Нахождение точного решения нелинейного операторного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

О. А. Агапов

НАХОЖДЕНИЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ

Найдено точное решение нелинейного операторного уравнения вида du(r,t)/dt = A[u(r,t)], u : Rn x R+ ^ R, при условии u(r, 0) = <p(r) для бесконечно дифференцируемого по Фреше оператора A. Приведены примеры решения задач Коши для уравнений теплопроводности, переноса, обыкновенного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и уравнения Кортевега-де Фриза.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: операторные уравнения, дифференциальные уравнения, нелинейные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных.

Нахождение точного решения операторного уравнения. Пусть оператор A[f] является отображением из множества X в множество Y функций f : Rm ^ R, m £ N, определенным на множестве O С X, таким, что существуют и являются равномерно непрерывными на множестве O операторы A(k)[f ], к = 1, 2,...) [1]. Для этого случая найдем точное решение задачи

í А |u(?,t)j, t> 0;

[u(r,t) = ), t = 0, 0)

t £ R+, r £ Rm, u : Rm x R+ ^ R.

Здесь ) — некоторая функция, принадлежащая множеству O.

Для нахождения точного решения задачи (1) зафиксируем некоторое значение t и определим последовательность n +1 равноотстоящих значений tk от 0 до t, отличающихся друг от друга на величину т:

tk = тк, т = t/n, k = 0,1, 2,..., n. (2)

Предположим, что функция u(x, п), удовлетворяющая решению задачи (1), принадлежит множеству O для любого п £ [0,t] и, кроме того, бесконечно дифференцируема по переменной п на этом отрезке. В этом случае можно представить первое уравнение задачи (1) в виде

Un(r ) = Un-l(r ) + тА [un-i(r )] + O (т2) , (3)

где uk (r) = u(r,tk). Учитывая аналогичную зависимость функций un-1(r) и un-2(r), можно записать выражение для функции un (r)

через un_2(r ) в виде

Un(r ) = Un-2(r ) + TA [un-2(r )] +

+ ta [un-2(r ) + ta [u„-2(f )] + O (т2)] + O (т2) . (4)

Представим оператор A из третьего слагаемого соотношения (4) в виде ряда по формуле Тейлора [2] относительно функции un_2(r ). В этом случае выражение (4) примет вид

Un(r ) = Un-2(r ) + 2тA [Un-2(r )] +

+ Т2A' [un-2(r )] A [Un-2(r )] + R (r, T) . (5)

Здесь штрих у оператора A означает производную по Фреше этого оператора [1]. Функция Д2 (r, т) представляет собой бесконечно малую величину второго порядка при т ^ 0 и включает в себя третье и последующие слагаемые ряда формулы Тейлора разложения оператора A, а также слагаемые, связанные с погрешностью аппроксимации производной по переменной t конечной разностью. Индекс 2 означает, что остаточный член соответствует выражению un(:T) через un_2(r ). Аналогично можно записать выражение un(r ) через un_3(r ):

u„(r ) = м„-з(г ) + 3тA [u„-3(r )] + 3т2A' [мп_з(г )] A [u„_3(r )] +

+т3 {A'' [u„_3(r )] A [u„_3(r )] + A' [u„_3(r )] A' [м„_з(г )]} A [м„_з(г )] +

+ R (r,T). (6)

Видно, что выражения, стоящие при различных степенях т в уравнении (6), с точностью до постоянного множителя связаны между собой соотношением

Ps+1 [u] = (Ps [u])' A [u], s = 1, 2, 3, 4, (7)

где соответственно P1 [u] = u, P2[u] = A[u], P3[u] = A'[u]A[u], P4[u] = A''[u]A[u]A[u] + A'[u]A'[u]A[u]1. Для упрощения записи уравнения (6) и последующих соотношений удобно ввести понятие дифференциальной степени оператора.

Определение. Пусть задан оператор B: X1 ^ Y1, определенный на множестве O1 С X1, такой, что существуют равномерно непрерывные на множестве O1 его производные Фреше B(p)[f ](p = 1, 2, 3,..., f G X1 ). Пусть Fk [f ] — последовательность операторов таких, что

• F0[f] = I[f] (I[] — тождественный оператор),

1 Здесь и далее тождество означает эквивалентность стоящих слева и справа операторов.

• ЗД/] = (Р [/])' В[/] (к = 0,1,2,...). Назовем Рт[/], ш € т-й дифференциальной степенью оператора В[/] и обозначим В[/]. Число т назовем показателем дифференциальной степени оператора.

