Начальные стадии термически активированного разрушения ледового покрова оз. Байкал Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4, 539.5

Начальные стадии термически активированного разрушения ледового покрова оз. Байкал

В.Е. Истомин, А.Д. Дучков1

Институт геологии и минералогии СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 1 Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Установлено соответствие между температурной зависимостью прочности льда и феноменологическим описанием долговечности нагруженного материала по формуле Журкова. Температурные напряжения в ледовом покрове сравнительно быстро достигают предела прочности льда и являются основным фактором его разрушения. Определяющие долговечность параметры обеспечивают быструю реакцию разрушения ледового покрова при относительно небольшом изменении температуры и позволяют находить величину разрушающего напряжения по наблюдаемой долговечности льда и его температуре. Разрушение покрова начинается сразу после достижения некоторого критического напряжения и слабо зависит от скорости изменения температуры льда.

Ключевые слова: лед, оз. Байкал, прочность, разрушение

Initial stages of thermally activated fracture of the Lake Baikal ice cover

V.E. Istomin and A.D. Duchkov1

Trofimuk United Institute of Geology, Geophysics and Mineralogy SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 1 Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

We establish the relation between the strength-temperature dependence for the ice cover and phenomenological description of the material durability under loading by Zhurkov’s formula. Thermal stresses in the ice cover rather quickly achieve the ultimate strength and are of crucial importance for the ice fracture. Durability parameters provide a rapid response of the ice fracture to a relatively small temperature variation and allow a fracture stress value to be calculated by the observed ice durability and temperature. The ice cover fractures immediately after achieving a certain critical stress and depends weakly on the rate of the ice temperature variation.

Keywords: ice, Lake Baikal, strength, fracture

1. Введение

Изучение механизмов образования разломных зон и формирования блочной структуры земной коры не может быть выполнено без обращения к общей идеологии механики разрушения материалов. Однако в решении различных задач механики разрушения основное внимание обычно уделяется раскрытию самой сущности процесса, тогда как внешние условия нагружения и необходимые характеристики самого материала считаются заданными (либо могут быть отдельно определены в специальном эксперименте). В земной коре усло-

вия протекания, движущие силы процессов разрушения и параметры материалов часто не только неизвестны, но и сами по себе представляют значительный интерес, а их изучение составляет самостоятельное направление в геофизических исследованиях. При этом условия, в которых находится интересующая нас физическая система, могут быть найдены с использованием данных по геофизическому мониторингу.

Все сказанное в равной степени относится к изучению поведения ледового покрова и, в частности, его разрушения. Этот процесс происходит с наложением

© Истомин В.Е., Дучков А.Д., 2008

нескольких одновременно действующих механизмов. Однако среди них, как показывают наблюдения [1], главным является колебательное изменение температуры. При изучении этого процесса на переднем плане стоит построение подходящей модели, которая бы количественно хорошо описывала физику явления. Рассмотрению этих вопросов с привлечением экспериментальных данных по льду и наблюдений по ледовому покрову оз. Байкал посвящена настоящая работа.

2. Используемый подход

Из самых общих представлений о свойствах льда естественно ожидать, что его разрушение происходит по закону, установленному для широкого ряда твердых тел [2-4], по которому зависимость долговечности т от приложенного напряжения а и температуры Т определяется соотношением:

т(а, T) = ^exp((Uо -уа)/(кТ)), (1)

где U0 — энергия активации процесса разрушения, близкая по величине к энергии сублимации Ec; у = Va q, Va — активационный объем в элементарном акте разрушения; q = 10-100 — коэффициент локальных перенапряжений; т0 — время, близкое к периоду колебаний атомов (lg т0 = —13 ± 1 c); k — постоянная Больцмана.

