CC BY
8Библиографический список:
1. Рабинович, Н. Р. Инженерные задачи механики сплошной среды в бурении / Н. Р. Рабинович.
- Москва : Недра, 1989. - 270 с.
2. Султанов, С. А. Опыт разработки Бавлинского месторождения / С. А. Султанов, Г. Г. Вахитов.
- Казан ь: Таткнигоиздат, 1981. - C. 163.
3. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Таннехил. -Москва : Мир, 1990. - 384 с.
4. Hassanizadeh, S. M. Toward an improved description of the physics of two-phase flow / S. M. Hassanizadeh, W. G. Gray // Adv. Water Res. -1993. - № 16. - Р. 53-67.
5. Tien-Mo Shih. Numerical heat transfer / Tien-Mo Shih. - Hemisphere Publishing Corporation, 1988.
6. Rysbaiuly, B. Collection of applications for higher mathematics with decisions / B. Rysbaiuly, 2009.
7. Олейник, О. А. О задачах Стефана / О. А. Олейник, С. Л. Каменомосткая // Математический сборник. - 1961. - № 53 (4). - С. 489-514.
8. Freiedman, A. One dimensional Stefan problems with non monotone free boundary / A. Freiedman // Trans. Amer. Math. Society. - 1968. - № 132. - Р. 89-114.
9. Bear, J. Dynamics of Fluids in Porous Media / J.Bear // American Elsevier Publishing Company,
1972.
10. Ozi§ik, N. Boundary Value Problems of Heat Conduction / N. Ozi§ik // DoverPublications, 2013. УДК 517.5
МЁБИУСОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В Rn MOBIUS TRANSFORMATIONS IN Rn
Тулина М. И., канд. физ.-мат. наук, доцент Раенко Е. А., канд. физ.-мат. наук, доцент Туртуева Т. А., канд. физ.-мат. наук, доцент Давыдкин И. Б., канд. физ.-мат. наук, доцент Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск aniram.ru@googlemail.com, raenko_elena@mail.ru, kergyl@gmail.com, davydkin_ivan@mail.ru
Аннотация. Мёбиусовы преобразования широко используются в различных областях современной математики: в теории функций комплексного переменного, в гиперболической геометрии, в метрической топологии и т.д., а также в прикладных областях, таких как общая теория генных сетей, теорий обработки сигналов и т.п.
Ключевые слова: мёбиусовы преобразования, ангармонические отношения, аполлониевые точки для трех различных точек z1, z2 и z3 на комплексной плоскости.
Abstract. Mobius transformations are widely used in various fields of modern mathematics: in the theory of functions of a complex variable, in hyperbolic geometry, in metric topology, etc., as well as in applied fields such as the general theory of gene networks, signal processing theories, etc.
Key words: Mobius transformations, anharmonic relations, Apollonium points for three different points z1, z2 and z3 on the complex plane.
Большой вклад в изучение мебиусовых преобразований внесли следующие ученые: Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Э. Гурса, Р. Неванлинна, Р. Л. Форд, В. В. Голубев, Л. Альфорс, А. Бердон, У. Терстон, И. Кра, С. Л. Крушкаль и др.
На плоскости мёбиусово отображение реализуется либо дробно-линейным отображени-
ем + й либо комплексно сопряженным к нему. Важность мёбиусовых преобразований в
пространстве связана с тем, что все конформные отображения в пространстве размерности исчерпываются мёбиусовыми (теорема Лиувилля).
Определение. Сферой 8(а, г) в точке а с радиусом г в Рп будем называть множест-
в05(а, г) = {т е В? : \х - а\ = г}. где хеК» и г> 0.
Определение. Отражение (или инверсия) относительно S(a, г) есть функция^ определенная
формулой:
^ =
В частном случае, когда сфера Б(а, г) единичная, функция^ принимает вид: 1 1 для этого
* х
случая удобна запись: а ~~а ', где .. )х\
Определение. Плоскостью Р(а, в Рп будем называть множество вида:
где а е к , а ^ 0.
