CC BY
43
УДК 621.391.037
МЯГКОЕ ДЕКОДИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ КОДОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ НА БАЗЕ КОДОВ С ЕДИНСТВЕННОЙ ПРОВЕРКОЙ ЧЕТНОСТИ
© 2013 А.А. Гладких1 , Н.Ю. Чилихин1, И.С. Линьков2
1 Ульяновский государственный технический университет 2 Ульяновский государственный университет
Поступила в редакцию 21.06.2013
В статье представлены результаты исследований алгоритмов применения модели клеточных автоматов к процедуре итеративных преобразований произведений кодов с единственной проверкой четности. Показана возможность применения подобных кодовых конструкций для образования произведений кодов размерности более трех. Построены обобщения процедуры декодирования с использованием модели клеточного автомата на случай трех пространственных измерений. Ключевые слова: декодер мягких решений, итеративный процесс, клеточный автомат.
ВВЕДЕНИЕ
Исследования в области помехоустойчивого кодирования показали достоинства кодов с проверкой на четность (КПЧ), которые наиболее эффективно реализованы в кодах с малой плотностью проверок на четность, в последовательных каскадных конструкциях и в плетеных сверточных кодах [1, 2, 3, 4]. Применение классических конструкций КПЧ с одной проверкой четности в виде произведений нескольких кодов описано в работах [1, 5]. В них особое внимание уделено исследованию кодов размерностей 2D, а коды размерности 3D описаны в работе [6, 7]. Повышенное внимание к подобным системам защиты данных от ошибок объясняется возможностью применения в них простых алгоритмов декодирования, основанных на итеративных преобразованиях индексов мягких решений (ИМР) о принятых символах. Важной особенностью подобных кодов является их структурная приспособленность к использованию в процедуре декодирования перспективных моделей клеточных автоматов [8]. Настоящая работ направлена на распространение возможностей таких моделей на случай, когда конструкция КПЧ составляет размерность 3D и больше.
ПОСТРОЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ КОДОВ АДАННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Принцип построения произведений кодов (ПК) заданной размерности заключается в сис-
Гладких Анатолий Афанасьевич, кандидат технических
наук, профессор кафедры «Телекоммуникации».
E-mail: a_gladkikh@mail.ru
Чилихин Николай Юрьевич, аспирант.
E-mail: javolk89@mail.ru
Линьков Иван Сергеевич, аспирант.
E-mail: ivanlinkov@yandex.ru
темном изменении избыточности при наращивании объема информационных блоков. Рассмотрим модели построения ПК произвольной размерности. Пусть кодер избыточного кода формирует слова конечной длины п из замкнутого множества £, для которых справедливо правило единственной проверки четности, применяемое к информационным векторам длины к , тогда п = к + 1. В общем случае символы этих слов выбираются из конечного алфавита А = \а\, которые приемником фиксируются в виде жестких решений. В общем случае а принимает значения
из ОР¡2т ), где т £ N . Обозначим через а0 = (аО1,...,а(ппереданную по каналу последовательность, а через а = (а() ... ,
5 = 1, £ другие последовательности рассматриваемого множества. Задача декодера состоит в вычислении функции правдоподобия Сд для последовательности ад такой, что С о > С для всех последовательностей из £ .
При передаче сигналов а() по каналу с помехами на входе приемника наблюдается вектор
() >))= а() +1(), где 1 (()
вектор
шума, компоненты которого - независимые га-уссовские величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией N^/2. Условная плотность распределения вектора ), при т = 1 наблюдаемого на выходе канала, имеет вид
/{^\а()=№0 Г12 ех^ - Е12 ) /N0}, (1)
где Е - энергия сигнала, приходящаяся на один бит.
