CC BY
31
НАДЕЖНЫЙ МЕТОД ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ ЭКСПЕРИМЕНТА В МАШИНОСТРОЕНИИ
© А.Ф. Бойко1, М.Н. Воронкова2
Белгородский государственный технологический университет им В.Г. Шухова, 308012, Россия, г. Белгород, ул. Костюкова, 46.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Дать анализ новому, более точному методу расчета необходимого количества повторных опытов. МЕТОДЫ. Для повышения точности эксперимента использован вероятностно-статистический метод оценки опытов одной выборки. РЕЗУЛЬТАТЫ. Предложен, обоснован и табулирован новый tn-критерий минимально необходимого числа повторных опытов. ВЫВОДЫ. Установлено, что новый метод дает стабильные и более точные результаты, не требует большого количества пробных опытов, универсален, может применяться для любых выборок, при любых требованиях к точности измерений и любых принимаемых доверительных вероятностей расчетов.
Ключевые слова: статистический ряд, доверительная вероятность, число степеней свободы, повторные опыты, среднеквадратичное отклонение измерений.
Формат цитирования: Бойко А.Ф., Воронкова М.Н. Надежный метод обеспечения требуемой точности эксперимента в машиностроении // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. Т. 20. № 9. С. 10-16. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-9-10-16
RELIABLE METHOD ENSURING REQUIRED ACCURACY OF AN EXPERIMENT IN MECHANICAL ENGINEERING A.F. Boiko, M.N. Voronkova
Shukhov Belgorod State Technological University, 46 Kostyukov St., Belgorod, 308012, Russia.
ABSTRACT. THE PURPOSE of the article is to analyze a new, more accurate calculation method of the required number of repeated experiments. METHODS. Probabilistic and statistical method of evaluation of one sample tests is used to improve the experiment accuracy. RESULTS. A new tn-criterion of the minimum required number of repeated experiments is proposed, substantiated and tabulated. CONCLUSIONS. The new method is found to provide stable and more accurate results without a large number of trial runs. It is versatile, can be applied to any samples, under any requirements for measurement accuracy and any acceptable confidence probabilities of calculations.
Keywords: statistical series, confidence probability, number of the degrees of freedom, repeated experiments, mean square deviation of measurements
For citation: Boiko A.F., Voronkova M.N. Reliable method ensuring required accuracy of an experiment in mechanical engineering. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, vol. 20, no. 9, pp. 10-16. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2016-9-10-16
Введение
Оригинальная статья / Original article УДК: 621.01
DOI: 10.21285/1814-3520-2016-9-10-16
Известно, что для обеспечения заданной точности и надежности измерений при проведении совокупности повторных (параллельных) опытов необходимо знать
их минимальное количество. При этом в ГОСТ Р ИСО 5725-1-20023 и во многих работах, например, [1-7], описывается методика, согласно которой для определения
1
Бойко Анатолий Федорович, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения, e-mail: boyko_1947@bk.ru
Boiko Anatoliy, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Technology of Mechanical Engineering, e-mail: boyko_1947@bk.ru
2Воронкова Марина Николаевна, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, e-mail: mkuzko@mail.ru
Voronkova Marina, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Technology of Mechanical Engineering, e-mail: mkuzko@mail.ru
3ГОСТ Р ИСО 5725-1-2002. Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. М.: ИПК Изд-во стандартов, 2002. 24 с. / GOST R ISO 5725-1-2002. Accuracy (correctness and precision) of measurement methods and results. Moscow, Standards Publ., 2002, 24 p.
количества опытов проводят пробную серию дублирующих опытов, производят статистическую обработку результатов эксперимента и определяют минимально необходимое количество опытов по следующей формуле:
Если требуемая точность измерений задана в абсолютных единицах А (мм, с, Н, МПа и др.), то формула (1) принимает вид
и >
mm
1Y
А
(2)
и >
mm
с у ' a-t А
(1)
где а - среднее значение, а о - среднеквадратичное отклонение измерений, определяемые по результатам пробных опытов; кТ - требуемая точность измерений в относительных единицах (задается в % или десятичной дробью условием задачи); t - критерий Стьюдента, выбираемый по таблице из работы [3] в зависимости от числа проведенных опытов п или числа степеней свободы ^ = п - 1 и заданной доверительной вероятности Рд.
Анализируя формулы (1) и (2), несложно заметить их противоречивость. По логике, искомому числу птп в левой части формул должны строго соответствовать значения t и о в правой части. Так как птПп нам неизвестно, то, очевидно, принятие t и о по результатам пробного эксперимента с числом опытов ппр является логически неверным, так как в общем случае ппр Ф птп, что и подтверждается многочисленными экспериментами. Была предложена новая методика расчета минимально необходимого числа повторных опытов. Сущность ее заключается в следующем.
