CC BY
28
Лёзин И.А. , Лёзина И.В.
НАХОЖДЕНИЕ МИНИМУМОВ ДВУМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ КОМПЕНСАЦИИ ОБЛАСТЕЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В статье рассматривается проблема нахождения экстремумов функций двух переменных, являющихся произведением полинома и положительно определенной функции, через вычисление их производных и решение систем двух полиномиальных уравнений произвольной степени с двумя неизвестными. Для решения системы предлагается подход, основанный на нахождении базиса Грёбнера и нахождения корней системы через решение системы уравнений, составленных полиномами из вычисленного базиса. Базис Грёбнера находится с помощью нового предложенного алгоритма, ускоренного относительно классического алгоритма Бухбергера. Для решения полученных полиномиальных уравнений произвольной степени с одним неизвестным предлагается численный метод Дюрана-Кернера.
При нахождении аппроксимирующих выражений для двумерных функций плотности вероятностей в ортогональных базисах Лежандра, Чебышёва, Лагерра и Эрмита, аппроксимирующее выражение представлено в общем виде следующим образом:
N М
У ( - У ) = 22 ( Х)Фу (у ) (1)
п = 0 т=0
где упт - коэффициенты мономов, а Фх (х) Фу ( У ) - некоторые положительно определенные функции.
Для поиска областей отрицательной определенности плотности вероятностей необходимо найти все экстремумы аппроксимирующего выражения, что сводится к решению системы вида:
* М ,(х)
/ \ / у
ё (ту) = 22 уПт) х" ут=0
п= 0 т= 0 N М'
(у),
(2)
к (ху) = 22 тту) хпут = °-
п=0 т=0
Системы полиномиальных уравнений в общем случае решаются построением базиса Грёбнера из базиса, составленного многочленами рассматриваемой системы, и решением системы уравнений, левые части которых являются многочленами, составляющими базис Грёбнера. Одними из самых широко распространенных методов для построения базиса Грёбнера являются алгоритм Бухбергера и алгоритм Фужера Е5. Однако оба способа при относительной простоте выполняемых преобразований обладают очень высокой операционной сложностью, что затрудняет, а зачастую и делает невозможным из-за слишком высоких требований к операционным ресурсам, вычисление базиса для систем вида (2) высокой степени.
Требуется найти алгоритм, позволяющий построить базис Грёбнера с меньшей вычислительной сложностью, чем имеющиеся алгоритмы, а также позволяющий работать с иррациональными коэффициентами. За основу данного метода берутся уже упомянутые алгоритмы Бухбергера и Фужера.
Итак, пусть К - поле вещественных чисел, К [х,у] - кольцо многочленов от двух переменных с коэф-
фициентами из К . Рассмотрим некоторый идеал I над кольцом многочленов, в который входят полиномы из системы (2). Множество является базисом идеала I . Зададим лексикографическое упорядоче-
ние мономов в многочленах:
тРхуРу > т4худу т (Рт > Чт ) ^ (Рт = Чт ) ^ (Ру > Чу )
"У ' Чу)
Используя операции сложения и умножения над многочленами, входящими в базис Н , требуется редуцировать его так, чтобы построить базис Грёбнера идеала I .
Введем понятие S-полинома:
г\ - ЬСМ(У’УЬ ЬСМУ’У) ,
(у,л) ІГ(у) у ІГ(у) У (4)
ьт (У) представляет старший терм многочлена У (т, у ) , а ЬСМ (у, у ) равен наименьшему моному, который делится на старшие мономы многочленов Л (т у) и Ъ (X у) • Операцией редуцирования произвольного
полинома Л (т, у) из К [ т, у] относительно Н является нахождение такого минимального многочлена г (т, у)
, который выражается в виде:
У(ту)^Н г(ту) = у(х,у)-2аі(ту)л(ту) (5)
і
где а (х,у) є К[х,у] и Уі (х,у)є Н .
