НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СЛУЧАЕ ФЕРРОМАГНИТНОГО ПРОВОДЯЩЕГО ТЕЛА С АНИЗОТРОПИЕЙ И ВНУТРЕННИМИ ДЕФЕКТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537.8:517.968.73

doi: 10.21685/2072-3040-2023-1-5

Начально-краевая задача для неоднородной системы уравнений Максвелла в случае ферромагнитного проводящего тела с анизотропией и внутренними дефектами

С. В. Марвин

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия

[email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла возникают в контексте описания и расчета нестационарного электромагнитного поля (меняющегося не по гармоническому закону). Нестационарное электромагнитное поле наблюдается при переходных процессах в электротехнических и радиотехнических устройствах, с его использованием связаны нестационарные методы электроразведки и вихретоковой дефектоскопии. Этими обстоятельствами обосновывается актуальность и прикладная значимость начально-краевых задач электродинамики. Целью данной работы является доказательство существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решения начально-краевой задачи для уравнений Максвелла в случае анизотропного дефектного ферромагнетика. Материалы и методы. Используются методы и приемы теории эволюционных задач в банаховых пространствах. Результаты. Для постановки исследуемой начально-краевой задачи выбран функциональный класс, учитывающий свойства дифференциальных операций, фигурирующих в уравнениях Максвелла, а также учитывающий условия сопряжения на границах ферромагнетика и его внутренних дефектов. С помощью общей теоремы о корректности задачи Коши в банаховом пространстве доказано, что предложенный функциональный класс гарантирует существование единственного решения исследованной начально-краевой задачи, непрерывно зависящего от начальных данных. Выводы. Начально-краевая задача для системы уравнений Максвелла в случае анизотропного дефектного ферромагнетика при определенном выборе функционального класса для ее постановки удовлетворяет условиям корректности эволюционной задачи в банаховом пространстве.

Ключевые слова: начально-краевая задача, уравнения Максвелла, анизотропия, банахово пространство, замкнутый оператор, интегро-дифференциальные уравнения

Для цитирования: Марвин С. В. Начально-краевая задача для неоднородной системы уравнений Максвелла в случае ферромагнитного проводящего тела с анизотропией и внутренними дефектами // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 1. С. 54-68. doi: 10.21685/2072-30402023-1-5

An initial-boundary value problem for an inhomogeneous system of Maxwell's equations in the case of a ferromagnetic conducting body with anisotropy and internal defects

S.V. Marvin

© Марвин С. В., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg, Russia

[email protected]

Abstract. Background. The initial-boundary value problems for the system of Maxwell's equations are needed in the context of describing and calculating a non-stationary electromagnetic field (non-harmonic time dependent field). A non-stationary electromagnetic field are induced during transient processes in electrical and radio-engineering devices, non-stationary methods of electrical exploration and eddy-current flaw detection are associated with its use. These circumstances substantiate the relevance and applied significance of the initial boundary-boundary problems of electrodynamics. The purpose of this work is to prove the existence, uniqueness and continuous dependence on the initial data of the solution of the initial boundary value problem for Maxwell's equations in the case of an aniso-tropic defective ferromagnet. Materials and methods. In this work methods and techniques of the theory of evolutionary problems in Banach spaces are used. Results. To formulate the studied initial-boundary value problem, a functional class, which takes into account the properties of differential operations, appearing in Maxwell's equations, and also takes into account the boundary conditions at the boundaries of the ferromagnet and its internal defects, are chosen. With using the general theorem about correctness of the Cauchy problem in Banach space, it is proved, that the proposed functional class guarantees the existence of unique solution for the studied initial-boundary problem, which continuously depends on the initial data. Conclusions. The initial-boundary value problem for the system of Maxwell's equations in the case of an anisotropic defective ferromagnet, with a certain choice of functional class for its formulation, satisfies the conditions for correctness of the evolutionary problem in Banach space.

