CC BY
11
ехр
ехр
где
ВШЖЯ'
Утверждение. При условиях (53) в случае редких дискретных наблюдений односторонние дивергенции [2]
фа) = мЬт(в,:вв]Н;\ 1,т{а-.]) = -М%т(в]-.ва)на\ (57)
(55)
(56)
гдеЛ,т(в) :ва)=1п{л1т{дJ :ва)), определяются формулами:
\
2 I ^ х и \ т /л J Л J т ' и \ /n/J ^
Формулы (58), (59) следуют в результате непосредственного вычисления по формулам (57) с учетом (31), (55) и условий 3 и б постановки задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Липцер Р.Щ., Ширяев Л.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.
2. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979.
3. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных на-
блюдений с памятью // Автоматика и телемеханика. 1995.1. № 9. С. 49-39; П. № 10. С. 36-49.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 10 февраля 2000 г.
УДК 519.72
Н.С.Демин, И.Е. Сафронова
НАХОЖДЕНИЕ ШЕННОНОВСКОГО КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИЙ
В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ КАНАЛАМ С ПАМЯТЬЮ
Получены уравнения для шенноновской меры количества информации о значениях стохастического процесса в будущий момент времени, которое содержится в совокупности реализаций процессов с непрерывным и дискретным временем, обладающими памятью относительно ненаблюдаемого процесса.
1. Постановка задачи
Пусть »-мерный ненаблюдаемый процесс х, и 1-ме-
3) •*о>и'«>г'/>£('».) независимы в совокупности. Задача: найга количество информации ^[х,;^,^"] о рный наблюдаемый процесс г, с непрерывным време- зшчениях х1, содержащееся в реализациях г0 нем определяются уравнениями (в смысле Ито [1,2]):
Л,=/(/,х> + Ф1(*,дг,)^, (/ > 0), (1) (Ь, = л(/,х,,хГ1 + Ф2 (Г^У, , (2)
^мерный наблюдаемый процесс фя) (т = 0,1,...;Го > 0) р^да^ с „арамефами а и В ; *[] и | • | -
с дискретным временем имеет вид ~ _
г / ч ) \ ^ / \ / ч определитель мгприцы; «Т»-транспонирование.
где 0 < ты < Гд,., <...<?,</„,</; -м>, и V, гг и ггмер-ныестандартныевинеровскиепроцессы; -стандартная гауссовская г, -мерная последовательность с М{£(О} = 0 и (I-единичная
матрица, 8тк - символ Кронекера). Предполагается:
1) матрицы е()=ФХОФГСХ )=Ф2(>г (X
У() = Ф3( )Ф[() не вырождены;
2) задана начальная плотность
р0(х) = дР{х0 <.х}!дх\
<, 5 £ I} И 770" = {т)((0 ), ).....); ■
Обозначения: м{ } - математическое ожидание; />{■} -вероятность собьпия; Л'{у; а, В} - плотность гауссовского
следи
Введем расширенные процессы х", х"*? и расширенные переменные хы, Хд,+1, х„+2: х.
X? =
Хы =
-ЛГ+1 _ Г X, I -ЛГ-2 _
(4)
Количество информации по Шеннону о значениях х,, содержащееся в совокупности реализаций, выражается формулой [3]:
где (6)
р^х^дР^йх1}!^. (7)
2. Предварительные результаты
Решение задачи конструктивным образом может быть осуществлено на основе совместной апостериорной плотности
йх'и^ц-^/дхдхндх* (8)
значений процесса х, в моменты времени, присутствующие в постановке задачи.
Лемма 1. Апостериорная плотность р'г{х\хи\ху) на интервалах времени /„, < / < /я+| определяется как
¿А*-, **;*')=*»)]-
I Рлх>х*/)
где
tn = (г,,...,
;(х;х„;х')х
' М?) '
äy(w)
. я*. 0 .
(19)
(20)
x^.x.xJ-Ä^Ä-'irK-ÄOVr] W
с начальным условием
Ps" (*; ; *'):= И*, **, ))/ «М. ))] X
xp>-0(r,*„;*,)> (10)
где Л(/) = м{а(/,х,,х1а')| z'0,tj"}, (И)
c{^J) = М^,гг",1т(/.))|(12)
с{х, xN, n(ta )) = expj-I [7(tm )-g(i„, x, xN )]T x
= д™р{с, <x,xTN <xN\z'0,r]Z}/dxcSN, (14) L, ,[•], L'l x [-] - прямой и обратный операторы Колмогорова, соответствующие процессу х, [1], а ) = = lim p's (•) при t\ tm и является решением уравнения (9) на предыдущем интервале времени, вычисленном в точке t„.
