Нахождение функций распределения при неполноте исходной информации об отказах устройств железнодорожной автоматики и телемеханики Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Живучесть, надежность, безопасность

УДК 621.3.019

В. А. Володарский, канд. техн. наук

Кафедра «Системы обеспечения движения поездов», Красноярский институт железнодорожного транспорта

НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ НЕПОЛНОТЕ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТКАЗАХ УСТРОЙСТВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ АВТОМАТИКИ

И ТЕЛЕМЕХАНИКИ

Представлен один из возможных методических подходов к нахождению параметров функций распределения показателей надежности при постепенных отказах элементов железнодорожной автоматики и телемеханики для случаев, когда известны оценки коэффициента вариации или наработки на отказ. В первом случае рекомендовано использовать нормальное распределение, распределение Вейбулла и гамма-распределение, параметры которых могут быть определены с использованием изложенного в статье метода. Во втором случае рекомендовано использовать распределение, аппроксимированное функцией косинуса.

Представляется целесообразным провести исследования нормального, Вейбулла, гамма- и аппроксимированного функцией косинуса распределений на эквивалентность решений, получаемых при использовании математических моделей оптимизации технического содержания и расчета надежности систем железнодорожной автоматики и телемеханики.

показатель надежности; функция распределения; параметр; коэффициент вариации; наработки на отказ

Б01: 10.20295/2412-9186-2019-1-7-17.

Введение

При разработке математических моделей оптимизации технического содержания и расчета надежности систем железнодорожной автоматики и телемеханики (ЖАТ) должны быть заданы вид и значения параметров функций распределения показателей надежности их элементов [1-4]. Общих методов описания физических процессов в развитии отказов пока не существует. Имеются только некоторые сравнительно простые математические модели, основанные на предельных свойствах случайных величин и потоков событий или упрощенных физических предпосылках [5]. Так, внезапные отказы обычно описывают экспоненциальным распределением, для описания постепенных отказов часто используют нормальное, Вейбулла и гамма-распределение [5-7]. Для этих распределений достаточно хорошо

разработан математический аппарат и имеются необходимые для расчетов статические таблицы [8].

Нахождение вида и параметров распределений зачастую связано с трудностями, вызванными малым объемом (неполнотой) статических данных об отказах. Под неполнотой исходной информации здесь понимается такая выборка об отказах, количество членов которой меньше необходимого по правилам прикладной статистики числа наблюдений для проверки согласия опытного распределения с теоретическим распределением [9].

Цель статьи - изложение одного из возможных методических подходов к определению параметров функций распределения показателей надежности ЖАТ для случаев, когда, например, на основе статистических данных о постепенных отказах могут быть оценены значения коэффициента вариации V или наработки на отказ Т. Эти характеристики определяются по известным уравнениям

1 1

V = Ы T; T = ; S n „

1 n

nb ? -T )2

0,5

(1)

где 5 - среднеквадратическое отклонение; п - число отказов; 7 — 1-я реализация наработки между отказами.

1. Нахождение параметров функций распределений при оцененном значении коэффициента вариации

При оцененном по (1) значении коэффициента вариации для описания постепенных отказов целесообразно использовать нормальное, Вей-булла и гамма-распределение. Для дальнейших исследований приведем эти распределения к безмерному виду следующим образом.

Вероятность безотказной работы Р (t) и интенсивность отказов t) при нормальном распределении находятся по уравнениям [8]:

P (t ) = F

T -1

; Mt )=1 fi

rT -1 ^ S

(2)

j

где /1 - табулированные функции [8]; t - время эксплуатации.

Подставив полученное из (1) выражение 5 = VT в (2) и умножив ) на Т, получим

P (u ) = Fo

'1 - u^

; 4u )=V fi

'1 - u^

. V ) 4 7 ^ \ V , где u - время в единицах наработки на отказ; u = t/T.

(3)

Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при распределении Вейбулла находятся по уравнениям [8]:

Р (г ) = ехр Г-(г / а )Ь 1; Х(г ) = Ь / а (г / а )Ь-1, (4)

где а - параметр масштаба; Ь - параметр формы;

а = Т/кь; кь = Г (1 +1/Ь), (5)

где Г - табулированная гамма-функция [8].

Подставив значение а из (5) в выражение (4) и умножив Х(г) на Т, получим

Р(и) = ехр -(икЬ)Ь ; Х(ы) = ЪкЬ(икЬ)Ь 1. (6)

Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при гамма-распределении находятся по уравнениям:

Р(0 = ехр(-,г)1;^; ц,)=( ^ у, ., (7)

о г! (т -1)!^о (г) /1!