Keywords: initial-boundary value problem, Maxwell's equations, anisotropy, Banach space, closed operator, integro-differential equations

For citation: Marvin S.V. An initial-boundary value problem for an inhomogeneous system of Maxwell's equations in the case of a ferromagnetic conducting body with anisotropy and internal defects. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(1):54-68. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-1-5

Введение

Нестационарные процессы электродинамики, предполагающие негармоническую зависимость электромагнитного поля от времени, нашли широкое практическое применение в электротехнике, радиотехнике и геофизике. Кроме того, широкое распространение получили нестационарные вихретоковые методы в неразрушающем контроле [1]. Пространственная и временная зависимости напряженностей электрического и магнитного полей в нестационарном случае - это решение начально-краевой задачи для системы уравнений Максвелла. Постановка такой задачи требует не только граничных, но и начальных условий, не предполагает сокращающуюся гармоническую зависимость полей от времени и не предполагает переход к комплексным амплитудам.

У большей части актуальных для практики задач электродинамики решение невозможно получить аналитически, даже в виде интеграла или ряда. И тогда возникает необходимость в численном решении уравнений Максвелла. Фундаментом для разработки и обоснования численных методов служат теоремы существования и единственности решения. Также следует заметить, что эти теоремы представляют не только прикладной, но и самостоятельный научный интерес.

В аспекте существования и единственности решения широко исследованы внутренние начально-краевые задачи электродинамики [2-4], это задачи поиска электромагнитного поля в некоторой ограниченной области пространства (для волновода - в плоской области, являющейся его поперечным сечением). В постановке таких задач отдельные компоненты напряженности электрического или магнитного поля полагаются равными нулю на границе области. Однако для неразрушающего контроля наиболее актуальны не внутренние и не внешние начально-краевые задачи, а задачи сопряжения: граничные условия должны связывать поле внутри и снаружи области, занимаемой контролируемым телом. Именно такая связь делает неразрушающий контроль физически возможным: только так по распределению и изменению поля снаружи тела можно судить о внутренних структурных нарушениях в самом теле.

Ранее исследовались начально-краевые задачи сопряжения для конкретных классов магнитных материалов [5-7], в постановке этих задач предполагалась изотропия всех электрических и магнитных свойств. Однако на практике нередко встречается случай, когда воздействию нестационарного электромагнитного поля подвергаются анизотропные ферромагнитные металлы (в том числе целенаправленному воздействию для выявления структурных нарушений). Это обстоятельство указывает на актуальность исследования начально-краевой задачи для проводящих ферромагнетиков с анизотропией и внутренними дефектами.

Исходные предположения

Предположим, что ферромагнитный проводник занимает ограниченную область пространства О; граница О - кусочно-гладкая поверхность. Рассмотрим ситуацию, когда в проводнике есть два дефекта двух разных видов. Первый дефект занимает область 0, замыкание которой включается в основную область О (0сО). В пределах этого дефекта проводник не теряет своих проводящих и ферромагнитных свойств, однако на его границе эти свойства скачкообразно меняются. Второй дефект занимает область П , включающуюся вместе со своей границей в О (ПсО), и представляет собой полость внутри проводника. Границы областей 0 и П являются кусочно-гладкими поверхностями; замыкания этих областей не пересекаются: 0пП = 0 (рис. 1). Заметим, что все дальнейшие рассуждения и результаты естественным образом обобщаются на любое конечное множество проводящих ферромагнитных дефектов 0г- и любое конечное число полостей П j.

Проводящие и ферромагнитные свойства характеризуются тензорами [8] электропроводности с (г) и магнитной проницаемости (1 (г) (г - упорядоченный набор трех пространственных координат; все трехмерное пространство - М3). Тензоры с (г) и (1 (г) симметричны; их компоненты являются функциями пространственных координат, равномерно непрерывными в областях 0 и О\(0иП). Из равномерной непрерывности вытекает возможность непрерывного продолжения функций на границы областей; однако результаты указанных продолжений на границу 0 изнутри и снаружи оказываются разными.

