CC BY
1ÜMUMTÖHSiL M9KT9BL9RiNiN X SiNFiND9 "iST9NiL9N BUCAGIN TRiQONOMETRiK FUNKSiYALARI" TÖDRiS VAHiDi ÜZR9 MATERiALLARIN
MaNiMSaDiLMaSi TEXNOLOGiYASI
FiRÖDUN NADiR OGLU iBRAHiMOV
ADPU-nun §aki filiali, pedaqoji elmlar doktoru, professor, Azarbaycan
Xülasa: Mdqalddd ümumtdhsil maktablarinin Xsinifldrindd Riyaziyyatfanninin mazmununda özüna yer alan "istanilan bucagin triqonometrikfunksiyalari" tadris vahidi üzra materiallarin tadrisi prosesinda §agirdlarin subyektina gevrilmasi nazarda tutulan bacariqlarin mündaracasi taqdim edilmi§dir. Sözügedan bacariqlarinformala§masinda "imkanda§iyiciliqfunksiyasi"niyerinayetiran mazmun elementlarinin "Istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidinda yerina va bunlarin §agirdlarin idrakinda harakat halina gatirilmasi texnologiyasina diqqat yönadilir. "Istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidinda transformasiya olunan elementlarin "Dönma bucaqlari. Bucagin radian va daraca ölgüsü", "Qövsün uzunlugu. Sektorun sahasi. Xatti sürat, bucaq sürati", "Triqonometrik funksiyalar. Istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari", "Vahid gevra va istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari", "Qevirma düsturlari", "Triqonometrik eyniliklar", "Toplama düsturlari", "Toplama düsturlarindan alinan naticalar" mövzulari üzra sistem halina gatirilmasi maqsadauygun sayilir. Diqqata gatdirilir ki, §agirdlar tarafindan taqdim olunan mazmun elementlarinin manimsanilmasi ügün tadris prosesinin ta§kili va idara edilmasi vasitasi rolunu oynayan tap§iriqlar sistemi mövzularda icrasi talab olunan fellari ehtiva etmalidir. t§in mazmununda hamin qabildan olan tap§iriq nümunalari özüna yer alir.
Agar sözlzr: tadris prosesi, tadris vahidi, mazmun xatlari, standart, sistem, metodik sistem, "sistem-struktur" yana§ma, paradiqma, dönma bucagi, daraca, radian, qövs, sektor, qövsün uzunlugu, sektorun sahasi, xatti sürat, bucaq sürati, vahid gevra.
Mövzunun aktualligi. Pedaqogika elm sahasinda formala§mi§ elmi idrakin an mükammal formasi olan nazariyyalar sirasinda "Tahsil va talim haqqinda nazariyya" ( bu, pedaqogikada "Didaktika" termini kimi interpretasiya olunmaqdadir) da maxsusi yera malikdir. Didaktikada (daim takmilla§makda olan bu nazariyyada), onun maxsusila§mi§ müxtalif sahalarinda (xüsusi metodikalarda) tahsil va onun hayata ke9irilmasi ila bagli suallar cavablandirilir. Sanaye inqilablarinin 9agin§lanna uygun formala§an tahsil makaninda ba§ar tacrübasinin payla§ilmasi ila bagli müallimin faaliyyatinda rahbarlik ü9ün qabul edilmali olan qanunauygunluqlar, prinsiplar, tövsiyalar elmi idrakin inki§af saviyyalarina uygun §arh olunur. Mantiqi haldir ki, Riyaziyyat fanni üzra tadris vahidlari, asas standartlar, alt standartlar, müayyan olunmu§ mövzular barada hazirda istifada olunan darslik kompleksinda [7-8] va müxtalif tadris adabiyyatinda müallimin faaliyyatinda rahbarlik ü9ün qabul edilmasi faydali olan tövsiyalar yox deyildir. Bu, riyaziyyatin tadrisi prosesinin kurikulum modelina uygun tadrisi baximindan 9ox faydalidir. O da inkar olunmur ki, fann üzra tadris prosesinin davamli takmilla§dirilmasi mantiqidir, didaktik problemlarin aksariyyati hami§aya§ardir.Tabii ki, kurikulumdan istifada tacrübasi formala§diqca ona adekvat tadris prosesinin metodik sistemi da takmilla§dirilmalidir. Bu mantiqa dayanaraq "Ümumtahsil maktablarinin X sinfinda "istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidi üzra materiallarin manimsadilmasi texnologiyasi" mövzusunun tadqiqatinin aktualligini iddia edirik.
Tadqiqat asasinda alda olunmu§ informasiyaya asaslanan ümumila§malar üzra interpretasiya.
Elmi manbalarda göstarilir ki, "talim" va "tadris faaliyyati" pedaqogikanin ba§lica anlayi§larindan biridir.Talim tadris faaliyyatinin mühüm xarakteristikasi olsa da, onun bütün taraflarini ahata etmir.Yeri galmi§kan vurgulayaq ki, bu va bir 9ox ba§qa pedaqoji anlayi§larin mahiyyatina varmaq, dürüst elmi §arhini vermak ü9ün L.Bertalanfi ideyasina asaslanmaq fikrimizca,
MEHRiBAN NURMaMMaD QIZI KaRiMOVA
ADPU-nun §aki filiali, ba§ müallim, Azarbaycan
ugurlu yana§madir, "sistem-struktur yana§ma" dialektikanin inki§af edararak müstaqillik "statusu" qazanmi§ qoludur [10,8].
Talim, sozün geni§ manasinda, yeni bilik, bacariq va vardi§larin manimsanilmasini nazarda tutur. Halbuki manimsama va tadris faaliyyati mahiyyatca müxtalif hadisalardir. Manimsama takca talim prosesinin deyil, har bir faaliyyat sahasinin ayrilmaz tarafidir [1; s.150].
Elmi manbalardan alda etdiyimiz materiallarin tahlili bizi bela qanaata gatirir ki, talim tahsilin hayata ke9irilma yoludur va ger9ayi manavi axzetma, axz olunmu§lari hifzetma va bunun asasinda yaradici faaliyyat tacrübasina yiyalanma tahsilin hayata ke9irilmasi yolundan (idraki harakatin mazmun va formasinin dialektikasindan) asilidir. Didaktikada tahsilin hayata ke9irilmasi modelinin formala§dirilmasi hami§aya§ar problemdir [4,5].
Kurikulum modelina uygun qurulan talim sisteminin (tahsilin hayata ke9irilma prosesinin) mazmunu, strategiyalari, qiymatlandirma mexanizmlari altsistemlaridir. Bu altsistemlar ehtiva olunduqlari sistemin emercent tabiatindan asili olmaqla yana§i oz aralarinda dialektik münasibatda movcud olurlar. Sozügedan dialektika "imkan-harakat-yeni keyfiyyat" paradiqmasini §artlandirir.