В общем случае порождающая матрица тривиального КПЧ имеет вид G = [/хкРкх11 где 1кхк - единичная матрица, а РкХ1 - единичный вектор-столбец. Для подобного кода при невыполнении условий четности исправление ошибки выражается в инвертировании символа, имеющего наименьший ИМР [1, 8]. Для получения ПК из двух тривиальных КПЧ размерности 2Э кодер формирует из к векторов-строк квадратик
позиции у = п сформировать матрицу проверок
||ахп^Щ . Следовательно, кодер формирует к матриц Ап размерности 2О, получая совокуп-
ность матриц Ап =
. Ап =
ет чет
а
xкz
а
x1z
Ап =
а
х 2 z
ную матрицу
Ак = \ах 0 z||1 , где х = 1,к , z = 1,к
. Фиксируя х и z , кодер оценива-ност^выбранных элементов, изменяя у :
ахЪ ® ax2z ® ••• ® ^ = ахш , и формирует
и только для данной размерности положим у = 0. Таким образом, для удобства последующих рассуждений матрица Ак рассматривается в плоскости х0z пространственной системы координат. Матрица Ак путем проверок четности по векторам-строкам и векторам-столбцам
преобразуется в матрицу вида Ап = ||ахо.
Очевидно, что в Ак общее число информационных элементов достигает значения к2 , тогда как число проверочных разрядов в Ап будет равно Г2 о = 2 к + 1. Для выявления общих закономерностей формирования избыточных символов ПК произвольной размерности целесообразно значение Г2о разделить на две составляющие:
матрицу проверок п
< Ап) =
а
по всевозмож-
Г2Б = 2к, определяющую избыточность по про- определяется как ±
ным х и z . Полученная конструкция в пространстве координат х , У и z образует куб из информационных и проверочных элементов (в общем случае прямоугольный параллелепипед), который назовем кадром. Порождающая матрица этого кода определяется кронекеровским произведением матриц G исходных кодов. Введенная в код избыточность (относительная скорость кода) Я оценивается соотношением
О \ о
Я = П ^д /пд ] = П V _ УПд /, а минимальное
д = 1 д=1
кодовое расстояние для описанных конструкций
О
О
веркам информационных разрядов, и тЩ^ = 1
(проверка проверок) выражающую избыточность для вектора-столбца и вектора-строки. В последующем избыточность, непосредственно зависящую от проверок информационных разрядов, обозначим символом <•) . Проверка от проверочных разрядов представим символом <<•)). Матричная форма описанного кода имеет вид:
а101 а201
а102 а202
Ап =
ак01 ак02 <ап01) <ап02)
а10к а20к
<а10п ) <а20п )
= П = 2О .
д=1
Применяя последовательно это правило несколько раз, можно получить широкий диапазон длин кодов. Например, код размерности 4Э получают из п кадров кода ЭЭ, при этом новые проверочные символы формируют соответствующим сложением одноименных матриц размерности 2Э, взятых по одной из всех кадров ЭЭ. Код размерности 4Э образуется путем объединения к совокупностей с образованием матричной структуры вида:
(2)
ак0к <ак0п) <ап0к ) <<ап0п ))•
/ а1П\
< Ап ) = К]
/ А 2П\
< Ап ) = Ых
(Э)
/ лкпх
< Ап ) = К,
пп
< Ап1) — / лп2) _
< Ап ) = |axnz| 1 < Ап ) = |axnz| 1
Общая избыточность оценивается выражением Т2О = ти/о + = 2к + 1.
