CC BY
23
УДК 62-3
НАГРУЖЕННОСТЬ ПЕРЕДАЧ ГИБКОЙ СВЯЗЬЮ Ю. Е. Гуревич
THE LOAD TRANSMISSION FLEXIBLE COUPLING
Y. E. Gurevich
Аннотация. Рассмотрено решение задачи о распределении нагрузки по дуге взаимодействия ремня со шкивом в зубчатых и фрикционных передачах. Анализ основан на применении моделей, в которых детали связаны упругим контактным слоем. Получены интегральные оценки местной напряженности. Приведены расчетные зависимости для поправки на шаги, позволяющие снижать неравномерности распределения нагрузки в контакте.
Ключевые слова: передачи гибкой связью, ременные передачи, контактный слой, нагруженность, неравномерность нагрузки, погрешность шагов.
Abstract. Reviewed is a solution of a problem regarding weight distribution on an interaction curve of a belt, a sheave gear and a friction gear. This analysis is based on practical examples in which models with elastic contact layer interconnected parts were used. Obtained are integral estimates of local tenseness. Calculated dependences for augment correction allowing to decrees uneven load distribution upon contacting are given.
Key words: flexible connection transmission, belting, contact layer, tenseness, uneven load, augment error.
Распределение нагрузки по дуге взаимодействия ремня со шкивом определяет нагруженность зубьев ремня в зубчато-ременной передаче и контактного слоя в ременной передаче фрикционного типа. В первом случае с учетом нагруженности уточняется работоспособность и долговечность передачи, во втором - предельное состояние при наступлении упругого скольжения и величина передаваемой нагрузки за счет сцепления ремня со шкивом [1].
Схематизация реальных деталей оказывается возможной, если их деформации разделить на общие и местные и рассматривать их изолированно друг от друга, что позволяет использовать относительно простые уравнения, связывающие перемещения точек модели с действующими на нее силами. При этом предварительная оценка эксплуатационной нагруженности передач гибкой связью с приемлемой для практики точностью может быть дана на основе анализа распределения нагрузки в моделях, в которых детали связаны упругим слоем, что позволяет получить интегральные оценки местной напряженности.
В результате мы приходим к стержневым контактным задачам, т.е. задачам о взаимодействии стержней с конструктивными связями (дискретный контактный слой), которые в расчетной схеме могут быть заменены условным непрерывным контактным слоем при условии, что он обеспечивает точкам контакта соответствующие перемещения.
В модели, приведенной на рис. 1, детали 1 - ремень и 2 - шкив, связанные упругим слоем, испытывают деформации разного знака.
Рис. 1. Схема к расчету нагруженности гибкой связи передачи
Условие совместности перемещений ремня и упругого слоя имеет вид [2]:
у(5) = 5(5) - 5(0) + Д(5), (1)
где у(^) - осевое смещение точек ремня в сечении 5; 5(5) - то же для сопряженных точек упругого слоя в сечении 5; 5(0) - то же в сечении 0; Д(5) - погрешность.
Это условие показывает, что осевое смещение точек тягового элемента ремня компенсируется перемещением точек контактного слоя.
Под действием внешней нагрузки в конструктивном контактном слое возникают силы д, уравновешивающие внешнюю силу Г (отнесенную к единичной ширине ремня), т.е.
Г = | д(5)d5 , Н/мм,
где д(5) - интенсивность распределения усилия по дуге соединения (дуге обхвата ремнем шкива), Н/мм2; Sk - длина дуги соединения (обхвата ремнем шкива), Sk = г -а ; S - текущая длина дуги соединения, S = г ■ ф; г - радиус шкива; а и ф - углы всей дуги обхвата и текущий. Смещение точек ремня в сечении 5/
1 S
Ф) =— [ Г(5^5 , мм, (2)
ЕГ 0
где ЕГ - жесткость тягового элемента (несущего слоя) ремня единичной ширины (отнесенная к единичной длине) при растяжении, Н/мм;
Г(5) = | д(5)d5, Н/мм.
Смещение сопряженных точек упругого слоя в сечении 5/
Рр
§( 5) = —д( 5), мм, (3)
Е7
где Е7 - жесткость (при сдвиге) контактного слоя (зубьев ремня) единичной ширины, Н/мм2; рр - шаг ремня.
Если принять отклонение шага постоянным по длине дуги Бк, то Д( 5) = 5 (Ар / Рр).
Уравнение (1) в итоге принимает вид:
Е^)* = Е|М5)" ^(0)] + ^, ММ. (4)
Дифференцируя уравнение (4), получим:
Е7
?'(5)=т^-Е7, Н/мм3, (5)
Ег
где у = Др / рр ; | = 1/ рр, мм-1.