Qabaqcil pedaqoji tacrüba materiallarinin tahlilindan bela bir qanaata galmak olur ki, "sistem-struktur" yana§ma diaqnostik, formativ, ki9ik va boyük summativ qiymatlandirma va bunlarin naticalarindan tadris vahidlarinin, tadris vahidlarinda ehtiva olunan elementlarin tahsilalanin tacrübasinda mükammal sistemin tarkiblari kimi maqsadauygun yerla§dirilmasi prosesinin tanzimlayicisi funksiyasini da yerina yetirir.
Tahsilin hayata ke9irilma texnologiyasi (ananavi yana§mada metodikasi) maxsusi sistema malikdir.Sozügedan texnoloji sistemda gozlanilan natica se9ilmi§ mazmunun harakat hali ila §artlanir. Har bir tadris vahidina uygun olaraq texnoloji sistem movcud olur. Tasadüfi deyildir ki, sozügedan sistemin layihalandirilmasinda tadris vahidinin se9imi diqqat markazina gatirilir [11].
Ümumtahsil maktablarinda Riyaziyyat fannininda "istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidi ozünamaxsus yera malikdir [7;s.575-588]. "istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidinda ahata olunan movzularin tadrisi prosesinda mazmun standartlari - 1.2.3. 3sas triqonometrik eyniliklari bilir va onlari triqonometrik ifadalarin sadala§dirilmasina tatbiq edir; 2.1.1. Bucagin radian ol9üsü anlayi§ini va istanilan bucagin triqonometrik funksiyalarinin tarifini bilir, masalalar hallinda onlardan istifada edir;
2.1.2.Triqonometrik funksiyalar ü9ün 9evirma düsturlarini bilir va tatbiq edir;
2.1.3.Triqonometrik funksiyalar ü9ün toplama düsturlarini, onlardan alinan naticalari bilir va tatbiq edir kimi formula olunmaqla diqqat markazinda saxlanilir [ 3; s.214 ].
"istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidinda ahata olunan 8 movzunun tadrisi prosesinda §agirdlarin a§agida ozüna yer alan bacariqlarin subyektina 9evrilmasi nazarda tutulur:
«bucagi §üanin tapa noqtasi atrafinda donmasi kimi modella§dirir;
«bir tam donmanin 2n va ya 3600oldugunu bilir va istanilan ol9ülü manfi va müsbat i§arali bucaqlari handasi va analitik §akilda taqdim edir; «bucagin radian ol9üsünü ba§a dü§ür;
«bucagin daraca va radian ol9ülari arasindaki alaqani tatbiq edir; «qovsün uzunlugunu hesablama düsturunu masala hallina tatbiq edir; «sektorun sahasini hesablama düsturunu masala hallina tatbiq edir; «triqonometrik funksiyalarin tarifini istanilan donma bucagina gora taqdim edir; «triqonometrik nisbatlarin müxtalif rüblarda i§arasini müayyan edir;
«vahid 9evraya gora istanilan bucagin triqonometrik funksiyalarini noqtanin koordinatlari ila ifada edir;
«vahid 9evra üzarinda verilmi§ noqtanin koordinatlarina gora triqonometrik funksiyalari müayyan edir;
«vahid 9evra üzarinda verilmi§ donma bucagina gora triqonometrik funksiyalari müayyan edir; «9evirma düsturlarinin alinmasini handasi olaraq taqdim edir; «9evirma düsturlarinin alinmasini cabri olaraq taqdim edir;
«çevirma düsturlarini masala hallina tatbiq edir; «asas triqonometrik eyniliklarin alinmasini handasi olaraq taqdim edir; «asas triqonometrik eyniliklarin alinmasini cabri olaraq taqdim edir; «asas triqonometrik eyniliklarin masala hallina tatbiq edir; «toplama düsturlarinin isbatini yerina yetirir;
«toplama düsturunun tatbiqi ila ifadalari sadalaçdirir, eyniliklari isbat edir; «toplama düsturlarini masala hallina tatbiq edir;
«triqonometrik funksiyalarin caminin va farqinin hasila çevirma düsturlarini asaslandirir; «camin va farqin hasila çevirma düsturlarini masala hallina tatbiq edir;
«toplama düsturlarindan istifada edarak ikiqat arqument va yarimarqumentin düsturlarini yazir; «ikiqat arqument va yarimarqumentin düsturlarini masala hallina tatbiq edir [8].
"istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidi üzra materiallarin manimsanilmasi §agirdlarin aktiv riyazi lügat ehtiyatinin açagidaki anlayi§lar-dönma bucagi, bucagin son tarafi, manfi bucaq, müsbat bucaq, daraca, radian, qövs, sektor, qövsün uzunlugu, sektorun sahasi, xatti sürat, bucaq sürati, sekans, kosekans, vahid çevra va onlarla bagli mülahizalarla zanginlaçmasina imkan yaradir.
"istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidi üzra materiallarin tadrisinda alava resurs olaraq virtual vasitalardan (kursun tadrisi ^ün ahamiyyatli linklardan [15-19] ) va müxtalif i§çi varaqlarindan faydalanmaq maslahat bilinir.
"Dönma bucaqlari. Bucagin radian va daraca ö^üsü" mövzusunun tadrisina 2 saat vaxt ayrilmasi yetarlidir [8]. §agirdlara dönma bucaginin tarifi §üanin baçlangic nöqtasi atrafinda firlanmasi kimi sözla, handasi olaraq, real situasiya üzarinda izah edilir. Sinifdaki har bir §agirdin bu modellaçdirmada içtirakini tamin etmak vacibdir. §agird dönma bucagini tarafinin biri sabit olmaqla x oxu istiqamatinda olan §üa, digarini isa koordinat baçlangici atrafinda saat aqrabinin harakati istiqamatinda va ya aksi istiqamatinda dönan §üa kimi tasavvür edir va modellaçdirir.
Vacibdir ki, son tarafi üst-üsta dü§an bucaqlarin handasi tasvirina diqqat yetirilsin. §agird 1200 -li müsbat içarali bucaqla -2400-li bucagin son taraflarinin üst-üsta dü§düyünü handasi tasvirla taqdim etmayi bacarmalidir, bu iki bucagin daraca ö^ülarinin mütlaq qiymatlarinin caminin 3600 oldugunu "görmalidir". O, son tarafi verilan iti bucaqla üst-üsta dü§an sonsuz sayda dönma bucaqlarinin oldugunu bilmalidir.
Tadris prosesinin bu marhalasinda bucaqlarin içarasina göra son tarafinin hansi rübda yerlaçdiyinin müayyan edilmasina diqqat edilir. Nümuna olaraq -750,1140, -2400 bucaqlarin son tarafinin hansi rübda yerlaçdiyi handasi tasvirla taqdim edilir. §agird bilmalidir ki, 3800-li bucagin son tarafi birinci rübda yerlaçir va 200-li bucagin son tarafi ila üst-üsta dü§ür."Daraca ö^üsü 3600 -dan böyük olan va 2-ci rübda yerlaçan bucaqlara aid nümuna göstar"- çagriçina §agird, masalan, "daraca ölçüsü 450°-540° arasinda olan istanilan bucaq bu rübda yerlaçir" fikrini söylamayi bacarmalidir.