Структура ПК в ЭЭ образуется при у ф 0,
если следом за матрицей Ца^Щ по координате у дополнительно разместить новую матрицу вает, что берется матрица
<Ап ) = ||ах^| 1 <<Ап » = ||ах^|^ •
Необходимо отметить, что в такой конструкции появляется возможность псевдослучайного извлечения матриц 2Э из кадров, определяющих информационную совокупность данных разбитых на кадры ЭЭ. В (Э) обозначение вида А'^ показы-
1ху2
с номером г из
||ах2^ 1 и так до значения у = п -1, а затем на кадра с номером ] с образованием проверочных
п
п
1
1
п
п
1
п
п
п
п
.1к
А„ = а
А = а
А = а
.2к А„ = а
А = а
А = а
.к1
А„ = а
.к 2
А = а
.кк
А = а
xkz
xkz
хк
п
п
п
1
Таблица 1. Распределение избыточных элементов некоторых произведениях кодов
Размерность кода Значение k Значение n d min Избыточность по информационным элементам Избыточность порядка 1 Избыточность порядка 2 Избыточность порядка 3
1D k k + 1 2 1 0 0 0
2D k 2 (k + 1)2 22 = 4 2k 1 0 0
3D k 3 (k + 1)3 23 = 8 3k 2 3k 1 0
4D k 4 (k + 1)4 24 = 16 4k 3 6k2 4k 1
5D k 5 (k + 1)5 25 = 32 5k 4 10k3 10k 2 5k
соотношений вида (•) и ((•)). Распределение избыточных элементов ПК представлено в табл. 1.
Для произвольных Э полная избыточность определяется соотношением
(+1)° - =(DV-1+(DD k-2—(Z}+1-(4)
Декодер приемника при любой размерности КПЧ обрабатывает только совокупность кадров, поэтому его сложность однозначно определяться сложностью декодирования кадра. Характеристики некоторых ПК представлены в табл. 2. Естественно, код Ш не является произведением кодов, но параметры других кодов, приведенных в этой таблице кратны его £ и п. В графе таблицы с символом К I представлены относительные скорости кодов при условии выкалывания избыточных символов порядка один и более, иначе тех символов, которые определяют структуру избыточных кадров ((•)).
Анализ показывает, что характеристики приведенных ПК сопоставимы с турбокодами или кодами с малой плотностью проверок на четность [3], но обладают более емким технологическим ресурсом. Например, при организации адаптивных систем обмена данными, при использовании сложных видов модуляции, при реализации принципа выкалывания избыточных данных или в процедуре перемежения составляющих кадров.
ПРОЦЕДУРА ДЕКОДИРОВАНИЯ
НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ КЛЕТОЧНОГО АВТОМАТА
Представление КП в виде матриц позволяет использовать в процедуре декодирования достаточно развитый аппарат моделей клеточных ав-
томатов (КА). Декодер представляется как бинарный математический объект с дискретным пространством и временем. Для исключения роста сложности декодера КА рассматривается на плоскости, т.е обрабатывает массивы даны в объеме, представленных в (2). Это открывает возможность параллельной обработки подобных массивов данных в плоскостях 0уг, 0хг и 0ху с последующим сведением результатов по принципу декодирования в целом.
При мягком декодировании каждый г-й бит,
I = 1, п представляется в виде жесткого решения, сопровождающегося ИМР в виде некоторого ве-
щественного Äi, Л = Ämin ,^max , определяемого
в зависимости от (1) [9, 10]. Обозначая жесткое решение 0 через знак "-", а решение 1 через "+", для кортежа двоичных данных ...1 0 0 1 1... получают последовательность вида
...+Л -Л+1 -Л+2 +Л+3 +А+4..., которая обрабатывается мягким декодером по правилу:
L(Äki) + L(Äpc) « (-1)1-m х sign[L(Äki )]x x sign[(Äpc )]x min ( )|, | L(Äpc)) (5)
где функция sign(•) возвращает знак своего аргумента; L(Äki) - ИМР символа, участвующего в формировании проверочного бита; L(Äpc) -ИМР проверочного символа; m - число исключенных из анализа положительных ИМР, входящих в корректируемый вектор [5]. Применение последнего параметра способствует росту производительности декодера за счет снижения доли неинформативных итераций. Бинарность КА определяется совокупностью знаков "-" и "+", а диск-