После повторного дифференцирования выражения (5) получим:
д (5) -Р2 л2 д(5) = 0, Н/мм4, (6)
где Р ^ Л/(Е7^рру/Ег.
Решение уравнения (6) может быть представлено в форме
д(5) = + Век(Рл5), Н/мм2. (7)
Из уравнения (7) после дифференцирования получим:
д '(5) = 43г|сй(Рг|5) + ВР|5Й(Рл5), Н/мм3, (8)
откуда при 5 = 0
д '(0) = АРл; (9)
при 5 = 5к
д' (Бк) = ЛРлсН®^) + ВРл5Й(Рл5к), (10)
где |5к = г0 - число зубьев ремня на дуге обхвата шкива.
Произвольные постоянные Л и В определяются из граничных условий, которые устанавливаются с учетом уравнения (5):
при 5 = 0 г(0) = 0;
д '(0) = -у|Е7 ; (11)
при 5 = & Г(5к) = Г;
д '(5к ) = Р2|2Г-у|Е7. (12)
В результате, приравнивая соотношения (9) и (11), получим:
А = , Н/мм2.
Р
И, приравнивая соотношения (10) и (12), с учетом (13) получаем: ЕРг у^с^Рг^) -1
В = -
, Н/мм .
) р ) Принимая во внимание эти выражения, из уравнения (7) найдем:
(14)
уЕ2
Р
д ^ ) = ^Рг ч ск (Рг^ )-
- с*)-^ ск «г,)
, Н/мм2
(15)
откуда при , = 0 и , = соответственно имеем:
д(0)= РРГ | УЕ^ ск(Рг,^)-1 . д[ ' sк(РгSk) Р sк(РгSk) '
д (*к ) =
^Рг уЕ2
tк(РгSk) Р
вк(Рг,к) -
ск(Рг,к) -1
^(Р^к)
(16)
(17)
Из формул (15), (16), (17) следует, что первые члены соответствуют действию внешней нагрузки, тогда как вторые отражают влияние разницы шагов шкива и ремня.
Значение первых членов возрастает по мере увеличения , (при , = 0 ск(0) = 1; при , Ф 0 ск(и) > 1). По отношению к зубчато-ременной передаче из последних формул вытекает, что увеличение шага шкива разгружает находящиеся в зацеплении зубья ремня со стороны ведущей ветви и «переносит» эту нагрузку на малонагруженные зубья ремня со стороны ведомой ветви. Это объясняется тем, что при работе передачи шаг ремня в результате его растяжения увеличивается, и, следовательно, некоторое предварительное увеличение шага шкива будет благоприятным с точки зрения распределения нагрузки по дуге обхвата. Относительная положительная разность шагов шкива и ремня может быть определена из условия д(0) = д(к). Таким образом, приравнивая выражения (16) и (17), получим: Ар = Е ск(Рг,к) -1
У =
Рр EFsк2(РгSk) - [ск(Рг,к) -1]2
(18)
откуда следует, что каждой расчетной нагрузке Е соответствует своя оптимальная разность шагов:
Ар = Е
ск(Р^)-1
EFsк2(РгSk) - [ск(Рг,к)-1]2
мм.
(19)
Рассмотрим зубчато-ременную передачу: модуль т = 7 мм; шаг зубьев рр = 21,99 мм; разница шагов Ар = 0; коэффициенты жесткости несущего
слоя ремня ЕГ = 11000 1 /11, зубьев ремня Е7 = 5,5 1 /1 1 2 (Е7 = О /0,24 , где О = 1,35 МПа при твердости резины по ТМ-2 70...75 усл. ед.). Значение коэффициента:
Р= Е!^ = 55-2199 =0 0.. V ЕГ V 11000
Для передачи с фрикционной гибкой связью интенсивность распределения силы по дуге обхвата ремнем шкива (при отсутствии скольжения) следует определять для единичного шага, т.е. из условия рр = 1 мм.
Введем здесь коэффициент неравномерности (концентрации) нагрузки
^ = дшах/ дт,
где дтах и дт - соответственно максимальная и средняя удельные нагрузки на зубья в зацеплении дт = Г / Бк = Г| / z0 .
Тогда с учетом зависимости (17) при у = 0 получим:
¥ = Р|5к . (20)
Для данного примера при Р = 0,105 на рис. 2 приведены зависимости ^ от числа зубьев в зацеплении z0 при равенстве шагов ремня и шкива.
