CC BY
88
1.2. НА ПУТИ К МОДЕЛИРОВАНИЮ БОЛЬШИХ НАНОСИСТЕМ НА АТОМНОМ УРОВНЕ
Заводинский Виктор Григорьевич, доктор физ.-мат. наук, профессор, директор. Институт материаловедения Хабаровского научного центра Дальневосточного отделения Российской Академии Наук. E-mail: [email protected]
Горкуша Ольга Александровна, канд. физ.-мат. наук, доцент, старший научный сотрудник. Институт прикладной математики ДВО РАН. E-mail: [email protected]
Аннотация: Показано, что вариационный принцип может быть использован как практический путь для нахождения электронной плотности и полной энергии в рамках теории функционала плотности без решения уравнений Кона-Шэма (так называемый безорбитальный подход). На примерах димеров Na2, Al2, Si2, P2, K2, Ga2, Ge2 и As2 найдены равновесные межатомные расстояния и энергии связи в хорошем согласии с опубликованными данными. Результаты, полученные для смешанных димеров Si-Al, Si-P, and Al-P, близки к результатам, получаемым по методу Кона-Шэма.
Ключевые слова: моделирование, функционал плотности, безорбитальный подход, димеры
1.2. ON THE WAY TO MODELING LARGE NANOSYSTEMS AT THE ATOMIC LEVEL
Zavodinsky Victor G., the Doctor of Science in Physics and Mathematics, professor, director. Institute for Material Studies, Khabarovsk Scientific Center, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences. E-mail: [email protected]
Gorkusha Olga A., PhD in Physics and Mathematics, Institute of Applied Mathematics, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences. E-mail: [email protected]
Abstract: It is shown that the variation principle can be used as a practical way to find the electron density and the total energy in the frame of the density functional theory without solving of the Kohn-Sham equation (so called orbital-free approach). On examples of dimers Na2, Al2, Si2, P2, K2, Ga2, Ge2 and As2 the equilibrium interatomic distances and binding energies were calculated in good comparison with published data. Results for Si-Al, Si-P, and Al-P dimers are close to results of Kohn-Sham calculations
Index terms: Modeling, density functional, orbital free approach, dimmers
1. ВВЕДЕНИЕ
Наночастицы и их комплексы в размерном отношении находятся между молекулами и макротелами, их типичные размеры составляют десятки нанометров, а количество атомов, входящих в них, может доходить до нескольких миллионов. Наиболее адекватно моделирование таких систем осуществляется с помощью квантово-механических методов, основанных, например, на теории функционала плотности (ТФП) [1], а точнее на ее версии, предложенной Коном и Шэмом (КШ-ТФП) [2]. Однако в силу своей трудоемкости КШ-ТФП на сегодняшний день не позволяет работать с системами, содержащими более нескольких сотен атомов, что весьма сдерживает применение квантово-механического компьютерного моделирования для наносистем.
В недавние годы появилась серия работ ряда авторов (например [3-9]), посвященных созданию другой версии ТФП, отличающейся от КШ-ТФП тем, что в ней полностью отсутствуют волновые функции (орбитали). Такой безорбитальный (БО) подход является после-
довательным развитием идеи Хоэнберга-Кона о том, что основное состояние квантовой системы может быть полностью описано с помощью электронной плотности. Долгое время продвижение по этому пути сдерживалось (и продолжает сдерживаться) трудностью достоверного описания кинетической энергии как функционала плотности ЕШп[р]. В методе КШ-ТФП эта трудность обходится путем решения уравнений Кона-Шэма для волновых функций, из которых в дальнейшем строится электронная плотность. Однако за такой обход приходится платить вычислительными ресурсами, именно поэтому современные возможности КШ-ТФП ограничены сотнями атомов. В работах, посвященных развитию безорбитального подхода в рамках ТФП (БО-ТФП), делаются попытки использовать для кинетической энергии различные типы функционалов, включая приближение Томаса-Ферми [10, 11] и Вейцекера [12], однако успехи этих попыток носят частный характер и пока что не привели к созданию полноценного метода. Возможно, это связано с тем, что, как показано недавно [13], идея Хоэнберга-Кона о существовании универсального функционала
плотности, приводящего к минимуму энергии, не является строго доказанной. В нашей недавней работе [14] показано, что для создания метода БО-ТФП могут быть успешно использованы функционалы кинетической энергии, соответствующие основному состоянию одиночных атомов, полученные из решения уравнений Кона-Шэма, и на примере димеров Al2, Si2, и P2 проиллюстрирована принципиальная возможность нахождения равновесных значений межатомных расстояний и энергии связи в системах с sp-электронами. Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию этого подхода.
