CC BY
22умению устанавливать контакты с различными людьми в постоянно меняющихся условиях;
- преодоление психологической депривации, развитие эмоциональной сферы ряда детей.
Для реализации этой идеи могут создаваться временные и постоянные группы, в которых собираются учащиеся разного возраста, разных классов. Примером постоянной группы может быть предметный кружок, объединяющий детей разных классов, желающих заниматься углубленно по какой-либо теме, проблеме, или группа детей для изучения элективного курса в условиях предпрофиль-ной подготовки и профильного обучения. Также в малочисленной школе может возникнуть необходимость постоянного совместного обучения учащихся двух и более классов по физкультуре, технологии, музыке и другим предметам. В начальных малокомплектных сельских школах, частных образовательных учреждениях обучение организуется в постоянных разновозрастных группах, в которых объединяются от 2 до 4 классов.
Временные разновозрастные группы формируются при проведении конкурсов, внеклассных мероприятий по предмету, а также при проведении учебных занятий, когда целесообразно объединение двух и более классов по конкретным темам.
Заметим, что возраст - понятие весьма относительное, он определяется не только датой рождения. Возраст имеет также психологические, психические, социальные, физические характеристики, которые не всегда соотносятся с паспортными данными. В этой связи любой класс школы можно рассматривать как разновозрастную группу, в которой дети одного года рождения отличаются физическим, психическим, социальным уровнем развития.
Воспитательный потенциал занятия в разновозрастной группе (РВГ) реализуется тогда, когда осуществляется совместная учебная деятельность детей разного возраста. Только в этом случае можно говорить о разновозрастном обучении (РВО). Под разновозрастным обучением мы понимаем совместную деятельность детей разного возраста, направленную на решение как общих для всех, так и частных, в зависимости от возраста, образовательных и воспитательных задач.
В практике уже давно по необходимости, из-за малочисленности сельских школ, используется объединение нескольких классов в начальной школе, реже - в основной и средней. На таких занятиях дети из разных классов чаще всего работают независимо друг от друга и практически отсутствует совместная деятельность учащихся разного возраста, не реализуется воспитательный потенциал разновозрастного взаимодействия.
В то же время ряд передовых городских школ, лицеев России специально, коренным образом перестраивают учебный процесс, отказываясь от классно-урочной системы, и организуют обучение (взаимообучение) детей в разновозрастных группах. И это объяснимо. Настоящие профессионалы и педагоги-гуманисты осознают значительные образовательные и воспитательные возможности такого построения учебного процесса, гибко и неформально организуют взаимодействие детей разного возраста.
Реализация вышеизложенных идей предусматривает использование соответствующих педагогических технологий, которые существенным образом перестраивают учебный процесс, взаимодействие его участников, обеспечивая высокий воспитательный результат обучения школьников. Опытно-экспериментальное исследование показало, что в результате применения рассмотренных выше педагогических средств повышается эффективность не только решения воспитательных, но и образовательных задач обучения учащихся.
Г.Е. КОЗЛОВ, Е.И. СМИРНОВ
Наглядное моделирование в обучении математике студентов педагогических вузов
Задолго до открытия асимметрии человеческого мозга (правое полушарие оперирует наглядными образами, левое - словеснологическими процедурами) известный математик Д. Гильберт замечал: «В математике, как и вообще в научных исследованиях, встречаются две тенденции: тенденция к абстракции - она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести этот материал в систематическую связь, и другая тенденция - тенденция к наглядности, которая в противоположность к этому стремится к живому понима-
нию объектов и их внутренних отношений». В то же время традиционная классификация мышления связана с разделением его на наглядно-действенное, наглядно-образное и
словесно-логическое. Эти типологии естественно отражались на принципах и методах обучения математике: принцип наглядности в обучении, метод моделирования, теоретическое обобщение и т.п. Однако реализация принципа наглядности связывается обычно с использованием различных средств: технических (в том числе компьютера), плакатов, рисунков, моделей, схем и т.д., выполняющих функцию оперативного воздействия на органы чувств (в основном, зрения).