В экспериментальных исследованиях образцов льда переменная величина т определяется по заданным значениям а и Т, тогда как в изучении ледового покрова важно найти а по т и Т, определяемым в момент наступления разрушения, например появления трещины. Однако для этого нужно еще установить характеристики льда U0 и у. С этой целью преобразуем формулу (1) к виду:

a = (-kT/у lg e)lg(^T0) + U0/Y. (2)

Из этой зависимости следует [4], что при понижении температуры прочность любого твердого тела должна увеличиваться. Этот вывод имеет экспериментальное подтверждение и для льда. Соответствующее уравнение предложено В.В. Ружичем [5] и имеет вид:

а = —0.7585Т + 215.3, (3)

где а — прочность на сжатие (кгс/см2); Т — абсолютная температура (243 < T < 273 K).

Уравнение (3) можно считать огрублением уравнения (2) в предположении lg(T/T0) ~ const. Это может выполняться при малом изменении температуры и при lg т(а, T) << - lg т0. Очевидно, такое упрощение вносит ошибку в экспериментально определяемый множитель при Т и, по-видимому, с этим частично связан разброс данных по прочности льда, наблюдаемый в литературе. Вместе с тем, само понятие прочности как более или менее устойчивой характеристики материала может иметь смысл только в такого рода упрощении. Мы будем иметь в виду прочность, определяемую при быстром нагружении, т.е. прочность — это напряжение разруше-

ния в области граничных значений а = аmax, т(а, T) = = тт1п при T = const, соответствующих условиям получения эмпирического уравнения (3). Найденные с помощью этих данных параметры U0 и Y можно в дальнейшем использовать в формуле (2) во всей области ее применимости.

Далее, отождествляя уравнения (2), (3) и подставляя значение lge = 0.43429, получаем:

U0 = 215.3Y, (4)

k lgCr/^) = 0.3294Y. (5)

Для определения U0 удобно исключить Y из (4) и (5), что дает:

U0 = 5.633 • 10-2 lgCr/то) эВ. (6)

В экспериментах по льду [5] нагружение на образец осуществлялось таким образом, что величина т во всех опытах составляла примерно 100 с. Инфракрасные спектры льда [6] характеризуются широкой полосой поглощения, центр которой соответствует периоду колебаний приблизительно 10—14 с. Поэтому, предполагая, что т = 102 с, т0 = 10—14 с, получаем из (6): U0 = 0.9 эВ.

Подсчет энергии сублимации как суммы теплот плавления льда, испарения воды и нагрева от —10 до 100 °С дает значение Ec = 55.03 кДж/моль = 0.57 эВ. Из литературных данных известно [7], что энергии активации движений различных дислокаций во льду (механизмы этих движений и разрушения структурно близки) равны

Ep = 0.95(5), 0.87(4) и 0.63(4) эВ.

Близость представленных величин отвечает тесной структурной связи перечисленных процессов. Сам термоактивационный процесс разрушения может включать в себя несколько стадий с различными энергиями активации, причем быстрее протекают и раньше заканчиваются те, у которых энергия активации меньше. Однако экспериментальное определение разрушающего напряжения фиксирует акт разрушения как окончание последней стадии с наибольшей энергией активации. Поэтому определяемое при одноосном нагружении значение U0 = 0.9 эВ кажется вполне подходящим для количественных оценок, хотя и требует уточнения с использованием более полных данных.

Величину Y находим из уравнения (4), записав его в другой системе единиц:

U0 = 215.3 кгс/см2-Y = 215.3 • 6.124 • 1017 эВ/см3^ = = 1.318 • 1020 эВ/см3 -Y.

Отсюда при U0 = 0.9 эВ получаем:

Y = Vq = 0.683- 10—20 см3.

Из кристаллохимических данных известно [8], что при замерзании воды при 0 °С образуются агрегаты из восьми молекул воды, которые обладают «льдоподобной» структурой, и в основном с их образованием связано аномальное расширение воды. Естественно предпо-

ложить, что объем такого агрегата и есть тот самый активационный объем Va, в котором происходят элементарные акты разрушения. С приемлемой точностью

V можно определить как сумму объемов восьми молекул воды, т.е. V = 24 • 10-23 см3. При этом коэффициент локальных перенапряжений q = у/ V = 28.4 находится в указанном выше интервале (10-100).