Отметим, что, согласно определению, точка ж принадлежит любой плоскости. Отражение^ относительно Р(а, определяется следующим образом: = х + , где значение действительна; + ^(т)) С
ного параметра Я выбирается так, чтобы-' ... , Явная формула для ср имеет вид:
(р(х) — х — 2[(х — а) — , где и др(оо) = ао. Отображение^ определено на всем К", при-
чем ^ ~~ х для всех хей". При этом ср есть взаимно-однозначное отображение К" на себя, причем ! ~ '' в том и только в том случае, когда х е *)-Ясно, что любое отражение^ (относительно сферы или плоскости) непрерывно в К", исключая точки оо и (р1{оо), где непрерывность еще не определена.
Определение. Мёбиусово преобразование, действующее в есть произведение конечного числа отражений (относительно сфер и плоскостей).
Мёбиусовы отображения обладают следующими свойствами: Группа всех мёбиусовых преобразований, действующих в К", называется общей мёбиусовой группой и обозначается СМ(Я'г).
1°. Каждое мёбиусово преобразование является гомеоморфизмом^'' на себя.
2°. Композиция двух мёбиусовых преобразований снова есть мёбиусово преобразование.
3°. Преобразование, обратное к мёбиусову, снова является мёбиусовым. Если г — ~ ] (где каждое (р{есть отражение), то( = (п ■■■ (1.
4°. Для любого отражения ср имеет место равенство, г ' — 2" поэтому тождественное отображение также является мёбиусовым преобразованием.
50. Теорема 1. [2, с. 30]. Пусть ( _ мёбиусово преобразование и Е _ произвольная сфера. Тогда ((Е) есть снова сфера.
60. Теорема 2. [2, с. 56]. Если z1, Z2, zз _ три попарно различные точки, а w1, W2, wз _ другие три различные точки, то существует мёбиусово отображение, переводящее соответственно z1 ^ w1,z2 ^ z3 ^ w3. При этом, это отображение единственно с точностью докомплексного сопряжения.
70. Теорема Лиувилля [3, с. 50]. Всякое конформное отображение области евклидова пространства Rn при п > 3 можно представить в виде конечного числа композиций изометрий и инверсий.
Эта теорема показывает, что конформные отображения в пространстве исчерпываются мёбиу-совыми отображениями. Напомним, что отображение называется конформным в области, если оно конформно в каждой точке этой области. Отображение, обладающее в точке z0 свойством сохранения углов и свойством постоянства растяжений, называется конформным в точке z0.
Определение. Ангармоническим отношением четверки точек г-|,г2,г3,г4 на комплексной ПЛОСКОГО 1 Ч - 23 22 - 24 [21у22, 23, 2А\ = - ■ ———.
сти называется комплексное число ~2 ~4 ~1
Определение распространяется на случай, когда одна из точек zi есть ж .
Ангармоническое отношение определено только для тех четверок точек, где нет трех совпавших точек. Если, например, две из четырех точек совпадают, то ангармоническое отношение определяется следующим образом:
[а. I*. л] = -
[Ь, с, а, о]
а - -ь а - - г
Ь- Г.1 с - о
а — с Ь- а
с — Ь п - а
Ь- и я — г
<1 — и с — и
ь- (1 с - а
а — с
-Ь
- к
= сю;
- ос:
- 1:
. . . а—аЬтс
= -—г --- ш О:
¡о.Ь. л, с] ¡¡>. а, (?, а] [а, о,
[а, Ь, Ь, а] -[а, 6, а, Ы
а — Ь с ~ а (1 — я Ь — с
о Ь■
Ь с с а
а а
с -а
л п Ь й
Ь Ь
Ь
а -
а Ь ■
Ь Ь
а
а
Ь-
Ь а — Ь а Ь —Ь
-Ь Ь
= 0; = 0; = 1:
= оо; = 0;
а
. , „ , 2 — 0 1 — ОО [2,1,0,00] = ——--— = 2.
Заметим, что, в частности
Одним из определяющих свойств мебиусовых преобразований является инвариантность ангармонического отношения.
Мёбиусовы преобразования широко применяются при решении задач, рассмотрим некоторые из них.
