CC BY
19
МАТЕМАТИКА
УДК 519.718
DOI 10.21685/2072-3040-2017-1-1
М. А. Алехина НАДЕЖНОСТЬ ДВОЙСТВЕННЫХ СХЕМ В Pk 1
Аннотация.
Актуальность и цели. Увеличение сложности современных систем переработки, передачи и хранения информации выдвигает на первый план требование к надежности и контролю различных управляющих и вычислительных систем. Актуальной проблеме построения надежных схем, реализующих функции из Pk, при произвольных неисправностях элементов в полном конечном базисе посвящена эта статья. Ранее при k = 2 доказано, что ненадежность
схемы, реализующей булеву функцию f равна ненадежности двойственной
*
схемы, построенной из элементов двойственного базиса B и реализующей функцию, двойственную функции f. Это свойство дает возможность переносить результаты о ненадежности схемы, реализующей булеву функцию f ,
в базисе B при заданных неисправностях элементов в другой, двойственный
* *
базис B для двойственной схемы, реализующей двойственную функцию f при определенных неисправностях. Например, результаты о ненадежности, доказанные для схемы, реализующей булеву функцию f в базисе B , при однотипных константных неисправностях типа 0 на выходах элементов справедливы
**
для двойственной схемы, реализующей функцию f в базисе B , при однотипных константных неисправностях типа 1 на выходах элементов. Цель работы -получить ответы на вопросы: «Имеет ли место подобное свойство в Pk (k > 3 )?», «Если "да", то для каких базисов, функций и неисправностей?».
Материалы и методы. В работе используются ранее известные методы синтеза схем из ненадежных элементов.
Результаты. Доказано, что ненадежности двойственных (относительно перестановки, которую задает функция, называемая отрицанием Лукашевича) схем равны для функций k -значной логики. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании технических систем для повышения их надежности.
Ключевые слова: ненадежные функциональные элементы, надежность схемы, ненадежность схемы, неисправности элементов.
M. A. Alekhina
RELAIBILITY OF DUAL CIRCUITS IN Pk
Abstract.
Background. Increasing complexity of modern data processing, transferring and soring systems highlights a demand for reliability and control of various controlling
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 17-01-00451.
and computing systems. The article is devoted to a topical problem of constructing reliable circuits realizing functions from Pk at random gate failures in a complete finite basis. It has been proved earlier at k = 2 that reliability of a circuit, which realizes Boolean function f equals unreliability of a dual circuit, built from gates of dual
*
basis B and realizing a function that is dual to function f This property makes it
possible to transfer unreliability results of a circuit that realizes Boolean function
*
f in basis B with given gate failures into another dual basis B for a dual circuit
*
that realizes dual function f with given failures. For example, unreliability results, proved for a circuit that trealizes Boolean function f in basis B , with similar constant failures of type 0 at gate outputs are fair for a dual circuit that realizes function
**
f in basis B with similar constant failures of type 1 at gate outputs. The goal of the
work is to find answers to the following questions: «Does this property occur in Pk
(k > 3 )?», «If "yes", for what bases, functions and failures?».
Materials and methods. The study employed well-known methods of synthesis of circuits containing unreliable gates.
Results. It has been proved that unreliabilities of dual (in relation to a permutation, set by the function known as the Likasiewicz's negation) circuits are equal for functions of k-valued logic. The results obtained may be used in technical systems design to improve their relaibility.
Key words: unreliable functional gates, reliability of circuits, unreliability of circuits, failures of gates.
Пусть n e N, k > 2 , Ek = {0,1,...,k -1} , а Pk - множество всех функций k -значной логики, т.е. функций f (л^, ..., xn):{Ek}n ^ Ek . Рассмотрим реализацию функций из Pk схемами из ненадежных функциональных элементов в полном конечном базисе B = {ei,...,eq} (q > 1).
Пусть f (Х1, ..., xn) - произвольная функция, а S - любая схема, ее реализующая в базисе B . Обозначим ХХn = (Х1, ..., xn).
Ранее при k = 2 [1, 2] доказано, что ненадежность схемы S, реализующей булеву функцию f (ХХn), равна ненадежности двойственной схемы S ,
* * *
построенной из элементов базиса B = {e1,..., eq} и реализующей функцию
f (Х1, . , Xn ) = f (Х1, ... > xn ^ двойственную функции f (Х ) (здесь ej - булева функция, двойственная булевой функции ej).