Согласно определению дифференциальные степени оператора А связаны между собой рекуррентным соотношением

А[к+1][и] = (А[к] [и])' А [и], к = 0,1,2,...,

А[0] = I [и] = и. (8)

Таким образом, с учетом введенных обозначений уравнение (6) можно записать в виде

м„(г) = мп-э(г ) + 3тА[м„-э(г)] +

+ 3т2А[2] К-з(г )] + т3А[3] [ип-з(г )] + Л (Г, т). (9)

Сравнивая уравнения (3), (5) и (9) можно предположить, что в общем случае, последовательно выражая функцию мп(г )через мп-1(г ), ип-2(г ),..., ип-к(г ) и учитывая на каждом шаге только два слагаемых ряда разложения по формуле Тейлора, можно получить зависимость мп(г )и ип-к (г) в виде суммы биномиального ряда и некоторого слагаемого Лк (г, т):

k

Un(r) = 5] CikтМ^ [un-k (r)] + Rk (Г T), (10)

г=0

где

C k =

¿1 (к - г)!

— биномиальные коэффициенты. Действительно, пусть для некоторого к < п уравнение (10) имеет место при указанной последовательности математических операций. Тогда можно записать

г=0

(r ) = ^ CikтМ^ [un-k-i(r) +

+ tA [un-k-i(r)] + O (т2)! + Rk (Г,т). (11)

Разлагая в ряд по формуле Тейлора оператор А^ и удерживая первые два члена ряда, получаем

к

м„(г) = ^ СктгА[^] [мп-к-1(г )] +

г=0

к ( ) + Е Сктг+1 (А[г] [м„-к-1(г )])'А [ип-к-1(Г)] + Лк+1 (г, т). (12)

г=0

Учитывая свойство биномиальных коэффициентов —n + —n_ 1 = —Й+1, а также рекуррентное соотношение (8), окончательно имеем

fe+i

un(r ) = ^ —,f+VA[i] [un-fe-i(r )] + Rk+i (г, т), (13)

i=0

Согласно методу математической индукции соотношение (10) имеет место для любого положительного k. В частности, при k = n получим зависимость между функциями un(f ) и u0(f) = ^(г )

n

un(г ) = ^ —iVA[il [p(f )] + Rn (г, т). (14)

i=0

Рассмотрим предел функции un(f ) при n ^ ж. Для этого умножим и разделим каждую величину тг уравнения (14) на пг:

n С n

un(r ) = Е -Г(пт)гА[г] [p(f )] + Rn (Г,т). (15)

i=0

Предположим, что предел функции Rn (f, т) при n ^ ж равен нулю (далее будет показано, что полученная таким образом функция u(f, t) представляет точное решение задачи (1)). Если предположение верно, учитывая соотношение tn = пт = t, а также соотношение lim —in/ni = 1/i!, получаем точное решение задачи (1)

n1

u(f,t) = Е 1 tiA[i] [p(f )] = exp(t A) [p(f )]. (16)

i=0 i!

Правая часть равенства (16) есть обозначение, введенное здесь для удобства. Действительно, ряд средней части равенства (16) подобен разложению экспоненты в ряд Тейлора, что делает оправданным введенное обозначение.

Функция u(f, t) в виде (16) удовлетворяет начальному условию задачи (1). Действительно, в силу того, что нулевая дифференциальная степень оператора A есть тождественный оператор A[0][^(f )] = <^(f ), а перед другими дифференциальными степенями стоит переменная t в соответствующих положительных степенях, то функция u(f, t) совпадает c <^(f ) при t = 0.

Доказательство совпадения предела с точным решением. Приведенное ниже доказательство строится на предположении, что функция (16) существует для любого t из некоторого отрезка [0, T], T > 0, и принадлежит множеству O. В противном случае решение задачи (1) не может быть представлено в виде (16).

Чтобы проверить, является ли функция (16) решением задачи, достаточно доказать справедливость равенства

д

- {ехр (¿А) [^(г )]} = А {ехр (¿А) [^(г )]} . (17)

Для этого разложим правую часть выражения (17) в ряд Тейлора по переменной £ относительно £ = 0. Первым членом этого разложения будет функция

А {ехр (£ А) Иг)]}^ = А [^(г)],

вторым —

•t =

д

- (A {exp(tA) [^(r )]})

t=0 д

= A' [p(r)] - {exp(tA) [^(г )]}

dt

• t =

t=0

= t A' [^(r )] A [^(r )] = t A[2] [^(r)].