Рис. 1. Ферромагнитное проводящее тело с дефектами и токовая область

Заметим: из симметричности тензоров вытекает, что в каждой точке г е^ существует ортонормированный базис из собственных векторов с (г )

и (1 (г ) (на границе © направления базисных векторов и величины собственных значений зависят от того, с какой стороны предполагается непрерывное продолжение компонент с (г ) и (1 (г )).

Рассмотрим скалярное произведение e -с (г ^, где в - единичный вектор (точка обозначает скалярное произведение геометрических векторов; выражение, содержащее обозначение тензора и, вслед за ним, геометрического вектора, в целом обозначает свертку тензора и вектора). Заметим, что это скалярное произведение, как функция г и e, равномерно непрерывно при

ге^\(©иП) и = 1, а также при ге© и = 1. Следовательно, оно ограничено сверху и снизу. Его точную верхнюю грань обозначим как с8ир, точную нижнюю грань - как с^. Величины с8ир и с^ соответствуют наибольшему и наименьшему собственному значению тензора с (г ) во всем объеме указанных областей с учетом всех возможных непрерывных продолжений с (г ) на границы областей. Рассуждения в полной мере повторяются

для скалярного произведения e (1 (г ^, аналогично определяются величины (вир и . Будем предполагать, что при всех возможных непрерывных продолжениях с (г ) и (1 (г ) рассматриваемое тело остается ферромагнитным проводником, т.е. > 1 и с^ > 0 .

Из этого следует, что тензоры с (г ) и (1 (г ) обратимы и положительно определены; также обратим и положительно определен тензор магнитной восприимчивости ((г) — 1 (здесь в качестве вычитаемого подразумевается

диагональный единичный тензор). Обратные тензоры с— 1 (г), (1—1 (г) и ((1 (г ) — 1) 1 тоже положительно определены и симметричны, их компоненты равномерно непрерывны на © и О \ (©иП). Кроме того, для любого еди-

ничного вектора е справедливы следующие оценки: с^р < е -с 1 (г)е <с"£,

("Р < е - А"1 (г )е < , (ир - 1) 1 < е • (((г ) -1)1 е < ((^ - 1)1 .

В рамках изложенных предположений тензоры электропроводности и магнитной проницаемости могут зависеть от пространственных координат, но не зависят от времени: электрические и магнитные свойства проводника предполагаются постоянными. Также предполагается, что имеет место прямая пропорциональность между током проводимости в проводнике и напряженностью электрического поля, а также между индукцией и напряженностью магнитного поля. То есть отсутствует собственная намагниченность, гистерезис, а также нелинейные эффекты (с и ( не зависят от электромагнитного поля). Заметим, что такая модель с высокой степенью точности применима для описания слабых полей в широком классе ферромагнитных материалов [8]: в магнитомягком железе, в его технических сплавах (пермаллоях).

В точках, внешних по отношению к области О, а также в полости П , тензор с предполагается нулевым, а тензор (1 - единичным. Диэлектрическая проницаемость предполагается равной 1 во всем пространстве.

Будем предполагать, что ненулевой сторонний ток может быть сосредоточен только в ограниченной области Т ; замыкания областей О и Т не пересекаются: ОпТ =0 (см. рис. 1). Плотность стороннего тока J (г, t) является известной, заданной векторной функцией пространственных координат и времени. J(г,t), а также ее первая и вторая производные по времени

(J' (г,t) и Jtt (г,t)) непрерывны при (г,t)е Т х[0; . Кроме того, в начальный момент времени плотность стороннего тока равна нулевому вектору:

J(г,t) = 0 .

Электрическое и магнитное поля характеризуются своими напряженно-стями - Е и Н соответственно. В областях 0, 0, П, О\(0иП) и

3 —

М \ О напряженности Е и Н должны удовлетворять системе уравнений Максвелла [8]:

ЭЕ 1 тт 1 , 1 т, ч — =—rotH--с(г )Е--J (г, t),

д е0 е0 е0 (,)

ЭН 1 Л-1. , „ ()

-=--11 1 (г ^Е.