С найденными значениями и0 = 0.9 эВ, у = 0.683 х х 10-20 см3 формула (2) принимает вид:

а (Па) = -4.65 • 103Т ^( т/т0) + 21.12 • 106, (7)

где т — переменная величина; т0 = 10-14 с.

Область применимости этой формулы можно установить только опытным путем, но особая осторожность нужна в случаях, когда а мало, т велико, а Т приближается к температуре плавления льда.

Очевидно, что эффективность количественных оценок с помощью соотношения (7) определяется четкостью и определенностью условий нагружения на образец. На рис. 1 представлена зависимость между тремя переменными величинами, определяемыми из эксперимента. Здесь при некоторой фиксированной температуре устанавливается однозначное соответствие между разрушающим напряжением а и долговечностью образца т, а пунктиром обозначена область, в которой линейная зависимость и формула (7) теряют свою применимость. Диапазоны изменения Т, а и т приблизительно охватывают область, которая реализуется в природных условиях.

С помощью представленного на рисунке семейства прямых можно по известным из эксперимента т и Т быстро находить напряжение разрушения а, что наиболее интересно для геофизики. Например, если при Т = = -20 °С через время т = 103 с после нагружения произошло разрушение образца, то а = 1.62 • 106 Па. Такой

а, МПа

1 2 3 4 1дт, с

Рис. 1. Номограмма, показывающая соответствие между долговечностью т образца льда и действующим в нем разрушающим напряжением а при разных температурах

путь позволяет развивать количественное моделирование процесса разрушения по заданным т и Т, определение которых в геофизических исследованиях более удобно.

3. Применение предложенного подхода к ледовому покрову

Как известно [1], поведение ледового покрова во времени зависит от многих факторов, но, в основном, процесс разрушения, начиная с самых ранних событий и заканчивая самыми поздними стадиями, связан с колебаниями температуры. Весь зимний период можно представить как непрерывную цепь случайных и разномасштабных по продолжительности и амплитуде повышений и понижений температуры. Здесь непосредственное применение рассмотренного выше подхода сопряжено с рядом трудностей:

1. Формула (7) теряет применимость при малых а и температуре близкой к 0 °С, хотя в природных условиях эта область значений (обозначим ее как G0) достаточно продолжительна по времени. Эту область трудно очертить количественно и только с выходом за ее границу (в область G1) начинается процесс разрушения.

2. В области G1 главный фактор разрушения — температурные напряжения — сложным образом зависят от меняющегося во времени температурного поля. Определение температурных напряжений оказывается важной предварительной задачей (частично экспериментальной, частично теоретической), которая сама может решаться приближенно с разного рода упрощениями.

В такой ситуации целесообразно с помощью простых оценок проанализировать основные моменты в поведении ледового покрова и выявить физическую модель явления.

Наблюдения показывают [1], что становые трещины, как наиболее сильные нарушения, расчленяющие ледовый покров, образуются вскоре после ледостава каждый год примерно в одних и тех же местах. Все это указывает на важную роль закрепления границ ледового покрова к берегу.

Для рассмотрения обратимся к исходному, изначально целому (сплошному) состоянию льда. Самое первое разрушение происходит только при понижении температуры и начинается с поверхности появлением неглубоких трещин. При этом возможна генерация двух типов разрывных напряжений.

Одно из них связано только с закреплением границ, мешающих свободному изменению линейных размеров покрова при изменении его температуры. Тонкий приповерхностный слой льда можно считать однородно нагретым, поэтому температурное напряжение в слое оценивается по формуле:

а1 = Еа(Т -Т2), (8)

где Е — модуль Юнга; а — коэффициент линейного расширения; Т1 — температура слоя в начальный момент перед ее понижением; Т2 — температура после понижения.