2. ОПИСАНИЕ ПОДХОДА
Ограничиваясь для простоты случаем отсутствия спиновой поляризации, напомним, что ТФП утверждает, что электронная энергия основного состояния любой квантовой системы (Eel) может быть найдена путем минимизации некоего функционала, зависящего только от полной электронной плотности данной системы р:
Ел[р] = Eb„ [р] + Eex [р] + Ec[p] + EH [р]-¡Vex, (r)p(r )d3r, (1)
где Vext- внешний потенциал, Ekin - кинетическая энергия, Eex - обменная энергия, Ec - корреляционная энергия, EH - энергия Хартри, равная
Ifp(r )p(r )d ,rd3r.
ЕМ = 2^ ГЧ
При этом величина полной энергии Еш дается интегралом
Еш =|Е[р(гЖ3г ■ (2)
Минимизация выражения (1) при условии |р(гV = N означает решение уравнения
E [ р]
- ß = о •
(3)
Здесь ц - параметр Лагранжа, имеющий в нашем случае смысл химического потенциала электрона. Его величина находится в процессе решения уравнения (3).
Вводя для удобства обозначение
мы получаем уравнение
F [р] =
E [ р]
-ß'
F[р] - ~VJr) + <p(r) + ßjp) + ß» + ßc(p) -ß = 0, (4)
где , . ; р(г') з ,, °Еи„[р],
Р( г ) = Г --¿р—
^ , Ш ^ ■
¿р ор
Как уже говорилось, основную проблему создает неизвестный член /лЫп(р), связанный с кинетической
энергией, выражения для членов /<х(р) и /лс(р)
достаточно хорошо разработаны в различных приближениях, потенциал р(г) может быть с хорошей точностью вычислен с помощью Фурье-преобразований, в качестве внешнего потенциала
Уех({г), как правило, выступает суммарный потенциал атомных ядер или остовов, при псевдопотенциальном подходе. В данной работе мы будем вести рассмотрение именно в псевдопотенциальном приближении, которое с многих точек зрения выглядит более предпочтительным. В первую очередь, оно позволяет избавляться от кулоновских сингулярно-стей, возникающих на малых расстояниях от атомных ядер, и тем самым облегчает выполнение многих вычислительных операций. Однако, как далее будет видно, нет никаких принципиальных ограничений для развития соответствующего полноэлектронного подхода.
Идея псевдопотенциала базируется на том, что поведение валентных (т.е. отвечающих за межатомные взаимодействия) электронов вне некоторой малой сферы хорошо описывается с помощью специально сконструированного псевдопотенциала: т.е. в этой области псевдоволновая функция совпадает с истинной волновой функцией, при этом совпадают и энергии этих состояний. Внутри же сферы, т.е при приближении к центру атома, псевдоволновая функция плавно (без осцилляций) стремится к нулю или к константе, а псевдопотенциал не имеет сингулярности. Метод псевдопотенциалов, позволяющий сократить время вычислений за счет уменьшения числа рассматриваемых электронных состояний, широко применяется в КШ-ТФП подходе. При этом оказывается, что необходимо отдельно конструировать псевдопотенциалы для различных орбитальных состояний: s, р, d..■ Учитывая, что полная электронная плотность может быть представлена в виде суммы парциальных (орбитальных) плотностей, и, ограничиваясь для простоты случаем s-p-элементов, мы можем записать систему уравнений
Fs[р,р] = ~У,(г) + р(г) + л1(р,) + /ех(р) + /с(р)-Н, = 0 , (5)
Fp [рр, р] = ~Ур(г ) + р( г ) + /ирР) + Лх(р) + /с(р) ~МР= 0.
