CC BY
41
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 50-57
= Математика =
УДК 517.5
Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых
К. Тухлиев
Аннотация. Рассматривается задача о приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и классов пространственных кривых.
Ключевые слова: квадратурная формула, криволинейный
интеграл, градиент, погрешность, узлы.
Пусть функция /(М) = /(ж1, ж2,..., жт) определена и интегрируема вдоль кривой Г С Кт и
J(/;Г):= J /(М)^в = J /(ж1,ж2,...,жт)^. (1)
Предположим, что на кривой Г установлено положительное направление так, что положение точки М = М(ж1, Ж2,жт) на кривой может быть
определено длиной дуги в = АМ, отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая Г параметрически выразится уравнениями
Ж1 = ^ч(в), Ж2 = <£2(в), Жт = £т(в), 0 ^ в ^ (2)
а функция /(ж1, ж2,..., жт), заданная в точках кривой, сведется к сложной функции /(£1(в),£2(в),...,£т(в)) от переменной в. В этом случае криволинейный интеграл (1) запишется в виде определенного интеграла
J (/;Г)=/ / (£1(в),£2 (в),...,£т(в))^в. (3)
■)о
Всякая квадратурная формула вида
N
J(/;Г) ~ LN(/;Г; Р,£) := ^ри/(^ч(вк),£2(вк),...,£т(вк)) (4)
к=1
для приближенного вычисления интеграла (3) задается векторами коэффициентов Р = {рк}£=1 и узлов 5 = {вк}£=1 (0 ^ в1 < в2 < ... < вN ^ L), где р1, р2, ...,PN — произвольные действительные числа. При фиксированном N ^ 1 через А будем обозначать множество векторов коэффициентов и узлов (Р,5), либо некоторое его подмножество, определяемое теми или иными ограничениями на коэффициенты и узлы формулы (4) (например, требованием точности формулы на многочленах заданной степени, положительностью коэффициентов Рк, к = 1, 2,..., N и др.).
Обозначим через ЭДд^) — класс пространственных спрямляемых кривых Г, у которых длина равна L и кривизна кусочно-непрерывна. В дальнейшем предположим, что все кривые Г € ЭДд^) расположены в области
,жт) : > ж2
Q = {(ж1,ж2,..., жт) : ^ ж2 ^ L2}.
г=1
Обозначим через ^р(1)(К; Q) := ^р(1^р(К; Q), 1 ^ р ^ то класс функций /(М) := /(ж1,ж2, ...,жт), у которых почти всюду в области Q существуют частные производные д//джг (г = 1, 2, ...,т) и удовлетворяют условию
^▽/(£1(.),£2(.),...,£т(.)
11Р •-
/•Ь \ V«
I ^гаё /(£1(в),£2(в),...,£т(в))|Р ^ К, 1 ^ р< то,
ввв«р{^гаё / (£ч(в),£2 (в),...,£т (в))| в € [0, ^} ^ К,р = то,
где т
д/
▽ /(^),...,£т(в)) = £ ^
г=1
Через ^^(К; Q) обозначим класс функций, состоящий из всех функций / € ^р(1)(К; Q), удовлетворяющих дополнительному условию /(£1(0), £2(0),..., £т(0)) = 0. Для каждой функции / € (К; Q) и каждой
кривой Г € ЭДд^) остаток квадратурной формулы (4) имеет вполне определенное значение
^(/; Г; Р,5)| = и(/; Г) - LN(/;Г; Р,5)|.
За величину, характеризующую точность квадратурной формулы для
всех функций / € ^0(1)(К; Q), определенных вдоль кривой Г € Шд^)
примем число
^ (^(К; Q); Г; Р, я) = вир {|RN(/; Г; Р,5)| : / € ^(К;
Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4) всего класса функций ^^(К; Q) на классе кривых Шд^) обозначим
^ (К; Q); Шд^); Р, = вир { RN (^(К; Q);Г; Р, я) :Г € Шд^)} .
Для получения формулы, которую можно было бы считать оптимальной для всех функций / € ^^(К; Q) и кривых Г € Шд^), полагаем, что соотношение (4) является точным для констант:
N
/ Св = V ри = L.