Второе напряжение связано с неоднородностью температурного поля по толщине покрова. Эта величина оценивается по формуле [9]:

а2 = -3Яа[Т (И) - Т,], (9)

где Я = Е/(3(1 - 2ц)); ц — коэффициент Пуассона; Т0 — температура внутри ледового покрова, где отсутствует напряжение; Т(к) — температура на расстоянии к выше. Здесь разница температур относится к одному и тому же моменту времени после похолодания. Результирующее разрывное напряжение а определяем как сумму указанных вкладов.

Для иллюстрации рассмотрим пример, отражающий вполне типичную ситуацию: сначала ледовый покров находился в слабонапряженном состоянии с температурой поверхности Тпов = -5 °С, затем Тпов резко понизилась до -10 °С. Для простоты предположим, что Т1 - Т2 = Т0 - Тк = АТ = 5 °С. Поэтому а = а1 + а2 = = рАТ, где р = Е а (2 - 2ц)/(1 - 2ц).

При Е = 1.3 • 109 Па, а = 5 • 10-5 К-1 и ц = 0.2 получаем р = 1.73 • 105 Па• К-1 и а = 0.865 • 106 Па.

Если теперь с этим значением обратиться к уравнению (7) (или рис. 1), то находим, что при таком нагружении через т = 3.6 • 102 с должно начаться разрушение льда с поверхности (появление поверхностных трещин). Таким образом можно утверждать, что реакция ледового покрова на резкое похолодание не заставляет себя долго ждать и его разрушение может наступить очень быстро. Этот результат в какой-то мере оправдывает оценочные предположения и качественно согласуется с имеющимися наблюдениями [1].

Образующиеся после понижения температуры трещины вскоре закрываются и ледовый покров вновь становится сплошным и монолитным [1]. Поэтому последующее повышение температуры при закреплении границ покрова с берегом создает напряжение сжатия. В этих условиях величина а2 заметно ослабевает из-за уменьшения неоднородности температурного поля в слое [10]. Однако вклад а1 продолжает эффективно действовать и процесс разрушения происходит, но с другой скоростью.

Следующим шагом будет переход от постоянных значений а и Т к более общему случаю с плавно меняющейся Тпов. Пусть т = т(а, Т) по-прежнему обозначает долговечность образца при постоянных а и Т, а W — энергию, затрачиваемую на разрушение (в данном случае на разрыв) образца. Тогда величина N = W| т(а,Т) является механической мощностью, подводимой к образцу от внешнего источника. Если теперь считать, что а и Т зависят от времени, то условием разрушения будет выполнение равенства:

W = | N

где tp — долговечность льда в меняющихся условиях, начало интегрирования соответствует значению а = = а0, при котором начинается процесс разрушения по формуле (1), или в принятой выше терминологии — переход состояния льда в область Ох. Можно считать, что W не зависит от характера нагружения и во всех возможных случаях приблизительно одинакова. Поэтому соотношение (10) приводится к виду:

р

I-

&

■ = 1,

о т(а, Т) ' (11)

где т(а, Т) по-прежнему определяется формулой (1), но а и Т изменяются во времени.

Вывод уравнения (11) другим путем имеется в книге [3]. Подставляя (1) в (11), окончательно получаем:

їе~р (‘ = То, (12)

где

ио -У*#) кТ(і) '

Таким образом, уравнение (12) неявно определяет искомую долговечность ледового покрова tp в новых условиях.