Методы исследования
Формулы (1) и (2) преобразуем таким образом, чтобы в одной части формул находились только расчетные параметры, в другой - только табличные. Так как табличное значение ¿-критерия Стьюдента определяется по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы /■ = п - 1, то птп можно выразить как пт'т = f + 1. Тогда формулы (1) и (2) можно привести к виду:
_ t ^пш г~г. г.
V/ +1
Расчетное значение критерия представляет собой левые части формул (3) и (4), то есть:
k^' a
t —
пр
р a
(5)
km - a
ш ^
a
/1 ■
А
>
a
/1'
(3)
(4)
_А a
пр
(6)
Таким образом, для обеспечения заданной точности и надежности измерений должно быть выполнено условие:
Выражение в правой части формул состоит только из табличных взаимосвязанных параметров t и ^ взятых из таблицы коэффициента Стьюдента, и является табличным критерием минимального числа повторных опытов. Обозначим его как
t =
пр
k^' a
> =
a
/T'
А t
t =—>t = , .
пр - пш 4/tT
a
(7)
(8)
i
t
Тогда минимальное количество повторных опытов выборки по новой методике определяется в следующей последовательности:
1. Проводят предварительный эксперимент с п количеством повторных опытов (достаточно 3-4 опыта).
2. Вычисляют среднеарифметическое а и среднеквадратичное отклонение о измерений.
3. Известными методами, представленными в работах [1-5], из статистического ряда измерений исключают грубые ошибки (резко отличающиеся измерения) и для оставшегося ряда пересчитывают а и о.
4. Определяют расчетное значение ^-критерия минимального количества повторных опытов по формуле (5) или (6).
5. Для выполнения требований (7) и
(8) выбирают ближайшее меньшее или равное относительно расчетного табличное значение ¿^критерия по следующей расширенной таблице ¿-критерия Стьюдента при доверительной вероятности Рд, равной 0,90; 0,95 или 0,99 9табл. 1).
6. По выбранному табличному ¿п-критерию также по табл. 1 определяют соответствующее выбранному критерию число степеней свободы f и рассчитывают минимально необходимое количество повторных опытов: птт = f + 1.
7. Если число предварительных опытов окажется меньше минимального числа опытов (п <пШт), то эксперимент продолжают до общего числа опытов - п = птт, после чего делают перерасчет а и о. Если окажется, что п > птП, то предварительный эксперимент считают достаточным, а все предварительные расчеты достоверными.
Результаты исследования
Пример. В результате экспериментальных исследований стойкости резцов и после исключения грубых ошибок был получен следующий статистический ряд стойкости, мин: 71,00; 66,00; 69,00; 72,00; 68,00; 67,00. При этом среднее значение стойкости Т составило 68,83 мин. Определим расчетное значение ¿„-критерия минимального количества повторных опытов: К Т 0,15 • 68,83
t =
пр
_ Т _
■ = 4,45,
а 2,32 где кт - заданная допустимая погрешность измерений: кт=0,15 (15%).
Выбираем по табл. 1 ближайшее меньшее значение -критерия относительно расчетного - 4,45. При заданной доверительной вероятности Ра=0,95 это значение равно 2,4838, что соответствует числу степеней свободы f=2 (см. отмеченное в табл. 1). Тогда минимально необходимое количество повторных опытов
пт^+1=2+1=3. Так как в данном примере п=6>птт=3, то количество опытов следует считать достаточным, а все результаты статистической обработки измерений - достоверными.
Для сравнения точности двух мето-
дик - традиционной, базирующейся на неравенствах (1) и (2), и методики, базирующейся на новом tn -критерии (см. неравенства (3) и (4)), было проведено соответственно два комплекса расчетов минимально необходимого количества повторных опытов. В каждом комплексе, используя исходный статистический ряд измерений вышеизложенного примера, было обработано пять вариантов измерений с числом повторных опытов n=6, 5, 4, 3 и 2. При этом начиная с n=6 каждый последующий вариант статистического ряда получался путем отбрасывания крайнего правого опыта предшествующего варианта. Исходные данные и результаты расчетов приведены в табл. 2.
Для наглядности различий двух методик определения минимального количества птп повторных опытов построен график изменения птп при изменении числа п пробных опытов: птп = f(n). Для этого использованы результаты расчетов, представленные в табл. 2.