Таким образом, можно предположить, что ряд Тейлора правой части соотношения (17) по переменной £ будет иметь вид

те i

A {exp(tA) [р(Г)]} = £ -уtnA[n+1] [^(r )]. (18)

n=0

Чтобы доказать справедливость соотношения (18), представим правую часть (17) в виде разложения Тейлора относительно функции

A {exp (t A) [^(r )]} = -A(n) [^(r)] (exp (tA) [^(r )] - ^(r ))n

n=0 !

(19)

или

те „ /те

n

A {exp (t A) [p(F)]} ^ ^A(n) [^(r )] I tkA[k] [^(r)] ) . (20)

n=0 ! \k=1 !

Соотношение (20) можно записать в другой форме:

те ..

A {exp (t A) [^(r )]} = £ -A(n) [^(r )] x

n!

n=0

те i

х ^ ГПП-гг¿к1+к2+"'+к" А[к1] [^(г )]А[к2] Иг)]... А[к"] [^(г)].

к к —к1!к2— кп!

к 1 ,...,кп- 1

(21)

Таким образом, можно записать ш-ю (ш ^ 1) производную по переменной £ в точке £ = 0. В этом случае в правой части соотношения (21)

останутся только слагаемые, в которых показатель степени переменной £ равен т. Тогда

dtm

-A {exp(tA) [и(г?)]}

t=0

1

= E 1A(n) и?)] E

m!

n=1

... kn

-A[kl] [и(?)]... A[kn] [и(?)],

(22)

где суммирование ведется по всем к, таким что + ... + кп = т. Предположим, что для некоторого т выполняется равенство

д m

dtm

-A {exp (t A) [и(г)]}

= A[m+1] [и(?)].

(23)

t=0

Тогда в силу рекуррентного соотношения (8) имеем (А[т+1] [<^(Г*)])' х хА [^(г )] = А[т+2] [<^(Г*)] и должно выполняться равенство

dm

dtm

rA {exp (tA) [и(? )]}

t=0

A [и(?)] =

д m+1

A {exp (tA) [и(г )]}

dtm+r

Действительно, представим левую часть (24) в виде

(24)

t=0

, n=1

ElA(n) и?)] E

m!

k^!... kn

-A[kl] [и(?)]... A[kn] [и(?)П x

1

x A[и(г)]=£^A("> [и(г)]E E k1!k2!...kn

n=1 z=1 kl.....fe.

m!

■X

x A[kl] [и(?)]... Ak+1] [и(?)]... A[k"] [и(?)]+

n=1

+ E 1 A(n+1) [и(? )]£

m!

kl ,...,k.

k1!k2!... kn!

A[kl] [и(?)]...

A[kn] [и(?)] A [и(?)]. (25)

Умножим и разделим второе слагаемое выражения (25) на n + 1 и

n+1

учтем, что (n + 1)а = ^^ а, где а — произвольная величина. Получим

z=1

Qrn

öm A K*,i)]

i=0

A b(r)] =

m w n .

1 ''n) [и(-V" _m_x

= £ П^ ^ )1Е Е к,!к2! ...к,,!

п=1 2=1 к!,...,кп 1 2 п

х А[к1] [и(г)].. .Ак+11 [и(г)]... А[кП [и(г)]+

т 1 п+1 .

+ £ А<"+-) ИР)]£ £ х

П=1 (П + 2=1 к1,...,й„ к1"к2" ...кп"

хА[к1] [и(г )]... А^ [и(г)] А [и(г)]. (26)

Заменив п +1 на п во втором слагаемом, можно переписать уравнение (26)в виде

ч /

А [и(г)] =

Qrn

A [u(x,t)]

dt

t=0

r

1 I

=E ¿A(n) ^ie k E тоx

n=l 2=1 k1r..,k„

xA[kl] [и(-)] ...A^+1] )] ...A[kn] [и(-)]+

m+1 1 n .

+ E " A(n) и- )]E E m'

, "! ^k .. V k ki!k2!...t2-i!1!k2+i!..-.k„!

n=2 2=1 kl ,...,kz_i,kz+i,...,kn

X

хА[к1] [и(г)] ...А[к*-1] [и(г)] А[1] [и(г)] А[к*+1] [и(г)] ...А[к"] [и(г)].

(27)

Здесь во втором слагаемом суммирование ведется по всем к», кроме , удовлетворяющим равенству к1 + ... + к2-1 + к2+1... + кп = т.