Далее рассмотрим случай, когда понижение температуры в верхнем слое происходит линейно во времени: Т = Т0 - АТ, АТ = vt, где V — скорость изменения температуры. Поскольку критическое для разрушения напряжение возникает при относительно небольшом понижении температуры (АТ) << Т0), то в F(t) можно оставить только линейные по t члены и уравнение (12) принимает вид:

І> — т,

(13)

где были использованы соотношения:

Т - Т = То - т -ат,

а = а1 + а2 =а0 + рАТ,

,УРТо - ио + Уао V

/ -

кТо

ио -Тсто кТо

(14)

Т1 - Тое

Здесь f не зависит от t, поэтому из (13) находим:

, = 1п(1 + /Ті)

р / '

Для дальнейшего необходимо оценить роль параметра *о, определяющего область С1(ао <ст), в которой применимы формулы (1), (7), и область Со(а < сто), в которой т —— го. По данным В.В. Ружича, эмпиричес-

кое уравнение (3) выполняется при а > 0.7 МПа, т.е. 0 <а0 < 0.7 МПа. Поэтому для общего представления о сложившейся ситуации достаточно найти и сравнить значенияf т1 при а0 = 0.7 и 0 МПа. Наблюдения показывают [10], что температура поверхности покрова Тпов при похолодании изменяется со скоростью от v1 ~ 1 • 10-4 до v2 ~ 3 • 10-4 К/с. Поэтому мы используем далее среднее значение V = 2 • 10-4 К/с и Т0 = 268 К.

В результате получаем:

- если а0 = 0.7 МПа, то f = 3.56 • 10-5 с-1 и т1 = = 2.29 • 102 с;

- если а0 = 0, тоf = 3.47 • 10-5 с-1 и т1 = 8.4 • 102 с.

Отсюда следует, что в условиях ледового покрова

всегда выполняется неравенство

/т1 < 2.9 -10-2 << 1, поэтому 1п(1 + / т1) = / т1 и tp =т1.

Таким образом долговечность ледового покрова в медленно меняющихся во времени условиях в первом приближении вообще не зависит от скорости понижения температуры поверхности и при одних и тех же Т0 и АТ близка к долговечности льда при быстром нагружении (например, т = 3.6 • 102 с в рассмотренном выше примере). Вместе с тем, неопределенность параметра а0 значительно влияет на величину т1; которая, однако, всегда остается относительно малой по сравнению со временем достижения температурой поверхности льда значений, критических для разрушения. Следовательно, с помощью температурного мониторинга можно отследить длительность только «подготовительного» этапа: от начала понижения температуры поверхности покрова и до того момента, когда а(^) сравняется с а0. Дальнейшее разрушение происходит буквально через несколько минут и это то, что легче всего регистрируется. По-видимому, на этом пути можно найти значение а0, хотя его отсутствие и не влияет на общие выводы.

До сих пор мы рассматривали величины т0, и0 и у как неизменные характеристики материалов. Обычно такое предположение оправдывается только для т0 и и0, тогда как у может значительно изменяться.

Тщательные исследования показали [3]:

1. Такое поведение связано с высокой чувствительностью у к дефектности материала и зависит от температурного и механического воздействия, облучения и т.д.

2. Именно через параметр у объясняется необратимое снижение прочности образцов, побывавших под нагрузкой (соответственно разброс этой характеристики в экспериментальных данных), и масштабный фактор долговечности (из одного и того же материала тела меньших размеров в общем прочнее тел больших размеров).

Все это в равной степени относится ко льду и к поведению ледового покрова. В частности, механизм

образования становых трещин в закрепленном ледовом покрове видится в многократном наложении концентрированных в одних и тех же местах макроскопических напряжений, вызываемых изменением температуры.

Важной количественной характеристикой процесса разрушения среды является скорость образования магистральных трещин vT?, которая в ледовом покрове имеет ясное инструментальное определение. Как оказалось [3], vTp зависит от длины трещины L и от долговечности т. Поскольку условия образования покрова каждый год приблизительно одинаковы, то у и т следует считать постоянными. При этом vтp можно приближенно определить как vт? = Ь/т. Ориентировочный характер такой оценки приблизительно соответствует не очень высокой точности измерения длительности образования трещины (уточнение требуется как для самой формулы, так и для экспериментальных измерений). Если, для примера, взять из рис. 1 типичные для условий ледового покрова значения т = 10-100 с, то при характерном линейном размере L = 10 км получаем vTp ~ 0.1-1.0 км/с. Такие значения согласуются с оценками по результатам экспериментальных наблюдений [5].