где г - параметр масштаба; т - параметр формы; наработка на отказ при этом равна Т = т/ г, откуда г = т/Т.

Подставив полученное значение для г в (7) и умножив Х(г) на Т, получим

т-1 ( )т-1

Р(г) = ехр(-ти)Х(ти)' /!; Х(г) = ( т^ . , (8)

о (т -1)!^0 (ти) /1!

Данные выражения являются функцией одного из параметров: коэффициента вариации V при нормальном распределении (3), параметра формы Ь при распределении Вейбулла (6) и параметра формы т при гамма-распределении (8).

Если по статистическим данным об отказах удается оценить с помощью (1) коэффициент вариации V, то принципы определения параметров рассмотренных функций распределения заключается в следующем.

1. Нормальное распределение однозначно определяется значением V.

2. В случае распределения Вейбулла при оцененном значении V параметр формы Ь может быть найден:

- по таблице [8, с. 58];

- с достаточной для практики точностью из выражения Ь = 1/V. Тогда параметр масштаба определяется как а = Т / къ. Значение къ

находится по (5) или по таблице [8, с. 58].

3. В случае гамма-распределения при оцененном значении V параметр формы находится из выражения т = 1/ V2, причем принимается ближайшее целое значение т. Тогда параметр масштаба определяется как г = т/Т.

В табл. 1-3 представлены значения вероятности безотказной работы в зависимости от времени эксплуатации в единицах наработки на отказ и для нормального, Вейбулла и гамма-распределения, вычисленные по формулам (3), (6) и (8) при разных коэффициентах вариации V.

Таблица 1. Вероятность безотказной работы при V = 0,5

и 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Нормальное распределение 1,0 0,945 0,885 0,778 0,655 0,500 0,345 0,222 0,115

Распределение Вейбулла, Ь = 2,1 1,0 0,973 0,893 0,767 0,616 0,460 0,320 0,208 0,131

Гамма-распределение, т = 4 1,0 0,991 0,921 0,770 0,603 0,433 0,294 0,200 0,120

Таблица 2. Вероятность безотказной работы при V = 0,375

и 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Нормальное распределение 1,0 0,983 0,956 0,856 0,703 0,500 0,297 0,144 0,044

Распределение Вейбулла, Ь = 2,9 1,0 0,993 0,951 0,849 0,686 0,487 0,295 0,148 0,044

Гамма-распределение, т = 7 1,0 0,999 0,976 0,857 0,680 0,450 0,270 0,140 0,06

Таблица 3. Вероятность безотказной работы при V = 0,29

u 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Нормальное распределение 1,0 0,997 0,977 0,915 0,754 0,500 0,246 0,085 0,023

Распределение Вейбулла, b = 3,9 1,0 0,999 0,983 0,911 0,752 0,506 0,250 0,08 0,014

На рис. 1-3 представлены графики зависимости вероятности безотказной работы от времени эксплуатации рассмотренных функций распределения при разных коэффициентах вариации. Из рисунков видно, что с уменьшением коэффициента вариации расхождение между кривыми становится меньше. Известно, что при т = 12, что соответствует V = 0,29,

гамма-распределение приближается к нормальному распределению [5]. Как видно из рис. 3, при коэффициенте вариации V = 0,29, что соответствует b = 3,9, расхождение между распределениями нормальным и Вейбулла становится незначительным.

Рис. 1. Вероятность безотказной работы при V = 0,5

Нормальное распределение, 7=0,5 — - — — Распределение Вейбулла, Ь=2,1 Гамма-распределение, т-4 Распределение косинуса

Рис. 2. Вероятность безотказной работы при V = 0,375

Нормальное распределение, У=0,375 — — * Распределение Вейбулла, Ь=2,9 Га мм а-распределение, т=7 Распределение косинуса

1,2

012345678

Рис. 3. Вероятность безотказной работы при V = 0,29 — - —Нормальное распределение,У-0,23........Распределение Вейбулла, Ь=3,9

2 Аппроксимация функции распределения при оцененном значении наработки на отказ

При малом объеме статистического материала об отказах, когда удается оценить только значение наработки на отказ Т, целесообразно использовать приближенное описание распределений показателей надежности простыми аналитическими функциями. Известно несколько способов аппроксимации показателей надежности линейными функциями, например, интенсивности отказов Х(?) = а + Ы [10, 11], вероятности безотказной работы Р(г) = 1 - аг [12] и Р(г) = а + Ь [13], параметра потоков отказов = = а + Ы [14]. Перечисленные аппроксимирующие функции имеют ряд недостатков. Ими можно аппроксимировать распределения показателей надежности на отдельных и, как правило, начальных отрезках времени. Трудности возникают с определением коэффициентов а и Ь, а также с аналитическим определением других показателей надежности, кроме аппроксимированных.