Здесь У(г) и Ур(г) - s и р компоненты псевдопотенциала, задаваемые как внешние потенциалы, а электростатический потенциал р(г), а также обменный и корреляционный потенциалы /лх(р) и /с(р) вычисляются через полную электронную плотность р, в то время как парциальные кинетические потенциалы /кспп(р5) и »р!П(рр) зависят от соответствующих парциальных плотностей р5 и рр, по аналогии с подходом Кона-Шэма. Химические потенциалы ¡иб, и /лр введены с учетом того, что условие | р( г ^ 3г = N должно быть заменено на усло-вие|р(г)йъг + |рр(г)Л3г = N .
2.1. Одиночные атомы
Поскольку конструирование псевдопотенциалов сопровождается нахождением равновесных псевдовол-
новых функций, то всегда можно вычислить как парциальные плотности изолированного атома р5(г) и рр(г), так и его полную электронную плотность р(г)=р5(г)+рр(г). Подставляя р(г) в систему (5), можно
найти величины -ш(ра) и ¡ирпп(рр) для данного
атома как функции координат:
/шп( г) = У,( г ) -у( г ) - /ех( г) - / (г) + цж, (6)
/рп( Г) = Ур(Г ) -ф( Г ) - Г ) - Ис( Г) + '
Однако для нахождения величины кинетической энергии мы, согласно выражению (2), должны выполнить интегрирование по р и по г:
Еш = ЯНшп(Р,V + ЯнР,/РР3г . (7)
Поэтому, зная р5(г) и рр(г), мы должны перейти от координатного представления величин г) и
/рп(г) к представлению их через величины р5(г) и
рр(г), произвести интегрирование по величинам парциальных плотностей, а затем, вернувшись к координатному представлению, проинтегрировать по пространству.
Рассмотрим типичные атомы, имеющие валентные 5 и р электроны - А1, Si и Р. В качестве генератора псевдопотенциалов и псевдоволновых функций воспользуемся пакетом FHI98pp [15], широко применяющимся в расчетах методом КШ-ТФП. Обменные и корреляционные потенциалы будем вычислять в приближении локальной плотности [16, 17]. Тогда парциальные плотности р5(г) и рр(г), к примеру, для атома кремния, выглядят следующим образом (рис. 1):
а 0.03-
£0 И
С О
О г
15
Distance, а. и.
Рис. 1. Парциальные плотностир5(г) ирр(г) для атома кремния. Минимум кривых соответствует центру атома. Пунктир 5-состояния, сплошная линия р-состояния. Парциальные потенциалы кинетической энергии для атома кремния представлены на рисунке 2.
1.0-
а
08-
^
13 0.6-
п
о
о 0.4-
п
3
0.2-
0.0-
'А
и 18 ' \ 1 1 1 \ 1 \ / 1
V \
15
а.и.
Рис. 2. Изменение парциальных потенциалов кинетической энергии атома кремния ¡ЛьЫп(Г) и /рп(Г) вдоль
линии, проходящей через центр атома кремния. Как уже было сказано, используя зависимости р5(г) и рр(г), мы можем перейти от координатного представления г) и /рп(г) к их представлению через плотности р5 и рр. На рисунке 3 представлены зависи-
мости
Иш(Р*) и Ирп(Рп) для атомов алюминия
кремния и фосфора.