4. Заключение

Увеличение прочности льда при понижении температуры соответствует изменению долговечности нагруженного материала, которая определяется формулой Журкова. Величина энергии активации разрушения и0 совпадает с энергией активации движения заряженных дислокаций при пластическом деформировании льда. Определяющие долговечность параметры т0 = 10-14 с, и0 = 0.9 эВ, у = 0.683 • 10-20 см3 задают быструю реакцию разрушения покрова льда на относительно небольшое изменение температуры, а также позволяют находить величину разрушающего напряжения по наблюдаемой долговечности льда. Температурные напряжения в покрове легко достигают предела прочности льда. В условиях медленно меняющихся температур начало разрушения покрова слабо зависит от скорости изменения температуры льда и начинается сразу после достижения некоторого критического напряжения во льду.

Интерпретация разрушения любого твердого тела как термически активированного процесса всегда подразумевает уменьшение его скорости при уменьшении температуры. Наблюдаемое ускорение разрушения ледового покрова с понижением температуры (при увеличении его прочностных характеристик) связано со значительным ростом внутренних температурных напряжений. Несмотря на необходимость уточнения численных значений указанных выше параметров соотношение (1) является единственным эффективным инструментом количественного описания и прогнозирования

разрушения — важнейшей черты поведения ледового покрова (и земной коры также).

Авторы благодарят В.В. Ружича и Л.С. Соколову за активное обсуждение результатов исследования и критические замечания, способствовавшие улучшению работы. Исследования поддержаны МИП СО РАН № 27.

Литература

1. Сокольников В.М. Вертикальные и горизонтальные смещения и деформации сплошного ледяного покрова Байкала // Труды Байкальской лимнологической станции XVIII. - М.: Изд-во АН СССР, 1960. - С. 291-350.

2. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности // Вестник АН СССР, 1968. - № 3. - С. 46-49.

3. Регель В.Р, Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа

прочности твердых тел. - М.: Наука, 1974. - 560 с.

4. Журков С.Н. Вопросы современной физики прочности твердых тел

// Чтения памяти А.Ф. Иоффе, 1982. - Л.: Наука, 1984. - С. 14-21.

5. Ружич В.В., Черных Е.Н., Борняков С.В. Моделирование сейсмотектонических процессов в ледовом покрове оз. Байкал // Труды Всероссийской конференции «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли», 2-5 октября 2007 г. - Новосибирск: Изд-во Института горного дела СО РАН, 2007. - С. 89.

6. Юхневич Г.В. Инфракрасная спектроскопия воды. - М.: Наука, 1973. - 208 с.

7. Шибков А.А., Кольцов Р.Ю., ЖелтовМ.А. Электромагнитная эмис-

сия при одностороннем сжатии льда. II. Анализ связи электромагнитного сигнала с динамикой скоплений заряженных дислокаций // Кристаллография. - 2006. - Т. 51. - № 1. - С. 104-111.

8. РемиГ. Курс неорганической химии. Т. 1. - М.: ИИЛ, 1963. - 920 с.

9. ЛандауЛ.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1965. -

203 с.

10. ДучковА.Д., Истомин В.Е., Казанцев С.А. Температурный режим льда оз. Байкал и связанные с ним внутренние напряжения и смещения в ледяной плите // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - №2 1. -С. 87-92.

Поступила в редакцию 20.09.2007 г.

Сведения об авторах

Истомин Владимир Ефимович, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник Института геологии и минералогии СО РАН Дучков Альберт Дмитриевич, д.г.-м.н., главный научный сотрудник Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, DuchkovAD@ipgg.nsc.ru, duch@mx.uiggm.nsc.ru