Это свойство дает возможность переносить результаты о ненадежности
схемы S, реализующей булеву функцию f , в базисе B при заданных неис-
* *
правностях элементов в другой, двойственный базис B для схемы S , реали-
*
зующей двойственную функцию f при определенных [1, 2] неисправностях. Например [3-10], результаты о ненадежности, доказанные для схемы, реализующей булеву функцию f в базисе B , при однотипных константных неисправностях типа 0 справедливы для двойственной схемы, реализующей функ-
**
цию f в базисе B , при однотипных константных неисправностях типа 1.
Возникают вопросы: «Имеет ли место подобное свойство в Рк (к > 3)?», «Если "да", то для каких базисов, функций и неисправностей? А главное - относительно какой перестановки рассматривать двойственность?».
Ответы на эти вопросы для функций к -значной логики ранее были неизвестны и впервые получены в этой работе. Но прежде чем доказывать результаты, касающиеся надежности схем, введем понятие двойственной функции в Рк .
*
Функцию / (Л},...,хп) = Ы(/(Ы%1,...,Ыхп)) (здесь функция Ых = (к -1) - х - отрицание Лукашевича) назовем функцией, двойственной функции /(х},...,хп) относительно перестановки на множестве {0,1,...,к -1} , которую задает функция Ых .
Замечание 1. В Рк понятие двойственной функции вводится относительно перестановки на множестве Ек (например, см. [11, с. 41]), но поскольку других перестановок, кроме той, что задает функция Ых, в этой статье мы не рассматриваем, далее будем говорить о двойственности схем, не упоминая перестановку.
Обозначим N (хп) = (Ых1,..., Ыхп). Нетрудно доказать теорему о суперпозиции двойственных функций.
Теорема 1. Если Р (хп) = / / хп),..., /р (хп)), то
Р *( хп) = / *( /*( хп),..., /р( хп)).
Действительно,
р\хп) = (/(/1(хп), ..., /р (хп )))* = Ы/(/1(Ыхп), ..., /р (Ыхп)) = = Ы/(Ы(Ы/1(Ыхп)), ..., N (Ы/р (ыхп))) = Ы/ (Ы1*( хп), ., Ы/*( хп)) =
= /\л(хп), ..., /р(хп)). *
Замечание 2. Нетрудно видеть, что (х) = Ы(Ых) = х .
Теперь рассмотрим реализацию функций из Рк схемами из ненадежных функциональных элементов в полном конечном базисе В = {е1,..., ед}.
Без ограничения общности будем предполагать, что все базисные функции ej (■е {1,...,д}) зависят не более чем от т (т > 2) переменных. Считаем, что
схема реализует функцию /(х^ ..., хп), если она реализует / при отсутствии неисправностей. Предполагается, что неисправности элементов произвольные и статистически независимые, т.е. все элементы схемы переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Как и в [12], вводятся понятия вероятности ошибки на выходе схемы, вероятности правильного значения на выходе схемы, надежности схемы и ненадежности схемы.
Функционирование т-входового базисного элемента Е]- (■е{1,2,...,д} )
с приписанной ему функцией е(х1,х2,...,хт) можно задать табл. 1, в кото-
рой ро ,..., рк_2 и рк- вероятности появления 0, 1,..., к _ 2 и к _1 на
выходе элемента Еу (числа ац > 0, 1 е Ек, I е{0,1,..., кт _ 1}).
* *
Базисный элемент Еу с приписанной ему функцией еу(Х1,Х2,...,хт)
назовем двойственным элементу Еу с функцией еу(Х1,Х2,...,хт), если он
функционирует согласно табл. 2.
Две схемы и назовем двойственными, если одна получается из другой заменой всех элементов на двойственные им элементы соответственно.
Очевидно, что если схема 5 реализует функцию /(Х1, ..., хп), то схема 5* реа-
*
лизует двойственную функцию ей функцию / (Х1, ., хп) = N(/(Ых1, ., Ыхп)) (см. теорему 1).
Теорема 2. Пусть 5 - любая схема с п входами и одним выходом, /(х1, ., хп) - функция, которую реализует схема 5. Тогда для любого 1 е Ек
и для любого входного набора ап схемы 5 верно равенство
P (S, an) = PNi (S *, N (a n)
где S* - схема, двойственная схеме S; f*(x1, ...,xn) - функция, двойственная
функции f (x1, ..., xn), которую реализует схема S*; N(an) = (Na1,..., Nan).
Доказательство теоремы 2 нетрудно провести методом математической индукции по l - числу элементов в схеме S, аналогично тому, как это сделано в [2].
При l = 0 в схеме S нет функциональных элементов, а поскольку у нее один выход, она реализует переменную, приписанную полюсу. В этом случае схема S* есть схема S (см. замечание 2), а все вероятности ошибок на выходе схем S и S* равны нулю, а вероятности верных значений равны 1. Поэтому утверждение теоремы верно.