Mövzunun tadrisina yönaldilan ikinci dars saatinda çagirdlara bucagin radian ölçüsü izah edilir. §agirdlarin diqqatina çatdirilir ki, bucagin son tarafinin dönmasi zamani müayyan ö^üda qövs cizilir. Bucagin daraca ö^üsü ila yanaçi son tarafin cizdigi qövsün uzunlugu ila alaqali ö^üsünün da oldugu onlara izah edilir. Vurgulanir ki, bucagin son tarafini r radiuslu çevra üzra harakatda tasvir etsak, uzunlugu r radiusuna barabar olan qövsa uygun markazi bucagin ö^üsü 1 radian qabul edilir. Aydinlaçdirilir ki, radianin tarifina göra r radiuslu çevrada l uzunluqlu qövsa uygun markazi bucaq a
radianlidirsa, - = a - dir.
r
Mövzunun tadrisi prosesinda çagirdlara bucagin radian ö^üsü ila daraca ö^üsü arasindaki alaqa izah edilir: Tam çevra 2л" radiandir. Çevranin uzunlugu 2nr-dir.
1 radiana uygun qövsün uzunlugu r oldugundan, tam dönma ^ = 2я radiandir.2я radian= 3600; n radian= 1800; 1 radian« 570; 1800 = n radian oldugu ^ün 10 = ^ radian.
§agirdlara beb bir qaydanin tatbiqinin alveri§li oldugu bildirilir: daracani radiana 9evirdikda ^ —ya, radiani daracaya 9evirdikda 180 — ya vurun.
Dönma bucaqlari, bucagin radian va daraca öl9üsü anlayi§larinin manimsadilmasi i§i §agirdlarin müvafiq tap§iriqlar üzarinda faaliyyatlarinin ta§kil olunmasi ila davam etdirilir.
"Qövsün uzunlugu. Sektorun sahasi. Xatti sürat, bucaq sürati" mövzusunun tadrisina 3 saat vaxt ayirmaq yetarlidir. §agirdlara izah-illüstrativ va reproduktiv metodlardan üstün formada faydalanmaqla qövsün uzunlugu va sektorun sahasi ila bagli informasiya verilir. informasiyanin mazmunu a§agidaki kimi se9ilir.
Radiusu r olan 9evrada m0-li markazi bucaga uygun qövsün uzunlugu düsturu beladir: l = • r( müallin düsturla bagli izah verir). Müallim düsturun formasinin dayi§dirilmasinin mümkünlüyüna §agirdlarin diqqatini yönaldir. O bildirir ki, qövsün uzunlugunu bucagin radian öl9üsündan istifada etmakla daha sada §akilda yazmaq olar. Radianin tarifina göra ~= a oldugundan
qövsün uzunlugu bucagin radian öl9üsü ila radianin hasilina barabardir: l = ar. Qövsün uzunlugu 9evranin radiusu ila düz mütanasibdir [7; s.72].
Müallim §agirdlara bildirir ki, m° — Ii markazi bucaga uygun sektorun sahasi S = ^ • r2(müallim düsturla bagli müzakiraya §agirdlari calb edir) va m° — Ii markazi bucagin
radian öl9üsü oldugunu nazara alaraq ^ kasrini a ila i§ara etsak, uygun sektorun saha düsturu S =
1 ar2 olar.
2
Öyranma tap§iriqlarindan istifada etmakla bu informasiyanin §agirdlar tarafindan manimsanilmasi prosesina davam verilir.
Xatti sürat va bucaq sürati anlayi§lari ila bagli §agirdlara a§agidaki mazmunda informasiya verilir. £evra üzra harakatda, masalan, takarin O nöqtasi atrafinda firlanmasi zamani onun üzarinda götürülmü§ har hansi P nöqtasinin süratini iki cür qiymatlandirmak olar. Bunlardan biri nöqtanin takarin firlanmasi zamani qat etdiyi masafaya göra müayyan edilan süratidir. Bu xatti sürat adlanir. Digari isa dönma bucagina (markazi bucaq) göra olan sürat, yani bucaq sürati adlanir.
Xatti sürat= 3edllan yol( Vx = —) - Cisim 9evra üzra harakat edirsa, xatti sürat gedilan yolun
zaman t T ° J
(uygun 9evra qövsü uzunlugunun) zamana olan nisbatina barabardir. Bucaq sürati =
dönma bucasi, . . . .. . ,
-(m = -) - Cisim 9evra üzra harakat edirsa, bucaq sürati dönma bucaginin zamana olan
zaman t
nisbatina barabardir. Xatti süratla bucaq sürati arasindaki alaqani a§agidaki kimi ifada etmak olar: xatti sürat= r •bucaq sürati : vx = r • m [7; s.73].
Qövsün uzunlugu, sektorun sahasi, xatti sürat, bucaq sürati anlayi§larinin manimsadilmasi i§i §agirdlarin müvafiq tap§iriqlar üzarinda faaliyyatlarinin ta§kil olunmasi ila davam etdirilir.
"Triqonometrik funksiyalar. istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" mövzusunun tadrisina 3 saat vaxt ayirmaq tövsiya olunur [7]. Bu mövzunun tadrisinadak §agirdlar funksiyalarin tarifini triqonometrik iti va kor bucaqlar ü9ün vermayi bilirlar. Burada diqqat koordinat müstavisi üzarinda istanilan nöqtanin koordinatina göra triqonometrik funksiyalarin tarifinin verilmasina yönaldilir. Bu maqsadla §agirdlara ümumi §akilda koordinat müstavisinin müxtalif rüblarinda koordinatlarin i§aralari, qeyd edilmi§ nöqta nümunalari va dönma bucagi ila nümayi§ etdirilir.
§agirdlara bucagin triqonometrik nisbatlarini düzbucaqli ü9bucaqdan istifada edarak yazmagin mümkünlüyü bir daha nümayi§ etdirilir. Onlara aydinla§dirilir ki, istanilan dönma bucagina göra yaranan düzbucaqli ü9bucagin taraflari bütün hallarda dönma bucaginin son tarafi üzarinda götürülmü§ istanilan nöqtanin x va y koordinatlari va koordinat ba§langicindan nöqtaya qadar olan masafa (va ya 9evranin radiusu) ila müayyan edilir.
