CC BY
45
ISSN 1992-6502 (P ri nt)_
2014. Т. 18, № 3 (64). С. 231-235
Ъыьмт QjrAQnQj
ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru
УДК 19.8:504
Нахождение рациональной укладки блока в полосу
1 2 В. В. Мартынов , А. В. Бабель
1таг1упоу@гЬ.ги, 2ЬаЬе!88.88@таИ.ги
ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ) Поступила в редакцию 9 апреля 2014 г.
Аннотация. Исследуется расположение плоских геометрических объектов в полосе. Предложены два способа нахождения рациональной укладки блока в полосу.
Ключевые слова: раскрой; область допустимого размещения; плоские геометрические объекты; рациональное размещение блока в полосу.
Общеизвестно, что в различных отраслях промышленности многие из этапов заготовительного производства связаны с раскроем и размещением деталей. Эти процессы являются ключевыми с точки зрения экономии ресурсов. Возникают оптимизационные задачи раскроя и упаковки в процессе планирования и заказа материалов, а также на этапе оперативного проектирования карт раскроя и упаковки. Принятие оптимального или близкого к нему решения позволяет существенно сократить расход материала и понизить себестоимость продукции. В условиях глобальной автоматизации промышленных процессов давно появилась необходимость в создании и использовании систем автоматизации проектирования подготовки раскроя и упаковки.
При регулярном раскрое часто возникает необходимость использовать блочный метод размещения. Это обусловлено технологической необходимостью, в том случае, если комплект деталей состоит из одного материала. Также при размещении блоков, как правило, получаются более рациональные способы размещения. На рис. 1 показано блочное размещение конгруэнтных объектов в полосе.
НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ УКЛАДКИ БЛОКА В ПОЛОСУ
Рассмотрим расположение блока, состоящего из двух геометрических объектов (ГО) в полосу (рис. 2). Предположим, даны ГО и 5", необходимо найти рациональную укладку блока состоящего из этих ГО в полубесконечной полосе.
Рис. 1
Рис. 2
Коэффициент заполнения полосы при блочной укладке определится как
Х =
Xmax -Xmn +(n -lK) B)
(1)
где - площадь 1-й фигуры блока, состоящего из I фигур, Ъ - период укладки, X^ и Хт1П -максимальная и минимальная абсцисс блока соответственно, п - количество блоков в полосе, В - ширина полосы.
Так как полоса полубесконечна, то величиной Хтах - ХтП - Ъ1 можно пренебречь, тогда
формула (1) примет вид
Х=]Ьг /(В • Ь1).
n
i=1
Из формулы (1) видно, что X будет максимален, если Ь ■ B будет минимально, так как
i
Si = const ,
i=1
maxx ^ min(B ■ Ь1). (3)
Рассмотрим два способа нахождения рационального размещения блока, состоящего из двух ГО в полосе. В первом способе используется более быстрый метод нахождения рационального размещения блока в полосе по сравнению со вторым. Второй способ рассматривает больше различных вариантов размещения блока в полосе и тем самым для определенных задач может рассчитать более рациональный способ размещения, чем первый.
1-й способ
Так как блок состоит из двух ГО - S и S', то значение величин B и Ьх зависят от расположения ГО S относительно S'. Для рационального размещения блока в полосе необходимо, чтобы ГО S' располагался относительно ГО S таким образом, чтобы площадь прямоугольника, описывающего эти ГО, была минимальна (рис. 3). Это предположение 1-го способа, т. к. B = a, но Ь ^ Ь, то
min(B ■ Ь1) ^ min(a ■ Ь), (4)
где a, b - стороны прямоугольника описывающего ГО S и S'.
Рис. 3
Рассмотрим алгоритм нахождения расположения ГО относительно ГО
1) Находим область допустимого размещения ГО относительно ГО 5, согласно алгоритму, описанному в [1] - О (рис. 4).
2) Размещаем ГО 5' в точке Окоторая является вершиной границы области допустимого размещения (ОДР) (рис. 4).
3) Находим стороны прямоугольника описывающего ГО 5 и 5', как разницу между максимальными и минимальными значениями абсцисс и ординат ГО 5 и 5':
а = тах( х(Б,Б')) - тт( х(ББ')),
Ь1 = тах( у(Б, Б')) - тп( у (Б, Б')). (5)
4) Рассчитываем площадь прямоугольника, описывающего ГО 5 и 5' - 5(5,5'):
Б (Б,Б')=а1Ь1. (6)
5) Смещаем ГО 5' в точку Ог+1, которая находится на границе ОДР и удалена от точки О на заданный шаг А, получаем ГО 5'г+1 (рис. 5).
6) Находим стороны прямоугольника, описывающего ГО 5 и 5'г+1, аналогично формуле (5):
a/+i = max(x(S,S-+i)) - min(x(S,SM)), Ь1+1 = max(y(S,Sl+i))-min(y(S,Sl+i)).