Таблица 2. Параметры произведений кодов ряда размерностей
Размерность кода Значение k Значение n d min R R i
1D 8 9 2 0,89 -
2D 64 81 4 0,79 0,80
3D 512 729 8 0,70 0,73
4D 4096 6561 16 0,62 0,67
5D 32768 59049 32 0,55 0,67
ретные состояния зависят от значений Л^. Правило формирования целочисленных Л для двоичных видов модуляции определяется выражением
Лшс
Л м=
fMA
-х w
(6)
где Mмп - математическое ожидание модулируемого параметра и 0 < р< 1 - интервал стирания [9]. За конечное число шагов и заданных начальных условиях декодер должен достичь пространственно-однородного состояния, при котором среди элементов матриц будет допустимое число ошибочных. В классическом КА в момент времени to каждая обрабатываемая клетка окружена соседними клетками, находящимися в своих уникальных состояниях. Для оценки состояния произвольной клетки декодера целесообразно использовать определение окрестности клетки по Нейману, которую в данном приложении назовем расширенной. Расширение происходит за счет тех символов, которые определяют выполнение четности для данной строки (столбца). Процедура (5) способствует повышению значения Co, но ее исход не является однозначным. Обозначим через (+pc) выполнение условия четности на приемной стороне для принятой группы символов. В случае нарушения принципа четности приемник фиксирует значение (—pc). Работу декодера с системой итеративных преобразований и проверками на четность целесообразно описывать целевой функцией вида
Q{S;M(Л);а(Л)}^ sign (S) max
min, /7)
5 pc) M <(Л) (7) где S - значение четности по всем информационным разрядам принятой группы символов; параметр M(Л)| - абсолютная величина среднего значения кортежа мягких решений этих символов; параметр <(Л) является показателем разброса мягких решений, вычисляемым по правилу:
Таблица 3. Пример обработки варианта данных матрицы 2D (исходные данные/результат первого шага)
(Л)=а/« - -л |)2. (8)
Исследования показали, что по отдельности представленные параметры не являются информативными и не позволяют оценить очередность обработки нескольких кодовых векторов в системе с произведением кодов [6]. В соответствии с Q{{} декодер на первом шаге декодирования выполняет проверку четности, на втором шаге обработки данных оценивает среднее значение принятых ИМР символов и в последнюю очередь определяет степень разброса зафиксированных приемником индексов. Максимальное значение М(Л) соответствует высокой достоверности принятых символов, однако может быть получено множество одинаковых значений |М (Л) при различной совокупности оценок, поэтому дополнительно необходимо оценивать параметр а(Л). Если возникает ситуация неопределенности, когда |М; (Л) = Му- (Л) при / ф ] , то приоритетной
для последующей обработки данных является комбинация, у которой <г1 (Л)< а ^ (Л).Это полностью отвечает принципу распространения доверия в ходе декодирования группы кодовых комбинаций [6]. Работу декодера рассмотрим на примере обработки матрицы размерности 4 х 4, параметры которой представлены в табл. 3, при этом в числителе обрабатываемой клетки показаны исходные данные, в знаменателе (выделены жирно) результаты работы декодера.
В каждой матрице 2Э имеются сведения о значениях |М (Л ) и а(Л), определенные для всего множества попавших в нее оценок {Лу }. Эти
данные используются для оценки очередности обработки матриц 2Э в составе кадра. В табл. 2 представлен пример обработки клетки с расширенными окрестностями Неймана, однако в ряде случаев горизонтальная или вертикальная со-
Параметры Л j Л j Л j Л pc {Рс) M Л) а{Л)
Л +5 -1 +7 +7 - 5,00 8,00
-7 +6 +7 -7 + 6,75 0,25
Лз +6 +3 +4 +2/-5 +/- 3,75/4,50 2,92/1,67
Л -7 -7 +6 +7 + 6,75 0,25
{pc) + + + -/+ 2/2
M Л) 6,25 4,25 6,00 5,75/6,50 5,56/5,75
а{Л) 0,92 7,58 2,00 6,25/1,00 3,99/3,13
ставляющие могут отсутствовать, тогда для коррекции данных применяется алгоритм (5).