Bu zaman sözügedan informasiya a§agidaki §akilda taqdim olunur [7; s.76-82]. iti bucagin triqonometrik funksiyanin tarifini vermak ü9ün istanilan a dönma bucaginin son tarafi üzarinda götürülmü§ nöqtanin koordinatlari (x;y)kimi i§ara olunur. Koordinat ba§langicindan har hansi P nöqtasina qadar masafa iki nöqta (O(0;0) va P(x; y)) arasindaki masafa düsturu asasinda
tapilir: r = ^(x — 0)2 + (y — 0)2 = ^x2 + у2 ( r - masafa oldugundan hami§a musbatdir).
V X V
Koordinat sisteminda ozuna yer almi§ u9bucaq uzra yazilir: sina = -; cosa = -; tga = - x ^
0;
X 1 _
ctga = - =-,v ^ 0;
r 1 seca = - =-, x ^ 0;
x cosa
r 1
coseca = - =-, у ^ 0.
у sma
Qeyd: Triqonometrik funksiyalarin qiymatlarinin bucagin tarafi uzarinda hansi noqtanin goturulmasindan asili olmadigi xususi vurgulanir.
ikinci darsda §agirdlara izah olunur ki, triqonometrik funksiyalarin muxtalif rublardaki i§aralari nisbatlara gora muayyan edilir va izah asasinda umumila§ma edilir. Bundan sonra funksiyalarin qiymatlarinin dayi§ma intervallari ara§dirilir. Sarhad bucaqlarinin qiymatlari va muxtalif rublara uygun donma bucaqlarinin triqonometrik funksiyalari muayyan edilir. §agirdlar triqonometrik funksiyalarin qiymatlarinin haqiqi adadlar oldugunu ba§a du§urlar va har birinin dayi§ma intervalini ara§dirirlar. Onlar qanaat hasil edirlar ki, sinus funksiyasinin qiymatlari —1 < sina < 1 kimi dayi§ir. Analoji olaraq kosinus funksiyasinin qiymatlari da —1 < cosa < 1 kimi dayi§ir.Tangens va kotangens funksiyalari istanilan haqiqi qiymati ala bilirlar: —ro < tgx < < ctgx < Sekans va kosekans funksiyalarinin qiymatlari kosinus va sinus funksiyalarinin tarsi olduqlarindan coseca > 1 va ya coseca < —1, seca > 1 va ya seca < —1 qiymatlarini alir.
U9uncu ma§galada §agirdlarin diqqati istanilan bucagin triqonometrik funksiyalarinin iti bucaga gora muayyan edilmasina yonaldilir. Bu prosesda avvalca 300,600 kimi xususi bucaqlarin triqonometrik funksiyalarinin qiymatlarini barabartarafli u9bucaq uzarinda tapilmasinin mumkun oldugu takrar edilir.450-li bucagin triqonometrik funksiyalarinin isa barabaryanli duzbucaqli u9bucaqdan tapilmasinin alveri§liliyina nazar yetirilir. Davam olaraq vurgulanir ki, istanilan bucagin triqonometrik funksiyalarini uygun iti bucagin triqonometrik funksiyalarindan istifada etmakla tapmaq olar. Uygun iti bucaq dedikda verilan bucagin son tarafinin x oxu ila ust-usta du§an duz xatla amala gatirdiyi bucaq nazarda tutuldugu §agirdlarin diqqatina 9atdirilir. Vurgulanir ki, elmi manbalarda bu bucaq referens bucaq adlandirilir.
Qeyd: Burada referens bucagin donma bucaginin son tarafinin x oxunu uzarinda saxlayan duz xatla yaratdigi iti bucaq oldugu §agirdlarin nazarina xususi olaraq 9atdirilir.
Referens bucaqlarin tapilmasina aid tap§iriqlarin ham daraca, ham da radianla verilmasi tovsiya olunur. §agirdlar bilmalidirlar ki, manfi bucaqlara uygun iti bucaqlar, son tarafi verilan bucaqla ust-usta du§an musbat bucaga gora tapilir. Masalan, —2100 daraca bucaqla son tarafi ust-usta du§an bucaq —2100 + 3600 = 1200 - dir Uygun iti bucaq 180° — 120° = 600 - dir. —2100 II rub bucagi oldugu u9un bu rubdaki triqonometrik funksiyalarin i§aralari nazara alinir.—450- li bucaqla son tarafi ust-usta du§an bucaq 3150- dir. Bu bucaga uygun iti bucaq isa 3600—3150 = 450
0Л _
1
- dir. Masalan, cos600 = - va II rubda cosinus manfi qiymat aldigi u9un cos(—2400)
Bu darsda ham9inin triqonometrik funksiyalarin qiymatlarinin dovri olaraq dayi§masi izah
edilir.
"Triqonometrik funksiyalar.istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" movzusunun manimsadilmasi maqsadila §agirdlarin muvafiq tap§iriqlar uzarinda faaliyyatlarinin ta§kil olunmasi tabii haldir. Bu zaman i§9i varaqlarindan faydalanmaq maslahatdir.
"Vahid 9evra va istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" movzusunun tadrisina 2 saat vaxt ayirmaq yetarlidir [7]. §agirdlara bildirilir ki, vahid 9evra uzarinda istanilan donma bucagini va uygun iti bucagi(referens bucagi) handasi olaraq tasvir etmak daha asandir va har bir triqonometrik funksiyani haqiqi adadlarla ifada etmak daha sadadir. £unki r = 1 va bucaq radianla olduqda uygun qovsun uzunlugu qiymatca ela bucagin ol9usuna barabar olur. istanilan bucagin triqonometrik funksiyasini qovsun uzunlugundan asili funksiya kimi ifada etmak olar. Vahid 9evra triqonometrik funksiyalarla noqtanin koordinatlari arasinda alaqa yaradir.
Bu informasiyaya dayanaraq §agird nöqtanin koordinatini triqonometrik funksiyalarla ifada etmayin mümkün oldugunu ba§a dûçûr. O anlayir ki, cosa = x, sina = y oldugundan P(x; y) = P(cosa; sina) kimi yazmaq olar. Bu, vahid çevra üzarinda olan istanilan nöqta ûçûn dogrudur.
Vahid çevra üzarinda an çox istifada edilan 300,450,600 bucaqlara uygun nöqtalar qeyd edilir (Bu bucaqlar ham da an çox istifada edilan referens bucaqlardir). §agird har iti bucagin 4 bucaq ûçûn referens bucaq oldugunu (00 < a < 3600 ûçûn) va bu bucaqlar ûçûn referens bucagin koordinatlarinin qiymatlari va uygun rûbda triqonometrik funksiyanin içarasi nazara alinmaqla qeyd edildiyini bilir. Dönmalarin va uygun koordinatlarin vahid çevra ûzarinda qeyd edilmasi §agirda 00 — 3600 intervalinda dayiçan va an çox istifada edilan bucaqlari ayani tasavvûr etmaya, onlarin an bôyûk va an kiçik qiymatlarini görmaya, periodikliyini, tak va cût olmasini mûçahida etmaya imkan yaradir.