(7)
7) Рассчитываем площадь прямоугольника 5(5,5'г+1)1+1, который описывает ГО 5 и 5'г+1.
Б(Б,Б+1)1+1 = а1+1 Ь+1. (8)
8) Сравниваем значения 5, и 5г+1 и выбираем параметры расположения ГО 5' относительно ГО 5, соответствующие меньшему значению 5.
9) Выполняем пункты 5-8 до тех пор пока ГО 5' снова не окажется в точке О1. Среди значений площадей прямоугольников 5(5,5')1, 5(5,5'2)2, ..., 5(5,5'„)„ находим наименьшее значение и соответствующее этому значению расположение ГО 5' относительно ГО 5.
В пункте 5 в вышепредставленном алгоритме достаточно перебрать только вершины ОДР. Это допустимо, т. к. мы осуществляем параллельный перенос ГО 5' вдоль прямой. Предположим, ГО 5' расположен в одной из вершин ОДР О1 и площадь прямоугольника, описывающего ГО 5 и 5', равна
S(S,S\=aiЬх.
(9)
Переместив ГО 5' в точку ОА1, мы получим площадь прямоугольника, описывающего ГО 5 и 5', равной
S(S, S0 Д! aAi ЬМ .
(10)
Переместив ГО 5' в точку О2, которая является вершиной ОДР и следует за вершиной ОДР О1, получим площадь прямоугольника, описывающего ГО 5 и 5', равной
S(S,S')2=a2 Ь2.
(11)
Так как мы осуществляем параллельный перенос ГО 5 'вдоль одной прямой, то
(12)
а1 > (—)аЛ > (—)а2'
Ь > (—)Ьл1 > (—)Ь2.
Следовательно, Б(Б,Б) > ( — )Б(Б,Б%1 > ( — )Б(Б,Б%, (13)
т. е. функция аЬ между вершинами ОДР - монотонна.
Итак, чтобы найти минимальное значение площади прямоугольника, описывающего ГО 5 и 5', среди значений полученных параллельным переносом от одной вершины ОДР к другой,
достаточно сравнить значения площадей в этих вершинах.
В результате выполнения алгоритма мы найдем рациональное взаимное расположение ГО 5 и 5', иначе говоря, мы получим блок 55'.
Для нахождения рациональной укладки блока в полосу необходимо найти рациональную укладку регулярно повторяющегося блока 55' в полосу по методу, описанному в [1]. Для этого необходимо найти:
- ОДР блока 55' относительно конгруэнтному ему блока 55'';
- рациональное размещение блока 55' в полосе.
В том случае, если ширина полосы задана или полоса конечна, то добавляются два условия, которые используются при нахождении прямоугольника с наименьшей площадью:
a < B, Ь < i,
(14)
где а и Ь - стороны прямоугольника описывающего ГО 5 и 5', I- длинна полосы, В - ширина полосы.
Таким образом, мы найдем рациональное размещение блока, состоящего из двух ГО в полосе.
2-й способ
Рассмотрим алгоритм нахождения рациональной укладки блока, состоящего из двух ГО, в полосу:
1) Находим область допустимого размещения ГО 5' относительно ГО 5, по алгоритму, описанному в [1], - О.
2) Размещаем ГО 5' в точке О,, которая является вершиной границы ОДР (рис. 4), получаем блок 55'.
3) Находим область допустимого размещения блока 55' относительно конгруэнтного ему блока 55''.
4) Преобразуем формулу (2) и рассчитаем плотность размещения:
I Si
X =
L^mrn Y " Xn^mrn J' |max Yi " minYi |)'
(15)
где I Sj - суммарная площадь ГО в блоке SS'.
i=1
При известной ОДР ^ рациональная укладка в полосе, соответствующая функции цели max X, определится как
max х^ тЦх,.^ ^ - XQ^mn Г: |max7,. - mini,. |) (16)
I
т. к. ^ S, = const.
,=1
5) Осуществляя преобразования поворота с определенным шагом на угол 9^{0,...,л} относительно начала координат ГО блока SS' и ОДР по формулам
X7 = X • cos 9 + Y • sin 9,
z ' (17)
Y1 = -X • sin9+ Y • cos 9,
находим рационального решение и соответствующие ему параметры размещения:
b1 (9) = |X,^mm Y(9) (9) - XQ^mm Y(9), ^ ^
5(9) = max Yt (9) - min Yt (9).
6) Смещаем ГО S' в точку Ог+ь которая находится на границе ОДР и удалена от точки О на заданный шаг А (см. рис. 5). Аналогично пункту 5 способа 1 возьмем точку, являющуюся вершиной границы ОДР, следующей за O
7) Среди двух вариантов размещения выберем то, в котором плотность размещения больше.
8) Выполняем пункты 3-7 до тех пор, пока ГО S' снова не окажется в точке 0¡.
9) Таким образом, мы получим из n значений максимальное значение коэффициента плотности полосы и соответствующие ему параметры размещения блока SS' в полосе, а так же размещение ГО S' относительно ГО S.
