^х, о=\ох, ау = 0, <7Z = 0, (1-24)

3п 3 3£x

Соответствующая этим соотношениям величина коэффициента вязкости равна П = 2, 265 МПа • мин.

2. Эпюры скоростей перемещений и напряжений. Выбор модели усталостного разрушения. 2.1. Построение эпюр скоростей перемещений. Эпюры скоростей перемещений u, v построены согласно соотношениям (1.15). При вычислении по этим формулам были приняты следующие значения параметров: vo = 0, 5 мм/мин., 2h = 25 мм, 2a = 10 мм.

а

y

Рис. 1.3. Кривые ползучести для двух уровней напряжений а = 2 МПа и а = 4 МПа.

Эпюры скоростей и показаны на рис. 2.1. В направлении оси x скорости и распределены по параболе с максимумом в точках y = 0. При этом с удалением от начала координат скорости частиц увеличиваются. При x = а/2, umax = 0,15 мм/мин., а при x = а, umax = 0, 30 мм/мин. Таким образом, с увеличением ширины полосы обжатия величина и будет расти.

а/2 а

Рис. 2.1. Эпюры скоростей и.

Компонента скоростей частиц v в направлении оси y не зависит от координаты x и распределена одинаково по любому сечению x = const (рис. 2.2). По плоскостям y = ±h скорость v достигает наибольшей величины: vmax = 0, 50 мм/мин.

, 0,5 0,5

h

-h-

© J е J

е \ е \

0,5 0,5

Рис. 2.2. Эпюры скоростей v.

2.2. Построение эпюр напряжений. Эпюры напряжений ах, ау и тху строились согласно формулам (1.21). При построении эпюр напряжений были использованы

следующие величины коэффициентов: г>о = 0,1 мм/мин., п = 2, 265 МПа • мин., 2К = 25 мм.

Согласно (2.1) функции ах и ау имеют максимум в точке (0,0).

Эпюры напряжений ах для двух сечений х = 0 и х = а показаны на рис. 2.3. Максимальные напряжения положительны и при х = 0 достигают величины ах = 0, 25 МПа. С приближением к плоскостям у = ±к напряжение ах меняет знак на отрицательный и при у = ±к получаем ах = -0,158 МПа. Отметим, что отрицательные значения напряжения ах наблюдаются в тонких прослойках вблизи полос контакта толщиною около 3 мм.

Рис. 2.3. Эпюры напряжений ax.

Величины напряжений ау отрицательны. Наибольшее сжимающее напряжение ау = -0, 294 МПа наблюдается в точке (0,0). На плоскостях у = ±Н по сечению х = 0 сжимающее напряжение равно ау = -0,158 МПа. С удалением от плоскостей х = 0 напряжения ау будут уменьшаться и при больших величинах а они стремятся к нулю. Эпюры напряжений для двух сечений х = 0 и х = а показаны на рис. 2.4.

Как следует из рис. 2.3 и 2.4, на плоскостях y = ±h величины напряжений ах и ау одинаковы. Так как в случае плоской деформации az = 1/2(ах + ay), величины трех главных напряжений равны друг другу и, например, при x = 0 ах = ay = az = -0,158 МПа. Таким образом, сравнивая величины нормальных напряжений, можно прийти к следующему заключению. На поверхности полосы обжатия и в точках внутри тонкой прослойки (толщина прослойки составляет около 3 мм) возникает напряженное состояние, равное или приближающееся по своему характеру к состоянию всестороннего гидростатического сжатия, что может способствовать появлению хрупких разрушений на полосах контакта и в точках внутри прослойки.

На рис. 2.5 показаны эпюры касательных напряжений тху. По центральному сечению x = 0 тху = 0. По любому сечению x = 0, x = const касательные напряжения распределены по линейному закону. Также по линейному закону распределены каса-

тельные напряжения по плоскостям y = const. В точках x = максимальной величины тху = 0, 254 МПа.

a, y = ±h они достигают

2.3. Модель усталостного разрушения. Воспользуемся полученными результатами для оценки циклической прочности эластичного слоя из полиуретана, используемого в качестве покрытия прессовых валов, применяемых, в частности, в бумажной промышленности. Полоса бумаги прокатывается между двумя прижатыми друг к другу вращающимися стальными валами, один из которых покрыт тонким слоем полиуретана. Частота вращения составляет около 1 об/сек.