Çagird iti bucaga uygun dönmada çevra ûzarindaki nöqtanin koordinatlarini ham dûzbucaqli ûçbucaqdan triqonometrik nisbatlara göra, ham da açagidaki kimi tapa bilar. Çevra ûzarindaki 450-li bucaga uygun nöqtanin koordinatlari x2 + y2 = 1 tanliyini ödamalidir. Hamçinin bu nöqta y = x
л/2
dûz xatti ûzarindadir. y = x yerina yazsaq x2 + x2 = 1 ; 2x2 = 1; x = ± — . Bucaq birinci rûbda yerlaçdiyindan x mûsbat olmalidir. x = — qiymatini nazara alsaq, y =— va- dönmaya uygun
2 2 4
л/2 л/2
nöqtanin koordinatlari (— ; — ) olacaq. Bu nöqtanin simmetrik çevrilmasi ûmumilikda 4 nöqtanin koordinatlarini, ba§qa sözla 4 nöqtanin triqonometrik funksiyalari haqqinda adadi malumatlari mûayyan etmak olar. iti bucagi 300,450,600 olan dûzbucaqli ûçbucaqlardan va onlarin simmetrik çevrilmalarindan istifada etmakla dönma bucaqlarina uygun nöqtalar çevra ûzarinda yerlaçdirilir. Hamçinin taxmini yerlaçdirma va ya verilmiç nöqtalara uygun va —2n va 2n intervalinda olan adadlari taxmini mûayyanetma tapçiriqlari yerina yetirilir.
Çagirdlar istanilan bucagin triqonometrik nisbatininin tapilmasi addimlarini icra etmayi bacarmalidirlar.Bunlar açagidakilardir:
1-ci addim. Verilan bucaqla son tarafi ûst-ûsta dûçan an kiçik mûsbat bucaq mûayyan edilir. -agar bucaq 00 < a < 3600-dirsa, 2-ci addima keçilir.
-agar bucaq a < 00-dirsa, a bucaginin ûzarina bucagin qiymati 00 < a' < 3600 olana qadar 3600 alava edilir.
-agar bucaq a > 3600- dirsa, a bucaginin qiymatindan qiymati 00 < a' < 3600 olana qadar 3600 çixilir.
2-ci addim. 1-ci addimda tapilan bucagin son tarafinin hansi rûbda yerlaçdiyi mûayyan edilir.
3-cû addim. 1-ci addimda tapilan bucaga uygun referens bucaq mûayyan edilir.
4-cû addim. Referens bucaq ûçûn triqonometrik nisbatlar mûayyan edilir.
5-ci addim. 2-ci addima göra triqonometrik funksiyalarin qiymatlarinin içaralari mûayyan edilir.
6-ci addim. 4-cû addimda tapilmiç qiymata va 2-ci addimda mûayyan edilmiç içaraya göra verilan a bucaginin triqonometrik nisbatlari yazilir [3; s.249].
"Triqonometrik funksiyalar. istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" mövzusunun manimsadilmasi maqsadila çagirdlarin mûvafiq tapçiriqlar ûzarinda faaliyyatlarinin taçkil olunmasi tabii haldir. Bu zaman i§çi varaqlarindan faydalanmaq maslahatdir. Tapçiriq nûmunalarina açagida özüna yer alanlari aid etmak olar.
In
1. — — bucaginin triqonometrik funksiyalarinin qiymatlarini vahid çevradan istifada etmakla tapin.
4 3
2. A(--;~) vahid çevra ila ф bucaginin tarafinin kasiçma nöqtasidir. Uygun §akli çakin, ф
bucaginin triqonometrik funksiyalarinin qiymatlarini tapin.
3. a = 300 olarsa, ifadanin qiymatini hesablayin:
a)3sina b)sin3a c)2cosa ç)cos2a
4.Barabarsizlik dogrudurmu?
a) sin450 + cos600 > 1 b)cos^ +sin| > 1
5.Vahid çevra ûzarinda verilan §arti ödayan a dönma bucagina uygun nöqtalari göstarin.
а) sma=i ; b)cosa = -1 ; c)srna = —f.
л/3
6. Vahid 9evradan istifada etmakla [0; araliginda sina = — barabarliyini ödayan dönma
bucaqlarini göstarin va sair [7; s.85].
"£evirma düsturlari" mövzusunun tadrisina 2 saat vaxt ayirmaq yetarlidir. Tadris prosesina §agirdlarin praktik i§a calb olunmasi ila ba§lamaq maslahat bilinir. Praktik i£.1)Radiusu 5 olan 9evra üzarinda P(3; 4) nöqtasini qeyd edin.
2)x oxuna göra aksetmada P nöqtasinin 9evrildiyi P' nöqtasinin koordinatlarini göstarin.
3)P' nöqtasi у oxuna göra aksetmada hansi nöqtaya 9evrilar?
4) P va P'' nöqtalarinin koordinatlarini müqayisa edin.
5) P" va P nöqtalari koordinat ba§langicina göra simmetrikdirlarmi?
б) P nöqtasi a dönma bucagina uygundursa, P' va P'' nöqtalari hansi dönma bucaqlarina uygundurlar?
Praktik i§i yekunla§dirmaqla müallim §agirdlarin diqqatini har hansi bir nöqtanin koordinatlarinin x oxuna va у oxuna nazaran aksetmasina yönaldir. §agirdlar anlayirlar ki, у oxuna nazaran aksetma x oxuna nazaran aksetmanin 1800 dönmasi ila üst-üsta dü§ür. x oxuna aksetma zamani yalniz у koordinatinin i§arasi dayi§ir. Buradan §agirdlar bela qanaat hasil eda bilirlar ki, kosinus x koordinantindan asili oldugundan dayi§mir, sinus isa i§arasini dayi§ir. Belalikla, a va —a bucaqlarinin triqonometrik funksiyalari arasinda alaqa a§agidaki kimi olur: sin(—a) = —sina; cos(—a) = cosa; tg(—a) = — tga; ctg(—a) = — ctga. Yani, sinus, tangens, kotangens funksiyalari tak, kosinus isa cüt funksiyadir [7; 86].
§agirdlarin diqqati tadris prosesinin davaminda iti bucagi a olan düzbucaqli ü9bucaqda a va 900 — a iti bucaqlari ü9ün triqonometrik nisbatlara yönaldilir: sina = -sin(90° — a) = - ; cosa = ;cos(90° — a) = y- ; t^a = ^(90° — a) = f ; ct^a = ^ctg(90° — a) = y- *
Barabarliklarin tutu§durulmasindan aydin olur ki, sin(90° — a) = cosa cos(90° — a) = sina ; tg(90° — a) = ctg(90° — a) =
§agirdlara taklif olunur ki, indi verilmi§ a dönma bucaginin son tarafini daha 90° döndarak. Bu zaman onun üzarinda olan P(x;y) nöqtasi P'(—y;x) nöqtasina 9evrilir.Triqonometrik funksiyalarin tarifina göra:
sin (a + 90°)= f = cosa; cos (a + 90°)= — = —srna; tg (a + 90°)= — i = —
ctg (a + 90°)= — - = — tga. Bu düsturlar bela olur: sin (a + 90°)= cosa; cos (a + 90°)=
—sina; tg (a + 90°)= — ctga; ctg (a + 90° )= — tga.