Многочисленными экспериментами и аналитическими исследованиями, выполненными в БГТУ им. В.Г. Шухова [8, 9], установлено многообразие возможных за-
висимостей птп от числа повторных опытов, средних значений и дисперсий измерений, от требований к их точности и доверительной вероятности вычислений. На
рис. 2 показаны некоторые возможные варианты графиков, полученных в экспериментах при варьировании количеством пробных опытов одной выборки.
tn-критерии минимального количества повторных опытов* t-criteria of minimum number of repeated experiments*
Таблица 1 Table 1
Число степеней Рд=0,90 Рд=0,95 Рд=0,99
свободы f / number t tn t tn t tn
of the degrees of freedom
1 6,3130 4,4640 12,7060 8,9845 63,6560 45,0116
2 2,9200 1,6859 4,3020 2,4838 9,9240 5,7296
3 2,3534 1,1767 3,1820 1,5910 5,8400 2,9200
4 2,1318 0,9534 2,7760 1,2415 4,6040 2,0590
5 2,0150 0,8226 2,5700 1,0492 4,0321 1,6461
6 1,9430 0,7344 2,4460 0,9245 3,7070 1,4011
7 1,8946 0,6698 2,3646 0,8360 3,4995 1,2373
8 1,8596 0,6199 2,3060 0,7687 3,3554 1,1185
9 1,8331 0,5797 2,2622 0,7154 3,24498 1,0277
10 1,8125 0,5465 2,2281 0,6718 3,1693 0,9556
11 1,7950 0,5182 2,2010 0,6354 3,1050 0,8963
12 1,7823 0,4943 2,1788 0,6043 3,0845 0,8555
13 1,7709 0,4733 2,1604 0,5774 3,0123 0,8051
14 1,7613 0,4548 2,1448 0,5538 2,9760 0,7684
15 1,7530 0,4383 2,1314 0,5329 2,9467 0,7367
16 1,7450 0,4232 2,1190 0,5139 2,9200 0,7082
17 1,7396 0,4100 2,1098 0,4973 2,8982 0,6831
18 1,7341 0,3978 2,1009 0,4820 2,8784 0,6604
19 1,7291 0,3866 2,0930 0,4680 2,8609 0,6397
20 1,7247 0,3764 2,0860 0,4552 2,8453 0,6209
21 1,7200 0,3667 2,0790 0,4432 2,8310 0,6036
22 1,7167 0,3580 2,0739 0,4324 2,8188 0,5878
23 1,7139 0,3498 2,0687 0,4223 2,8073 0,5730
24 1,7109 0,3422 2,0639 0,4128 2,7969 0,5594
25 1,7081 0,3350 2,0595 0,4039 2,7874 0,5467
26 1,7050 0,3281 2,0560 0,3957 2,7780 0,5346
27 1,7033 0,3219 2,0518 0,3878 2,7707 0,5236
28 1,7011 0,3159 2,0484 0,3804 2,7633 0,5131
29 1,6991 0,3102 2,0452 0,3734 2,7564 0,5032
30 1,6973 0,3048 2,0423 0,3668 2,7500 0,4939
*По изложенной методике таблица может быть расширена / The table may be extended in accordance with the described procedure.
Таблица 2
Результаты расчетов минимального количества повторных опытов по двум методикам для пяти вариантов экспериментов
Table 2
Calculation results of the minimum number of repeated experiments _by two methodologies for five variants of experiments_
Параметр / Parameter Значения параметров статистических рядов измерений для пяти вариантов экспериментов с „ числом повторных опытов / Parameter values of statistical series of measurements for five variants of experiments with „ number of repeated experiments
6 5 4 3 2
Стойкость инструментов в эксперименте, мин / Tool durability in the experiment, min 71; 66; 69; 72; 68; 67 71; 66; 69; 72; 68 71; 66; 69; 72 71; 66; 69 71; 66
Среднее значение стойкости в эксперименте, мин / Mean value of durability in the experiment, min 68,8 69,2 69,5 68,7 68,5
Среднеквадратичное отклонение измерений, мин / Mean square deviation of measurements, min 2,32 2,39 2,65 2,52 3,53
Расчетное значение ¿„-критерия (¿пр) / Estimated value of ¿„-criterion (¿пр) 4,45 4,34 3,93 4,09 2,91
Ближайшее меньшее табличное (¿пт) значение ¿„-критерия при Рд = 0,95 / Nearest least tabulated value (¿пт) of ¿„-criterion at Рд = 0.95 2,48 2,48 2,48 2,48 2,48
Минимально необходимое количество повторных опытов в эксперименте, полученное / Minimum required number of repeated attempts in the experiment obtained by:
- традиционным методом по формулам (1), (2) / traditional method by the formulas (1), (2) 1 1 1 2 20
- по ¿„-критерию / by ¿„-criterion 3 3 3 3 3
t I I
-♦-fl ___u
Т'Г T T
01234567л
Рис. 1. График изменения минимально необходимого количества повторных опытов п„ при варьировании количества пробных опытов вышеописанного эксперимента: а - традиционный метод определения nmin; б - метод tn-критерия Fig. 1. Graph of variance of minimum required number of repeated experiments nmin under the variation of the number of trial runs of the experiment described above: a - traditional method of determination nmin; b - method of tn-criterion
10
• h
Л) IB i6 l*
ii
10 «
6 4
2 a
-О
» - о
■ *»• V,
w
¿0 18 16 14 12 10 8
6 «
31 0
Рис. 2. Некоторые варианты графиков nmin = f(n), полученные в реальных экспериментах Fig. 2. Some variants of nmin = f graphs (n) obtained in real experiments
Выводы
Несмотря на многообразие графиков nmin = f(n) можно сделать следующие обобщающие выводы:
1. Новый метод определения минимально необходимого количества повторных опытов по ^-критерию в отличие от традиционного метода дает стабильные результаты, не требует большого количества пробных опытов (достаточно 3-4) и дополнительной проверки.