Пусть l > 1. При l = 1 утверждение теоремы следует из табл. 1 и 2. Предположим, что утверждение теоремы верно для двойственных схем, число элементов в которых не более (l -1).
Пусть схема S содержит l элементов и реализует некоторую функцию f . Выделим элемент Е , содержащий выход схемы S. Обозначим через А схему, полученную из схемы S удалением элемента Е, а выходы схемы А занумеруем числами 1,..., r слева направо.
Пусть atn - произвольный входной набор схемы А, i e Ek . Вычислим вероятность появления значения i на выходе схемы S и получим:
Pi(S, a n) = P00...0ai ,0 + P00...1ai ,1 +...
... + pk -1k-1...k-2aikm -2 + pk -1k-1...k-1aikkm -1, (1)
где P00...0,P00...1,...,Pk-1k-1...k-2,Pk-1k-1...k-1 - вероятности появления наборов (0,0,..0) = 0r , (0,0,.,1), (k - 1, k - 1, ..., k - 2) и (k -1,k -1,...,k -1) = kr длины r на выходах схемы А соответственно.
<о
10 1 S to О Л to * ад
is CO > Я4 о > ад * ад
¥ Е
tO © <м ш и
i а. CS X > ¿Г
if
to 1 ад м щ ! * CN > ж
pf* S?
А: ■¿X
н & —|
г*
:o о
sip .ci о р fe] -ч йН
л
■о Л:
«а я
w1 щ ■н о Ai
|f см а. Щ: «Ц 4Щ
<ч
ю
а,
т
а.
ш
I
'■ад
tea.
1
А;
А;
«I
hi
А:
А;
По схеме S построим двойственную схему S и выделим элемент Е , содержащий выход схемы S*. Обозначим через А* схему, получаемую из
П^ J—l5^
схемы S удалением элемента Е , а ее выходы также занумеруем числами 1,., r слева направо.
Для входного набора N (an) вероятность появления Ni на выходе схе-
О*
мы S равна
PNi(S*, N(an )) = P*00...0aNi,0 + P*00...1aNi,1 + ...
... + P*k -1k-1...k-2aNikm -2 + P*k -1k-1...k-1aNi,km -1, (2)
где P*00...0,P*00...1,...,P*k-1k-1...k-2,P*k-1k-1...k-1 - вероятности появления наборов
(0,0,..0) = 0r, (0,0,...,1), (k - 1, k- 1, ..., k- 2) и (k -1,k -1,...,k -1) = kr
* *
длины r на выходах схемы А соответственно; a Ni y - вероятность появления значения Ni на выходе схемы при поступлении на входы элемента Е*
k -ичного набора, которому соответствует число y e {0,1,...,km -1} .
*
Поскольку a Ni y = a. ^m (см. табл. 1 и 2), из (2) получаем равенство PNi (S *, N (an)) = P* 00...0a- km-1 + P 00...1a- km-2 +...
... + P*k-1k-1...k-2ai,1 + P*k-1k -1...k -1ai,0, (3)
К каждому из r выходов схем А и А* применимо индуктивное предположение, согласно которому Pf (A, an) = PN (A*, N (an)) (t - номер выхода схем, te{1,...,r}). Тогда вероятность появления набора bm = (¿1,^2,...,bm) (¿1,¿2,...,bm e Ek) на выходах схемы А и вероятность появления набора
N(bm) = (N¿1,N¿2,...,Nbm) на выходах схемы А* равны как произведения
равных множителей. Поэтому
* _ * _
P 00...0 = Pk-1k-1...k-b P 00...1 = Pk-1k-1...k-2,...,
P*k-1k-1...k-2 = P00...b P*k-1k-1...k-1 = P00...0. (4) Из формул (1)-(4) получаем равенство
P (S, an)=p№ ( s *, N (an)).
Теорема 2 доказана.
Следствие. Ненадежности двойственных схем S и S* равны, т.е. верно
*
равенство P(S) = P(S ).
Таким образом, надежности двойственных (относительно перестановки, определяемой функцией Лх) схем также равны для функций к -значной логики.
В частности, например, утверждение о надежности схемы, реализующей к -значную функцию / , в базисе В :
- при однотипных константных неисправностях типа 0 на выходах элементов справедливо для надежности двойственной схемы, реализующей
* *
функцию / , в базисе В при однотипных константных неисправностях типа (к -1) на выходах элементов;
- при инверсных неисправностях [13] на выходах элементов справед-
*
ливо для надежности двойственной схемы, реализующей функцию / , в ба-
*
зисе В при инверсных неисправностях на выходах элементов. Покажем, как можно использовать теорему 2.