Analoji mühakimalarla digar düsturlari §agirdlar müayyan edirlar va bu onlar ü9ün 9atinlik töratmir.
£ali§maq lazimdir ki, §agirdlar 9evirma düsturlari ü9ün a§agidaki qanunauygunluqlari da tapa bilsinlar:
1.Arqument 90° ± a va ya 270° ± a §aklindadirsa, onda bu arqumentin triqonometrik funksiyasi a arqumentinin "qo§ma" triqonometrik funksiyasina 9evrilir (yani sinus kosinusa, tangens kotangensa va tarsina).
2.3gar arqument 180° ± a va ya 360° ± a olarsa, bu arqumentin triqonometrik funksiyasi a arqumentinin eyni adli funksiyasina 9evrilir [7;s.88].
Har iki halda alinan funksiyanin i§arasi a bucagini iti bucaq qabul etmakla 9evrilan funksiyanin verilan rübdaki i§arasi ila eyni olur.
"£evirma düsturlari" mövzusunun manimsadilmasi maqsadila §agirdlarin müvafiq tap§iriqlar üzarinda faaliyyatlarinin ta§kil olunmasi tabii haldir. Bu zaman i§9i varaqlarindan faydalanmaq maslahatdir. Tap§iriq nümunalarina a§agida özüna yer alanlari aid etmak olar: l.Son tarafi a = 32° - li bucagin son tarafinin: a) x oxuna nazaran; b)y oxuna nazaran; c)koordinat ba§langicina nazaran aksetmasi ila alinan an ki9ik müsbat bucagi tapin.
2.Eyni tap§iriqlari a = 220° ü9ün da yerina yetirin.
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
3.sin(900 + a) = cosa eyniliyinin dogrulugunu a bucaginin II rübda yerla§diyi hal ü9ün isbat edin.
4.[00; 3600] araliginda sinusu verilmi§ adada barabar olan bütün bucaqlari tapin.
. 1 . Л . sina = - sina = —sina = — 222
5.ifadani sadala§dirin: a)^^ ; b)t#400 • ctg500 ; c)sin720 — cos18°[7; s.88-89]
"Triqonometrik eyniliklar" mövzusunun tadrisina 2 saat vaxt ayrilir [8]. Mövzunun tadrisi prosesina §agirdlari a§agidaki kimi praktik faaliyyata qo§maqla ba§lamaq tövsiya olunur. Praktik i§. Düzbucaqli ü9bucaqda a iti bucagi ü9ün cos2a + sin2a = 1 oldugunu a§agidaki addimlarla göstarin.
1.Pifaqor teoremini yazin a2 + b2 = c2;
q2 ^2 Q2
2.Barabarliyin har iki tarafini c2 — na bölün: — + — = — ;
222
3.Qüvvatin xassalarini tatbiq edin: + (j) = (j) ;
QU 9 9
4. - = cosa, - = sina oldugunu nazara alin: cos2a + sin2a = 1 [7; s.90].
Tap§iriga yekun olaraq müallim bildirir ki, istanilan a bucagi ü9ün: cos2a + sin2a = 1 eyniliyinin dogrulugunu vahid 9evra üzarinda götürülmü§ nöqtalarin koordinatlarina göra izah etmak olar. §agirdlarin diqqatina 9atdirilir ki, x va у koordinatlarinin triqonometrik funksiyalarla avaz edilmasi ila cos а Ф 0 §artini ödayan istanilan a bucagi ü9ün
tga = =,sin а Ф 0 §artini ödayan istanilan a bucagi ü9ün ctga = ^r^- dir. Bu barabarliklardan
alinir ki, eyni zamanda cos а Ф 0 va sin а Ф 0 §artini ödayan a bucaqlari ü9ün tga • ctga = 1 eyniliyi dogrudur.ögar cos2a + sin2a = 1 barabarliyinin har iki tarafini cos2a-ya bölsak alariq:
+1=
yani, 1 + tg2a =
cos2a + sin2a = 1 barabarliyinin har iki tarafini sin2a - ya bölsak alariq:
+1=
yani, 1 + ctg2 a =
[7; s.91].
Müallim vurgulayir ki, bu barabarliklara asas triqonometrik eyniliklar deyilir. ösas triqonometrik eyniliklarin kömayi ila verilmi§ triqonometrik ifadani sadala§dirmak va triqonometrik funksiyalarin birinin verilmi§ qiymatina göra digarlarinin qiymatlarini hesablamaq olar.
"Triqonometrik eyniliklar" mövzusunun manimsadilmasi maqsadila §agirdlarin müvafiq tap§iriqlar üzarinda faaliyyatlarinin ta§kil olunmasi tabii haldir. Bu zaman i§9i varaqlarindan faydalanmaq maslahatdir. Öyranma tap§iriq nümunalarina a§agida özüna yer alanlari aid etmak olar.
1.Sadala§dirin: a)tga • ctga — cos2a b)cos4a+cos2a • sin2a + sin2a.
ft
2. sina = 0,6, 0 < a <- olarsa, cosa va tga-ni tapin.
3. tga = 2 olarsa, verilmi§ ifadanin qiymatini tapin:
sina+3cosa
cosa
4.Eyniliklari isbat edin:
l-(sinx-cosx)2
= 2COSX.
5.isbat edin ki, ß-nin mümkün qiymatlarinda ifadanin qiymati ß-dan asili deyil. a)(sinß + cosß)2 + (sinß — cosß)2; a)(tgß + ctgß)2 — (tgß — ctgß)2. [9]
'Toplama düsturlari" mövzusunun tadrisina 3 saat vaxt ayirmaq maslahatdir. Mövzunun tadrisi prosesinda avvalca cos(a — ß) = cosacosß + sinasinß eyniliyi isbat edilir. Müallimin rahbarliyi ila §agirdlarin faal i§tiraki §araitinda isbat a§agidaki addimlar üzra icra olunur:
1.Vahid 9evra üzarinda a bucagina uygun nöqtanin koordinatlari P1(cosa; sina) kimi qeyd edilir.
2.Vahid 9evra üzarinda son tarafi a bucagi ila a — ß bucagi amala gatiran ß bucagi 9akilir. Uygun P2(cosß;sinß) nöqtasi qeyd edilir.
