Multivariate Dirichlet problem for polyanalytic functions on the bicircle Текст научной статьи по специальности «Математика»

MATHEMATICS

MULTIVARIATE DIRICHLET PROBLEM FOR POLYANALYTIC

FUNCTIONS ON THE BICIRCLE

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10009

Alexander M. Volodchenkov,

Smolensk Branch of RUE, Smolensk, Russia, Keywords: polyanalytic functions,

alexmw2012@yandex.ru Dirichlet problem elasticity theory■

The article examines one of the boundary value problems of the complex variable theory - the Dirichlet problem for polyanalytic on the bicircle function.

The relevance of the work is first of all connected with the fact that multidimensional problem for polyanalytic functions have not yet been thoroughly studied. In particular, the boundary value problem of the complex variable theory - the Dirichlet problem - has not been analyzed. The solution of the Dirichlet problem for polyanalytic functions will allow to develop a base for building up a major theory of the multivariate boundary problems for polyanalytic functions. Besides, the Dirichlet problem has numerous applications in the theory of the complex potential.

The research work offers a definition to the polyanalytic in the bicircle function. The precise statement of the Dirichlet problem for the polyanalytic in the bicircle function is given. Herewith there has been used the space of functions satisfying the Helder condition. There are three independent Dirichlet problem's statements for polyanalytic functions. In the work the Dirichlet problem corresponds to the first major problem for polyharmonic functions or the first major problem of the elasticity theory for isotropic bodies. Thus stated the Dirichlet problem for polyanalytic in the bicircle functions is being analyzed for the first time.

In the solution of the Dirichlet problem for polyanalytical in the bicircle function there was used the multivariate boundary problem theory for analytical functions, the properties of the Cauchy multivariate integral. In the consequence of the solution, the studied problem reduces to the system of the analytic Dirichlet problems on the corresponding bicircle. The general algorithm for the problem solution is arrived at, the necessary and sufficient conditions of the solvability are defined. It is proved that the number of the necessary and sufficient conditions of solvability is denumerable.

Information about author:

Alexander M. Volodchenkov, Smolensk Branch of RUE, Head of Humanities and Sciences Dep., Candidate of Physics and Mathematics, Smolensk Region, Smolensk, Russia

Для цитирования:

Володченков А.М. Многомерная задача Дирихле для функций полианалитических в бикруге // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №1. С. 44-46.

For citation:

Volodchenkov A.M. (2018). Multivariate Dirichlet problem for polyanalytic functions on the bicircle. T-Comm, vol. 12, no.1, pр. 44-46

T-Comm Том 12. #1-2018

MATHEMATICS

1. Introduction

The Di rich let problem appears to be one of the basic boundary value problems of the theory of the analytic functions and their generalizations.

In the multivariate case the Dirichlet problem for analytic functions was investigated in [4]. In [I], [2] there was offered the full enough study of the Dirichlet problem for the bicircie, The present article examines the multivariate Dirichlet problem on the class of the polyanalytic functions.

Let us state once again that the function F(z), prescribed on the certain domain Dc C , is called polyanalytic of the order n, if it can be represented in the form

Fn{z) = '^zk(pk(z)- CD

k=U

where <pk(z) (k = 0, n - 1) are analytic functions on D, Z=x-iy.

The interest for the polyanalytic functions started due to the works by G V. Kolosov and N.M. Mushelishvili who demonstrated that quite an effective solution of the problems of horizontal elasticity theory can be the the functions of the form

13]

F(z) = tp0(z) + zcf>i(z). (2)

It is evident that the given (unction may be classified as polyanalytic of the second type or bi-analytic functions.

Commentary. In the many works on multivariate complex analysis the function ([>{z,<v), satisfying on DxA the conditions

а-Ф

= 0;

д2Ф д2Ф с2Ф

О

(3)

dzdz dzdeo dzdeo dcodco

is called bi-analytical.

In the present research we take it that the bi-analytic function is the function of the structure (2).

Let us call the function iD(z,co), satisfying the conditions (3), an analytical function of the two complex variables.