Пример 1. Пусть к = 3, полный конечный базис содержит функции Х1 & Х2 = тт(Х1, Х2) и Х1 V Х2 = тах(XI, Х2) (например, базис Россера - Тур-кетта В = {0,1,2, Jo(Х1),Jl(Х1),J2(Х1),Х1 &Х2,Х1 V Х2}).
Нетрудно проверить, что Х1 & Х2 = N ((ЛЦ) V ( Ы2 )),
Х1 V Х2 = Л((Лх1)&(Лх2)), т.е. (Х1 V Х2)* = Х1 &Х2, (Х1 &Х2)* = Х1 V Х2 .
Пусть базисные элементы с вероятностью е (е> 0) подвержены неисправностям типа 0. С помощью табл. 3 и 4 покажем, как при таких неисправностях функционируют элемент Е& с функцией Х1 & Х2 (табл. 3) и элемент с функцией Х1 V Х2 (табл. 4).
Таблица 3
Xi X2 Xi & X2 P0 Pi P2
0 0 0 i 0 0
0 I 0 i 0 0
0 2 0 i 0 0
I 0 0 i 0 0
I I i e i-e 0
I 2 i e i-e 0
2 0 0 i 0 0
2 I i e i-e 0
2 2 2 e 0 i-e
Теперь пусть базисные элементы с вероятностью е (е> 0 ) подвержены неисправностям типа 2. С помощью табл. 5 и 6 покажем, как при таких неис-
2
правностях функционируют элемент Е& с функцией Х1 & Х2 (табл. 5) и элемент Е^ с функцией Х1 V Х2 (табл. 6).
Из табл. 3 и 6 видно, что элементы Е& и Е^ являются двойственными, а из табл. 4 и 5 видно, что элементы Е^0 и Е& являются двойственными.
Таблица 4
Xi X2 X1 v X2 P0 P1 P2
0 0 0 1 0 0
0 1 1 e 1 -e 0
0 2 2 e 0 1 -e
1 0 1 e 1 -e 0
1 1 1 e 1 -e 0
1 2 2 e 0 1 -e
2 0 2 e 0 1 -e
2 1 2 e 0 1 -e
2 2 2 e 0 1 -e
Таблица 5
X1 X2 Xj & X2 P0 P1 P2
0 0 0 1 -e 0 e
0 1 0 1 -e 0 e
0 2 0 1 -e 0 e
1 0 0 1 -e 0 e
1 1 1 0 1 -e e
1 2 1 0 1 -e e
2 0 0 1 -e 0 e
2 1 1 0 1 -e e
2 2 2 0 0 1
Таблица 6
X1 X2 X1 v X2 P0 P1 P2
0 0 0 1 -e 0 e
0 1 1 0 1 -e e
0 2 2 0 0 1
1 0 1 0 1 -e e
1 1 1 0 1 -e e
1 2 2 0 0 1
2 0 2 0 0 1
2 1 2 0 0 1
2 2 2 0 0 1
Возьмем два элемента Е&& , один элемент Е^ и построим схему А, соединив выходы элементов Е&& со входами элемента Е^ . Построим также
* п
схему А , двойственную схеме А, заменив в схеме А элементы Е& на элементы Е^ , а элемент Е® на элемент Е&&. По теореме 2 при всех / е Е3 равны вероятности:
Р (А, <34) = Рт (А*, N (а4)),
а следовательно, ненадежность схемы А при неисправностях типа 0 равна
**
ненадежности схемы А при неисправностях типа 2: Р(А) = Р(А ).
Аналогично нетрудно проверить, что при неисправностях типа 1 на вы*
ходах базисных элементов ненадежности (а также надежности) схем А и А
равны.
Библиографический список
1. Алехина, М. А. Синтез, надежность и сложность схем из ненадежных функциональных элементов : дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Алехина М. А. - Пенза, 2004. - 169 с.
2. Алехина, М. А. О надежности двойственных схем в полном конечном базисе / М. А. Алехина, П. Г. Пичугина // Синтез и сложность управляющих систем : материалы XVIII Междунар. школы-семинара имени академика О. Б. Лупанова (г. Пенза, 28 сентября - 3 октября 2009 г.). - М. : Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2009. - С. 10-13.
3. Алехина, М. А. О надежности схем из ненадежных функциональных элементов при однотипных константных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина // Дискретная математика. - 1993. - Т. 5, № 2. - С. 59-74.