Эt (о 1 1

На границах областей 0, 0 и П Е и Н должны удовлетворять граничным условиям сопряжения для сред, не являющихся идеальными проводниками:

| ET,int = ET,ext, I HT,int = HT,ext,

(2)

где T в индексе обозначает касательную компоненту; int и ext обозначают, соответственно, предел изнутри и снаружи области.

Начальные условия определяют напряженности поля при t = 0:

ре (г,о) = е (г ), (3)

[Н(г,0) = но (г).

Векторная функция но (г) должна удовлетворять требованию солено-идальности индукции магнитного поля: div(|(г)Но (г)) = 0 ; частные производные, входящие в дивергенцию, в общем случае следует понимать как обобщенные. Заметим, что в силу уравнений (1) из соленоидальности индукции магнитного поля в начальный момент времени вытекает ее соленоидаль-ность во все последующие моменты времени [8]. Во всем остальном но (г) и

Ео (г ) могут быть любыми в рамках функционального класса, выбранного для постановки задачи.

Результаты

Обозначим как Н (го^ М3) класс векторных функций, квадратично

суммируемых во всем пространстве М вместе с их обобщенными роторами. Будем предполагать, что в каждый момент времени t е [0; +») напряженности, как векторные функции г , должны принадлежать этому классу: Е,Н е Н ((, М3).

Непрерывность и дифференцируемость Е и Н по времени будем подразумевать как для функций переменной t со значениями в банаховом пространстве L2 (м3 ) (символом L2 обозначается класс векторных функций,

квадратично суммируемых на множестве, указанном в скобках после L2).

Норма в этом пространстве: ||w|| 2 =

V

w

3

'(r)|2 dr .

к3

Предположим, что для каждого значения t из некоторой окрестности t = to w(t)e L2 (к3) (т.е. в целом w является функцией как пространственных переменных r , так и времени t; но сейчас обсуждается характер зависимости именно от t); w (t) называется непрерывной при t = to, если

lim ||w(t)-w(to )|2 = 0. (4)

t ^to

Кроме того, w'(to )e L2 (к3) будем называть производной w(t) при t = to, если

" '(t)-w(to)

lim

t ^tQ

W 1-1 " (Q / // , \

- w (tQ )

t - tQ

= Q. (5)

С помощью равенств вида (4) и (5) может быть определена непрерывность и дифференцируемость любых банаховозначных функций [9], т.е. относительно нормы в любом банаховом пространстве. Также с помощью (4) и (5) можно определить одностороннюю непрерывность и одностороннюю производную: в этом случае пределы в (4) и (5) должны быть односторонними. Таким образом, можно определить непрерывность и дифференцируе-мость на полуинтервале или отрезке. Кроме того, с помощью (5) можно определить производные высших порядков. Как и для обычных, веществен-нозначных, функций дифференцируемость банаховозначных функций -свойство более сильное, чем непрерывность [9].

Будем предполагать, что E и H как функции времени, принимающие

значения в L2 (к3), должны быть дифференцируемы при tе (0; +») и непрерывны справа при t = 0 (это, в частности, означает, что начальные условия (3) выполняются с точки зрения сходимости по норме в L2 (к3)).

В силу предположений относительно плотности стороннего тока J (t) как функция t со значениями в L2 (T) дважды непрерывно дифференцируема на полуинтервале tе [0; . Снаружи T J(r,t) = 0 . Следовательно, J(t) дважды непрерывно дифференцируема на указанном временном полуинтервале, как функция t со значениями в L2 (к3); причем J(0) = 0 . Эти обстоятельства имеют принципиально важное значение для использования общих теорем о линейных эволюционных уравнениях в банаховом пространстве [10].

Введем некоторые дополнительные обозначения. Как H' обозначим пространство векторных полей, непрерывно дифференцируемых и квадратично суммируемых в К вместе с их роторами. Как K обозначим пространство векторных полей, которые являются непрерывно дифференцируемыми

в областях О, 0, П , О \ (0иП) и К3\ О, допускают вместе со своими

частными производными непрерывное продолжение на границы указанных областей, удовлетворяют на границах областей условиям вида (2), и квадратично суммируемы вместе с их роторами в К . Относительно указанных пространств ранее была доказана серия теорем [5].