7г к=1
Нижнюю грань
1)
^ рт*(К; Q); Шд^
= щ|{^ (К; Q); Шд^); Р, : (Р, 5) € а}
по аналогии с монографией С.М.Никольского [1] будем называть оптимальной оценкой погрешности квадратурной формулы (4) на рассматриваемых классах функций Ж0( ^(К; Q) и кривых Шд^). Если существует квадратурная формула, для которой
^ (К; Q);Шд^)) = RN (^(К; Q);Шд^); Р0,50) ,
то будем ее называть оптимальной или наилучшей на классах Ж0( ^(К; Q) и Шд^), а векторы Р0 = {рк}^=1 и 50 = {вк}£=1 назовем соответственно
оптимальные коэффициенты и узлы квадратурной формулы.
Записав для произвольной функции / € Ж0( ^(К; Q) как функции одного переменного Р(в) := /(£1(в), £2(в),..., £т(в)) формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши, остаток RN(/;Г; Р, 5) квадратурной формулы представим в виде
^ (/;Г; Р,5 )=/ V/(£1(в),£2(в),...,£т(в)) • Ф(в)Св, (5)
0
где
N
Ф(в) = L — в — ^рк(вк — в)+, £+ = {1, если £ > 0; 0, если £ ^ 0}. к=1
т / ^ . \ 2
Используя неравенство Гельдера с учетом тождества 31 для
.=1
произвольной функции / € ^0р(К; Q), 1 ^ р ^ то и произвольной кривой
Г € Nq(L) из (5), применяя неравенство Гельдера, получаем оценку сверху
|Rn(/ ;Г; P,S)| < f | V/(£i(s),£2(s),---,£m(s))| ■ |Ф(«)| ds =
Jo
= f | grad /(<pi(s),<p2(s),-,<Pm(s))H$(s)|ds <
o
//• l \ 1/p //• l \ 1/q
Уо | grad /(£i(s),£2(s), ...,£w(s))|pdsj |Ф(й)|9<
ifL \1/q 11
^ K ■ I |^(s)|qds 1 , —I— =1, 1 ^ q ^ to. (6)
\Jo ) p q
Рассмотрим кривую Г* € Nq(L), которая задана параметрическими уравнениями
X = ^j(s) := s/\/m, 0 ^ s ^ L, i = 1, 2,..., m, и определим функцию /(^i(s), ...,£m(s)) на кривой Г* € Nq(L) равенством
™ f Vi (s)
f*(£l(s),...,£m(s)) = ^ / ^(t)dt, f*(£l(0),£2(0),...,£m(0)) = 0, (7)
i=1 •' o
где 1
^(t) = -Km (£ |Ф^)Гds) p ■ |^(i)|q-1sgn^(i),
' m ' / s \ d(s) = L ^\/ms = VPk(sfc - v/ms)+, Ф ^ = Ф(s).
k=1 VvW
Покажем, что функция /* € wdp(K; Q). Из (7) имеем:
m
V/*(^1(s), ...,£m(s)) = ^ ^¿(s)) ■ ^¿(s) =
i=1
1
e 4 v=)-t==^ 4 7=)
\Vm/ Vm \VmJ
i=1
1
1 / s
oL \ p
= K( І |Ф(в)^ds
L
Ф
0
і p
q— 1
4 ' s
0
= K / ^(s)|q ds -^(s)|q—1 sg^(s), (8)
а потому, используя определение класса W0(1)(K; Q), будем иметь
0,p '
||V/*(£l(s),...,£m(s))yLp (Q) =
= J |Ф(«)|^ds) • J ^(s)|(q-1)pds =
= ^ ^(s)|qds) • ^ ^(s)|qds = Kp,
00
и этим включение /* € Жр(1)(К; Q) доказано.
Используя соотношение (7) и (8) из равенства (5), при любом векторе коэффициентов и узлов (Р, 5) получаем
гЬ
Rn(/*;Г*; P,S)= f V/*(£i(s), ...,£m(s)) • Ф^^ = ■Jo
= K ^ j |Ф(«)|qds) , 1 ^ q ^ то.
o
Таким образом, правая часть (6) является точной верхней границей квадратурной формулы (4) на множествах функций W0p(K; Q) и кривых Nq(L) :
(l \ i/q
J |Ф(*)Гds) , 1 < q < то. (9)
Нетрудно заметить, что экстремальная пара /* и Г* не единственная. Полагая = s&/L, а& = pk/L, перепишем функцию Ф^) в следующем удобном для дальнейшего виде
N
1 - ^ - Е ак(CTfc - L) +
і=1
Ф(s) = L
причем
:= ІФі№), (10)
N
^afc = 1, 0 ^ ^ 1, k = 1, 2,..., N. (11)
fc=i
Подставляя равенство (10) в правую часть (9) и сделав замену переменой £ = в^, приходим к равенству
1 ч 1/д
0 |Ф1(£)|9С^ .