В этой связи исторический подход к наглядности в обучении математике как к опоре на чувственное восприятие дает максимальный эффект в начальной школе и явно недостаточен при изучении высших разделов математики. Дело в том, что, с одной стороны, математический язык обладает естественным «формализмом», каждый математический знак, символ, геометрическая фигура, диаграмма или график уже есть обобщение, «уход» от реальных объектов и ощущений, и чем выше раздел математики, тем абстрактнее математический язык. Поэтому необходимы анализ и моделирование студентами абстракций, ведущих к пониманию сущности математического объекта, явления или процесса. С другой стороны, личность обучаемого должна быть обогащена рациональным и логическим мышлением (анализ, синтез, аналогия, конкретизация и т.п.) в единстве с - «мгновенными актами» усмотрения сущности: инсай-том, интуицией, догадкой, основанных на наглядных образах и чувственной реальности, развитие которых является одной из важнейших задач математического образования. И как результат, получим наглядное оперирование математическими объектами и математическим языком с существенной опорой на рациональное и логическое мышление.
В то же время попытка описать какую-либо проблемную область в виде логической структуры аксиом, понятий, теорем, отражающих фундаментальные факты и закономерности, испытывает значительные трудности и приводит к неполноте описания. Глубина и широта поиска в логической структуре, процедура поиска оптимального пути вступают в противоречие с психофизиологическими возможностями восприятия человека
(миллеровские числа, законы гештальта, психомоторика и т.п.). Возникает проблема адекватной структуризации на основе выделения существенных связей и наглядного моделирования логического поля в соответствии с закономерностями восприятия, памяти и мышления.
Технология наглядного моделирования [1] позволяет стимулировать мотивации разного уровня и длительности. Моделирование своим объектом имеет модели. В исследовании Н.Г. Салминой [2] разводятся понятия схемы и модели в учебной деятельности. Если модель не предполагает исследовательской функции, а применяется для иллюстрации каких-то положений или выступает как средство усвоения готового материала, то это схема, а вид знаково-символической деятельности -схематизация.
Представление знаний связано со знаково-символической деятельностью и характеризуется структурированностью, связностью и активностью представления. Виды знаково-символической деятельности порождают тип моделей представления знаний, принятых в инженерии знаний и решений проблем искусственного интеллекта: логические, реляционные, семантические сети, продукционные, фреймовые.
Модель должна адекватно отражать основные, главные черты исследовательской деятельности школьников и должна быть описана математически; кроме того, необходимо учесть роль каждого определяющего структуру элемента, его функции и характеристики. Исходя из системного подхода, при исследовании наглядного моделирования в обучении следует выявить структуру этого процесса, так как именно она и должна быть формализована при построении модели познавательной деятельности школьников. Изучение этой структуры невозможно без знания специфики учебного процесса и особенностей методики применения средств и видов наглядного обучения, без использования практического опыта имеющихся в педагогике подходов и методик. После изучения ориентировочной основы и структуры наглядного моделирования необходимо проектировать систему организации и управления исследовательской деятельностью школьников в условиях рефлексии и совместной работы в малых группах.
Поэтому актуальной является проблема такой организации процесса обучения математике, когда представления, возникающие в мышлении обучаемых, отражают основные, существенные, ключевые стороны предметов, явлений и процессов, в том числе посредством адекватного моделированиия математического знания.
Именно формирование этих узловых, опорных качеств объекта восприятия (перцептивная модель) и представляет собой суть процесса наглядного моделирования. Такой подход a priori предполагает моделирование объекта восприятия с опорой на нейрофизиологические механизмы памяти, закономерности восприятия, ментальные возможности и аффективные состояния личности. При этом особую значимость приобретают модели, фиксирующие процедуру математических действий в процессе исследовательской активности.
Таким образом, наглядность - не только особое свойство психических процессов, но и свойство математического объекта в рамках учебного исследования. Таковым он становится, когда у статистически достоверной выборки обучаемых возникают наглядные перцептивные образы (а значит, и у генеральной совокупности обучаемых). Это, возможно, снимает рассуждения такого свойства: «Поэтому можно говорить (и обычно так всегда и делают), что тот или иной предмет, явление, событие наглядны, имея в виду, что для нас
наглядны образы этих объектов» [3].