Теорема 1. H'c K с H(rot,К3 )с L2 (к3), причем H' - плотное подпространство L2 (к3).

Теорема 2. Если последовательность un е H(rot,к3) и rotun сходятся по норме L2 (к3) соответственно, к u и v, то u е H(rot,к3) и rotu = v.

Теорема 3. Для любой векторной функции uе H(rot,к3) существует

такая последовательность un е H', которая сходится к u по норме L2 (к3), и при этом rotun сходится к rotu по той же норме.

Для исследования начально-краевой задачи (1)-(3) определим линейный оператор A, действие которого на любую упорядоченную пару векторов

2

(u,v)е (H(rot,М3)) происходит по следующей формуле:

A(u,v)= — rotv--<<(r)u,--11-1 (r)rotu . (6)

^ e0 e0 10 J

Этой же формулой определим линейный оператор A', только на более

2

узкой области определения - на K . Из теорем 1-3, а также из кусочной непрерывности и ограниченности с(r) и (1 1 (r) непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 4. Оператор A является минимальным замкнутым расшире-22 нием A' в (L2 (м3 )) с областью определения, плотной в (L2 (м3 )) .

Всюду плотная область определения оператора A и его замкнутость -условия, выполнение которых позволяет использовать теоремы о линейных задачах Коши в банаховых пространствах [10]. При этом область определения оператора A' (для которого A является минимальным замкнутым расширением) учитывает граничные условия (2). Эти обстоятельства обосновывают выбор пространства H(rot,М3 ) для постановки начально-краевой зада-

чи (1)-(3). Кроме того, для H(rot,М3) ранее было доказано следующее утверждение [5].

Лемма. Для любых векторных функций u, vе H(rot,М3 ) справедливо

следующее равенство:

J (v(r)rotu(r)-u(r)rotv(r))dr = 0. (7)

М3

Заметим: для векторной функции v е L2 (М3) величина

V

(0 J v(r)•(!(r)v(r) dr определяет одну из эквивалентных норм в L2 (М3):

М3

>0lmf J Н12 =, |1o1inf J |v (r )2 dr < 1(0 J v (r )•(! (r )v (r )dr <

М3 V М3

(0lsup J |v(r )|2 dr = Vl()1max • |lv

2

М3

Следовательно, одну из эквивалентных норм для (и,V)е (L2 (М )) можно определить выражением

u, v II =

V

e0 j |u(r)2dr + ^0 j v(r)-|l(r)v(r)Jr .

Здесь и далее данную норму будем обозначать двойными прямыми скобками без какого-либо индекса.

2

Теорема 5. Для любых (f,g)е (L2 (к3)) и любого числа p > 0 существует единственное решение (u,v)е(H(rot,к3)) уравнения

A (u, v)-p-(u, v ) = (f, g), причем для этого решения справедливо неравенство

1

uv)«<"I(,g) .

(8)

(9)

Доказательство. Уравнение (8) с линейным оператором А можно записать в следующем развернутом виде:

irotv -с (r )u -£0 pu = £0f (r ), l-rotu -|0l(r) pv = |# (r )g (r),

(10)

Первое уравнение системы (10) умножим на —и и второе на — V, после

3

этого сложим уравнения и проинтегрируем результат сложения по М . С учетом (7) получим

О\П

| и (г) • с (г )и (г )йг + £0 р | |и (г )2 йг + А0 р | V (г )-А(г )v (г )йг =

М3 М3

= —£0 | и (г ^ (г )йг — (0 | V (г )-Д (г ^ (г )йг .