Отметим, что сумма показателей дифференциальных степеней операторов А в первом слагаемом (27) равна теперь т +1. Кроме того, в этом слагаемом при п > 1 показатель дифференциальной степени г-го оператора А при фиксированных показателях дифференциальных степеней других операторов пробегает все возможные значения, определяемые соотношением к1 + ... + (к2 + 1) + ... + кп = т +1, кроме т = 1. Во втором же слагаемом показатель дифференциальной степени г-го оператора А равен единице. Таким образом, можно объединить первое и второе слагаемые уравнения (27) и записать

дт

dtm

rA [u(x,t)]

t=0

A [и(г)] =

m+1

ena'"'и?)ie e

m!

n=0

z=1 kl,...,kT

k1!... (kz - 1)!... kn!

х А[к1] [^(г)]... А[М [^(г)]... А[кп] [^(г)]. (28)

В соотношении (28) сумма берется по всем удовлетворяющим условию к1 + ... + кп = т + 1. Если умножить и разделить множитель т! на , получим

дт

dtm

rA [u(x,t)]

t=0 m+1

A [и(г)] =

EnA'"'И?)1E E

m!kz

k1!... kn!

x

n=0 z=1 kl ,...,kn

x A[kl] [и(?)]... A[kz] [и(?)]... A[kn] [и(?)]

или, по-другому,

дт

dtm

rA [u(x,t)]

t=0

m+1

A [И(? )] = £ nA(n) [и(Г)]x

n=0

X

E m!(kk + + kn) A[kl] [И(?)]... A[kz ] [и(г)]... A[kn] [и(г)] k1 ! ... k"!

kl ,...,kn

m+1 1 / _i_ 1 M

E 1A(n) )] E ix+WAW Wf)].

n=0 ki ,...,kn

kl ,...,kn

дт+1

. A[kz] [и(г)]... A[kn] [и(г)] = д^тпA {exp (t A) [и(Г)]}

(29)

t=0

Таким образом, соотношение (24) выполняется, что, в свою очередь, в силу метода математической индукции делает справедливым равенство (23) для любого т. В этом случае можно записать ряд Тейлора по степеням переменной £ правой части (17)

те ..

А{ехр (£ А) Иг)]} = Е ^ГА^1] [^(г )] или, по-другому,

n=0

A {exp (t A) [-(r )]} = -§ ( £ -tnAW [-(r )]

д£ \ ^ п!

\п=1

= | ) + Е ^ [((г )]) = | (ехР (* А) [((г)]). (30)

Соотношение (30) показывает, что производная функции (16) по времени есть оператор А, действующий на эту функцию, что и требовалось доказать.

Примеры. Линейное параболическое уравнение. Получим точное решение задачи Коши для линейного параболического уравнения:

ди 2 д 2и

¥ = а дж2, 0; (31)

и(ж,¿) = ((ж), £ = 0.

В этом случае дифференциальные степени оператора А имеют вид

д 2к (

АИМ - а2к д2Д, к = 0,1, 2,.... (32)

д 2(

Действительно, первая степень этого отображения А [(] — а2——, вто-

дж2

4 д2 д2( 4 д4(

—--= а4-

дж2 дж2 дж4 учитывая соотношение (16), получаем точное решение задачи (31)

рая - А[21 [-] = A' [-] A [-] = а4—2 = а4 —- и т.д. Таким ^р^м,

u(X't) = exp (t^) [-(*)] = £ ^a2ktk^^. (33)

V / I—n

1 ^ д2к ((ж)

к=0

Покажем, что функцию (33) можно привести к известному решению [3] задачи Коши для уравнения теплопроводности. Представим функцию ((ж) в виде интеграла Фурье:

+те

((ж) = [ С(Л)егжА^Л. (34)

— те

Тогда соотношение (33) примет вид

+оо

C(A)eixA ^

k=0

Сумма, стоящая под интегралом выражения (35), представляет собой

+оо ,

^ (_ a2t\2)k

w(z,t)= / C(A)eixAJ] ( а^А ) dA. (35)

fe=0 ■

разложение экспоненты в ряд Тейлора, поэтому можно записать

+те

.2.\2>

u(x,t)= / C(Л) exp (гжА — a2tA2)dA. (36)

Используя обратное интегральное преобразование Фурье для функции С (А), можно переписать выражение (36) в виде

+те

+те

/ 2П

exp (—a2tA2 + ¿xA)dA. (37)

Изменив порядок интегрирования в соотношении (37), запишем

+те

u(x,t)= / (38)

где

+те

G(z,y,t) = ^y exp (—a2tA2 + г(ж — y)A)dA. (39)

— те

Функция (39) эквивалентна функции [6]

V 4na2t

4a21

(40)

Как известно [3], функция (40) представляет собой функцию Грина линейного параболического уравнения, а функция (38) является решением задачи Коши (31).

Обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Получим точное решение для уравнения вида

= exp(—«), (41)

при условии м(г, *)^=0 = ).

Первая дифференциальная степень оператора экспоненты будет иметь вид А [<^] = exp(—вторая А[2][^] = — exp(—2^). Для к-й степени запишем выражение

А[к] [<^] = (—1)к-1(к — кр).

Таким образом, согласно (16) точное решение уравнения (41)

те ^

«(г,*) = р(г) + Е к!(—:!)'-1 (к — exp [—кр(г)] =

к=1 !

= ln(exp(^(r)) + *). (42)

Выражение (42) совпадает с выражением, полученным непосредственным интегрированием уравнения (41).

Одномерное уравнение переноса. Рассмотрим нахождение точного решения задачи

д« д« — = с— *> 0,

(43)

«(х,*) = <^(ж), * = 0.

Первая дифференциальная степень оператора А в уравнении (43)

А|1|[«] = ^

вторая —

А|2|[«]= А' ^1 = с2 Ц = с2 дХ«; к-я дифференциальная степень

А[к|[«] = А>]... А>] А[«] = скд

—v---джк

к — 1 раз

^ 1 д к Ю

t) = Ю(ж) + Е kck^Xktk = + ct). (44)

Согласно (16) получаем точное решение задачи (43)

I ск ^

к!

к=1

Решение уравнения Кортевега-де Фриза в виде кноидальных волн. Найдем частное решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза [4] в виде кноидальных волн:

д« д« д3 « = —«я— Ртл, * >0;

д* дх дх3 (45)

«(х,*) = <^(ж), * = 0.

Запишем три первые дифференциальные степени оператора А от функции

А[1] М = — ^х —

И

А[2] м = — ИХ И4 М + вА[1] [^]хх] ; А[3] [р] = — ИХ [(А[1] [^])2 + «А[2] [р] + вА[2] [р]а

Согласно выражению (16) записываем решение задачи (45) (с точностью до четвертого члена)

d

u(x,t) = A1 [ы] - - [^A[1] [ы] + 0AW Щ t

dx

2

1 d (A[1][^02 + H21M+ вА[2][ы]жж t2 + ... . (46)

2 dx

Покажем, что если функция ы(х) имеет вид

л , ^ /2А + 3В - 2-у . М(х) = В + Асп2 ( хЛ-—-, 8 ) , (47)

где сп(а,х) — эллиптическая функция Якоби [5], а А, В, у и 8 — константы, удовлетворяющие соотношениям А

8 = —---, А > 0, В> 0, 2А + 3В - 2- > 0,

2А + 3В - 2-у

то решение (46) представляет известный вид кноидальной волны. Как известно [4], функция (47) удовлетворяет уравнению

ММ + вм*® = -у<Ря. (48)

В этом случае первая дифференциальная степень оператора А от м будет

А[1] М = -ММ - вм*® = -М,

вторая

A[2] [ы] = - dx [Ы^ж + v^^xxx] =

Можно предположить, что п-я дифференциальная степень оператора А имеет вид

А[П][М] = ^. (49)

Действительно, (п + 1)-я дифференциальная степень оператора А связана с п-й соотношением

А[п+1] [м] = (А[П [^0' А[м]. Учитывая соотношения (48) и (49), получаем выражение для (п + 1)-й дифференциальной степени

V, .... ч ..„ & л _л+1 д"+У

дхп+1,

/ дпМ\ дп ЯИ+1,

А[п+1]М = ^ (-ММ - = дХп (-Ы = --+1

и согласно методу математической индукции для любого п справедливо соотношение (49). Тогда в соответствии с выражением (16) точное решение задачи (45) при условии (46) есть

^ 1 дк+1М

и(х, *) = м(х) + к!дХ^+Т** = М(х + -*). (50)

fe=i

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ЛюстерникЛ. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.

2. Колмогоров А. Н., Ф о м и н С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976.

3.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972.

4. У и з е м Д ж. Линейные и нелинейные волны: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977.

5. Я н к е Е., Э м д е Ф., Леш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы. - М.: Наука, 1964.

6. Б у д а к Б. М., Ф о м и н С. В. Кратные интегралы и ряды. - M.: Наука, 1965.

Статья поступила в редакцию 20.05.2010

Олег Александрович Агапов родился в 1986 г, окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2009 г. Инженер НПК НИИ дальней радиосвязи (Москва). Специализируется в области исследования дифференциальных уравнений.

O.A. Agapov (b. 1986) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2009. Engineer of Research Institute for Far Radio-Communication. Specializes in the field of study of differential equations.