С другой стороны, нахождение определения функций распределения показателей надежности элементов ЖАТ требует больших затрат времени и средств, а иногда просто невозможно [7]. Поэтому показатели надежности определяются путем сбора и обработки информации об отказах в условиях эксплуатации. Получены численные значения параметра потока отказов элементов ЖАТ как постоянные величины [7]. Из теории надежности известно, что параметр потока отказов при любом виде распределения стремится к стационарному значению ю = 1/Т, где Т - наработка на отказ.

Это проявляется при сборе статистических данных об отказах элементов ЖАТ в реальных условиях эксплуатации.

Поскольку параметр потока отказов, согласно [15], для рассмотренных распределений (нормального, Вейбулла и гамма-) при t = T приближается к своему стационарному значению, равному 1/T, предлагается аппроксимировать зависимость этого параметра от времени эксплуатации функцией вида [16]:

ю(u) = u при u < 1; ю(u) = 1 при u < 1, (9)

где u = t/T, измеряется в радианах.

Остальные показатели надежности находятся с использованием преобразования Лапласа. Плотность распределения fu) найдем из уравнения, связывающего ее в операторной форме с параметром потока отказов:

f (s) = ю( s )[1 + ю( s )]-1, как f(u) = sinu. (10)

Тогда вероятность безотказной работы и интенсивность отказов

U

P (u ) = 1 -Jf (u )du = cosu; A,(u) = f (u) / P (u) = tgu. (11)

0

Как видно из уравнений (10) и (11), распределения показателей надежности выражены через элементарные функции, что очень удобно при разработке моделей управления надежностью ЖАТ и производстве необходимых вычислений.

Назовем полученное аппроксимированное распределение распределением косинуса. В связи с тем что интенсивность отказов такого распределения является, согласно (11), возрастающей функцией времени, оно применимо для описания процессов старения и износа элементов ЖАТ. Кроме того, функция косинуса является:

1. Распределением с возрастающей средней интенсивностью отказов [6], поскольку выражение

1 г / ч 7 -Incosu

— Ш u )du =-

u 0 u

является возрастающим при u > 0.

2. Распределением типа «новое лучше использованного» [6], поскольку

P(u + а) = cos(u + а) < P(u) Р(а) = cosu cosa при u > 0 и а > 0.

Это означает, что условная вероятность безотказной работы элемента с наработкой а меньше, чем соответствующая вероятность безотказной работы для совершенно нового элемента.

3. Распределением типа «новое в среднем лучше использованного» [6], поскольку

<х>

jp (u + а )du = 1 - sina < P (а) = cosa приа <0.

0

Это означает, что остаточное время жизни элемента с наработкой а меньше, чем у нового элемента [6].

Коэффициент вариации распределения косинуса найдем из уравнения

п/2

V = [ j (U -1)2sinudu]0,5 = (п - 3)0,5 = 0,375.

0

В табл. 4 представлены значения вероятности безотказной работы в зависимости от времени эксплуатации в единицах наработки на отказ u, вычисленных по формуле (11).

Таблица 4. Вероятность безотказной работы при распределении косинуса

u 0 0,2 0,4 0,б 0,8 1,0 1,2 1,4 n/2

Распределение косинуса 1,0 0,980 0,921 0,825 0,б97 0,540 0,3б3 0,170 0

На рис. 1-3 пунктирной линией представлены графики вероятности безотказной работы, описываемые распределением косинуса. Из рисунков видно относительно хорошее совпадение рассмотренных теоретических распределений (нормальное, Вейбулла и гамма-) при V > 0,375 с функцией косинуса на интервале времени 0 < и < 1,4.

Заключение

1. В условиях неполноты исходной информации, при оцененном значении коэффициента вариации, для описания показателей надежности и постепенных отказах элементов ЖАТ целесообразно использовать нормальное, Вейбулла и гамма-распределения, параметры которых могут быть определены с использованием изложенного в статье метода.

2. Для случая, когда известна только оценка наработки на отказ, рекомендуется использовать распределение косинуса, которое достаточно хорошо описывает процессы старения и износа элементов ЖАТ.