2. Традиционный метод определе-
Библиографический список
1. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных / пер. с англ. М.: Мир, 1980. 620 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2001. 479 с.
3. Шенк Х. Теория инженерного эксперимента. М.: Мир, 1972. 376 с.
4. Лесовик В.С., Чернышева Н.В. Основы научных исследований. Белгород: Изд-во БГТУ, 2010. 89 с.
5. Кацев П.Г. Статистические методы исследования режущего инструмента. М.: Машиностроение, 1974. 231 с.
6. Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах. Ангарск: Изд-во АГТА,
Rereferences
ния птп при числе пробных опытов п > 3 занижает минимально необходимое количество повторных опытов, а при п=2 практически всегда завышает этот показатель.
3. Новый метод, базирующийся на ^-критерии, уникален, он может применяться для любых выборок при любых требованиях к точности измерений и любых принимаемых доверительных вероятностях расчетов.
Пикулева Э.А. Методология Пермь: Изд-во ПНИПУ,
2010. 247 с.
7. Пономарев А.Б., научных исследований. 2014. 186 с.
8. Puzacheva E.I., Bojko A.F., Macpherson A.V. Development of Complex Criterion of Efficiency of Process of an Electroerosive Insertion of Small Openings at Research of Interrelations of Basic Components of Process // Research Journal of Applied Sciences. 2014. Vol. 9. P. 691-695.
9. Бойко А.Ф., Воронкова М.Н. Теория планирования и организация многофакторного эксперимента. Белгород: Изд-во БГТУ им. В. Г. Шухова, 2014. 102 с.
1. Dzhonson N., Lion F. Statistika i planirovanie eksper-imenta v tekhnike i nauke. Metody obrabotki dannykh [Statistics and Planning an Experiment in engineering and science. Methods of data processing]. Moscow, Mir Publ., 1980, 620 p.
2. Gmurman V.E. Teoriya veroyatnosti i matematich-eskaya statistika [The theory of probability and mathematical statistics]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2001, 479 p. (In Russian)
3. Shenk Kh. Teoriya inzhenernogo eksperimenta [Theory of engineering experiment]. Moscow, Mir Publ., 1972, 376 p. (In Russian)
4. Lesovik V.S., Chernysheva N.V. Osnovy nauchnykh issledovanii [Bases of scientific researches]. Belgorod, BGTU Publ., 2010, 89 p. (In Russian)
5. Katsev P.G. Statisticheskie metody issledovaniya rezhushchego instrumenta [Statistical methods of cutting tool research]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1974, 231 p. (In Russian)
Критерии авторства
Бойко А.Ф., Воронкова М.Н. имеют на статью равные авторские права и несут равную ответственность за плагиат.
6. Kuz'min S.I. Metody nauchnykh issledovanii v tekhnicheskikh zadachakh [Methods of scientific research in engineering problems]. Angarsk: AGTA Publ., 2010, 247 p. (In Russian)
7. Ponomarev A.B., Pikuleva E.A. Metodologiya nauch-nykh issledovanii [Methodology of scientific research]. Perm': PNIPU Publ., 2014, 186 p. (In Russian)
8. Puzacheva E.I., Bojko A.F., Macpherson A.V. Development of complex criterion of efficiency of process of an electroerosive insertion of small openings at research of interrelations of basic components of process. Research Journal of Applied Sciences, 2014, vol. 9, pp. 691-695.
9. Boiko A.F., Voronkova M.N. Teoriya planirovaniya i organizatsiya mnogofaktornogo eksperimenta [The theory of multifactor experiment planning and organizing]. Belgorod: BGTU im. V.G. Shukhova Publ., 2014, 102 p. (In Russian)
Authorship criteria
Boiko A.F., Voronkova M.N. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interest
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
Статья поступила 01.07.2016 г.
The article was received 01 Jule 2016
