Нахождение базиса однородной системы линейных уравнении над кольцом полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАХОЖДЕНИЕ БАЗИСА ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ

НАД КОЛЬЦОМ ПОЛИНОМОВ

© О.А. Сажнева >

Sazhneva О. A. Finding of the basis of a homogeneous system of linear equations over a circle of polynomials.

В этой работе рассматривается метод нахождения базиса целых решений однородной системы линейных уравнений над кольцом полиномов.

Пусть Я - поле. /?[*] - кольцо полиномов. /?"'[.г] -

/«-мерный модуль над И\х]. V' Є /Г[х] “ векторы в этом модуле. ІІусть V = (Vі, V2,...,у") - и векторов в порождающих подмодуль

М а К”' [х] раш а п. Будем говорить, что векторы V

образуют канонический базис в А/, если они обладают следующими свойствами:

1) первые (/- 1) компоненты вектора Vі нулевые;

2) /-я компонента вектора Vі имеет степень меньшую. чем /-я компонента вектора у' : degv

для всех / и /. таких, что / < / < п:

3 ) коэффициент при старшей переменной /-ой компоненты /-ого вектора (/ = 1.2..п) равен единице;

4) все компоненты каждого вектора не имеют общею полиномиального множителя.

Теорема. Канонический базис единственный. Доказательств о. 1 іусть имеются два различных канонических базиса: V — (у1, V2,.... у”) и

V — (Ї71, Vі',у"") . Гак как только первый векгор в каждом базисе имеег отличную от нуля первую компоненту. то. очевидно, что эти первые компоненты должны совпадать: у| = у^1.

Вектор V2 может быть получен как линейная комбинация всех векторов второго базиса за исключением Vі. иначе у нею была бы отлична от нуля первая компонента. Поскольку все вторые компоненты у век-

—3 —4 —и 2 т—2

торов V , V , ...,У равны нулю, то V, = А\>1 и

—2 Т 2

наоборот V-, = ЛУ1 . Гак как старшие переменные у

2 —~>

V-, И Х>2 имеют коэффициенты, равные единице, то

1-\ = . Аналогично доказывается, что V = V. для

/ = 3.4...п.

Пусть у1 - Х/иЛ/ЛГ; - (1)

По условию /-я компонента вектора V і имеет степень меньшую, чем /-я компонента вектора Х>‘ :

< degVf,. / < / 5; п. поэтому, если в сумме (1) ф 0 , то степеньу-й ком попет ы вектора V* совпадает со степенью у-й компоненты вектора V і : V*- = V'! = <1е§ V7 . Но по условию, степень j-й

компоненты вектора V* меньше, чем стенень /-й компоненты вектора Vі : ск^ Vі^ < degV7. Следовательно, в сумме (1) все Л^ = 0 для j > 1. Таким образом. Vі = А}¥', и наоборот у~' = . Гак как у, = у^1.

то Я, = Л1 = 1 и V1 - у-1. Аналогично доказывается.

что V7 = V 1= 2, 3, .... я. Теорема доказана.

Пусть теперь Ау = с - система линейных уравнений над К[х]. Алгоритмы решения таких систем рассматриваются в [1]. Пусть г,, г,.... :п ~ базис про-

странства целых решений этой системы.

Приведем алгоритм построения канонического базиса для решений соответст вующей однородной системы. Рассматриваемый метод состоит из трех п анов.

На первом этапе получаем

Vі =22 -I, . У2=Г3 -Г,....... у"'=Г/;--, (2)

базис пространства решений однородной системы Ау = 0.

На втором этапе приведем этот базис к треугольному виду. Сначала сократим все компоненты первого вектора на наибольший общий делители его комі юн єні. если он отличен от единицы и обнулим все первые компоненты у векторов, кроме первого вектора. Затем сократим все компоненты второго вектора на их наибольший обший делитель, если он отличен от нуля, и обнулим первые и вторые компоненты у всех векто-

ров. кроме первого и второю и г. д.

к -I

Пустыюсле (і-І)-го шага мы получили V

к а-1 ^

V V в качестве оазиса пространства реше-

ний однородной системы. Вычисления на к -ом шаге сводятся к следующему.

Пусть ОСЭ{\\ , V*,..V,;,) = </.,. Ее ЛИ і/ч Ф 1. то

Vу := у '/</ч. «г А - 1. А.п- 1. (3)

(4)

(5)

представление наибольшего общего делителя в виде

-- •' Г „* ,Л+1 Л,""1

л и ней но и комбинации полиномов Ук - Ук ....... Ук .

Тогда к-ый базисный вектор будет

п-1

V := ? , а, V

І ! = £ '

(6).

Остальные векторы с номерами і большими, чем к, будут V' := V' - [у' /#* ] • У* , (7)

і = к + \,к +2,...,я-1.