3. Предложенный методический подход определения параметров функций распределения в условиях неполноты исходной информации может быть

использован при разработке точных и упрощенных моделей управления надежностью ЖАТ. Представляется целесообразным провести исследования нормального, Вейбулла, гамма- и аппроксимированного функцией косинуса распределений на эквивалентность решений, получаемых при использовании математических моделей оптимизации технического содержания и расчета надежности систем ЖАТ.

Библиографический список

1. Шаманов В. И. Методы оптимизации технического обслуживания систем автоматики / В. И. Шаманов // Автоматика на транспорте. - 2016. - Т. 2. - № 4. - С. 481-492.

2. Володарский В. А. Стратегии, критерии и расчет периодичности замен аппаратуры автоматики и телемеханики / В. А. Володарский // Автоматика на транспорте. -2017. - Т. 3. - № 2. - С. 165-177.

3. Горелик А. В. Анализ показателей надежности функционирования систем железнодорожной автоматики и телемеханики с учетом экономических критериев / А. В. Горе -лик, П. А. Неваров / Автоматика на транспорте. - 2015. - Т. 1. - № 3. - С. 271-281.

4. Богданов А. Г. Принципы сбора данных об отказах элементов систем управления транспортными средствами / А. Г. Богданов, Д. А. Скороходов // Автоматика на транспорте. - 2017. - Т. 3. - № 4. - С. 491-505.

5. Герцбах И. Б. Модели отказов / И. Б. Герцбах, Х. Б. Кордонский. - М. : Советское радио, 1966. - 166 с.

6. Барлоу Р. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность / Р. Барлоу, Ф. Прошан. - М. : Наука, 1984. - 328 с.

7. Сапожников В. В. Надежность железнодорожной автоматики, телемеханики и связи / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, В. И. Шаманов. - М. : Маршрут, 2003. - 263 с.

8. Шор Я. Б. Таблицы для анализа и контроля надежности / Я. Б. Шор, Ф. И. Кузьмин. -М. : Советское радио, 1968. - 288 с.

9. ГОСТ 11.006-74. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. - [М., 1974].

10. Ibok E. U. Optimal maintenance scheduling of molded case circuit breaker in underground cool mines / E. U. Ibok, M. Chinnarao // Mining industry technical conference. -Pittsburgh, 1979. - Pp. 57-68.

11. Баранов Л. А. Оценка показателей надежности «линейно-стареющего» объекта / Л. А. Баранов, Ю. А. Ермолин // Надежность. - 2015. - № 4. - С. 57-60.

12. Копелевич Б. М. Методы расчета характеристик профилактического обслуживания технических систем : автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Рига : АН Латв. ССР, 1972. - 32 с.

13. Леонтьев Л. П. Некоторые проблемы и пути решения задач оптимизации профилактического обслуживания технических систем // Автоматика и вычислительная техника. - 1973. - № 3. - С. 29-33.

14. Малевский Г. В. Планирование профилактики в условиях частичной неопределенности / Г. В. Малевский, Э. К. Ринкус // Надежность и контроль качества. - 1974. -№ 8. - С. 50-55.

15. Рябинин И. А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергетических систем / И. А. Рябинин. - Л. : Судостроение, 1971. - 456 с.

16. Володарский В. А. О тригонометрических распределениях для описания отказов технических устройств / В. А. Володарский // Надежность. - 2016. - № 2. - С. 16-19.

Vladislav A. Volodarskiy, Department «Systems of train traffic provision», Krasnoyarsk state transport institute

Determination of the distribution functions parameters in the incompletion of the initial information about failures of railway automation and remote control devices

The paper presents one of the possible methodological approaches to determining the parameters of the distribution functions of reliability indicators with gradual failures of elements of railway automation and remote control for cases when estimates of the coefficient of variation or time between failures are known. In the first case, it is recommended to use the normal distribution, the Weibull distribution and the gamma distribution, the parameters of which can be determined using the method described in the article. In the second case, it is recommended to use the distribution approximated by the cosine function.

It seems appropriate to conduct studies of the normal, Weibull, gamma and approximated by the cosine function distributions for the equivalence of the solutions obtained using mathematical models for optimizing the technical content and calculating the reliability of railway automation and remote control systems.

reliability indicator; distribution function; parameter; coefficient of variation References

1. Shamanov V. I. (2016). Methods of optimization of technical maintenance of automation systems [Metody' optimizatcii tekhnicheskogo obsluzhivaniia sistem avtomatiki]. Automation on transport [Avtomatika na transporte], vol. 2, N 4. - Pp. 481-492.