2.0-
1.8-
.и. 1.6-
.а
*й 1 4-
■ч
а 1.2-
й 1.0-
о
0.8-
о
й 0 6-
Й
Мч 0.4-
0.2-
0.0-1
Р-а /кп
Si-p Si-s сР Р-р, Ф**' " " ' <» s ' ^ к1п
/ А1-а
А1-р
0.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
,3
Бе^^ (р , р ), е1/(а.и.)
s р
Рис. 3. Зависимости -¡¿„(рв) и Црп(рр) для атомов А1, Si и Р. Сплошные линии описывают изменение функционалов /ш (Рр )' кружки показывают поведение функционалов
/ш (Ра )' прерывистые кривые демонстрируют ход аппроксимирующих функций, приведенных в выражениях (9). Анализируя кривые на рисунке 3, мы видим, что «универсальной» зависимости /к,п(р'), справедливой хотя бы для этих трех атомов, не существует. Во-первых, имеются существенные отличия между 5 и р компонентами, во-вторых, кривые, полученные для различных атомов, заметно отличаются друг от друга. Кроме того, каждая кривая имеет ограниченную область определения, соответствующую максимальной величине плотности для данного атома.
0.04
0.00
Но это еще не все проблемы. Дело в том, что при взаимодействии атомов их электронные плотности перекрываются и при определенных условиях (при сближении атомов) электронная плотность может значительно превысить максимальное значение, при
котором определены функции Цш(р). Как строить в
этом случае г) и [лЦп(г) ? Как распространить
их на плотности более высокие, чем те, для которых они определены?
Очевидно, что точный ответ на эти вопросы вряд ли может быть получен в ближайшем будущем, однако мы можем искать некие приближения к нему. Например, можно попытаться подобрать некие функции
г) и Иып(г), которые приводили бы к разумным величинам энергии связи и межатомных расстояний для димеров, и использовать их в дальнейшем для более сложных систем. Оптимальным было бы найти универсальные функции, пригодные для любых атомов, но, исходя из вышеизложенного, надежда на это практически равна нулю. Возможно, наиболее точным был бы подход, в котором функционалы кинетической энергии подбирались бы индивидуально для каждого атома, однако такой путь таит в себе ряд ограничений и технических трудностей. В данной работе мы попытаемся найти такие
зависимости ¡и*ш(рб,) и ), которые доста-
точно разумно описывали бы сравнительно большой набор элементов периодической таблицы с Б-р валентными электронами.
Для нахождения равновесного межатомного расстояния мы рассматривали полную энергию Е(0( как сумму электронной энергии Ее1 и энергии «ион-ионного» отталкивания Егер, которая представляет собой энергию взаимодействия ионных остовов с координатами R1 и R2 с положительными зарядами Z1 и Z2, где Z1 и Z2 - числа валентных электронов у атомов с номерами 1 и 2:
7 7 717 2
E„.
(8)
К - Я2|
Результаты расчетов сопоставлялись с результатами, полученными в рамках КШ-ТФП с помощью пакета FHI96md [18], и с опубликованными теоретическими и экспериментальными данными.
2.2. Димеры.
В качестве реперных элементов были выбраны алюминий, кремний и фосфор. Из анализа кривых, представленных на рис. 3, для этих элементов были взяты следующие функционалы кинетической энергии:
к/ р)=р;4+18 ps
riJP.) = pi + 22pp, (9)
рирования ячейка разбивалась на 100*100x100 элементарных субъячеек.
На рисунке 4 для примера приведена зависимость величины энергии связи в димере Si2 (на атом) от расстояния между атомами, а на рисунке 5 показаны изменения полной электронной плотности в процессе итераций для различных межатомных расстояний.
4 5 6
Distance, a.u.
Рис. 4. Зависимость величины энергии связи в димере Si2 (на атом) от расстояния между атомами. Сплошные кружки - расчет по нашему методу, полые - расчет по Кону-Шэму (пакет FHI96md).
£
С
(D
а
поведение которых показано на рис. 3. Размер кубической ячейки, в которую помещались атомы, равнялся 30 а.и. (1 а.и. длины равна 0.529 А). Для интег-
Distance, a.u.