Отметим, что в частном случае, когда в сумме,

стоящей справа в равенстве (6). коэффициент при V равен нулю, то в (7) индекс і пробегает все значения от к до и-1, за исключением одного из номеров „т, при котором а* ^ 0. папример наименьшею из таких

номеров.

Запишем векторы Vі. V2.....у" 1 в виде матрицы:

Ґ 1 >

V

V

V _

к У

Ґ~ < V

0

0, 0^3,у43,...,у^VI

0,-.,0,£*,У^Р-Х-.........^

..V;;,-1

На третьем этапе будем строить такой базис, у которого в каждом столбце матрицы, состоящей из векторов базиса, наддиаюнальный элемент имел бы степень меньшую, чем элемент, стоящий на диагонали.

Перед этим сократим каждый вектор V* (/ = I. 2, .... п - 1) на наибольший обший делитель его компонент. если он отличен от единицы.

Преобразуем векторы Vі. V2...... у” 2, используя

следующие формулы. На £-ом (к = п - 2, п - 3, 1)

шаге будем вычислять

=ОСО(г*+|,у‘+|,...,у‘+|).Ксл* * І.то

х’к*' := V**1 /?*+,

V := V - V

У*+1./ = М-1-

(8)

(9)

Пример

Пусть задана система: Ау = с, где

х+3 2х+1 -л-1 1 > 9

, с - 1 V /

Кх-2 л+5 х л-1)

Л =

Получим базис целых решений однородной системы уравнений на основе целых базисных решений неоднородной системы уравнений , 22 , , постро-

енных с помошью алгоритма из [ I ]. й = Л (4.x- 4. - 3.x2 - 5.x + 5. - 6х2 + 6д- + 22. 9.x2 -ь 19.x +■ 29). Л = 1/4 -

На первом этапе производим вычисления с помощью формул (2).

V1 = Д (4л1 - 8.Г - 8.x + 12. - 3.x4 - 8.x’ + 3.x2 + 10.x- 5, -6л4 + 30л2 + 12л - 18, 9х4 + 28-Х5 + 51л2 + 6.x - 49). Д=1/4.

V2 = (4.х‘ - 12х2 - 4л- + 24. - 3.x4 - 2х' + 19л2 + 14.x - 15.

-6х4 + 12х3 + 34л2-40л-66.9л4 + 10.x3- 13л2- 102х- 123),

Рг = 1/4 ■

Второй этап. Используем формулы (3). (4). (5). (6), (7).

I маг.

д!=ёсй(у|1,уз,у^у‘)=1/4, q2 = gcd( у,2, V2 , V2, у2) = I/4.

V1 = (4^ - 8*2 - 8х + 12. - 3.x4 - 8.x1 + 3.x2 + Юл - 5.

-6х4 + ЗОлг2 + 12л - 18, 9л4 + 28л1 + 51л2 + 6л - 49). у2 = (4л1 - 12л2 - 4л + 24, - Зл4 - 2л1 + 19л2 + 14л - 15. -6х4 + Идг3 + 34л2—40х-66,9л4 + Кк3-13л2-102х-123).

а1 = I, а\ ^ - 1-

V1 - (4л2 - 4л -12, - 6л3 - 16л2 - 4л 4- 10. - 12л1 - 4л2 + 52л + 48, 18л3 +■ 64л2 + 108л + 74).

Ь7*,_Н'2-

V2 = (0, Зл4 + 2л3 - 9л2 - 4л + 5, 6л4 - 8.x' - 26л2 + 16л + 30, - 9л4 - 18.x-5 + 7л2 + 40л + 25).

Третий этап.

Используем формулы (8) и (9).

92 = 8С(1{ у,2, У^, , У“ ) = (Зл2 - л -5),

у2 - (0, л2 + л - 1. 2х2 - 2х - 6. - Зл2 - 7.x - 5). '

[У2 /«"2 ] = - 6х ~ 10.

у1 = (4л2 - 4.x - 1 2. 0, 4л2 - 4л - 12. - 8л2 + 8.x + 24). q\=gc<^(v\,v\,v\,v\ ) = 4x2-4х-\2.

Таким образом, получен канонический базис целых решений однородной системы уравнений'.

V1 - (1,0, 1.-2).

у2 - (0, Л2 + Л - 1, 2х2 - 2л - 6, - Зл2 - 7.x - 5). ЛИТЕРАТУРА

Последним действием будет нахождение общего делителя для компонент первого вектора и сокращение их на этот общий делитель.

Таким образом, мы получили базис целых решений

однородной системы уравнений: V*, У2,.у" * .

( ахтева 0,4. Решение систем линейных уравнений над кольцом полиномов р-адическим методом // X] Державинские чтения ИМФИ ТГУ им. Г.Р. Державина, 3 февраля 2006 г. Тамбов, 2006. С. 83-85.

Поступила в редакцию 19 октября 2006 г.