Наилучшие приближения в среднем функций двух переменных треугольными суммами Фурье по общим ортогональным полиномам Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №3_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О.А.Джурахонов

НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНЫМИ СУММАМИ ФУРЬЕ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 22.12.2017 г.)

В работе вычислены точные верхние грани приближения функций двух переменных треугольными частичными суммами двойного ряда Фурье по общим ортогональным многочленам на некоторых классах функций, задаваемых модулями непрерывности т -го порядка.

Ключевые слова: наилучшие приближения, модуль непрерывности, ряд Фурье, неравенство, ортогональные многочлены.

Введем необходимые понятия и определения, нужные нам в дальнейшем. Всюду далее

Ь2 = Ь2 ((а, Ь) х (с, d); р( x)q( у)) - пространство суммируемых с квадратом функций

{ : (а, Ь) х (с, с1) —» М свесом р(х)д(у) и конечной нормой

'К 4 V

I/II2H \\pix)qiy)f2ix,y)dxdy

Пусть {Pk(x) , Ot (у) \к! - полные ортонормированные системы многочленов с весами

z+

р(х) и q(у) соответственно. Для функции |е Ь2 запишем разложение в двойной ряд Фурье следующего вида:

ад ад

I (х, у) = ££си (ЛРк (х)й (у), (1)

k=0l=0

где

Ckl

b d

(f) = \\p(x)q(y)f (x, y)Pk (x)Q (y)dxdy (2)

- коэффициенты Фурье функции I , а равенство в (1) понимается в смысле сходимости в метрике пространства Ь2. Обозначим через

SN_l(f■;х,у):= Е СМСЯР(хП(у)

0 <к+1 <Ы -1

Адрес для корреспонденции: Джурахонов Олимджон Акмалович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

- треугольную сумму (N -1) -го порядка ряда (1) Фурье ( е L2.

Если Тп - совокупность полиномов двух переменных степени более (И — 1) вида

рм-г(ху)= Е амхку,

0 <k+l< N -1

то, как известно [1],

k+l>N

:= ||2: PN_X е VN_X) =

1

HI/-VJI (3)

В пространстве L2 рассмотрим функцию

ад ад

T (x, u; y, v; h) = £££ (x)^ Ий (y)^ (v)hm+n

k=0 l=0

где й е (0,1), (х, у) е (а, Ь) х (а, Ь), (у, V) е (с, ^) х (с, d), а равенство, стоящее в правой части, понимается в смысле сходимости двойного ряда в метрике L2. В пространстве L2 рассмотрим оператор сдвига

b d

Fhf (x, y) = JJ p(u)q(v)f (u, v)T (x, u; y, v;1 - h)dudv,

a c

где 0 < h <1. Следуя работе [1], определим конечные разности первого и высших порядков, определенные следующими равенствами

Ah (f; x, y) := Fhf (x, y) - f (x, y) = (Fn - E) f (x, y), (4)

Ah (f; x, y) = Ah (Ah-\f; •, •); x, y) =

m i m ^

= (F -E)mf (x,y) = E(- 1)"- . Ff (x,y), m = 1,2,3,...,

V * У

где

= Л*,У\КЛ*,У) = Рь {К1ЛХ>У))> а = 1,2,...,ш;ш е К),

а Е - единичный оператор в пространстве L2. В работе [1] доказано, что в смысле сходимости в пространстве L2 имеет место равенство

1|АГ(/;х,у)||22=ХЕ(1-Р-л) ) 4СА о<л<1,

¿=1 г=1

в силу которого определим обобщенный модуль непрерывности т -го порядка следующим соотношением

= 8ир{|| А™(/;.,.) к: 0 < А < 0 =

ад ад / \2т _

{Ц(! -(1 -<Г) 4

(5)

к=1 1=1

В этих обозначениях имеет место следующее общее утверждение

Теорема. Пусть т,п е N,7* е Z+,0 < р < 2,/г е (0,1] м q - неотрицательная измеримая суммируемая на интервале (0, к) неэквивалентная нулю функция. Тогда справедливо равенство

sup —

1е12 Г к

ЕЫ _,(I )2

1

(I, ')2 ^4 [ ] 1(1 - (1 - ху У ф4

_1_ •

р

(6)

Доказательство. С целью получения оценки сверху величины, стоящей в левой части равенства (6), воспользуемся одним вариантом неравенства Минковского, приведенного в [2, с.104]:

Л

" / ад

I [И)|2

у/2 Л1/р [

0 V1 = N

4г

>

ад [ и

1/2

1 = N V 0

где 0 < р < 2 . Полагая в неравенстве (7) ° := р, получаем

\Р/2

Ч1/Р ,

о V

| [ е 11 а) |2 & )4 > 1| (г) |р & &

1/2

1 = N V 0

В силу того, что к +1 = N N +1,...;

М [1-(1-0° ТР >[\-(\-tУY\kJ,m^n,0< р< 2,

к+1>Ы

то с учетом определения величины наилучшего приближения (3) имеем:

Лпрт(1,1)2д(№\ Р

>

(7)

(8)

>

р

}- (1 - X)(к+1) ]2тс1 (I)12 q(t4

0 V к+1 > N )

>

>

тр

Е < (У)/ [1 - (1 - <){к+1) Г <№*

\ к+1 > N о

>

> ■>

П /[

1 - (1 - t)N у дт . е с2 (У)

у к+г > N

>

/[1 - (1 - t)N ] ^ )dt IР . EN-!(/)2.