Базис Н можно назвать базисом Грёбнера, если для любых двух полиномов Л(X у ) и У ( x, у ) из Н выполняется условие:
$ (У, У )^Н о (6)
При заданном лексикографическом упорядочении (3) базис Грёбнера будет составлен парой многочленов, удовлетворяющих условию (6), вида:
М-х Мху
у, ( х, у )=2*П Х)хп+24ту) ут,
п=1 т=0
Му ( )
Уу (т, у ) = 2 к{ту) ут
т=0
Множество решений системы, составленной из полиномов (7), будет соответствовать множеству решений системы (2).
Алгоритм нахождения базиса Грёбнера представлен в виде блок-схемы (Рисунок 1) .
На вход алгоритма редукции подается базис Н идеала I , составленный из множества полиномов системы уравнений (2).
Каждая итерация алгоритма редуцирования базиса начинается с того, что в базисе н ищется полином / (х, у) с минимальным старшим мономом, который может быть редуцирован относительно множества полиномов, состоящего из всех полиномов базиса, кроме выбранного полинома. Дальнейшее выполнение алгоритма разбивается на две ветви.
Рисунок 1 - Блок-схема алгоритма редукции системы уравнений
Если такой полином найден, то он исключается из базиса и находится остаток г (х, у) от редукции
этого полинома. Произвольный полином является редуцируемым относительно некоторого множества полиномов, если в этом множестве существуют многочлены, старшие мономы которых являются делителями старшего монома редуцируемого полинома. Редукция полинома - итеративный процесс. Если перед редукцией
остаток г(х,у) положить равным исходному редуцируемому полиному / (х,у) , то на каждом шаге уменьшения остатка проводится поиск максимального полинома / (х,у) в множестве Н , который может редуцировать остаток г(х,у) , и проводится редукция:
ЬСМ ( г, / )
г (х, у) = г (х, у) - ЬС (г) • ^ (х, у) • ^ ^ (8)
где ЬС (г) - коэффициент перед старшим мономом многочлена г (х,у) .
Редуцирование по формуле (8) следует продолжать до тех пор, пока остаток г(х,у) не станет нереду-цируемым. Когда редуцирование завершено и если остаток г (х, у) не является нулевым полиномом, то он добавляется в базис Н .
Перед добавлением остатка в базис требуется провести корректировку коэффициентов для г(х,у) . В кольце К[х,у] необходимо найти такие многочлены а ■(х,у) , аЛ/(х,у) , а г(х,у) и акг (х,у) , чтобы можно было представить полиномы 8(х,у) и к(х,у) в базисе Н + {г} :
8 (x, у) = 2 ag, ■ (x, у) /< (x, у)+ag, г (x, у)г (x, у),
' (9)
к (x, у) = 2 ак, <■ (у) /1 (у)+ак г (у)г (у )■ I
Если решение системы (9) не находится, это значит, что при вычислениях в значениях коэффициентов остатка накопилась методическая погрешность, вызванная способом представления вещественных чисел в памяти ЭВМ. Так как уже имеющиеся в базисе полиномы имеют правильные значения коэффициентов, в таком
случае необходимо откорректировать коэффициенты остатка г(х, у) в соответствии со значениями погрешности для каждого из коэффициентов в системе (9). Эта задача решается схоже с задачей редуцирования.
Сначала определяются значения коэффициентов для полиномов а / (х,у) и ан у (х,у) . Затем вычисляются разности:
гв (л, у) = ё (л, у) - Е ав, і (лУ) ^ (лУ)= ав, г (лУ)г (лУ)’
гн(лУ) = Ь(лУ)-Еак,і(лУ) А (л,У) = аь,г (лУ)г(л,У)■ ( )
і
Если разности представляют собой нулевые полиномы, то одну или несколько базисных функций /(л, У) нужно выкинуть из суммы и повторить операцию. По оставшимся разностям вычисляются коэффициенты полиномов а (л,У) и акг (л,У) , и корректируются при необходимости коэффициенты г(л,у) . После этого г(л,у)
добавляется в базис Н , и алгоритм редуцирования базиса идет на очередную итерацию.