М3 М3

Заметим, что в силу свойств тензоров с и (1 каждое слагаемое в левой части полученного равенства неотрицательно. Следовательно, если записывать равенство для модулей левой и правой частей, знак модуля у левой части можно опустить. Таким образом, получаем

£0 р | |и (г )|2 йг + 10 р | V (г )-Д (г ^ (г )йг <

М3 М3

| и (г) • с (г )и (г )йг + £0 р | |и (г ))2 йг + 10 р | V (г )• 1(г )v (г )йг =

<

О\П

-£0 j u(r)f (r)dr-|0 j v(r)-|i(r)g(r)dr

<

:£0

J u(r)f (r)dr

+ 10

J v(r)-ji(r)g(r)dr

(11)

Для дальнейшей оценки выражения (11) воспользуемся положительной определенностью тензора (1. Для любого вещественного значения параметра а имеем

| (V(г)-аg(г))•(!(г)((г)-аg(г))) >0 .

М3

С учетом симметричности тензора (1 это неравенство можно представить в следующем виде:

| V(г)•((г^(г)ёг -2а• | V(г)•((г^(г)а?г + а2 • | g(г)•((г^(г)ёг > 0 .

В левой части последнего неравенства - квадратный трехчлен относительно переменной а , и в силу данного неравенства, этот квадратный трехчлен неотрицателен. Следовательно, его дискриминант неположителен, и

J v(r)•(!(r)g(r)dr

< J v(r)•£(r)v(r)dr • J g(r)•£(r)g(r)dr . (12)

Тогда в силу неравенства Коши - Буняковского для интегралов и сумм, а также в силу (11) и (12) получаем:

е0Р J |u(r)2dr + (0p J v(r)•£(r)v(r)dr

Q\n м3

e0 j|u(r)2 dr • £0 J|f (r))2 dr +

М3 V М3

<

V

+

V

(0 J v(r)•!(r)v(r)dr • (0 J g(r)•!(r)g(r)dr <

i

£0 J |u(r)2dr + (0 J v(r)•!(r)v(r)dr x

x

V

£0 J |f (r )2 dr + (0 J g (r H (r )g (r )dr .

То есть

А|(u,V) <|(и V,g

из чего непосредственно следует (9).

Заметим, что в силу доказанного неравенства (9) при тождественно нулевых f и g векторные функции и и V могут быть только тождественно нулевыми, это означает, что у системы (10) (уравнения (8)) при любых f,gе L2 (м3 ) не может быть более одного решения.

Докажем теперь существование решения (10) в выбранном функциональном классе. Для этого воспользуемся следующей системой интегро-дифференциальных уравнений [1]:

и (г)=| О (р, 1г—г 1) (г (г ')йг'

М3

+prot | О(р,|г — г'Ц (г) — 1)(г')йг'

О\П

— р2£010 | о(р,|г — г'|)(г')йг'

ч / / ч / +

О\П

-I О(р,|г — г'|)Г(г')йг' +

рМ

I О(р,|г—г'|)с(г>(г')йг';

80р ' ^ 1 " (13)

0 О\П

г ^

(г) = rot 80 I О(р,|г — г^)Г(г')йг' + I О(р,|г — г'|)с(г')и(г')йг'

V

3 О\П

+

+ gradd1у — р2£010 | О((г — г'|)А(г')В(г')йг' +

р М3

+(gradd1у — р2£010) ) О(|г — г'Ц(г) — !-)V(г')йг' О\П

где О(р,Я) = ехр(—р^/£010Я))4лЯ .

Для исследования данной системы уравнений определим следующие интегральные и интегро-дифференциальные операторы, действующие

в L2 (М3):

Р[^]= | О(р,|г — г')(г')йг',

М3

В[w] =го1Р[w], С[\¥]=(р2£010 — gradd1у))[\¥], где wе L2 (м3 ).

Ранее была доказана ограниченность этих операторов в L2 (м3 ) [1]. Кроме того, в силу свойств объемного потенциала Р ^ ] имеет первые и вто-64

3

рые обобщенные производные по Соболеву, квадратично суммируемые в М , и удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца [1]:

(0(0 -А)[w] = w .