2
1
1
sin" a
2
2
2
cos" a
cos" a
cos" a
2
1
1
cos" a
2
2
2
sin" a
sin" a
sin" a
3. P1 va P2 noqtalari РХР2 par9asi ila birla§dirilir.
4. a — p bucaginin ba§langic tarafi x oxunun üzarina dü§ana qadar, donma bucaginin standart vaziyyatina galana qadar onu saat aqrabinin harakati istiqamatinda dondarir, bucaq yeni vaziyyata gatirilir. Bucagin son va ba§langic tarafinin 9evra üzarindaki noqtalarinin koordinatlari uygun olaraq P3(cos(a — ; sin(a — va P4(1; 0) kimi olacaq. P1 va P2 noqtalari arasindaki masafa, yani PXP2 par9asinin uzunlugu ila P3 va P4 noqtalari arasindaki masafa, yani P3P4 par9asinin uzunlugu barabardir. PXP2 = P3P4. iki noqta arasindaki masafa düsturuna asasan yazilir:
РХР2 = ^(cosa — cos^)2 + (sina — sin^)2 ;
P3P4 = V(cos(a — 0) — 1)2 + (sin(a — 0) — 0 )2. Barabarliyin xassasina gora
(cosa — cos^)2 + (sina — sin^)2 = (cos(a — — 1)2 + (sin(a — — 0 )2 Müxtasar vurma düsturlarina gora
cos2a — 2cosa • cos^ + cos2^ + sin2a — 2sina • sin^ + sin2^ = cos2(a — — —2cos(a — + 1 + sin2(a —
(cos2a + sin2a) — 2(cosa • cos^ + sina • sin^) + (cos2^ + sin2^) = = cos2(a — ^)+sin2(a — £)-2 cos(a — £) + 1
2 — 2(cosa • cos^ + sina • sin^) = 2 — 2 cos(a — 2(cosa • cos^ + sina • sin^) = 2 cos(a — cos(a — = cosa • cos^ + sina • sin^ .
Digar toplama düsturlarinin isbatinda bu eynilikdan va triqonometrik funksiyalarin xassalarindan istifada olunur. §agirdlari istiqamatlandirmakla sozügedan eyniliklarin isbatini hayata ke9irmak mümkün olur. Hamin toplama düsturlari a§agidakilardir: cos(a + = cosacos^ — stna • sin^ ; sin(a + = stna • cos^ + cosa • sin^
sin(a — = stna • cos^ — cosa • sin ;t^(a + = t9a+t9^ . — =
"Toplama düsturlari" movzusunun manimsadilmasi maqsadila §agirdlarin müvafiq tap§iriqlar üzarinda faaliyyatlarinin ta§kil olunmasi tabii haldir. Bu zaman i§9i varaqlarindan faydalanmaq maslahatdir [7; s.93-94].
"Toplama düsturlarindan alinan naticalar" movzusunun tadrisi ü9ün 3 saat vaxt ayirmaq yetarlidir. Bu movzunun tadrisinda §agirdlar hasili cama 9evirma, ikiqat va yarim arqumentin triqonometrik funksiyalari ila alaqadar düsturlarla tani§ olurlar.
Onlarin diqqatina 9atdirilir ki, hasilin cama 9evrilmasi ü9ün toplama düsturlarindan istifada olunur.
sin(a + = stna • cos^ + cosa • sin^
sin(a — = stn • cos^ — cosa • sin^
eyniliklarini taraf-tarafa toplamaqla
stna • cos^ = -(sin(a + + sin(a — düsturunu,
cos (a — = cosa • cos^ + stna • sin^ . cos(a + = cosa • cos^ — stna • sin^ eyniliklarini taraf-tarafa toplamaqla cosa • cos^ = - (cos(a + — cos(a — düsturunu aliriq.
1
stn a • sin^ = — (cos(a — — cos(a +
düsturunun 9ixarilmasinin müstaqil i§ olaraq §agirdlara taklif edilmasi maslahatdir, hansi ki, onlar analoji yana§mani tatbiq edacaklar.
Bildirilir ki, toplama düsturlari sin2a, cos2a, t^2a ifadalarini a bucaginin triqonometrik funksiyalari ila ifada etmaya imkan verir:
sin2a = sin(a + a) = stna • cosa + cosa • stna = 2sina • cosa cos2a = cos(a + a) = cosa • cosa — stna • stna = cos2a — sin2a ta2a = ta(a + a) = ——— = —
^ y 1—t^at^a 1—t52a
Belalikla, ikiqat bucagin düsturlari adlanan eyniliklar alinmi§ olur: sin2a = 2sina • cosa; cos2a = cos2a — sin2a; tq2a = 2te"
cos2a = cos2a — sin2a = cos2 a — (1 — cos2a) = 2cos2a — 1, cos2a = cos2a — sin2a = 1 — sin2a — sin2a = 1 — 2sin2a
Buradan
T l+cos2a . j l-cos2a 7 l-cos2a
cos2 a =-; sin2a =-; tq2a =-.
2 ' 2 ' a 1+cos2a
§agirdlarin diqqatina 9atdirilir ki, bu düsturlarda a-nin avazina - yazmaqla alariq:
9 a 1+cosa . 9 a 1-cosa , -> a 1-cosa
cos2 - =-; sin2 - =-; tq- =-.
2 2 2 2' a 2 1+cosa
Yarimqat bucaqlar ü9ün triqonometrik eyniliklar :
. a . 1-cosa a , 1+cosa a , 1-cosa
sin - = ± I-; cos - = + I-; tq - = + I-.
2 ~y¡ 2 ' 2 ~y¡ 2 ' a 2 1+cosa
Bu barabarliklarda sag tarafin i§arasi - bucaginin hansi rübda yerla§masindan asili oldugu §agirdlara izahedilir.
Toplama düsturlarindan alinan naticalar üzra §agirdlarda zaruri bacariqlarin formala§dirilmasi sistemla§dirilmi§ tap§iriqlar üzarinda onlarin faaliyyatlari ila realla§dirilir.Triqonometrik ifadalarin sadala§dirilmasi i§ina onlarin calb olunmasi ila bu prosesa davam verilir. Burada i§9i varaqlardan istifada edilmasi maslahat bilinir.
"istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidi üzra summativ qiymatlandirma maqsadila a§agidaki meyari tatbiq etmak tövsiya olunur:
1.Bucagin radian va daraca öl9üsü arasinda qar§iliqli 9evirmalari aparir.
2.Dönma bucaqlarini handasi olaraq tasvir edir.
3. Verilan bucaqla son tarafi üst-üsta dü§an dönma bucaqlarini müayyan edir.
4.Qövsün uzunlugunun va sektorun sahasinin tapilmasina aid masalalari hall edir.
5.Xatti sürat va bucaq süratini qövsün uzunlugunun va dönma bucaginin tapilmasi ila alaqalandirir.
6.Triqonometrik funksiyalar va onlarin tarifini bucagin son tarafi üzarinda yerla§an nöqtanin koordinatlari ila alaqalandirir.