Рис. 5. Изменения полной электронной плотности в димере Si2 в процессе итераций для различных межатомных расстояний (в атомных единицах). Верхний ряд (A, B, C) -расчет по нашему методу, нижний ряд (D, E, F) - расчет по методу Кона-Шема (пакет FHI96md). Панели B, E соответствуют равновесным расстояниям. Прерывистые кривые описывают начальное распределение плотности, сплошные - равновесное. Видно, что результаты наших расчетов вполне удовлетворительно коррелируют с результатами, полученными методом КШ-ТФП. Наиболее существенное отличие -наш расчет дает более высокие пики плотности, чем расчет по методу КШ-ТФП. Кроме того в нашем расчете центральный пик для равновесного расстояния получается раздвоенный, а метод КШ-ТФП дает нераздвоен-ный пик. В то же время, и тот и другой подходы демонстрируют примерно одинаковый характер изменений плотности в процессе расчета.
2
3
7
8
Полученные результаты (величины равновесной энергии связи и межатомных расстояний) для димеров ряда Na-Cl суммированы в таблице 1, а для ряда K-Br в таблице 2 в сравнении с результатами, полученными нами с помощью пакета FHI96md, и с другими (опубликованными) данными. Из таблиц можно видеть, что равновесные энергии и расстояния для большинства димеров близки к известным величинам. Исключение составляют димеры двухвалентных (Mg, Ca) и шести-семивалентных элементов (S, Cl и Se, Br). В первом случае, по-видимому, сказывается тот факт, что, как показывает опыт использования метода псевдопотенциалов при описании валентных электронов Mg и Ca, для них необходимо учитывать специальную коррекцию остова [15, 18], что в нашем методе не делается. Мы надеемся, что в дальнейшем нам удастся развить наш подход в этом направлении и улучшить результаты. Что касается димеров элементов S, Cl и Se, Br, то для них в наших расчетах получаются существенно завышенные величины энергии связи. Попытки улучшить результаты подбором индивидуальных функционалов кинетической энергии не дали желаемых результатов. По-видимому, в данном случае сказывается отсутствие в наших функционалах членов, зависящих от градиента плотности (типа поправки Вей-цзекера), которые могут играть заметную роль в системах с высокой неоднородностью электронной плотности, к каковым относятся и упомянутые многовалентные атомы.
Уместно отметить, что неудачными оказались и попытки применить наш подход к димерам элементов B, C, N (аналогов «благополучных» алюминия, кремния и фосфора). В этом случае, по-видимому, критическую роль играет не число электронов, а малый размер атомов, также приводящий к высоким градиентам плотности. По-видимому, этот же эффект следует учитывать при распространении метода на элементы с d-электронами, волновые функции которых также сильно локализованы.
С целью некоторого обобщения мы провели расчеты для димеров, состоящих из разнотипных атомов: Al-Si, Si-P, Al-P. Результаты представлены в таблице 3. В этом случае мы также можем заключить, что наш метод, не использующий волновых функций (орбиталей), дает результаты, близкие к тем, что получаются в расчете по методу Кона-Шэма.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Наше рассмотрение атомных димеров фактически является подходом из первых принципов, так как мы используем параметры функционалов кинетической энергии, взятые из расчетов по методу Кона-Шэма для индивидуальных атомов. При этом, одни и те же параметры приводят к удовлетворительным результатам для весьма большого набора элементов, что позволяет надеяться на применимость метода и к более сложным атомным системам. Вместе с тем, мы выявили ряд ограничений изложенного подхода - он плохо работает в систе-
мах с высокой неоднородностью электронной плотности. Последний недостаток, как нам кажется, может быть устранен путем введения градиентных добавок.
Следует подчеркнуть, что безорбитальный подход принципиально не применим к описанию электронной структуры и может быть использован лишь для нахождения равновесной атомной структуры и ее энергетики, а через них - для изучения механических свойств нано-систем и простых химических реакций (не связанных с возбужденными состояниями). Однако при изучении неоднородных систем (каковыми и являются наноси-стемы) исследователей, как правило, интересует не общая (усредненная) электронная структура, а ее локальные составляющие, описывающие состояния электронов вблизи конкретных примесей и структурных особенностей. Для этих целей достаточно эффективно может быть применен стандартный КШ-ТФП подход с использованием локальной атомной структуры, найденной безорбитальным методом.