При наличии разницы шагов шкива и ремня Ар зависимость (20) будет иметь вид:
Р|5к ДрцБкЕХ
гИф^) РГ
ГкфцБк)
(21)
Рассмотрим неравномерность распределения нагрузки (в сторону увеличения) между зубьями ремня с параметрами: т = 7 мм; рр = 21,99 мм; допустимая удельная окружная сила Г = = 32 Н/мм; Е7 = 5,5 Н/мм2; Р = 0,105; |!к = 20 = 10.
Графически зависимость ^ от Ар представлена на рис. 3. Различие в значениях коэффициента ^ при вычислении с использованием моделей контактного слоя в виде дискретного и непрерывного составляет ~4.. .5 % для графиков на рис. 2 и 3.
При ЕГ = 11000 Н/мм, рр = 21,99 мм, Р = 0,105; |!к = z0 = 10 и
Г = Г = 32 Н/мм. По формуле (19) разница шагов, необходимая для выравнивания нагрузки между зубьями, составляет:
,„„ 21,99 сШ,105-10) -1 1ПП„„
Ар = ±32--:-----^--- = ±0,032 мм (~0,15 %),
11000 5Й2 (0,105 • 10) - [сЛ(0,105 • 10) -1]2
причем значение дроби в квадратных скобках при значениях произведения в круглых скобках от 0,05 до 10 составляет ~0,5.
т
1,35 1,3 1,25 1,2 1,15 1,1 1,05
■ 1,343
? 1,225 Л У "Г,284
1,13, у 1,177
// '1,092
6 8 \0 г0 12
Рис. 2. Зависимость коэффициента ^ от 10: 1 - дискретный слой; 2 - непрерывный слой
1Р 3,0
2,5
2,0
1,5
2
0 о,2 0.4 0,6 «3 Д/,%1,0
Рис. 3. Зависимость коэффициента ^ от разности шагов А/: 1 - дискретный слой; 2 - непрерывный слой
Из выражения (21) можно определить разницу шагов шкива и ремня, соответствующую любому принятому значению коэффициента ^ .
Оптимизация параметров передачи для получения более равномерного распределения нагрузки - одна из основных задач конструктора.
При значении коэффициента ^ = 1 разница шагов шкива и ремня
Р Р
Ар = 0,5—Р---—, где р - окружная сила, Н; ВР - ширина ремня, мм. С уче-
Ер Вр
том данной модификации наружный диаметр шкива (диаметр вершин зубьев) определяется зависимостью
йа = mz0- - 28 +Ай, (22)
где Ай - корректирующая поправка на наружный диаметр шкива в соответствии с требуемой разностью шагов шкива и ремня, Ай = Ар • ,г0ё / л; г0ё - число зубьев шкива; 8 - расстояние от нейтральной оси несущего слоя
(корда) до межзубной впадины ремня, 8 = 0,6 мм - при т < 4 мм; 8 = 0,8 мм при т = 4.10 мм.
Используя выражение для Ар, получим:
Дd « 0,16^^.
Вр ЕГ
Рассмотренные примеры позволяют оценить требуемую точность изготовления зубчатых ремней. Для относительно надежной работы и достаточной долговечности зубчато-ременной передачи коэффициент неравномерности распределения нагрузки между зубьями не должен превышать 1,6.1,8. Эти значения соответствуют погрешностям шагов до 0,3 % при отсутствии поправки на шаги и до 0,4 % при наличии поправки. Для ремня с модулем т = 7 мм при этом допустимые погрешности шагов составляют 0,06.0,09 мм, что соответствует 10.11-й степени точности изготовления зубчатых колес.
Список литературы
1. Белостоцкий, Б. Х. Передача окружного усилия растяжной нитью / Б. Х. Бело-стоцкий, М. Ю. Очан // Машиноведение. - 1977. - № 1. - С. 46-50.
2. Гуревич, Ю. Е. Нагруженность ременной передачи, работающей без проскальзывания / Ю. Е. Гуревич // Известия вузов. Машиностроение. - 1989. - № 4. -С. 139-144.
Гуревич Юрий Ефимович
кандидат технических наук, профессор, кафедра основ конструирования машин, Московский государственный технологический университет «Станкин» E-mail: m.kosov@stankin.ru
Gurevich Yuriy Efimovich candidate of technical sciences, professor, sub-department of fundamentals of designing machines, Moscow State Technological University «Stankin»
УДК 62-3 Гуревич, Ю. Е.
Нагруженность передач гибкой связью / Ю. Е. Гуревич // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2014. - № 2 (10). - С. 146-152.