2

Из этого непосредственно следует, что любое решение (u, v )е( L 2 (М3))

системы (13) автоматически принадлежит пространству (H (rot, М3)) и удовлетворяет системе уравнений (10). Также заметим: достаточно, чтобы решение системы (13) существовало в (2 (\ П)) : тогда в областях П и u и v получаются непосредственной подстановкой и интегрированием по

Q, \ П.

Для исследования системы уравнений (13) в L2 (\П) произведем замену неизвестных функций: u = p^/£0<<-1 (r)U , v = ((1 (r)-1) 1 vjфЮ. Заметим, что в силу свойств непрерывности, ограниченности и обратимости тензоров с(r) и ((r)-1 данная замена взаимнооднозначно переводит про_ 2

странство (2 (\ П)) в себя. С учетом введенных обозначений система (13) может быть записана в следующем виде:

'p£0<- (r) U+pJwvB [ V] + с [и] = V£0U0,

-1 (14)

(((r)-1) V-pV£0(0bB[u]+с[V] = V(0V0,

где векторные функции Uо, Vq е L2 ( \ П) включают в себя все интегральные слагаемые от f и g в правых частях (13). Ранее было доказано [1], что

оператор В симметричен, а оператор С - диссипативен (неотрицателен). С учетом этих обстоятельств левая часть системы (14) допускает следующую оценку:

рео ( U, ö-1U) + p U, В [ V ]] + ( U, С [U ]] + (V, ( - 1)V> - pVe0^Q( V, В [U]) + ( V, С [V ])>

> peoö-Up (U,U + ((up -1)V, V >

>min{peQÖ-UP;( - U) + (V,V),

+

где угловыми скобками обозначено скалярное произведение в L2 (\П), определяемое, как обычно, через интеграл от произведения функций.

Таким образом, левую часть системы (14) можно представить как дей-

_ 2

ствие некоторого положительно определенного оператора в (2(\П)) .Из этого вытекает существование и единственность решения системы (14) в (2 (\П)) [1], существование и единственность решения системы (13)

в (L2 (к3)) и, следовательно, существование решения уравнения (8) в

2

(H(rot,к3)) . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что A является генератором сильно непрерывной (сжимающей) полугруппы операторов Ut [9, с. 265]. При установленных свойствах J(t) (двукратная непрерывная дифференцируемость, J(0) входит в область определения A) с помощью

данной полугруппы строится решение начально-краевой задачи (1)-(3) по формуле

t

w(t) = Ut [w0] + jUt-t' [J(t')]dt'.

0

Это решение является единственным и непрерывно зависящим от начальных данных [10, с. 165].

Обсуждение результатов

Установленные свойства начально-краевой задачи (1)-(3) позволяют не только сделать вывод о ее корректности, но и обосновывают применимость известных конечно-разностных схем для ее численного решения.

В связи с тем, что область определения оператора A плотна в пространстве (L2 (к3)) , но не совпадает с ним, наиболее естественным представляется применения неявного метода Эйлера [10].

Заключение

Полученные результаты допускают обобщение: их можно перенести на ферромагнетики, которые имеют самопроизвольную намагниченность и находятся в слабых полях. Пространственное распределение собственной намагниченности M0 (r) определяет некоторый «нулевой фон», на который накладываются все изменения, прямо пропорциональные переменной напряженности H(r,t) [8]: |i(r)H(r,t) . Ограничение на начальные условия (3) при наличии собственной намагниченности принимает новый вид: div(|i(r)H0 (r) + M0 (r)) = 0. Однако уравнения (1) и граничные условия (2)

сохраняют свою силу, поэтому все рассуждения и результаты переносятся и на этот случай.

Список литературы

1. Дякин В. В., Сандовский В. А. Задачи электродинамики в неразрушающем контроле. Екатеринбург : ИФМ УрО РАН, 2008. 390 с.

2. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М. : Наука, 1980. 384 с.