Наглядность математического объекта (или перцептивного образа) определяется, как уже отмечалось, факторами восприятия, представления, мнемическими процессами в их единстве на основе диагностируемого целе-полагания. Следующие критерии определяют существо наглядности математического объекта:
- диагностируемое целеполагание целостности математического объекта (моделирование, кодирование, схематизация, замещение);
- понимание обучаемым сущности математического объекта (адекватность восприятия);
- устойчивость перцептивного образа и представления;
- познавательная и творческая активность обучаемого на основе комфортности и успешности обучения.
Первый и третий критерии обуславливаются проектированием ориентировочной основы учебной деятельности (ООУД) со знаково-символическими средствами учебного процесса, второй и четвертый - знаковосимволической деятельностью как обучаемого, так и обучающего (как внешнего, так и внутреннего плана). Более наглядно это представляется на следующей схеме (ЗСС - знаково-символические средства; ЗСД - знаковосимволическая деятельность).
Системная реализация в процессе исследовательского обучения математике всех видов наглядного моделирования выступает фактором формирования целостных образов математических объектов, неотъемлемым этапом имитации научного познания в обучении школьников, а значит, и значительно способствует усвоению математических знаний и развитию когнитивных способностей и математического мышления.
Наглядное моделирование - это формирование адекватного категории диагно-стично поставленной цели устойчивого результата внутренних действий обучаемого в процессе моделирования существенных свойств, отношений, связей и взаимодействий при непосредственном восприятии приемов знаково-символической деятельности с отдельными знаниями или упорядоченными наборами знаний.
Таким образом, наглядное моделирование в обучении есть процесс, включающий в себя как проектирование и построение a priori модели (схемы, кода, заместителя), отражающей существо объекта восприятия, так и формирование адекватного результата внутренних действий обучаемых в процессе учебной деятельности. Предпочтение отдается «наглядной модели» в смысле опоры на устойчивые ассоциации, простые геометрические формы, психологические законы восприятия и нейрофизиологические механизмы памяти. Наглядная модель должна отражать суть понятия, формы или метода исследования. Выявление сущности каждого компонента наглядного моделирования в обучении математике предполагает поиск, познание и раскрытие закономерностей эффективного ее функционирования, создания условий для комфортной совместной деятельности преподавателя и ученика, получение диагностируемого адекватного результата внутренних действий обучаемого. Использование «мягких математических моделей» по В.И. Арнольду [4] при создании ориентировочной и информационной основы учебной деятельности создает условия для оптимального управления познавательной деятельностью обучаемых. Важным обстоятельством является то, что наглядное моделирование осуществляется по III типу ориентировки П.Я. Гальперина, способствует формированию теоретического (математического) мышления и целостному под-
ходу к выявлению сущности учебных элементов.
Определение и наглядное моделирование ООУД в процессе исследовательского поведения школьников создает основы для формирования положительной мотивации достижения результатов, самореализации личности и мотивации интеллектуального напряжения. В обосновании такого подхода лежит методологический тезис А.Н. Леонтьева: «... актуально осознается только то содержание, которое является предметом целенаправленной деятельности ученика, т.е. занимает структурное место непосредственно цели внутреннего или внешнего действия в системе той или иной деятельности» [6].
Еще с начала XX столетия целый ряд психологов (О. Зельц, М. Вертгеймер, М. Бунге и др.) подчеркивали существенность процесса визуализации исследовательской ситуации как важного этапа решения задачи. Интересно отметить, что подобные вопросы возникают при анализе деятельности оператора автоматизированных систем управления (АСУ) в инженерной психологии, т.к. основным видом его деятельности является деятельность с информационными моделями. В информационную модель включаются данные об объектах управления, состоянии внешней среды и самой системы управления. «Информационная модель для оператора является источником информации, пользуясь которой он оценивает ситуацию и принимает решения, обеспечивающие правильную работу системы и выполнение возложенных на нее задач» [5. С. 122]. Работая с информационной моделью (доска управления, индикаторы, экраны и т.п.), оператор АСУ принимает решения вне непосредственного контакта с реальностью и объективно заинтересован в получении достоверной информации и адекватном реагировании на изменения ситуации. При этом наблюдаются очевидные аналогии с процессом обучения и проблемой наглядного моделирования объектов и действий. «Информационная модель должна быть наглядной, т. е. оператор должен иметь возможность воспринимать сведения, даваемые моделью быстро и без их кропотливого анализа» [5. С. 497].