В выполненных нами опытах на сжатие образцов из полиуретана установлено, что для полного восстановления деформации после разгрузки требуется несколько минут. Следовательно, для фиксированного элемента поверхностного слоя деформация, накопленная в процессе обжатия, не может быть восстановлена при разгрузках продолжительностью в секунду. Поэтому деформация будет накапливаться от цикла к циклу, создавая эффект циклической ползучести. Однако в тонких прослойках вблизи плоскостей контакта, где напряженное состояние близко к всестороннему гидростатическому сжатию, деформации затруднены, что будет способствовать появлению локальных разрывов (повреждений) и развитию необратимой составляющей деформации вследствие разрыхления структуры [4, 5]. В пределах одного цикла эта величина незначительна, но в результате многоцикловых нагружений она может достигать предельной величины.

Выделим элемент вала и воспользуемся законом сохранения массы для этого элемента. Пусть ро, V0 —начальные и р, V — текущие плотность и объем выделенного элемента. Согласно закону сохранения массы poVo = pV. Обозначим £у = V/Vo — 1, тогда р/ро = 1 + £у. Логарифмируя это соотношение и рассматривая случай малых деформаций, получаем

1п(ро/р) = £у = £x + £y + £z = (1 — 2v)£x, (2.1)

где £x, £y, £z —компоненты деформаций, v — текущий коэффициент поперечной деформации.

Пусть £x = £yx + ¿X, где £yx —упругая, £bx —вязкая составляющие деформации. Принимая закон Гука £yx = a/E (E — модуль Юнга) и считая, что в момент разрушения £bx = £*, р = р*, v = v*, E = E*, соотношение (2.1) запишем в виде [4]

g , ^ = Нро/р*) ^ 2)

E* 1 — 2v*

В опытах наблюдается прямая корреляция между функцией 1п(ро/р*) и модулем упругости E [6]. Наши опыты, в согласии с результатами других авторов, указывают на существенное уменьшение модуля упругости в процессе циклического и длительного статического нагружений образцов из полиуретана.

Формулируя критерий усталостного разрушения в виде (2.2), принимаем линейную аппроксимацию [6] для модуля упругости E* = Eo(1 — а 1п(ро/р)) (Eo, а — постоянные) . С учетом этой формулы и соотношения для вязкой составляющей деформации в момент разрушения £* = BanNm (B, n, m — постоянные) критерий (2.2) (без учета упругой деформации) можно записать в виде

= --i (Яо^ЕА (2 3)

(1-2 щ)Ва\ Е0 ) к '

а, МПа гт 30 -

о

N, циклов

Рис. 2.6. Кривая усталости согласно критерию (2.3), точки — результаты опытов.

В отличие от известных критериев усталости [7], в правую часть критерия (2.3) входят основные характеристики материала: модуль упругости и коэффициент поперечной деформации.

Кривая усталости согласно критерию (2.3) показана на рис. 2.6. Точки на этом рисунке соответствуют результатам опытов. Наблюдается хорошее согласие между теоретическими и экспериментальными кривыми.

При расчетах по формуле (2.5) использовались следующие величины коэффициентов: E0 = 180 МПа, E* = 40 МПа, B = 6 • 10-2 [МПа]-п • [циклов]-™, n = 0, 5, m = 0, 06, v* = 0, 4.

Литература

1. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Изд-во иностранной литературы. 1954. 648 с.

2. Nadai A. Theory of flow and fracture of solids. McGraw-Hill, New York, 1963. Vol. 2. 521 p.

3. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука. 1975. 576 с.

4. Арутюнян Р. А. Проблема деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 253 с.

5. Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1978. 295 с.

6. Черемской П. Г., Слезов В. В., Бетехтин В. И. Поры в твердых телах. М.: Энерго-атомиздат, 1990. 376 с.

7. Вейбул В. Усталостные испытания и анализ их результатов. М.: Машиностроение, 1964. 276 с.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.