Отсюда получаем оценку сверху экстремальной характеристики, стоящей в левой части равенства (6):

sup —

fеL2 Ск

EN-,( У )2

<-

1

/От (У, t )2 М [ Ш - (1 -1) " )тр д^ )dt

_1_ • р

(9)

Для получения оценки снизу указанной величины рассмотрим функцию /0(х,у) := РЪ1 (x')Q0(у) е £2. В силу формулы (5)

а потому имеем:

От (/о, t= [1 - (1 - t)N ]т ,0< t <1,

п п

\от С/о, t )2 д^ )Л = | [1 - (1 -1) " ] тр д(г )dt.

(10)

Отсюда и из равенства 1( /0 )2 = 1 следует оценка снизу

sup —

/е1ч( к

ЕЫ-,(/)2

> ■

V А

EN-1 (/0 )2

/ор (/,t)2 д(^ I/ор (У,t)2

у V 0 1

1 •

/[1 - (1 -1)N]тр д(г)dt

(11)

Требуемое равенство (6) вытекает из сопоставления оценки сверху (9) с оценкой снизу (11), чем и завершаем доказательство теоремы.

Из доказанной теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Пусть ¿,ЛгеМ,0< ^<2,йе(0,1] и = N(1 — 1. Тогда имеет место равенство

EN-1(У )2

sup

fеL2 г к

N /о т (У, t )2(1 -1)N-1 л

п

N / [1 - (1 -1)N ]тр (1 -1)N-1 сЧ

тр +1

(1 - (1 - к)N )

тр+1

1/р

Из равенства (12), в частности при к = 1/ N, вытекает экстремальное равенство

EN-1( У )2

вирвир-

N /о т (У, t )2(1 -1)N-1 л

(12)

вир

тр +1

Г1 _ С1__п'яр+1

^ N

1/р

1/р

тр +1

тр+1

1 -

откуда, в свою очередь, полагая р — 1 / т, т е М, будем имеет

EN -1(У )2

эирэир-

1/N 1

N /о т (У, t )2(1 -1)N -1

^2т V е-1 у

(13)

Следствие 2. Пусть тДеМ,^ = 1/т,//е(0,1] и = Тогда из равенства (6) вытекает равенство

т

su. E»f m = I *+ ^ Г . (.4)

f^ I h 1m I N +1 N +1

jo;m f, t )2 d

В частности, полагая в (14) h = 1/ (N +1), имеем:

-п t г л л-m(N+1)

sup.....EN-(f)2-^ = |1 - 1 1

f eL

1/(N+1) ]m | N +1.

N ~

1 I

— j °mm (f, t)2 dt|

откуда сразу вытекает равенство

supsup-En-'(f )2-= em.

NsNfsL2 Гl/CJV+l)

j o;;m (f, t)2 dtj

Данная работа является обобщением результатов, полученных нами в работе [3].

Поступило 25.12.2017 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абилова В.А., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости двойных рядов Фурье по ортогональным многочленам в пространстве L2((a,b) х (c,d);p(x)q(y)) . - Ж. вычисл. матем. и

матем. физ., 2009, т.49, с.1364-1368.

2. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. - BerHn:Sprmger-Verlag, 1985, 291 p.

3. Джурахонов О.А. Некоторые экстремальные задачи приближения функций двух переменных

суммами Фурье-Эрмита в пространстве L2p(R ). - Изв. АН РТ. Отд. физ -мат., хим., геол, и техн.н., 2016, №4(165), с15-25.

О.А.Ч,урахонов

НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ МИЁНАИ ФУНКСИЯХОИ ДУ ТАГИЙРЁБАНДА БО СУММАХОИ СЕКУН^АИ ЦАТОРИ ФУРЕ БО ПОЛИНОМХОИ ОРТОГОНАЛИИ УМУМИ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола, сархади болоии наздиккунии бехтарини функсияи дутагийрёбанда бо ерии

суммахои секунчаи катори Фуре дар фазои L2((a, b) х (c, d); p( x)q( y)) муайян карда шудаанд.

Калима^ои калидй: наздиккунии беутарин, модули бефосилагй , цатори Фурье, бисераъзоги ортогоналй, нобаробариуо.

O.A.Jurakhonov

LEAST UPPER BOUNDS OF APPROACH SOME CLASSES OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES THE TRIANGULAR SUMS FOURIER IN SPACE

L2((a,b) x (c,d);p(x)q(y))

Tajik National University

In work the exact least upper bounds of approximation of functions of two variables the triangular partial sums of a double series Fourier by general orthogonal polynomials on a class of functions in space L2 ((a, b) x (c, d); p( x)q( y)) are calculated.

Key words: best approximation, modulus of continuity, sums Fourier, orthogonal polynomials, inequalities.