Следующая таблица показывает прямые аналогии содержания понятия наглядного моделирования в обучении и требований к информационным моделям в инженерной психологии [5. С. 496-500].
Таблица 1
№
Существенные связи наглядного моделирования в обучении_________________
Требования к проектированию информационных моделей в инженерной психологии___________________________________
Отражение существенных свойств, отношений, взаимодействий математических объектов и действий. Непосредственное восприятие математических объектов и действий.
Адекватность категории диагностично поставленной цели результатам внутренних действий обучаемых.
Моделирование существенных свойств математических объектов и действий.
Устойчивость результатов внутренних действий обучаемых, соответствие законам психологии восприятия.______________
Модель представляет собой абстракцию, в которой сохраняются существенные свойства, отношения, взаимодействия.
Модель должна быть наглядной т.е. сведения, поставляемые моделью, должны быть восприняты быстро и без их кропотливого анализа.
Модель должна быть геометрически подобной их (структурных компонентов объекта) действительному расположению.
Модель имеет правильную организацию структуры (отбор того существенного и типичного, что позволяет с максимальной эффективностью донести существо реальной ситуации).
Необходимо учитывать психофизиологические возможности человека.
1
2
3
4
5
Критерием эффективности при работе с информационной моделью (так же, как и с наглядной моделью в обучении) должны служить время и точность выполнения заданий при получении успешного результата. Безусловно, что в учебной деятельности критерием эффективности управляющих воздействий служат также (и в первую очередь) академическая успешность и позитивные изменения в когнитивной и аффективной сферах личностного развития.
В содержательной основе наглядного моделирования в обучении лежит типология моделей знаково-символических средств, реально используемых в математике.
Логические модели представляют математические знания посредством исчисления предикатов и адекватных "иерархических деревьев". Достоинством знаково-символических средств, использующих буквенноцифровую символику, являются фиксирован-ность алфавита и существование мощных процедур логического вывода. Дерево - это плоский, связный, ациклический граф. Каждый граф, не содержащий циклов, называется лесом. Таким образом, компонентами леса являются деревья. В вершинах графа обычно располагаются учебные элементы (понятия, теоремы, алгоритмы, математические методы, спирали фундирования и т.п.), ребра обозначают отношение между учебными элементами. Таким образом, можно построить логическую структуру понятий или теорем учебного предмета. Однако здесь прямые аналогии инженерии знаний и представления знаний в мышлении человека заканчиваются. Глубина и ширина поиска, процедуры поиска опти-
мального пути вступают в противоречие с физиологическими и психологическими возможностями восприятия (миллеровские числа, законы гештальта, психомоторика и т.п.). Поэтому, например, в логической структуре понятий должно быть 7±2 базовых понятий (вершин) и 3-4 уровня глубины дерева, с теми же миллеровскими числами в каждой промежуточной вершине. Если это не выполнимо в рамках данного учебного материала, то необходима его глобальная структуризация.
Реляционные модели в основном представляются разнообразными таблицами. В математике таблицы являются не только средством представления знаний, но и учебными элементами, например, матрицы в алгебре, таблицы производных и интегралов в математическом анализе, электронные таблицы в информатике и т.д. Таблицы легко воспринимаются, структура их доступна, данные группируются компактно.
Семантическая модель представляет собой ориентированный граф, в котором вершины соответствуют определенным объектам или понятиям, а дуги отражают отношения между вершинами. Семантическая модель допускает циклы, разнотипность отношений между вершинами, разнообразие видов информации о математических объектах в вершинах: это могут быть блок-схема изучения темы или доказательства теоремы, структурная модель полноты изучения понятия, спирали фундирования и мотивации базового школьного знания и т.д. Требования к построению семантических сетей коррелируют с основными закономерностями восприятия знаково-символических систем.