Determination 1. The function F{z,co) is called polyanalytic

of the n order if on the bicylindric domain D+xA*of the extended complex space (z,co) it can be represented as

H-t

F(z, co) = £ zk(5k (Dj (z, co) ■ (4)

2. Problem statement.

Let us take the function F(z,co) that is polyanalytic on the bicircie B2 = {(z, ft>) :|z| < l,j<2> < 1} = D" x A+ with the border 7; = {(i,W):|/| = l,|li] = l}.

We assume 2 = x + iy, Co =it + rv

The Dirichlet problem lor the polyanalytical function on the bicircie includes finding the function (4) on the border conditions

dl"']F

Re

„ , _ ,— = C. „At,w),k - 1,.,.,/t. (5)

d"-*;'cdk-]yd"~mud"'-,w

Here Ck m(t,\v),k = 1 ,,.„rr,m = ],...,n are define real-

valued function on T2, satisfying the Helder condition together with its private derivatives up to the order (2n-1) inclusively.

3. Solution.

To avoid cluttered appearance that hamper perception of the solution procedure, we shall only analyze the case of n=2. Thus let us Study the Dirichlet problem for the function

F(z,CO) = <P„(z,CO) + ZCOQ^ZiCO). (6)

Then the boundary values (5) are

d2F

Re— = CuU, w)

r,

I m

! m

дх du

d2F

cxdv 52F

Re

дуди d2F

dydv

= C]2(t,w)

= C2] (t, w)

= C:2(r,w)

(7)

Note that in the case of one variable the boundary conditions (4) transgress to the mathematical model of the first basic problem of the horizontal elasticity theory which in its turn is the Dirichlet problem for bi-analytical functions [3], [5], [6]. Use the correlations

JL = A + JL

dx dz dz'

UU-i

dy \dz dz

(8)

ди да) дсо '

д_ du д

_= _a___d_

dv dco

Taking into account the formula (6) out of the conditions (7) we obtain

Re («C +1 * + + i K + )rj = Cix & "i

J

M^l-'K.+=

(9)

Use the boundary conditions

- 1 - 1

t —-, w — —

t TV

(10)

Introduce the additional analytic functions of the two variables

fx, = + -- +

z w w z

z w w z

=ф;™ +--К»,--к - Ф>»

Z W № z

z w W z

Rewrite the boundary conditions (9) in the form

(И)

MATHEMATICS

(12)

Re =Cn(t,w), =Ci2(ttw), lm^2l = C2] (/, vv). Re^a =C21(t,w).

The boundary conditions (12) involve the independent Di rich let boundary value problems for bi-analytic functions of the two variables.

Let us solve the problems (12) we arrive at [2] yh„ = -2K(CkJ(zM + 2K(Ch„)(z,0)-

Here

1 i•C,.„l(t,w)dtdw

(13)

(2m)~ • (t-z)(<a-w)

(14)

Ak are certain real invariable.

The conditions for solvability of the problem (12) have the form

Therefore it holds true that:

Theorem 1. The Dirichlet problem for bi-analytic function on the bicircle (7) is equally matched to four Dirichlet problems for analytic functions of the two variables (12). Let us formulate the conclusive result.

Theorem 2. The Dirichlet problem for the polyanalytic function in the bicircle of the n order is equally matched to the system of the 2n Dirichlet boundary value problems for analytic in the bicircle functions.

References

1. Vekua l.N. (1942). Ob odnoj linejnoj gramchnoj zadache Riniana. Trudy TbUisskogo Matem, in-ia, t.l 1, pp. 109-139.

2, Kakicliev V.A. (1973), Zadacha Gil'herta dlja funkcij, golomorfrtyh v bikruge, i nekolorye ee prilozhenija. Tcorija funkcij, funkcional'nyj analiz i ill prilozhenija: Resp. mezhved. temal, nauch. sb. Har'kovskij gosudarstvennyj universitet im. A.M. Gor'kogo. H.: Izd-vo Har'k. un-ta. V. 18. pp. 3-18.

3, Rcdkozubov S.A., Judcnkov A.V., Volodchenkov A.M. (2006), Modelirovanie processa linejnoj defomiacii uprugogo odnorodnogo tela s pomoshh'ju bianalitichcskih funkcij. Vestmk Ctmvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta imeni I.JaJakovleva. № 1 (48), pp. 128-134.