В том случае, если блок будет состоять из N ГО, то необходимо будет рассмотреть все возможные варианты размещения этих ГО относительно друг друга в блоке, количество таких размещений будет равно К.
K = N! / 2. (19)
РЕЗУЛЬТАТЫ
ВЫЧИСЛИЕЛЬНОГО ЭКПЕРИМЕНТА
В результате вычислительного эксперимента были получены следующие данные: для ГО S и S' (см. рис. 3) было рассчитано рациональное размещение блока в полосе по 1 -му способу (рис. 6) и 2-му способу (рис. 7). Вычислительный эксперимент проводился на компьютере модели ASUS-X55SR, 1-й способ: время выполнения 2 с, ширина полосы 2,18, шаг 1,71. 2-й способ: время выполнения 3 с, ширина полосы 2,4, шаг 1,13. Плотность размещения, получен-
ная первым способом, равна 0,4193, вторым 0,5763.
Рис. 7 ВЫВОДЫ
Таким образом, получены следующие результаты:
1. Разработаны два способа нахождения рациональной укладки блока в полосу.
2. Способы нахождения рациональной укладки блока в полосу автоматизированы и реализованы в среде Visual Basic.
3. В результате вычислительного эксперимента по 1-му способу рассчитано размещение блока в полосу быстрее, чем по второму. Однако плотность размещения по 2-му способу выше. Следовательно, при нахождении карт раскроя для фигур с небольшим количеством сторон, актуально использовать 2-й способ, если же фигуры имеют большое количество сторон и требуется минимальное время расчета, актуален 1-й способ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мартынов В. В. Бабель А. В. Метод регулярного размещения плоских геометрических объектов на базе геометрических преобразований // Вестник УГАТУ. 2013. Т. 17, № 2 (55). [ V. V. Martynov, A. V. Babel, "Method of a regular placement of flat geometric objects based on geometric transformations," (in Russian), Vestnik UGATU, vol. 17, no. 2 (55), 2013. ]
2. Мартынов В. В. Использование операций Мин-ковского при анализе взаимного расположения геометрических объектов // Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа, УГАТУ. 1999. C. 167-174. [ V. V. Martynov, "Using Minkowski operations in the analysis of the relative position of geometric objects," (in Russian), in Decision making under uncertainty, pp. 167-174, Ufa: USATU, 1999. ]
3. Мухачева Э. А., Мартынов В. В., Верхотуров М. А.
Модели и методы расчета раскроя-упаковки геометрических объектов: монография. Уфа: УГАТУ, 1998. 217 с. [ E. A. Mukhacheva, V. V. Martynov, M. A. Verkhoturov, Models and methods for calculating cutting-packing geometric objects, (in Russia). Ufa: USATU, 1998. ]
4. Бабель А. В. Размещение заготовок на материале: свид. о гос. рег. программы для ЭВМ № 2011616383. [ A. V. Babel, Accommodation blanks on the material, (in Russian): Certificate of state registration of the computer no. 2011616383. ]
5. Мартынов В. В. Автоматизированная система управления процессом раскроя геометрических объектов сложной формы: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Уфа: УГАТУ, 1999. 32 с. [ V. V. Martynov, Automated process control system for cutting objects with complex geometric shapes, (in Russian). Ufa: USATU, 1999. ]
ОБ АВТОРАХ
МАРТЫНОВ Виталий Владимирович, проф., зав. каф. экон. информатики, рук. БРЦНИТ. Дипл. инж.-мех. (МПИ, 1981). Д-р техн. наук по АСУ (УГАТУ, 2000). Иссл. в обл. инф. систем, иссл. операций, прикл. геометрии.
БАБЕЛЬ Алексей Викторович, асс. каф. экон. информатики. Дипл. спец. по прикл. информатике в экономике (УГАТУ, 2011). Иссл. в обл. экон. инф. систем.
METADATA
Title: Finding rational laying block strip. Authors: V. V.Martynov1, A. V. Babel2 Affiliation:
Ufa State Aviation Technical University (UGATU), Russia. Email:1 martynov@rb.ru, 2 babel88.88@mail.ru. Langage: Russian.
Source: Vestnik UGATU (Scientific journal of Ufa State Aviation Technical University) vol. 18, no. 3 (64), pp. 231-235, 2014, ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print). Abstract: We study the location of flat geometric objects in the band. The two ways of finding rational laying block strip.
Key words: cutting; allowable placement area; flat geometric objects; rational distribution block strip.
About authors:
MARTYNOV, Vitali Vladimirovich, prof., Head. Department. Economy. Informatics, head BRTSNIT, Dipl. engi-neer-mech. (MPI, 1981). Dr. Sci. on ASU (USATU, 2000).
BABEL, Alexey Vitorovich, ass., Dept. Economy Informatics. Dipl. specialist on applied informatics in the economy (USATU, 2011).