ПРОЦЕСС НАГЛЯДНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ
Учебные элементы, действие, опыт личности, средства и условия, ООУД
Моделирование
і
Средства сбора, хранения, переработки информации, обратные связи, средства принятия решения и исполнения
Концептуальная модель (материализованные действия)
(адекватность)
/. Л
Перцептивные процессы с/° ,-4 [ Vі
хтх ▲
Информационная модель
процесс
обучения
процесс
управления
(адекватность)
Наглядная модель (априори) существа объекта восприятия (идеальные действия)
гА, о с
э с V
Модель реальной
действительности
ПРОЦЕСС РАБОТЫ ОПЕРАТОРА АСУ
Схема 2. Аналогия процессов наглядного моделирования в обучении и работе оператора АСУ
Продукционная модель фиксирует процедуру математических действий при решении определенных задач. Например, схема исследования функции f действительного переменного выглядит следующим образом:
1. Найти область определения Б(£) и область значений Я(£) функции, точки пересечения с координатными осями, особые точки и пределы функции f на бесконечности и в особых точках.
2. Найти асимптоты f и построить эскиз графика.
3. Найти первую производную функции Ґ, стационарные и критические точки. Найти промежутки монотонности ^ экстремальные точки и значения f в них.
4. Найти вторую производную функции Г, точки перегиба функции £ Найти промежутки выпуклости функции вверх и вниз.
5. Построить график функции.
Таким образом, данная процедура состоит из 5 правил (продукций).
По мере того, как математические и дидактические объекты усложняются, представления знаний в виде сетей уступают место фреймовым моделям. Основатель теории фреймов М. Минский дает следующее определение: "Фрейм (рамка) - это единица представления знаний, запомненная в прошлом, детали которой при необходимости могут быть изменены согласно текущей ситуации". В тех случаях, когда многое можно сказать о содержимом вершины сети, целесообразен
переход к фреймовому представлению, со- а также активизации фрейма за счет проце-
держащему ячейки (слоты) и имена ячеек. дурных слотов. Таким образом, фреймовые
Фрейм может иметь многоуровневую струк- модели удовлетворяют всем четырем основ-
туру. Наличие имен фреймов и имен слотов ным требованиям к знаниям (внутренняя ин-
обеспечивает возможность внутренней интер- терпретируемость, структурированность,
претируемости знаний, хранимых во фреймах, связность и активность).
Задача коммивояжера
Исходная постановка задачи
Торговцу (коммивояжеру) необходимо обойти ориентированное число пунктов, вернувшись в исходный, не побывав нигде дважды. Известны расстояния (стоимость) между пунктами. Определить маршрут, обладающий минимальным расстоянием (стоимостью). Оценочная функция - это суммарная длина полного пути, начинающегося и оканчивающегося в некотором пункте.
Концептуальное моделирование
Рассмотрим связный ориентированный график: О = (V,Е,И), в котором V = {,у2,...,уп}-
конечное множество вершин, Е = {, е2,..., вп} -конечное множество дуг, И * Е ^2+ -весовая функция дуг. Если дуга ек е Е соответствует упорядоченной паре вершин (v^; V. ) , то обозначим С.. = И(е, ). г] к
Требуется определить такое подмножество дуг Ек е Е в графе О, которое образует в этой графе замкнутый путь, проходит через каждую вершину ровно один раз и обладает минимальной длиной.
Обозначим:
1-если дуга (vi; V. ) входит в исходный маршрут
0 - если дуга (; V. )не входит в оптимальный маршрут
X. . =
V
Математическое моделирование
Математическая модель задачи: n n
Z Z c..x.. ^min , при ограничениях:
i = 1 j = 1
Z X . = 1 (Vi e{l,2,...,n })
j = 1
Z x . = 1 (Vj e{1,2,...,n }) i = 1 J
u.
i
-u. + nx . < n-1 (Vi, j e{2,3,...,n },i ± j) J u
x £ {0; 1} (Vi, j e{2,3,...,n }) u
u. £ R,(Vi £{2,3,..., n })
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ограничения (1) и (2) обеспечивают выполнение следующих условий: каждая из вершин исходного графа должна иметь одну входящую и ровно одну исходящую дугу, а также количество дуг в оптимальном пути должно быть в точности равно п.
Ограниченная (3) задает условие:
Искомый путь не должен распадаться на отдельные циклы с количеством дуг, меньших п. Общее количество ограничений равно 2п + (п + 1)(п - 2) = п2 - п + 2 .