Главное же достоинство безорбитального подхода заключается в том, что вычислительное время в принципе не зависит от количества электронов в системе, а определяется только объемом системы, т.е. количеством атомов. Поэтому он может быть применен (после соответствующего развития) для моделирования частиц, содержащих миллионы атомов, находящихся в произвольных точках пространства, как это предсказывается, например, в работе [6].
Приложение:
Таблица 1.
Равновесные расстояния d и энергии связи Еь (на атом) _для димеров ряда №-С1._
Димер Метод d, А Et, eV
Na2 Наш метод 3.3 0.1
Пакет FHI96md 3.28 0.08
Другие данные 3.31a 0.29a
Mg2 Наш метод 3.0 0.6
Пакет FHI96md 3.62 0.18
Другие данные 3.56b 0.07b
Al2 Наш метод 2.4 1.5
Пакет FHI96md 2.61 1.61
Другие данные 2.51c 1.55c, 1.96d
SÍ 2 Наш метод 2.3 3.2
Пакет FHI96md 2.20 3.25
Другие данные 2.23e 3.7e
P2 Наш метод 2.1 5.4
Пакет FHI96md 1.90 5.04
Другие данные - -
S2 Наш метод 2.2 7.3
Пакет FHI96md 1.93 3.41
Другие данные 1.90g 3.24g
Cl 2 Наш метод 2.2 9.5
Пакет FHI96md 2.00 1.97
Другие данные 1.99f 1.24f
Примечание: a [19], b [20], c [21], d [22], e [23], g [24], f [25].
Таблица 2.
Равновесные расстояния d и энергии связи Еь (на атом) для димеров ряда К-Вг.
Таблица 3.
Список литературы:
1. H. Hohenberg and W. Kohn, Inhomogeneous electron gas, Phys. Rev. 136, B864 (1964).
2. W. Kohn and J.L. Sham, Quantum Density Oscillations in an Inhomogeneous Electron Gas/ Phys. Rev. 140, A1133 (1965).
3. Y. A. Wang and E. A. Carter. Orbital-free kinetic-energy density functional theory. in "Progress in Theoretical Chemistry and Physics," edited by S. D. Schwartz, Kluwer, Dordrecht, 2000. P. 117.
4. Huajie Chen and Aihui Zhou. Orbital-Free Density Functional Theory for Molecular Structure Calculations. Numer. Math. Theor. Meth. Appl., 1, 1 (2008).
5. Baojing Zhou, Vincent L. Ligneres, and Emily A. Carter. Improving the orbital-free density functional theory description of covalent materials. J. Chem. Phys. 122, 044103 (2005).
6. L. Hung, E.A. Carter. Accurate simulations of metals at the mesoscale: Explicit treatment of 1 million atoms with quantum mechanics. Chem. Phys. Lett. 475, 163 (2009).
7. V.V. Karasiev, S.B. Trickey. Issues and challenges in orbitalfree density functional calculations. Computer Phys. Commun. 183, 2519 (2012).
8. V.V. Karasiev, D. Chakraborty, O.A. Shukruto, and S.B. Trickey. Nonempirical generalized gradient approximation free-energy functional for orbital-free simulations. Phys. Rev. B 88, 161108(R) (2013).
9. T.A. Wesolowski. Approximating the kinetic energy functional Ts[p]: lessons from four-electron systems. Mol. Phys. 103, 1165 (2005).
10. L.H. Thomas. "The calculation of atomic field". Proc. Cambr. Phil. Soc. 23, 542 (1926).
11. E. Fermi. "Un metodo statistico per la determinazione di alcune priopriet'a dell'atomo," Rend. Ac. Lincei 6, 602 (1927).
12. C.F. v.Weizsacker, Theorie de Kernmassen, Z. Physik 96, 431 (1935).
13. А.М. Сарры, М.Ф. Сарры. К теории функционала плотности. Физика твердого тела, 2012, 54(6), 1237-1243.
14. В.Г. Заводинский, О.А. Горкуша. Квантово-механическое моделирование без волновых функций. Физика твердого тела, 2014, 56(11), 2253-2258.