Задача 1. [2, с. 75]. Рассмотрим некоторое множество попарно различных точек -з,-д}-
у. (= Г {£1,22,23,24} А,
где ^ таких, что 1 ' Если точки этого множества переставлять местами, то ан-
гармонические отношения полученных четверок (всего 24 набора) четверок будут связаны некоторыми соотношениями.
Решение. В книге Бердона [2, с 75] было показано, что таких значений ровно
Л 1 л 1 1 Л
V \ 1 — А' Л — Г
6: Это факт доказывается с помощью перестановок. Мы выписываем эти
24 набора и значения ангармонического отношения:
1) [21,22,23,24] = Л;
т 21 - 24 22 - 23 1 1 2) [21,22,24,23]
3) [21,24,22,23] = 23 - 24
24 - 22 23 - 21 21 - 22 24 - 23
21 - 23 22 - 24
ч2з - 22 24 - 21 22 - 21 23 - 24
)
А'
22 - 24 23 - 21 21 21 22 - 21 23 - 24
23 24 - 22
21 23
21 - 23 22 - 24 23 - 22 24 - 21
1 ^ 2^23 - 2224 - 2^3 + 2^4 Л
1 ( ¿1 Ч 22 - 24 А
I (**-
А\гз-
24
22 24 — 21
"1 + 1 =
2324 + 2321 + 2224 - 2122
С
,23
4) [21,24,23,22]
22 24 - 21 21 - 23
(23 + 1
24
22) (24 - 21) 1
А
22 23
(1-А) = 21
А — 1
22 - 24
23 - 24 22 - 21 21 - 22 24 - 23
21 - 23 24 - 23 - 22 Zl
23 - 22 ¿4 2l 2l - 22 24 - 23
-Л
-Л
21 - 2S 24 - 23 23 - 22 24 — 21
+ 1-1
(
2124 - 2123 - 2224 + 2223 - 2324 + 2224 + 232l - 2221 (23 - 22) (24 - 2i)
-Л -А Л
'О
(
21 - 23 24 - 22
+ 1
-А + 1 Л-Г
23 — 22 24 — 21
2í - 22 23
5) [21,23,22,24] =
24
22 - 23 24 - 21 1
22 - 23 24 - 21
23 - 24 21 - 22
+ 1-1
)
(
2422 - 2122 - 2324 + 2321 - 2321 + 2322 + 2421 - 2422
(23 - 22) (24 - 21)
1
+ 1
1
(
21 — 23 24 — 22
6) [21,23,24,22] =
23 — 22 24 — 21
21 - 24 23
21 - 23 22 - 24
22
24 - 23 22 - 21
23 - 22 24 - 21 22 - 23 24 - 21
23 - 24 21 - 22
2422 - 2122 - 2421 + 2322 - 2321 + 2322 + 2421 - 2422
(23 - 22)(24 - 2l)
) 1 V )
)
+ 1-1 =
+ 1 =
21 - 23 24 - 22
23 - 22 24 - 21
7) [22,21,23,24] =
8) [22,21,24,23] =
9) [22,23,2Ь24] = 23 - 24
+ 1 = 1"
21 - 23 22 - 24
23 - 22 24 22 - 23 21 - 24
21
Î А;
23 - 21 24 - 22
22 - 24 21 - 23 _ 24 - 21 23 - 22 22 - 21 23 - 24 2i - 23 24 - 22
(
21 - 23 22 - 24
23 - 22 24 21 - 23 22
' 21 24
1
А'
23 — 22 24 — 21
23 - 22 24 - 21 22 - 21
23 22 - 24 23 - 22
24 - 21
Ц Ц
л(
22 - 21 23-24
-1 + 1 =
23 - 22 24 - 2! 2223 - 2224 - 2i 23 + 2t24 - 2324 + 232i + 2224 - 2I22
21 - 23 22 - 24 23 - 22 24 - 21
(23 - 22) (24 - 2l)
+ í)=-Ul-X) =
1 =
А — 1
1 /Z2Z3 - Z2Zi - Z\Z2, + 2l24 - 2324 + 232 1 + 2224 - 2l22
"Ä V
1 / Z\ - Z3 22 - 24 Л 1'ЙЧ Л - 1
Л \Z3 - 22 24
(23 - 22) (24 - 2l) 24 Л L , V A
~âï ) ~ ~л X"
23 — 22 2l - 24
(
22 - 23 24 - 2l
22 - 2l 24 - 23 V23 _ 21 — 22 2422 - - + za^î - + 3sz¡2 + - 2433
+ 1-1 + 1
15) {23, 21, 22, 24]
_ / ¿1 - 23 - ¿3 Л _ Л - Z3 ¿2 ~ \ = 1
\23 - 24 Z4— Zï ) V 35 — 22 24 - 2] /
ÎGJ fäfo&i*^] =
-
- - t2
V^a - 24 zi - z-i }
\
(
2JÍ-2 - 2l2¡? - -J23 4- - Z%Z\ + + - Z4Z2
17) [23,24,2^22] = 1S) [23, 24, 22, 2i] -
19) [24,22,21,23] = = ^2422 - 2122 -
- îjXÎJ -
23 2, 24 - 22
2l - 24 2g
23 - 22 21
24
(
2l - 23 22 - 24
22 - 24 24 - 2l
24 - Ж 22 - 23
(
23 -22 24 < zi.