Как задача комбинаторной оптимизации, задача коммивояжера может быть сформулирована следующим образом:
f (а.р an, йц) ^ min Aß ^ x, где множество допустимых х альтернатив Aß содер-
жит все возможные численные перестановки вида (i^ i^ ,■■■, in, ij) элементов множества {1,2, .., n} .
При этом будем считать, что путь начинается и заканчивается в вершине с номером 1.
Для решения задачи коммивояжера в комбинаторной постановке запишем основное уравнение Р.Беллмана:
hk(l; 1 i2""'k; ik +1> = , min ,К -1(1; V i2 ik; ak (+a,ik + i '(6)
ak £{3-"Hii2 ik } k
где перестановки (1; i i ; i, +1) берутся из множества {1,2, .., n} и последний элемент равен
некоторому числу i, +1 е{2,3,..,n}\{i^i^, ..,i,;a,}, что отвечает требованиям однократного посещения коммивояжером каждого из пунктов. Для k = n-1 in = 1 (k = 0,1,. .,n-1) значения C.
соответствуют весам дуг смежного исходного графа.
Оптимальное решение для циклического пути определяется формулой:
*
X = argrnrn ^ j, i2,..., in_1:i) + (7)
i e{2,3,.., n}\ji1, i2,..., in-1}
Блок-схема алгоритма
При реализации алгоритма необходимо выполнение следующих условий:
14
1. Предварительное определение значение функции к^ . Первоначально задаются значения функций ко (1;/) = Су (/ = 2.3 п) .После чего переходят к шагу 2.
2. Прямая последовательность пересчета. С использованием рекуррентных соотношений последовательно рассчитываются значения функций к^ для значений К от 1 до п-1, где п-
количество вершин одного графа. Одновременно с этим находятся условно оптимальные значения перестановок (1;/¿2’•••*£;¿к +1) для всех значений I от 2 до п. Далее следует переход к
шагу 3.
3. Для нахождения оптимального значения целевой функции среди найденных на предыдущем шаге значений функции ^ с использованием выражения (7) определяют минимальное значение.
Пример. Исходный граф задачи коммивояжера имеет вид.
3
Требуется найти полный замкнутый путь, начинающийся в вершине с номером 1 и заканчивающийся в вершине с номером 6, чтобы общая длина пути была минимальной.
Переменными математической модели являются : x.. (i, j = 1.2.3.4), каждая из которых
Ч
принимает значение 0 или 1, а также 3 вспомогательных переменных и е R(i = 2.3.4).
Значение весов Су положим равным 100.
Математическая модель задачи имеет вид:
100хц + 9ху2 + 7 Худ + 3ху4 + IOOX22 + 5х2у + 5x23
+6X24 +100Х33 + 2X31 + 3X32 + 7Х34 + ЮОХ44 + 6Х41 + 5X42 + 4Х43 ^ min
Множество допустимых альтернатив формируется следующей системой ограничений:
Х11 + Х12 + Х13 + Х14 = 1
Х21 + Х22 + Х23 + Х24 = 1
Х31 + Х32 + Х33 + Х34 = 1
Х41 + Х42 + Х43 + Х44 = 1
Х11 + Х21 + Х31 + Х41 = 1
Х12 + Х22 + Х32 + Х42 = 1
Х13 + Х23 + Х33 + Х43 = 1
Х14 + Х24 + Х34 + Х44 = 1
V -и3 + 4Х23 < 3
V -и3 + 4Х43 < 3
X. e{0;1}(i,j = 1.2.3.4)
и
и. еR(i = 2.3.4)
Информационное моделирование
Реализуем решение задачи методом динамического программирования.