4. Fuks B.A. (1962). Teorija analiticheskih funkcij mnogih kompleksnyh peremermyh. Vvedenie v teoriju analiticheskih funkcij mnogih kompleksnyh peremennyh. Moskva: Fizmatgiz.

5, Judcnkov A.V., Romankov A.V. (2012). Stoliasticheskaja zadaclia Gii'berta dlja bianaliticheskoj funkcii v izotropnoj teorii uprugosti. Gornyj informacionno-analilicheskij bjulletcn', №6, pp. 160-164.

6. Beshenkov S.N., Bereznjak I.S. (2014). Konechno-raznostnvj analiz nestacionarnogo otryvnogo deformirovanija kontaktirujushhih jelementov konstrukcij, Sistemy komp'juternoj matematiki i ih prilozhenija. №15, pp. 120-124.

МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ В БИКРУГЕ

Володченков Александр Михайлович,

Смоленский филиал РЭУ им. Г.В.Плеханова, г. Смоленск, Россия, alexmw20l2@yandex.ru

Аннотация

Рассматривается одна из основных краевых задач теории функций комплексного переменного - задача Дирихле для полианалитической в бик-руге функции. Актуальность работы связана в первую очередь с тем что многомерные краевые задачи для полианалитических функций к настоящему времени недостаточно изучены. В частности, не исследована краевая задача теории функций комплексного переменного задача Дирихле. Решение задачи Дирихле для полианалитических функций позволит разработать базу для построения полноценной теории многомерных краевых задач для полианалитических функций. Кроме того, задача Дирихле имеет многочисленные приложения в теории комплексного потенциала. Дается определение функции полианалитической в бикруге функции. Приводится точная постановка задачи Дирихле для полианалитической функции в бикруге. При этом используется пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера. Известны три независимые постановки задачи Дирихле для полианалитических функций. В данной работе задача Дирихле соответствует первой основной задачи полигармонических функций или первой основной задаче теории упругости для изотропных тел. В такой постановке краевая задача Дирихле для полианалитических в бикруге функций рассматривается впервые. При решении задачи Дирихле для полианалитической в бикруге функции использовалась теория многомерных краевых задач для аналитических функций, свойства многомерного интеграла типа Коши. В результате решения исследуемая задача сводится к системе из аналитических задач Дирихле в соответствующем бикруге. Получен общий алгоритм решения задачи, определены необходимые и достаточные условия разрешимости. Доказано, что число необходимых и достаточных условий разрешимости счётно.

Ключевые слова: полианалитическая функция, задача Дирихле, теория упругости.

Литература

1. Векуа И.Н. Об одной линейной граничной задаче Римана. Труды Тбилисского Матем. ин-та, 1942. Т.11. С. 109-139.

2. Какичев В.А. Задача Гильберта для функций, голоморфных в бикруге, и некоторые ее приложения // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Респ. межвед. темат. науч. сб. / Харьковский государственный университет им. А.М. Горького. Х.: Изд-во Харьк. ун-та, 1973. Вып. 18. С. 3-18.

3. Редкозубое С.А., Юденков А.В., Володченков А.М. Моделирование процесса линейной деформации упругого однородного тела с помощью бианалитических функций // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я.Яковлева. №1(48), 2006. С. 128-134.

4. Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. Москва: Физматгиз, 1962.

5. Юденков А.В., Романков А.В. Стохастическая задача Гильберта для бианалитической функции в изотропной теории упругости. Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал), 2012, №6. С. 160-164.

6. Бешенков С.Н., Березняк И.С. Конечно-разностный анализ нестационарного отрывного деформирования контактирующих элементов конструкций // Системы компьютерной математики и их приложения. 2014. №15. С. 120-124.

Информация об авторе:

Володченков Александр Михайлович, Смоленский филиал РЭУ им. Г.В.Плеханова, заведующий кафедрой естественнонаучных и гуманитарных дисциплин, к.ф.-м.н., г.Смоленск, Россия

T-Comm Том 12. #1-2018

7ТТ