15. M. Fuchs and M. Scheffler. Density-functional theory calculations for poly-atomic systems: Electronic structure, static and elastic properties and ab initio molecular dynamics. Comp. Phys. Comm. 119, 67 (1999).
16. J.P. Perdew, A. Zunger. "Self-interaction correction to density-functional approximations for many-electron systems," Phys. Rev. B 23, 5048 (1981).
17. D.M. Ceperley and B.J. Alder. "Ground state of the electron gas by a stochastic method," Phys. Rev. Lett. 45, 566 (1980).
18. M. Beckstedte, A. Kley, J. Neugebauer, M. Scheffler. Comp. Phys. Commun. 1997. V. 107. P. 187-205.
19. Gagandeep Kaur, Shuchi Gupta, Keya Dharamvir. Energetics of small clusters of alkali metals (Li, Na, and K) adsorbed on graphene. Inter. J. Physics and Research 2013, 3(2), 1-6.
20. J. Akola, K. Rytkonen, M. Mannien. Metallic evolution of small magnesium clusters. Eur. Phys. J. D 2001, 16, 21-24.
21. V. Kumar, V. Sundararajan, Ab initio molecular-dynamics studies of doped magic clusters and their interaction with atoms, Phys. Rev. B 57 (1998) 4939-4942.
22. S. K. Nayak, S. N. Khanna, P. J. Jena. Evolution of bonding in AlnN clusters: A transition from nonmetallic to metallic character. Phys. Rev. B. - 1998. - Vol. 57. - P. 3787-790.
23. K. Raghavachari, V. Logovinsky. Structure and bonding in small silicon clusters. Phys. Rev. Lett. 1985. 55 (26), 2853-2856.
24. Bai Yu-Lin, Chen Xiang-Rong, Yang Xiang-Dong, Lu Peng-Fei. Structures of small sulfur clusters Sn (n=2-8) from Langevin molecular dynamics methods. Acta Phys.-Chim. Sin. 2003, 19(12), 1102-1107.
25. J.A. Kerr in CRC Handbook of Chemistry and Physics 19992000 : A Ready-Reference Book of Chemical and Physical Data (CRC Handbook of Chemistry and Physics, D.R. Lide, (ed.), CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 81st edition, 2000.
26. Jeffrey W. Mirick, Chang-Hong Chien, and Estela Blaisten-Barojas. Electronic structure of calcium clusters. Phys. Rev. A, 2001, 63, 023202(9).
27. Salem A. Hameed. Ab-Initio Calculations of the Dissociation Energy and Periodic Properties of the Heavy P-block Dimers. J. King Abulaziz University (JKAU): Sci., 21(2), 227-240, (2009).
Димер Метод d, Á Et, eV
K2 Наш метод 4.3 0.1
Пакет FHI96md 4.28 0.08
Другие данные 4.23a 0.245a
Ca2 Наш метод 2.4 1.9
Пакет FHI96md 4.00 0.08
Другие данные 4.30h 0.01-0.20h
Ga2 Наш метод 2.7 1.0
Пакет FHI96md 2.67 0.93
Другие данные 2.57' 1.2-1.4'
Ge2 Наш метод 2.3 2.6
Пакет FHI96md 2.28 2.36
Другие данные 2.2' 2.29-2.65'
As2 Наш метод 2.2 5.0
Пакет FHI96md 2.07 4.12
Другие данные 2.1i 2.71-3.96'
Se2 Наш метод 2.2 6.4
Пакет FHI96md 2.18 2.80
Другие данные 2.15' 2.91-3.19'
Br2 Наш метод 2.3 7.2
Пакет FHI96md 2.11 3.57
Другие данные 2.39' 1.88-1.97'
Примечание: a [19], h [26], i [27].
Равновесные расстояния d и энергии связи Eb (на атом) для димеров Al-Si, Si-P и Al-P.
Al-Si Si-P Al-P
Наш метод Пакет FHI96m d Наш метод Пакет FHI96md Наш метод Пакет FHI96m d
d, A 2.3 2.31 2.2 2.03 2.2 2.15
Eb, eV 2.3 1.97 3.6 3.42 3.4 3.33