Из последнего равенства и (11) сразу следует , что
^ (^(К; Q); Шд^)) = ^ (^(К; Q); Шд^); Р, = КХ1+1 ■
■ 1п!|(^ |Ф1(£)1?^) : {^к>£=1, 0 ^ Стк ^ 1; {ак>£=1, £ «к = 11 .
Пользуясь схемой рассуждения из [3, с.78], имеем:
N
1 — в — ак (ак — в)
+
к=1
N
£ — Лк (£ — ¿к)
к=1
где положено
Лк = -к+Ъ ¿к = 1 — аN-к+Ъ ¿к < ¿к+Ъ к = 1 2, ..., Ж, ÍN+1 = 1 (12)
Таким образом, вопрос сводится к нахождению минимума интеграла
N
I — Лк (£ — ¿к)
к=1
9 , 1
*+о 43 р —
0
(13)
среди всевозможных систем чисел Лк и ¿к, где 0 ^ ¿1 < ¿2 < ••• < ^ ^ 1, и фиксированном N.
Итак, требуется найти наилучшее приближение функции /(¿) = t ступенчатыми функциями р^^) в метрике [0,1], 1 ^ ^ то, т.е. такими
функциями, которые на каждом из интервалов (¿к, ¿к+1) принимают постоянное значение, причем
р^(£) = {0, если 0 < t < ¿1; ск, если ¿к < t < ¿к+1, к = 1, N; ^+1 = 1} . (14) Из равенств (13) и (14) имеем:
/ К — Р^)Г^ & + Е [ К — ск I9^ =
«/О ./0 к=1
(15)
N
к=1
Обычными средствами анализа из (15) при условии ¿1 + ^^(¿к+1 — ¿к) = 1
находим минимальные значения £ = ¿к :
2(к — 1) + 1
,* = ¿к =
-, к = 1, 2,...,Ж.
2Ж + 1
Экстремальная ступенчатая функция примет вид:
РлН = 10, если 0 < ^ < ^ТГ-7; ^т2—г, если ¿к ^ ^ ^ ¿к+1 Г” •
^ ^ > 2Ж + Г 2Ж + 1 к к+1 '
Из (12) следует, что Лк = 2/(2Ж + 1) (к = 1, 2,..., N),
= 2/(2Ж + 1), а*к = 2к/(2Ж + 1) к = 1, 2,..., N.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
1
1
0
О
0
1
0
Теорема. Среди квадратурных формул вида (4) для приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода на классе функций ^)р(К; ф) и классе кривых (Р) наилучшей является формула
Г 2Р N
/(м)^в = 2жП ' £ /(мк) + ^(/;г),
^г + к=1
где
і і 2kL \ / 2kL \ ( 2kL
к \-л і 2N + 1 / V2N + 1 / у 2N + 1
X = ^г(в) (* = 1,2, •••,m) — параметрические уравнения кривой Г, Р — ее длина. При этом точная оценка погрешности на указанных классах функций и кривых равна
l 1+ q 11
en «(k;q);nq(D = 2^ + 1) ■ 1 < q < P + q = 1
Список литературы
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988. 256 с.
2. Вакарчук С.Б. Оптимальная формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Укр. матем. журнал. 1986. Т. 38. № 5. С. 643-645.
3. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. Оптимизация приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // ДАН РТ. 2010. Т. 53. № 6. С. 415-419.
4. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.
Тухлиев Камаридин (Kamaridin.t54@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра информатики и вычислительной математики, Худжандский государственный университет им. академика Б. Гафурова, Худжанд, Республика Таджикистан.
The best quadrature formula of approximate calculation of curvilinear integral of first kind for some classes of functions and
curves
K. Tukhliev
Abstract. In this paper was considered an approximate calculation of curvilinear integral of first kind for some classes of functions and for classes of curvilinear spaces.
Keywords: quadrature formula, curvilinear integral, gradient, error, node.
Tukhliev Kamaridin (Kamaridin.t54@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of informatics and computational mathematics, Gafurov Khujand State University, Khujand, Republic of Tajikistan,.
Поступила 23.03.2013