4. Алехина, М. А. Синтез и сложность надежных схем из ненадежных элементов / М. А. Алехина // Математические вопросы кибернетики. - 2002. - № 11. -С. 193-218.
5. Алехина, М. А. О надежности и сложности схем в базисе {х[у} при инверсных неисправностях элементов / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. - 2005. - Т. 12, № 2. - С. 3-11.
6. Алехина, М. А. О надежности и сложности схем в базисе {х|у} при инверсных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. - № 6 (21). - 2005. -С. 36-41.
7. Алехина, М. А. Верхние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при инверсных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина, А. В. Шилов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. : Физико-математические науки. - 2006. - № 5. - С. 4-6.
8. Алехина, М. А. Об асимптотически наилучших по надежности схемах в базисе {&, V, - } при инверсных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина, В. В. Чугунова // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. - 2006. -Т. 13, № 4. -С. 3-17.
9. Алехина, М. А. Достаточные условия реализации булевых функций асимптотически оптимальными схемами с ненадежностью 2е / М. А. Алехина, А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2010. - № 5. - С. 79-82.
10. Алехина, М. А. О надежности схем в произвольном полном конечном базисе при однотипных константных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина // Дискретная математика. - 2012. - Т. 24, № 3. - С. 17-24.
11. Марченков, С. С. Функциональные системы : учеб. пособие / С. С. Марчен-ков. - М. : МАКС Пресс, 2012. - 47 с.
12. Алехина, М. А. Синтез схем из ненадежных элементов в Рк / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 3-10.
13. Барсукова, О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трехзначной логик : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Барсукова О. Ю. - Пенза, 2014. - 87 с.
References
1. Alekhina M. A. Sintez, nadezhnost' i slozhnost' skhem iz nenadezhnykh funk-tsional'nykh elementov: dis. d-ra fiz.-mat. nauk [Synthesis, reliability and complexity of circuits containing unreliable functional gates: dissertation to apply for the degree of the doctor of physical and mathematical sciences]. Penza, 2004, 169 p.
2. Alekhina M. A., Pichugina P. G. Sintez i slozhnost' upravlyayushchikh sistem: ma-terialy XVIII Mezhdunar. shkoly-seminara imeni akademika O. B. Lupanova (g. Penza, 28 sentyabrya - 3 oktyabrya 2009 g.) [Synthesis and complexity of control systems: proceedings of XVIII International school-seminar named after academician O.B. Lu-panov (Penza, 28th September - 3rd October 2009)]. Moscow: Izd-vo mekh.-mat. f-ta MGU, 2009, pp. 10-13.
3. Alekhina M. A. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 1993, vol. 5, no. 2, pp. 59-74.
4. Alekhina M. A. Matematicheskie voprosy kibernetiki [Mathematical problems of cybernetics]. 2002, no. 11, pp. 193-218.
5. Alekhina M. A. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. Ser. 1 [Discrete analysis and study of operations. Series 1]. 2005, vol. 12, no. 2, pp. 3-11.
6. Alekhina M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Estestven-nye nauki [University proceedings. Volga region. Natural sciences]. 2005, no. 6 (21), pp. 36-41.
7. Alekhina M. A., Shilov A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Ser.: Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2006, no. 5, pp. 4-6.
8. Alekhina M. A., Chugunova V. V. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. Ser. 1 [Discrete analysis and study of operations. Series 1]. 2006, vol. 13, no. 4, pp. 3-17.
9. Alekhina M. A., Vasin A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 2010, no. 5, pp. 79-82.
10. Alekhina M. A. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2012, vol. 24, no. 3, pp. 17-24.
11. Marchenkov S. S. Funktsional'nye sistemy: ucheb. posobie [Fucntional systems: tutorial]. Moscow: MAKS Press, 2012, 47 p.
12. Alekhina M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3 (35), pp. 3-10.
13. Barsukova O. Yu. Sintez nadezhnykh skhem, realizuyushchikh funktsii dvuznachnoy i trekhznachnoy logik: dis. kand. fiz.-mat. nauk [Synthesis of reliable circuits realizing fucntions of 2-valued and 3-valued logic: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences]. Penza, 2014, 87 p.
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики, Пензенский государственный технологический университет (Россия, г. Пенза, проезд Байдукова /ул. Гагарина, 1а/1)
E-mail: [email protected]
Alekhina Marina Anatol'evna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics, Penza State Technological University (1a/1 Baydukova lane/Gagarina street, Penza, Russia)
УДК 519.718 Алехина, М. А.
Надежность двойственных схем в Рк / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 1 (41). - С. 3-13. БО! 10.21685/2072-3040-2017-1-1