В примере на основе сравнительных данных для всех Q {•} первоначально обрабатывается столбец с ЯрС. Используя (5), в декодере для выбранного столбца формирует последовательность -7 +2 | +7 (вертикальной чертой выделен проверочный разряд +7, и т = 1). После выполнения первого шага итеративных преобразований для выделенной последовательности будет получено
[+ 2 - 7]+ 7 = -5 - новая апостериорная оценка для (-7);
[- 7 + 2]+ 7 = -5 - новая апостериорная оценка для (+ 2);
После второго шага итераций [+ 2 - 5]+ 7 = -3 - вторая апостериорная оценка для (-7);
[- 7 - 5]+ 7 = -7 - вторая апостериорная
оценка для (+ 2)
Результаты коррекции ИМР столбца: + 7(-7 - 3)(+2 - 7) + 7 = +7 -10 - 5 + 7.
Значения индексов больше
Я
> 7 в блоке
заменяются на значение / для сохранения разрядной сетки процессора приема при представлении ИМР. Результаты первого шага обработки данных показаны в таблице 3 в виде знаменателей дробей преобразованных данных. Для последующей обработки в соответствии с Q{•} выбирается строка с Яц.
Декодер формирует последовательность +5 -1 | +7 при т = 1. После первого шага итераций нового цикла будет получено
[- 1 + 5]+ 7 = + 4 - новая апостериорная оценка для (+5);
[+ 5 - 1]+ 7 = + 4 - новая апостериорная оценка для (-1);
Второй шаг итерации
[- 1 + 4]+ 7 = + 3 - вторая апостериорная оценка для (+5);
[+ 5 + 4]+ 7 = + 7 - вторая апостериорная
оценка для (-1).
Результаты коррекции ИМР первой строки: (+5 + 3)(-1 + 7) + 7 = +7 + 6 + 7 + 7.
Поскольку для новых данных отрицательные значения для параметра (рс) находятся в строке и столбце, необходимо осуществить коррекцию только символа +3, изменив его знак на противоположный. Результат коррекции приведен в табл. 5. Для улучшения общих параметров обрабатываемой матрицы допустимо повышение ИМР символа, находящегося в единственном числе на пересечении строки и столбца.
Подобным образом параллельно обрабатываются другие матрицы 2Э. Учитывая однородность данных, одинаковые простые правила перехода и малое число связей между элементами, такие процессы удачно проектируются на архитектуру существующих параллельных вычислительных комплексов. На рис. 1 представлены структуры ошибок, конфигурация которых может возникнуть при обработке матриц 2Э. Клетки с серым фоном (номера 1,..., 4) восстанавливаются за счет использования (5) или перекрестных проверок, конфигурации ошибок вида 5, 6 и 7. восстановленными в рамках одной матрицы размерности 2Э восстановленными быть не могут.
Оценивается вероятность подобного события сверху для КПЧ 2Э выражением вида
Ро *
м Х(1 - рг - 2 ■
П
(9)
где ръ - вероятность ошибки на бит.
Таблица 4. Пример обработки варианта данных матрицы 2Э (второй шаг/результат второго шага)
Параметры Я; Я; Я Рс (Рс) М (Я Ф)
Я +5/+7 -1/+6 +7 +7 -/+ 5,00/6,75 8,00/0,25
Я2 -7 +6 +7 -7 + 6,75 0,25
Я3 +6 +3 +4 -5 - 4,50 1,67
ЯРС -7 -7 +6 +7 + 6,75 0,25
(рс) + +/- + + 2/2
М Я 6,25/6,75 4,25/5,50 6,00 6,50 5,75/6,19
*(А) 0,92/0,25 7,58/3,00 2,00 1,00 3,13/1,49
Таблица 5. Итоговые данные
Параметры А А2. 2. А3 . А рс {Pc) M {А) а{А)
Лп +7 +6 +7 +7 + 6,75 0,25
А, 2 -7 +6 +7 -7 + 6,75 0,25
Лз +6 +/-3 +4 -5 + 4,50 1,67
-7 -7 +6 +7 + 6,75 0,25
{pc) + + + + 2/2
M {Л) 6,75 5,50 6,00 6,50 6,19
*{А) 0,25 3,00 2,00 1,00 1,49
Г
_2_ _2_ 6
1 — :
В :
1 3 4 5
■ ■
Рис. 1. Структуры ошибочных символов в модели клеточного автомата
ВЫВОДЫ
Применение кодов с единственной проверкой четности в современных системах обмена данными позволяет унифицировать процедуру мягкого декодирования кодовых векторов в составе кодов любой допустимой размерности за счет применения моделей клеточных автоматов, относящихся к ЖР-полным задачам, и представления кодов в виде наращиваемых по единому принципу для выбранного £ конструкций, которые в наибольшей степени приспособлены к современным сетевым технологиям при передаче блоков и ячеек данных.
