CC BY
8
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
О.А.Джурахонов
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНЫМИ СУММАМИ ФУРЬЕ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 22.12.2017 г.)
В работе вычислены точные верхние грани приближения функций двух переменных треугольными частичными суммами двойного ряда Фурье по общим ортогональным многочленам на некоторых классах функций, задаваемых модулями непрерывности т -го порядка.
Ключевые слова: наилучшие приближения, модуль непрерывности, ряд Фурье, неравенство, ортогональные многочлены.
Введем необходимые понятия и определения, нужные нам в дальнейшем. Всюду далее
Ь2 = Ь2 ((а, Ь) х (с, d); р( x)q( у)) - пространство суммируемых с квадратом функций
{ : (а, Ь) х (с, с1) —» М свесом р(х)д(у) и конечной нормой
'К 4 V
I/II2H \\pix)qiy)f2ix,y)dxdy
Пусть {Pk(x) , Ot (у) \к! - полные ортонормированные системы многочленов с весами
z+
р(х) и q(у) соответственно. Для функции |е Ь2 запишем разложение в двойной ряд Фурье следующего вида:
ад ад
I (х, у) = ££си (ЛРк (х)й (у), (1)
k=0l=0
где
Ckl
b d
(f) = \\p(x)q(y)f (x, y)Pk (x)Q (y)dxdy (2)
- коэффициенты Фурье функции I , а равенство в (1) понимается в смысле сходимости в метрике пространства Ь2. Обозначим через
SN_l(f■;х,у):= Е СМСЯР(хП(у)
0 <к+1 <Ы -1
Адрес для корреспонденции: Джурахонов Олимджон Акмалович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: olim74@tajnet.tj
- треугольную сумму (N -1) -го порядка ряда (1) Фурье ( е L2.
Если Тп - совокупность полиномов двух переменных степени более (И — 1) вида
рм-г(ху)= Е амхку,
0 <k+l< N -1
то, как известно [1],
k+l>N
:= ||2: PN_X е VN_X) =
1
HI/-VJI (3)
В пространстве L2 рассмотрим функцию
ад ад
T (x, u; y, v; h) = £££ (x)^ Ий (y)^ (v)hm+n
k=0 l=0
где й е (0,1), (х, у) е (а, Ь) х (а, Ь), (у, V) е (с, ^) х (с, d), а равенство, стоящее в правой части, понимается в смысле сходимости двойного ряда в метрике L2. В пространстве L2 рассмотрим оператор сдвига
b d
Fhf (x, y) = JJ p(u)q(v)f (u, v)T (x, u; y, v;1 - h)dudv,
a c
где 0 < h <1. Следуя работе [1], определим конечные разности первого и высших порядков, определенные следующими равенствами
Ah (f; x, y) := Fhf (x, y) - f (x, y) = (Fn - E) f (x, y), (4)
Ah (f; x, y) = Ah (Ah-\f; •, •); x, y) =
m i m ^
= (F -E)mf (x,y) = E(- 1)"- . Ff (x,y), m = 1,2,3,...,
V * У
где
= Л*,У\КЛ*,У) = Рь {К1ЛХ>У))> а = 1,2,...,ш;ш е К),
а Е - единичный оператор в пространстве L2. В работе [1] доказано, что в смысле сходимости в пространстве L2 имеет место равенство
1|АГ(/;х,у)||22=ХЕ(1-Р-л) ) 4СА о<л<1,
¿=1 г=1
в силу которого определим обобщенный модуль непрерывности т -го порядка следующим соотношением
= 8ир{|| А™(/;.,.) к: 0 < А < 0 =
ад ад / \2т _
{Ц(! -(1 -<Г) 4
(5)
к=1 1=1
В этих обозначениях имеет место следующее общее утверждение
Теорема. Пусть т,п е N,7* е Z+,0 < р < 2,/г е (0,1] м q - неотрицательная измеримая суммируемая на интервале (0, к) неэквивалентная нулю функция. Тогда справедливо равенство
sup —
1е12 Г к
ЕЫ _,(I )2
1
(I, ')2 ^4 [ ] 1(1 - (1 - ху У ф4
_1_ •
р
(6)
Доказательство. С целью получения оценки сверху величины, стоящей в левой части равенства (6), воспользуемся одним вариантом неравенства Минковского, приведенного в [2, с.104]:
Л
" / ад
I [И)|2
у/2 Л1/р [
0 V1 = N
4г
>
ад [ и
1/2
1 = N V 0
где 0 < р < 2 . Полагая в неравенстве (7) ° := р, получаем
\Р/2
Ч1/Р ,
о V
| [ е 11 а) |2 & )4 > 1| (г) |р & &
1/2
1 = N V 0
В силу того, что к +1 = N N +1,...;
М [1-(1-0° ТР >[\-(\-tУY\kJ,m^n,0< р< 2,
к+1>Ы
то с учетом определения величины наилучшего приближения (3) имеем:
Лпрт(1,1)2д(№\ Р
>
(7)
(8)
>
р
}- (1 - X)(к+1) ]2тс1 (I)12 q(t4
0 V к+1 > N )
>
>
тр
Е < (У)/ [1 - (1 - <){к+1) Г <№*
\ к+1 > N о
>
> ■>
П /[
1 - (1 - t)N у дт . е с2 (У)
у к+г > N
>
/[1 - (1 - t)N ] ^ )dt IР . EN-!(/)2.