Сформулированное утверждение следует как частный случай из результатов [4].
Лемма 2. При выполнении ограничений /(г.дО^К.Ф.ОФ,^
/>0(х) = ЛГ{х;ц0,Г0}, (15)
4> *т,.....)= »о('К +1 Нк (/К. , (16)
+ ¿6» ('„К (17) 1
для p't (х; х„;х') имеет место свойство
р',(х-> %;*')=
= ; £V+J (г*, t, i ),Г„+2 (?„, t, s)}, (18)
Г(') т Гя(тж,/) гДм)
= Г^Дгд,,/) Г0| (?„,/,*)
~ $т{тН>*.'Я Г(*><) _Г
| *;,»/;}, (21)
(22)
Ж,1) = м{с, 1^,7"}, (23)
Г(,)=м{[х, -ДОГ |*и0-}, (24)
<25)
ГМ=А/{[х,-/&/)][*,"/<МГ 1^.7.*}. (26) х^*оГ^о"), (27)
Г>,0 = А/{[х, "М0]к -ММ)]}ТЦ,7о"> (28)
х[*,-/<МГ| *;,»£}. (29)
Блочные составляющие параметров распределения (18) на интервалах времени Гя < / < 1Я+, определяются уравнениями:
^('М'У'+, (зо)
(31)
Г«(г„/) = -Я;(/)л-1(/)Я,(4 * = (34)
Г« (г,, 0 = Гм (г,, г)-Я0т (/)/?-' (Ох
хЙМ к = 1;АГ, (35)
#-1,/ = 2;7У,/>*, (36)
(37)
0 = (38)
П,г„0 = * = , (39)
с начальными условиями
/4.)= Ж,-0)+5от(Г>-'(С>7^). (40)
169
(32)
(33)
х7('м). k = l;N, (41) с начальным условием
ЖО-ЛМ. -Oj+GU'.^'i'.M'.). (42)
rU = r(iM-0)-G0T(tayr-l(iM)G0(tM), (43) + AI J" [x,; z'0, rj[tK )], (61)
^.ПШ (44) ™ ^k^^J-MjhiS^I. (62)
¡PJ-mW^K-»1.^*}. (63)
xGJtm\ k-\;N, (45) , , ч-. ,, , - ,
"»Г'Ш'Л*«!;"-!. / = 2;ЛГ, />*, (46) ^ bfc1' (65)
rfcO-lt».'. "0)-(/,(/„,X (47) и является Решением Уравнения (60) на предыду-
4 ' v ' \mr-N*\\mp / щем интервале времени/„,,< f < , вычисленном в
Го(*,L -0)-C0T(tm(/„pN+](tm\ (48) rM , , ъ , _ , «
, , °V " , | точке a h(t), c(rj(tm)) и cfcx^.i/iO) опреде-
Г*,*+]U.Тк>*т)- \s,Tt,tm 0) Gt(tM)x лены в лемме 1.
)G„+](t ), (49) Доказательство уравнения (60) проводится по
" " методике доказательства теоремы 7.1 в [3]. Для
dt, (50) доказательства (61) воспользуемся леммой 1. Из (10):
С66)
где dz, = dz, -
.н
Я0(г) = ЯоМО+Е^ЖЫ' (51)
■/=| По формуле условной вероятности
^ЯД/)=ЯД/)ГНМ+ ¿^З^Х^рМ^^-И. (67)
+ (52) (68) ...........;.............' ' '
= ').(53) =х\г'0~, }/дхдх„ , (69)
>1 = х1, г0*, )/ дх&н. (70)
х Дг7. ~ . (54) Интегрирование (66)
слева и справа по х, с использованием (64), (бодает:
г/ (71)
хГ^Л-о), (55) 7 фбХ V ^
"0)+ Х^(Ох Использование (71) в (5) при / = /. дает (61). Тео-
*\т/ к\тги\ *>» / рема 1 доказана.
_т7 „ п\ ,, ,ч Теорема 2. Пусть выполняются ограничения
(56) * г , 1 н
(15) - (17). Тогда ] на интервалах вре-
^аг+1 ) = ^о('■.Хо''ж -0)+Х<л(Ох мени tm < I < удовлетворяет уравнению
¿=1
>.-<>). (57) <л', ; г;, г,-]/ Л » ^ (О*
^О-КО^ЛЬ Г-(м)н;„(,)] (72,
^(т^-о^ди. (58)
с начальным условием (61), в котором
<иО«вСО - (59) дГ Г 1 1^(^-0)
Сформулированное утверждение следует как ча- '' " ® ^ 2 |г(5,1т )| '
стный случай из результатов [4]. ~ / \
а Ни„[}) определяется формулой (53).