Открывается возможность параллельной обработки матриц размерности 2Э, представляющих кадр данных с последующим сведением отдельных результатов в итоговый результат по принципу декодирования кодового вектора "в целом". Это в полной мере отвечает организации работы современных процессоров, построенных на ПЛИС.
Анализ выражения (9) показывает, что в условиях низких отношений сигнал-шум вероятность образования невосстанавливаемой структуры ошибок оказывается величиной второго порядка малости. Вероятность образования подобной структуры ошибок в матрице ЭЭ оказывается исчезающее малой, следовательно, невос-станавливаемая структура ошибок в рамках одной матрицы 2Э с высокой вероятностью
исправляется за счет перекрестных проверок в составе кадра.
Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь [пер. с англ., под ред. М.С. Пинскера и Б .С. Цыбако-ва ]. М.: Сов. радио, 1974. 568 с.
2. Галлагер Р. Дж. Коды с малой плотностью проверок на четность. М.: Мир, 1966. 144 с.
3. Зяблов В.В. Анализ корректирующих свойств итерированных и каскадных кодов // Передача цифровой информации по каналам с памятью. М.: Наука, 1970. С. 76-85.
4. Кондратов К.А., Зяблов В.В. Конструкция плетеных сверточных кодов на базе кодов проверки на четность с одним проверочным символом // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. C. 53-60.
5. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2005. 320 с.
6. Hunt A. Hyper-Codes: High-Performance Low-Complexity Error-Correcting Codes, Master's Thesis, Carleton University, Ottawa, Canada, defended March 25, 1998.
7. Данилов С.В. Аналитическая модель двоичной последовательности с блочным турбокодированием // Наукоемкие технологии. 2012. № 8. Т. 13. С. 14-22.
8. Информационная безопасность: методы шифрова-
ния [под ред. Е.М. Сухарева]. Кн.7. М: Радиотехника, 2011. 208 с. 9. ГладкихА.А. Основы теории мягкого декодирования избыточных кодов в стирающем канале связи. Улья-
новск: УлГТУ, 2010. 379 с. 10. ГладкихА.А., Линьков И.С. Оптимизация процедуры итеративных преобразований данных // Автоматизация процессов управления. 2012. № 3(29). С. 3 - 7.
SOFT DECODING OF PRODUCTS OF ARBITRARY DIMENSION CODES BASED ON CODES WITH SINGLE PARITY CHECKING
© 2013 A.A. Gladkikh1, N.YU. Chilikhin1, I.S. Lin'kov2
1 Ulyanovsk State Technical University 2 Ulyanovsk State University
This paper presents the research of cellular automata algorithms in application to the iterative transformation procedure for product codes with the singular parity-check. The possibility of using similar codes constructions for the over 3-dimensional product codes formation is shown. There is also generalized the decoding procedure with the cellular automata model for the 3D case. Key words: soft-decision decoder, iterative process, cellular automata.
Anatolij Gladkikh, Candidate of Technics, Professor at the Telecommunications Department. E-mail: a_gladkikh@mail.ru Nikolaj Chilikhin, Graduate Student. E-mail: javolk89@mail.ru Ivan Lin kov, Graduate Student. E-mail: ivanlinkov@yandex.ru