По второй ветви алгоритм редуцирования базиса развивается, если в базисе Н не найден полином, который может быть редуцирован. В таком случае набор базисных функций должен быть расширен для продолжения редукции. Из всех возможных пар полиномов базиса /(л, у) и / (л, У) , для которых не выполняется условие (6), нужно найти пару с минимальным ьсм (/і, ^ ) .
Если такая пара найдена, то редуцированный остаток Б-полинома этой пары включается в базис Н , предварительно пройдя корректировку коэффициентов, как это было описано ранее.
Если же такой пары многочленов в базисе Н нет, то этот базис полностью редуцирован и является базисом Грёбнера.
Таким образом, алгоритм на выходе вернет базис, составленный из пары многочленов (7). Теперь для решения исходной системы нужно вычислить все корни у. полиномиального уравнения одной переменной
/ (л,у) = 0 вида (11), подставить по очереди эти значения в многочлен /л (л,у) , превращая его в полином
одной переменной, и рассчитать соответствующие корни хг- • уравнения
Мх’Уі)=° ■
Е = 0 (11)
т=0
Сравнительный анализ данного алгоритма с алгоритмом Бухбергера показал, что новый алгоритм на одинаковых примерах завершает свою работу с меньшим числом шагов и требует в несколько раз меньше времени.
Согласно теореме Абеля-Руффини, уравнение вида (11) при степени Муу >4 неразрешимо в радикалах, то есть для такого уравнения невозможно указать закрытую формулу для решений, содержащую только
арифметические операции и корни произвольной степени. Полином произвольного вида степени 5 , применяя преобразования Чирнхауса, можно привести к нормальной форме Бринга-Жерара в терминах разрешимых полиномиальных уравнений, при этом используются полиномиальные преобразования, включающие выражения в корнях не выше четвёртой степени. Эта процедура порождает лишние решения, но если отсечь их численными методами, то получим выражение для корней уравнения пятой степени через квадратные, кубические корни и радикалы Бринга. Однако для многочленов более высоких степеней не существует аналитических способов определения всех корней.
В таком случае следует воспользоваться одним из известных численных методов для решения полиномиальных уравнений общего вида с одной неизвестной, например, методом Дюрана-Кернера.
Для этого необходимо представить полином из уравнения (11) в нормированном виде:
г/ \ Мт ^Муу-1 щ-\ 4 ^
/(у) = у Х'+~77ГУ +- + 7іуГ (12)
к(у) к(у)
кМуу кМуу
Полином вида (12) имеет А/ комплексных корней ут , поэтому может быть представлен как произведение:
Муу
1{У) = ШУ-Ут) (13)
т=1
Для запуска алгоритма необходимо задать начальные комплексные значения корней уравнения, например:
Уш)=( 0-4+ 0.9/)" (14)
Уточнение корней уравнения на очередном шаге к проводится по следующей формуле:
/(А*"1)
пМы,)п М1-")
у(к) _ у(к !)-----------------------------;---------/-----------------
Ут Ут , М ^ 1
I=1 I=т+1
Когда требуемая точность будет достигнута, алгоритм следует остановить и отбросить все комплексные корни, оставив только вещественные значения у( . Эти значения по очереди подставляются в уравне-
/л (л У ) = 0 :
Мл Млу
+ о (16)
Эти уравнения, как правило, являются линейными, поэтому не составляет труда найти соответствующие корни х- . Таким образом, мы получаем набор точек {ху,^} , подозрительных на экстремум. Их дальнейший анализ позволяет определить, в каких точках функция (1) принимает отрицательные значения.
Литература
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. I / Пред. и прим. А.А. Флоринского. - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
2. Buchberger B. Grobner Bases: an Algorithmic Method in Polynomial Ideal Theory. In Recent
trends in multidimensional system theory, Reidel, Ed. Bose, 1985.
3. Durand, E. "Equations du type F(x) = 0: Racines d'un polynome". Solutions numeriques des equations algebriques, vol. 1. 1960.
4. Faugere, J.-C. (July 2002). "A new efficient algorithm for computing Grobner bases without reduction to zero (F5)". Proceedings of the 2002 international symposium on Symbolic and algebraic computation (ISSAC) (ACM Press).