Шаг 1. h0(1;2) = 9, h0 (1; 3) = 7, h0 (1; 4) = 4
Шаг 2. (первая итерация), к=1. Последовательно рассчитываем значения функций для
значений к=1, используя рекуррентные соотношения (6). к1(1;3;2)=10 к1(1;4;2)=9
к1(1;2;3)=14 к1(1;4;3)=8
к1(1;2;4)=15 к1(1;3;4)=14
Шаг 2.(вторая итерация), к=2
к211;i1 ’i2;2) = min {к1 (1;3;4) +С42 }; к1 (1; 4; 3) + C32J= min {14+5;8+3} = к2(1;4;3;2) = 11 Аналогично
к2 (1;(i2;3) = к2 (1;4,2;3) = 13
к2 (1;(i2;4) = к2 (1;3,2;4) = 16
Шаг 3. (третья итерация), к = 3 к3 (1; 4,3,2;1 ) = 16
к3 (1; 4,2,3;1 ) = 17
к3 (1;3,2,4;1 ) = 22
Шаг 3. (третья итерация)
Оптимальному значению соответствует маршрут 1, 4, 3, 2, 1
*
X = (1,4,3,2,1)
Минимальное расстояние равно 16.
Приведем решение задачи с помощью программы MS EXCEL. Внешний вид рабочего листа задачи коммивояжера
А ti | С | Ü | t г и
1 Коэффициенты ЦФ Значения Цф
2 100 9 7 4 =СУММПРОИЗВ(В2:Е5;В7:ЕЮ)
3 5 100 5 6
4 3 3 100 7
5 6 5 4 100
В Переменные Xi1 Xi2 Xi3 Xi4 Ограничения 2
7 X1J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =СУММ(В7:Е7) 1
В X2j =СУММ(В8:Е8) 1
9 X3j =СУММ(В9:Е9) 1
10 X4j =СУММ(В10:Е10) 1
11 Ограничения 1 =СУММ(В7:В10) =СУММ(С7:С10) =CVMM(D7: D10) =СУММ(Е7:Е10)
12 1 1 1 1
13 Ulj 0 0 0 0
14 Ограничения 3
15 U2-Uj+4X2j 0 =tC$13-D13+4*D8 =$С$13-Е13+4*Е8
16 U3-Uj+4X3j =tDt13-C13+4*C9 0 =IDt13-E13+4*E9
17 U4-Uj+4X4j =JEi13-C13+4"C1C =JEJ13-D13+4*D10 0
18
Поиск решения
н
Установить целевую ячейку:
Равной: Г максимальному значению
(* минимальному значению Изменяя ячейки:
значению
: \0
|$В$7:10;$ В$13: $ Е$ 13 Ограничения:
3]
Предположить
|В$11:$Е$11 = $В$12:$Е|12 $В$7:$Е$10 = двоичное Добавить
|С|15:$Е$17 <= 5 $Р$7:$Р$10 = $С$7:|С|10 Изменить
Удалить
Выполнить
_и*1 ]
Закрыть
Параметры
Восстановить
Справка
Результат количественного решения:
А В С Е
1 Коэффициенты и Ф Значения Цф
2 100 9 7 4 16
3 5 100 5 6
4 3 3 100 7
5 6 5 4 100
6 Переменные ХІ1 ХІ2 ХІЗ ХІ4 Ограничения 2
7 Х1] 0 0 0 1 1 1
8 Х2] 1 0 0 0 1 1
9 ХЗ] 0 1 0 0 1 1
10 Х4] 0 0 1 0 1 1
11 Ограничения 1 1 1 1 1
12 1 1 1 1
13 иу 0 0 0 0
14 Ограничения 3
15 и 2-Ц+4X2] 0 0 0
16 иЗ-1У+4ХЗ] 4 0 0
17 1)4-1У+4Х4] 0 4 0
Х14 = 1, Х43 = 1, Х32 = 1, Х21 = 1.
При большом количестве пунктов удобнее применять алгоритм приближенного решения задачи коммивояжера.
Библиографический список
1. Смирнов, Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике [Текст]: монография. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 1998. - 313 с.
2. Салмина, Н.С. Виды и функции материализации в обучении [Текст]. - М.: Изд-во МГУ, 1981. - 134 с.
3. Фридман, Л.М. Наглядность и моделирование в обучении [Текст]. - М.: Знание, 1984. - 79 с.
4. Арнольд, В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели [Текст]. - М.: МЦНМО, 2000. - 32 с.
5. Зинченко, В.П. Образ и деятельность [Текст]. - М.: Изд-во «Институт педагогической психологии», Воронеж: НПО «МОДЭК», 1997. - 608 с.
6. Леонтьев, А.Н. Деятельность, сознание, личность [Текст]. - М.: Политиздат, 1975. - 304 с.