2. Volodarsky V. A. (2017). Strategies, criteria and calculation of replacement periodicity of automation and remote control equipment [Strategii, kriterii i raschet peri-odichnosti zamen apparatury' avtomatiki i telemehaniki]. Automation on transport [Avtomatika na transporte], vol. 3, N 2. - Pp. 165-177.

3. Gorelik A. V., Nevarov P. A. (2015). Analysis of reliability performances of railway automation and remote control systems, considering economical criteria [Analiz pokazatelei' nadezhnosti funktcionirovaniia sistem zheleznodorozhnoi' avtomatiki i telemehaniki s uchetom e'konomicheskikh kriteriev]. Automation on transport [Avtomatika na transporte], vol. 1, N 3. - Pp. 271-281.

4. Bogdanov A. G., Skorohodov D. A. (2017). Principles of data gathering about refusals of the equipment of vehicles at their operation [Printcipy' sbora danny'kh ob ot-kazakh e'lementov sistem upravleniia transportny'mi sredstvami]. Automation on transport [Avtomatika na transporte], vol. 3, N 4. - Pp. 491-505.

5. Gertcbakh I. B., Kordonskiy Kh. B. (1966). Failure models [Modeli otkazov]. Moscow, Soviet radio Publ. - 166 p.

6. Barlou R., Proshan F. (1984). Statistical Theory of Reliability and Reliability Tests [Statistitscheskaya teoriya nadezhnosti I ispytaniya na bezotkaznost]. Moscow, Nauka Publ. - 328 p.

7. Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl., V., Shamanov V. I. (2003). Reliability of railway automation, remote control and communication [Nadezhnost zheleznodorozhnoy avtomatiki, telemechaniki i svyazy]. Moscow, Marshrut Publ. - 263 p.

8. Shor Ia. B, Kuzmin F. I. (1968). Reliability Analysis and Monitoring Tables [Tablitsy dla analiza i kontrolya nadezhnosty]. Moscow : Soviet radio Publ. - 288 p.

9. GOST 11.006-74. Application statistics. Rules for verifying compliance with an experimental distribution with theoretical.

10. Ibok E. U., Chinnarao M. (1979). Optimal maintenance scheduling of molded case circuit breaker in underground cool mines [Ocenka pokazatelei' nadezhnosti linei'no-stareiushchego ob'ekta]. Mining industry technical conference. Pittsburgh. - Pp. 57-68.

11. Baranov L. A., Ermolin Iu. A. (2015). Evaluation of reliability indicators of a «linearly aging» facility [Ocenka pokazatelei' nadezhnosti «linei'no-stareiushchego» ob'ekta]. Reliability [Nadezhnost], N 4. - Pp. 57-60.

12. Kopelevich B. M. (1972). Methods for calculating the characteristics of preventive maintenance of technical systems. Abstract of PhD thesis. Riga, Academy of Sciences of Lat. SSR. - 32 p.

13. Leontyev L. P. (1973). Some problems and ways to solve optimization problems of preventive maintenance of technical systems [Nekotory'e problemy' i puti resheniia zadach optimizatcii profilakticheskogo obsluzhivaniia tekhnicheskikh system]. Automation and Computer Engineering [Avtomatika i vy'chislitel'naia tekhnika], N 3. - Pp. 29-33.

14. Malevskiy G. V., Rinkus E. K. (1974). Partial uncertainty prevention planning [Plani-rovanie profilaktiki v usloviiakh chastichnoi' neopredelennosti]. Reliability and quality control [Nadezhnost' i kontrol' kachestva], N 8. - Pp. 50-55.

15. Riabinin I. A. (1971). Fundamentals of the theory and calculation of the reliability of the ship electric power systems [Osnovy' teorii i rascheta nadezhnosti sudovy'kh e'lektroe'nergeticheskikh system]. Leningrad, Sudostroenie Publ. - 456 p.

16. Volodarsky V. A. (2016). About trigonometric distributions to describe technical device failures [O trigonometricheskikh raspredeleniiakh dlia opisaniia otkazov tekhnicheskikh ustroi'stv]. Reliability [Nadezhnost], N 2. - Pp. 16-19.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Вал. В. Сапожниковым Поступила в редакцию 20.06.2018, принята к публикации 11.09.2018

ВОЛОДАРСКИЙ Владислав Афанасьевич - кандидат технических наук, старший

научный сотрудник, профессор кафедры «Системы обеспечения движения поездов»

Красноярского института железнодорожного транспорта.

e-mail: volodarsky.vladislav@yandex.ru

© Володарский В. А., 2019