7. Müxtalif rüb dönma bucaqlarinin son tarafi üzarinda olan nöqtanin koordinatlarini düzbucaqli ü9bucaqdan istifada etmakla müayyanla§dirir.
8.Verilan bucagin hansi rüb bucagi oldugunu müayyan edir.
9.Uygun iti bucaqdan istifada edarak istanilan bucagin triqonometrik funksiyalarini müayyan edir.
10.Vahid 9evra üzarindaki nöqtanin koordinatlari ila dönma bucaginin triqonometrik funksiyalarinin qiymatlari arasinda alaqa yaradir.
11.Vahid 9evra üzarinda I rüb bucaqlarindan - iti bucaqlardan istifada etmakla istanilan bucagin triqonometrik funksiyalarinin qiymatini tapir.
12.9sas triqonometrik eyniliklari triqonometrik ifadalarin sadala§dirilmasina tatbiq edir. 13.Toplama düsturlarini tatbiq edir.
14.iki bucagin triqonometrik funksiyalarinin camini hasila 9evirma düsturlarini tatbiq edir. 15.Yarimbucaq va ikiqat bucagin düsturlarini tatbiq edir [8].
Natica. 1) Tadris müassisalarinda hayata ke9irilan pedaqoji proseslarda §agirdlarin maqsadauygun bacariqlarinin formala§masinda tap§iriqlar §artlandirici funksiyaya malikdir.Odur ki, "istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidinda ahata olunan mövzularin tadrisi prosesinda §agirdlarin gözlanilan naticalarin asasinda duran fellarin subyektina 9evrilmalari ü9ün tap§iriq növlarinin se9ilmasi va tatbiqi diqqat markazinda saxlanilmalidir;
2) Ümumtahsil maktablarinda qar§ida duran ba§lica vazifalardan biri yaradici §axsiyyatlarin formala§dirilmasidir. Bu vacib vazifanin realla§dirilmasi hafiza, tafakkür va nitqin vahidin taraflari kimi inki§afda olmasi zaruridir. Odur ki, "istanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidi üzra materiallarin tadrisi prosesinda zaruri terminlarin §agirdlarin aktiv riyazi lügat ehtiyatinin mazmununa daxil edilmasi mühüm didaktik talab kimi qabul olunmalidir;
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
3) "ístanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidi üzra materiallarin tadrisinda alava resurs olaraq virtual vasitalardan (kursun tadrisi ^ün ahamiyyatli linklardan) va müxtalif i§çi varaqlarindan faydalanmaq maslahatdir;
4) "ístanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" tadris vahidi üzra materiallar "Cabr va funksiyalar" mazmun xattina aiddir. Bu mazmun xatti ümumi riyazi tahsilin asas hissasidir, altsistemidir, hansi ki, sözügedan altsistem digar dörd mazmun xatti ila dialektik vahdatdadir."ístanilan bucagin triqonometrik funksiyalari" üzra materiallar hissa (va ya element-prinsip etibari ila istanilan sistem özündan daha yüksak, daha mürakkab tamliga malik olan digar sistema element, hissa va ya altsistem kimi daxil olur) oldugundan real pedaqoji prosesda bunlarin ham tamla (Riyaziyyat fanninin bütövlükda ahata etdiyi mazmunla), ham da har bir mazmun xattina aid edilan hissalarin (digar dörd mazmun xattinin alt sistemlarinin) elementlari arasinda dialektik vahdat ("sistem-struktur" yanaçma - "tam-hissa" münasibatlari) gözlanilmalidir; Unudulmamalidir ki, sistemin mahiyyati onun strukturu ila funksiyasi, yani elementlarin va onlarin davraniç alaqalarinin xarakterila, obyektin çaraitla alaqasinin spesifikliyi ila müayyan edilir.Sistemi taçkil edan elementlari, bunlarin qarçiliqli tasirini öyranmadan buradaki davamli, mühüm va zaruri alaqalari ayird etmak mümkün olmur. Elementlarin bela davamli, mühüm, zaruri olan qarçiliqli tasiri mahz sistemin strukturunu saciyyalandirir. Struktur elementlarin alaqalari qanunu, sistemin invarianti kimi çixi§ edir.
5)Tap§iriqlarin seçilmasinda, sistem halina gatirilmasinda "sistem-struktur" dialektikasi ila çartlanan "imkan-harakat-yeni keyfiyyat" paradiqmasinin gözlanilmasi tadris prosesinin samaraliliyina müsbat tasir edir.
1. ölizada Э.Э. Müasir Azarbaycan maktabinin psixoloji problemlari. Baki: Pedaqogika, 2004.
2. Ümumtahsil maktablarinin I-IV siniflari ^ün fann kurikulumlari.Baki: "Tahsil", 2008.
3. íbrahimov F.N.Ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin tadrisi metodikasindan mühaziralar (dars vasaiti). Baki: "Mütarcim", 2019.
4. íbrahimov F.N.Ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin kurikulum modelina asaslanan tadrisi metodikasi (dars vasaiti).Baki: "Mütarcim", 2016.
5. íbrahimov F.N.Orta ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin falsafasi, didaktikasi, hayatakeçirilma texnologiyasi (dars vasaiti). Baki: "Mütarcim", 2018.
6. Íbrahimov F.N., Abdurahmanov V.9., imanova A.B."Funksiyalar " altmazmun xatti üzra standartlarin reallaçdirilma texnologiyasi.Baki: ADPU, 2022
Т. Qahramanova N.M., Karimov M.A., Hüseynov i.H.Riyaziyyat 10 (Ümumtahsil maktabinin 9-cu sinfi üçün "Riyaziyyat" fanni üzra darslik).Baki,"Radius", 2017.
B. Qahramanova N.M.,Karimov M.A., Hüseynov i.H.Riyaziyyat 10 (Müallim ^ün metodik vasait). Baki,"Radius", 2017 .
9. Mardanov M.C.,Yaqubov M.N., Mirzayev S.S., Íbrahimov A.B.,Hüseynov i.H., Karimov M.A.. "Cabr l0"(Darslik).Baki: "Çaçioglu", 2009.
10. Mirzacanzada A.X. ixtisasa giri§(Neft va qaz profilli ali maktablar ^ün dars vasaiti).Baki: Baki Universiteti, l990.
11. Müallim hazirliginin va orta tahsilin yeni perspektivlari (Qarb tahsil sisteminin tacrübasi asasinda). Müallimlar ^ün vasait. Baki:"Adiloglu", 200б.
12. www.mathtutordvd.com/worksheets/prealgebra_voll/a_Pre-Algebra_Voll_Work-sheet_I Real Numbers.pdf
13. http://www.algebra-class.com
14. www. classzone. com
15. http://www.mathwarehouse.com
16. http://www.netplaces.com
ISTIFAD9 OLUNMUÇ 9D9BIYYAT УЭ LINKL9R