Отсюда получаем оценку сверху экстремальной характеристики, стоящей в левой части равенства (6):
sup —
fеL2 Ск
EN-,( У )2
<-
1
/От (У, t )2 М [ Ш - (1 -1) " )тр д^ )dt
_1_ • р
(9)
Для получения оценки снизу указанной величины рассмотрим функцию /0(х,у) := РЪ1 (x')Q0(у) е £2. В силу формулы (5)
а потому имеем:
От (/о, t= [1 - (1 - t)N ]т ,0< t <1,
п п
\от С/о, t )2 д^ )Л = | [1 - (1 -1) " ] тр д(г )dt.
(10)
Отсюда и из равенства 1( /0 )2 = 1 следует оценка снизу
sup —
/е1ч( к
ЕЫ-,(/)2
> ■
V А
EN-1 (/0 )2
/ор (/,t)2 д(^ I/ор (У,t)2
у V 0 1
1 •
/[1 - (1 -1)N]тр д(г)dt
(11)
Требуемое равенство (6) вытекает из сопоставления оценки сверху (9) с оценкой снизу (11), чем и завершаем доказательство теоремы.
Из доказанной теоремы вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Пусть ¿,ЛгеМ,0< ^<2,йе(0,1] и = N(1 — 1. Тогда имеет место равенство
EN-1(У )2
sup
fеL2 г к
N /о т (У, t )2(1 -1)N-1 л
п
N / [1 - (1 -1)N ]тр (1 -1)N-1 сЧ
тр +1
(1 - (1 - к)N )
тр+1
1/р
Из равенства (12), в частности при к = 1/ N, вытекает экстремальное равенство
EN-1( У )2
вирвир-
N /о т (У, t )2(1 -1)N-1 л
(12)
вир
тр +1
Г1 _ С1__п'яр+1
^ N
1/р
1/р
тр +1
тр+1
1 -
откуда, в свою очередь, полагая р — 1 / т, т е М, будем имеет
EN -1(У )2
эирэир-
1/N 1
N /о т (У, t )2(1 -1)N -1
^2т V е-1 у
(13)
Следствие 2. Пусть тДеМ,^ = 1/т,//е(0,1] и = Тогда из равенства (6) вытекает равенство
т
su. E»f m = I *+ ^ Г . (.4)
f^ I h 1m I N +1 N +1
jo;m f, t )2 d
В частности, полагая в (14) h = 1/ (N +1), имеем:
-п t г л л-m(N+1)
sup.....EN-(f)2-^ = |1 - 1 1
f eL
1/(N+1) ]m | N +1.
N ~
1 I
— j °mm (f, t)2 dt|
откуда сразу вытекает равенство
supsup-En-'(f )2-= em.
NsNfsL2 Гl/CJV+l)
j o;;m (f, t)2 dtj
Данная работа является обобщением результатов, полученных нами в работе [3].
Поступило 25.12.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абилова В.А., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости двойных рядов Фурье по ортогональным многочленам в пространстве L2((a,b) х (c,d);p(x)q(y)) . - Ж. вычисл. матем. и
матем. физ., 2009, т.49, с.1364-1368.
2. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. - BerHn:Sprmger-Verlag, 1985, 291 p.
3. Джурахонов О.А. Некоторые экстремальные задачи приближения функций двух переменных
суммами Фурье-Эрмита в пространстве L2p(R ). - Изв. АН РТ. Отд. физ -мат., хим., геол, и техн.н., 2016, №4(165), с15-25.
О.А.Ч,урахонов
НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ МИЁНАИ ФУНКСИЯХОИ ДУ ТАГИЙРЁБАНДА БО СУММАХОИ СЕКУН^АИ ЦАТОРИ ФУРЕ БО ПОЛИНОМХОИ ОРТОГОНАЛИИ УМУМИ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола, сархади болоии наздиккунии бехтарини функсияи дутагийрёбанда бо ерии
суммахои секунчаи катори Фуре дар фазои L2((a, b) х (c, d); p( x)q( y)) муайян карда шудаанд.
Калима^ои калидй: наздиккунии беутарин, модули бефосилагй , цатори Фурье, бисераъзоги ортогоналй, нобаробариуо.
O.A.Jurakhonov
LEAST UPPER BOUNDS OF APPROACH SOME CLASSES OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES THE TRIANGULAR SUMS FOURIER IN SPACE
L2((a,b) x (c,d);p(x)q(y))
Tajik National University
In work the exact least upper bounds of approximation of functions of two variables the triangular partial sums of a double series Fourier by general orthogonal polynomials on a class of functions in space L2 ((a, b) x (c, d); p( x)q( y)) are calculated.
Key words: best approximation, modulus of continuity, sums Fourier, orthogonal polynomials, inequalities.