3. Основные результаты Доказательство. По свойству многомерных нор-
Теорема 1. Количество информации [х,; г'0,] мальных распределений [2] для на произвольных интервалах времени tmйt < /т+1 Л Vха^+1 \х )= д ^г» ^ х;хг й хы \ хг = удовлетворяет уравнению =х\г'а,Т]^1 сЕс^+| (74)
л:к;х',лГ ]/Л = 1/гГ/г-'с учетом (18)-(20) имеет место свойство 2 №+,1х)=
= tfföw (w1í)}. (75)
где (**,'!*) = Mn+\ (т„ , t)+Г01 fo, t, s)r1 (s, t)x
xjx'-^O]. (76)
f„+1 (rM,t | s) = Г„+1 fo,/)-f01fo./.ijr'fcfjx
x(i(77) Использование (16) в (11), (63) дает: A(/) = M¡ft(í,xí)xrAr)| 770-}= Я0м{х, | z'0,T}Z}+
+ Я^М (к I ,77"} =H0p(t) + ¿Hkpi{rk ,/),(78) ы *=1
л£|7)=м{&(г,х„**)|х, =x,X,r7om}= = //0M¡xllx,,zí,^}+Í//kMÍxrt\x\z'0x} =
*=i N
= Я0>ц(/и)+ХЯ^(г„*|5). (79)
Таким образом, |х')- = Я0[/л(/15)- /*(/)]+
+ (8°)
М
Распишем (76) поблочно и получим
иЬМО+г^мЭг-'М*!*1 -ЖО], (81) I *)- Г*.*» (*,/)*
х[х'-//(*,*)]. (82)
Используем (81) и (82) в (80): й(г| х1)-Щ= Н0
Тогда =
= м|я„+1(,)Г'(*4*1 -Ж')]!*' -^х *[*, -м^оГ И^Л'ЬяЛОг-'М*
хм{м{х,-//(5.0Г | « }}х
= Яа,+1(/)Г-,(5,/)Я;+1(/). (85)
Подстановка (85) в (60) приводит к уравнению (72). Из (71) следует, что
"ЖТ'^у)'
Так как при ограничениях (15)-(17) то использование (87), (88) в (86) дает:
х[х' -¿и.-0)]-1[х'-ЖОГ
(86)
(87)
(88)
*=i
N
ЯоГ^^О+ЕЯ^^./.О Использование (53) в (83) дает
ъ
г-'М*
ÄfjT)- h{t)= H^y-isj)*^ -//М]. (84)
х(*'-//(м.)]. (89)
Последовательно получаем М}х, ~»{s,tm-0)Гг-'(5,/я -0)[х,-0)]} = = /r[M{r-,(í,/e -0)м{[х,-n{s,tm -0)]х
xJ^-^/.-OFUi.^-'Jb^Ul^«. (90) • Аналогично
(91)
Использование (90Х (91) в (89) с последующей подстановкой в (62) приводит к (73). Теорема 2 доказана. ЛИТЕРАТУРА
(83)
1. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.:Наука, 1977.
2. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.
3. Демин Н.С. Теория фильтрации. Томск: Изд-во Том. ун-та, 198S.
4. Демин Н.С., Сушко Т.В., Яковлева A.B. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непре-
рывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4. С. 48-59.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 22 февраля 2000 г.
УДК 62-50
В. И. Смагин, Е.В. Поползухина
СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКООБРАЗНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
Рассматривается алгоритм синтеза систем слежения по интегральному кваарашчному критерию для непрерывных объектов с мультипликативными возмущениями и случайными параметрами, описываемыми целью Маркова с конечным числом состояний. Управление фор мируегся непосредственно по вектору измеряемого выхода без использования фильтров и наблюдателей.
Поведение объекта управления часто описывают сово- описываемые цепыо Маркова. К данному классу могут быть
купностью стохастических дифференциальных уравнений, отнесены системы, в которых происходит случайное резкое
которые задают режимы работы объекта. Между этими от- изменение режима функционирования, возникающее, напри-
дельными режимами происходят скачкообразные переходы, мер, вследствие внезапных отказов. Кроме того, параметры