3. Калинин А. В., Тюхтина А. А., Изосимова О. А. Модифицированные калибровочные соотношения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. № 4 (19). С. 55-67. doi: 10.15507/2079-6900.19.201704.55-67

4. Калинин А. В., Тюхтина А. А. Приближение Дарвина для системы уравнений Максвелла в неоднородных проводящих средах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. № 8 (60). С. 1408-1421. doi: 10.31857/S0044466920080104

5. Марвин С. В. Начально-краевая задача электромагнитного контроля дефектного ферромагнитного проводника остаточным полем мгновенно выключенного стороннего тока // Дефектоскопия. 2016. № 11. C. 27-38.

6. Марвин С. В. Начально-краевая задача для однородной системы уравнений Максвелла в случае магнитодиэлектрического тела с проводящими ферромагнитными включениями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 47. C. 22-36. doi: 10.17223/19988621/47/3

7. Марвин С. В. Начально-краевая задача электродинамики для дефектного ферри-тового тела // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, Информатика. 2019. № 1. C. 31-40. doi:10.18101/2304-5728-2019-1-31-40

8. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М. : Физматлит, 2003. 616 с.

9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М. : Мир, 1978. Т. 2. 394 с.

10. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М. : Наука, 1967. 464 с.

References

1. Dyakin V.V., Sandovskiy V.A. Zadachi elektrodinamiki v nerazrushayushchem kon-trole = Issues of electrodynamics in non-destructive testing. Ekaterinburg: IFM UrO RAN, 2008:390. (In Russ.)

2. Dyuvo G., Lions Zh.-L. Neravenstva v mekhanike i fizike = Inequalities in mechanics and physics. Moscow: Nauka, 1980:384. (In Russ.)

3. Kalinin A.V., Tyukhtina A.A., Izosimova O.A. Modified gauge relations for the system of maxwell equations in the quasi-stationary magnetic approximation. Zhurnal Sred-nevolzhskogo matematicheskogo obshchestva = Journal of the Middle Volga Mathematical Society. 2017;(4):55-67. (In Russ.). doi:10.15507/2079-6900.19.201704.55-67

4. Kalinin A.V., Tyukhtina A.A. Darwin's approximation for the system of Maxwell's equations in inhomogeneous conducting media. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 2020;(8):1408-1421. (In Russ.). doi:10.31857/S0044466920080104

5. Marvin S.V. Initial-boundary problem of electromagnetic control of a defective ferromagnetic conductor by the residual field of an instantaneously turned off external current. Defektoskopiya = Defectoscopy. 2016;(11):27-38. (In Russ.)

6. Marvin S.V. nitial-boundary value problem for a homogeneous system of Maxwell's equations in the case of a magnetodielectric body with conducting ferromagnetic wells. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika = Bulletin of Tomsk State University. Mathematics and mechanics. 2017;(47):22-36. (In Russ.). doi:10.17223/19988621/47/3

7. Marvin S.V. Initial-boundary value problem of electrodynamics for a defective ferrite body. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, Informatika =

Bulletin of Buryat State University. Mathematics, Imformatics. 2019;(1):31-40. (In Russ.). doi:10.18101/2304-5728-2019-1-31-40

8. Tamm I.E. Osnovy teorii elektrichestva = Fundamentals of the electricity theory. Moscow: Fizmatlit, 2003:616. (In Russ.)

9. Rid M., Saymon B. Metody sovremennoy matematicheskoy fiziki = Methods of modern mathematical physics. Moscow: Mir, 1978;2:394. (In Russ.)

10. Kreyn S.G. Lineynye differentsial'nye uravneniya v banakhovom prostranstve = Linear differential equations in a Banach space. Moscow: Nauka, 1967:464. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Сергей Владимирович Марвин

кандидат физико-математических наук, доцент департамента информационных технологий и автоматики, Уральский федеральный университет имени Первого президента России Б. Н. Ельцина (Россия, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19)

Sergey V. Marvin

Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the department of information technologies and automation, Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin (19 Mira street, Ekaterinburg, Russia)

E-mail: [email protected]

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 12.12.2022

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 14.02.2023 Принята к публикации / Accepted 05.05.2023