1
'21 - 23 22 -24
¿3 - 22 24 - Zi
22 -23 24 -2l
)
2l - 22 23 - 24 \23 - 24 2, 22 242I + 2322 - 2321 + 2322 + 2421 - 2422
(
21 - 23 24
(23 - 23) (24 - 2i)
= A;
_ 1
~ A'
+ 1-1
,23 - 22 24 -20) [24,22,23,21]
23 22 - 24
= 1 - A;
23 / V 23 - 22 24 - 21У 24 - 23 22 - Z\ 23 - 24 Z\ - 22
23 - 22 Z\ 24 1
24 - 2l 22 - 23
Z4Z2 - ZtZ2 - 2423 + 232i - 232i + 2322 + 242! - 2422
(23 - 22) (24 - 2l)
+ 1
1
Z\ - 23 24 - 22
Z3 - 22 24 21) [24,23,22,21] N
(
2l
24 - 22 23
1 _ 21 - 23 22 - 24 23 - 22 24 - 2l 21 / 21 - 23 22 - 24
1 - A'
22 - 23 21 - 24
23 - 22 24 - 2l
= A;
22) [24,23,21,2-а] =
23) [24,2Ь22,23] =
24 - 21 23 - 22
1
21 - 23 22 - 24
23 22 - 24
23 - 22 24 - 21 24 - 22 21 - 23 21 - 23 24 - Щ
1
Л'
22 - 21 2д 24 2| - 22 24 - 23
21 - 23 24 - 22 23 - 22 24 - 21 -Л
23 - 22 Щ - 2{ 2! - 22 24 - 23
-Л
21 - 22 24 - 23 23 - 22 24 - 21
+ 1-1
2124 - 2123 - 2224 + 2223 - 2324 + 2224 + 2321 - 2221
-Л
(23 - 22) (24 - 21)
-Л л
+ 1
21 - 23 24 - 22
23 - 22 24 - 21
+ 1
А I 1 А - 1'
24) {24, 21,23,22] =
24 — 23 21 — 22
23 - 22 24 - 21 22 - 21
23 — 21 22 24
21 " 23 22 - 24 23 - 22
23- 24
24 - 21
1 / 22 2] 23-24
"1 + 1 =
А \2з - 22 24 - 21
2223 - 2224 - 2123 + 2124 - 2324 + 2321 + 2О24 - 2122
■К
(23 - 22)(24 - 21)
-1 =
х • а =
= _1 \ =_1 А--1
А - 22 24 - 21 ) А А
Задача 2. [2, с. 29, упр. 2]. Показать, что если( есть отражение относительно плоскости
|у(г)|2 = |т|2 + 0(х).
то
Решение.
\(р(х)\2 = \(х - 2{х ■ а - ^ ■ а*)\2 =
= х2 - 4х(х ■ а) - г) ■ а* + 4(х ■ а - ■ а**\ = = \х2 - 4х2аа* + 4а"Ла* + 4а*2(х2а2 - 2ха£ + ¿2)| = = \х2 - 4х2аа* + Ша* + 4х2а2а* - + 4а*^2| =
Убедимся в этом:
В статье [4] Н. Натк1 и ЖО. Rassias ввели понятие аполлониевых точек для трех различных точек z1, Z2 и z3 на комплексной плоскости.
Определение. Точка z комплексной плоскости называется аполлониевой для тройки точек z1, Z2 и z3 если выполняется условие
- 22Ц23 - г\ = - щ\\щ - г\ = - 21Ц22 - г\. (*)
В статье Kobayashi [4], было отмечено (без доказательства), что условие (*) равносильно следующему равенству
I I / X
И, 22, 23,2:1 = ---.
Задача 3. Доказать, что условие (*) равносильно условию (**)
Решение: Обозначим!>-2,23,г\ = Л = + покажем, что°. 2 ' Разделим все
122 - 23|Ь - Щ.
3 части равенства (*) на Получим
{21 ~ 22||2З - г\ = 1 = |23-21Ц22-2|
22 М\г\ • А • г|'
|А| = 1 = |1-А|, 1 - ч/а2 + /?2 - \/(1 — а)2 + /З2,
1 — а2 + /З2 — (1 — а)2 + /З2, Получаем систему:
и
а2 + р2 = 1, = (1 - а)2 +
а2 + Р2 = 1,
= 1 - 2а + а2 + 1 1 | 2а 1-2« 1,
1
а =
Находим р:
1
л/3
1 ^ л/3
Таким образом, а = — В = ±— т.е. X =
2 2' 2 Задача 4. Получить явную формулу для нахождения аполлониевой точки произвольного треугольника на плоскости.
1 + ътД
121,22,23,2]
Решение. Выразим т. из уравнения 1
Ш^Д
би 2 получим 2 решения. Обозначим их т. и г'.
21 — 23 22 — 2 1 + 2\/3 212 — 2122 — 232 + 2322 1 4" ¡л/З 23 - 22 2 22 2 ' 232 - 2321 - 222 + 2221 2
2(21 - 23) - 22(21 - 23) = - ■ (2(23 - 22) - 21(23 - 22));
В зависимости от знака в дро-
2 =
22(23 " 2!) + ^(21(22 - 23)
(21-23) -"^(22 - 23)
Выражаем г' из уравнения
i -iVz 21"2s.22 ~2 _ 1_: hj*- ztz' - ztz2 - ziz> + z$z2 _ i - Wз
\ZU z2, z3, z\ — 2 ' ZZ—Z2Z — Z2 г
z'(zi - Z3) - z2(zi - Z\\) = --^^ ■ (z'(z2
{zi - Z3) - --- 22) ] =S Z2(zi-z3)-
Z%z' - 2:321 - 222J + 2221
22) - 21(23 - 22)); 1 — i\fb
21(23 - 22)
2 =
22(23 - Щ) + ^(2!(22 - 23)
(21 - 23) - ^(22 - 23)
Таким образом, для произвольного треугольника с вершинами z1, z2, z3 выведены формулы для нахождения апполониевых точек.
Библиографический список:
1. Шабат, Б. В. Методы теорий функций комплексного переменного : учебное пособие для университетов / Б. В. Шабат. - 5-е изд., испр. - Москва : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. - 688 с.
2. Бердон, А. Геометрия дискретных групп / А. Бердон ; перевод с английского. - Москва : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. -304 с.
3. Клейн, Ф. Высшая геометрия / Ф Клейн ; перевод с немецкого. - Москва : Едиториал УРСС, 2004. -400 с.
4. Kobayashi, O. Apollonius points and anharmonic ratios / O. Kobayashi. - TokyoJ. Math. Vol. 30. -2007. № 1. - Р. 117-118.
5. Rassias, Th. M. A New Characteristic of Mobius Transformations by Use of Apollonius Points of Triangles / Th. M.Rassias, H. Haruki // Journal of mathematical analysis and applications Appl. -1996. -№ 197. - Р. 14-22.
6. Mandic, D P. The use of MЁobius transformations in neural networks and signal processing. Neural Networks for Signal Processing / D P. Mandic // Proceedings of the IEEE Workshop. - 2000. - Vol. 1. -P. 185-194.
