CC BY
14
Прикладные задачи
^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн
УДК 517.9, 621.372
МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ БЕГУЩИХ ВОЛН В АНСАМБЛЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ГЕНЕРАТОРОВ С ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИМИ СВЯЗЯМИ
А. В. Шабунин
Саратовский национальный исследовательский государственный университет Россия, 410012 Саратов, ул. Астраханская, 83 E-mail: shabuninav@info.sgu.ru Поступила в редакцию 27.09.2017, после доработки 14.11.2017
Работа посвящена исследованию мультистабильности бегущих волн в кольце гармонических осцилляторов с линейными нелокальными связями. В ней проводится анализ влияния величины и дальнодействия связей на устойчивость пространственно-периодических режимов с разными значениями длин волн. В качестве модели выбрана система идентичных генераторов ван дер Поля, которые рассматриваются в приближении квазигармонических колебаний. Выбранная модель, с одной стороны, является максимально простой, что открывает возможности для аналитического исследования, с другой стороны, позволяет изучать на своем примере динамику произвольных автоколебательных систем c почти гармоническим поведением. Анализ мультистабильности проводится посредством построения приближенного аналитического решения по методу медленно меняющихся амплитуд, устойчивость которого определяется по стандартной методике расчета собственных значений матрицы линеаризации и в ряде случаев дополняется численными расчетами.
Исследования показали, что число одновременно существующих мод ограничивается величиной фазового сдвига между колебаниями подсистем на длине связи. В отличие от локально связанных осцилляторов максимально допустимая величина фазового сдвига может превышать 0.5п и при большом дальнодействии достигать величины 0.7л;. Каждая из сосуществующих мод рождается из единственного состояния равновесия в начале координат в виде седлового предельного цикла (за исключением синфазного режима) и затем, при увеличении параметра возбуждения, становится устойчивой. Области устойчивости пространственно-периодических режимов представляют собой вложенный набор конусов, когда области более коротковолновых режимов располагаются внутри областей более длинных волн.
Ключевые слова: нелинейные колебания, ансамбли осцилляторов, синхронизация, муль-тистабильность, бегущие волны.
DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-1-48-63
Образец цитирования: Шабунин А.В. Мультистабильность бегущих волн в ансамбле гармонических генераторов с дальнодействующими связями // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26, № 1. C. 48-63. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-148-63
MULTISTABILITY OF TRAVELING WAVES IN AN ENSEMBLE OF HARMONIC OSCILLATORS WITH LONG-RANGE COUPLINGS
A. V. Shabunin
Saratov State University 83, Astrakhanskaya, 410012 Saratov, Russia E-mail: shabuninav@info.sgu.ru
Received 27.09.2017, revised 14.11.2017
The work is devoted to study of multistability of traveling waves in a ring of harmonic oscillators with a linear non-local couplings. It analyses the influence of the strength and radius of the couplings on stability of spatially periodic regimes with different values of their wavelengths. The system under study is an array of identical van der Pol generators in the approximation of quasi-harmonic oscillations. On the one hand, the chosen model is a very simple one, that allows analytical studies; on the other hand, it applicable to a wide range of oscillatory systems with almost harmonic behavior.The research of the multistability is carried out in the way of the constucting analytical solutions by means of the method of slowly-changing amplitudes and then, by the standard methods of the stability analysis of the linearization matrix eigenvalues. In some cases the analitycal solution are supported by numerical calculations.
The study has shown that the number of simultaneously coexisting regimes is bounded by the value of the phase shift between oscillations of the subsystems on the length of the links. In the contrary of the locally coupled oscillators, here the maximum value of the phase shift may exceed the value of 0.5n and can reach a value of 0.7n. The every coexisting wave is born from the equilibrium in the origin as a saddle limit cycle (excluding the in-phase oscillating mode), which then becomes stable further on the parameter. Regions of stability of spatially periodic regimes represent a set of cones, where regions of shorter wave locate inside of the regions with much longer ones.
Key words: nonlinear oscillations, ensembles of oscillators, synchronization, multistability, traveling waves.
DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-1-48-63
References: Shabunin A.V. Multistability of traveling waves in an ensemble of harmonic oscillators with long-range couplings. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2018, vol. 26, iss. 1, pp. 48-63. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-1-48-63
Введение
Колебательные и волновые процессы, наблюдаемые в системах, состоящих из большого числа взаимодействующих осцилляторов, интересуют специалистов в различных областях математики, физики, химии, биологии и других наук, поскольку позволяют проследить, как объединение простых систем приводит к новым эффектам, не наблюдающимся в подсистемах, взятых по-отдельности. Одним из наиболее фундаментальных явлений в таких системах является синхронизация колебаний [1-3]. Синхронизация в ансамблях осцилляторов - одна из традиционных областей исследований для нелинейной динамики. Первые работы по изучению синхронизации в ансамблях рассматривали задачу частотной синхронизации в цепочке осцилляторов с гармоническим поведением [4-7]. В работе [6] было обращено внимание, что в подобных системах возможны режимы с разными фазовыми сдвигами между осцилляторами - то есть сосуществуют разные пространственные моды, названные позднее режимами бегущих волн. В дальнейшем режимы бегущих волн
наблюдались и были исследованы как для ансамблей с периодическими колебаниями [8,9], так и для ансамблей с хаотической динамикой [10-12]. Детальное описание динамики пространственно однородных и неоднородных волн, возникновение пространственно разупорядоченных колебательных режимов и особенности переходов между режимами с разными длинами волн для ансамбля автогенераторов с жестким возбуждением можно найти в работе [13].
Общие закономерности режимов бегущих волн удобно исследовать на самых простых моделях, например, в ансамбле фазовых осцилляторов [14] или в осцилляторах ван дер Поля. Устойчивость различных сосуществующих режимов в цепочках фазовых осцилляторов с локальными связями исследовалась в работах [15,16]. Динамике ансамблей осцилляторов с глобальными связями посвящены статьи [17,18] и множество последующих работ. В настоящем исследовании рассматривается промежуточный случай - кольцо осцилляторов с нелокальными связями. В работе [19] получены аналитические выражения собственных чисел матрицы линеаризации в окрестности стационарного решения для таких систем. В работе [20] определены достаточные условия устойчивости режимов бегущих волн в ансамбле фазовых осцилляторов в зависимости от величины дальнодействия связей в том случае, когда их интенсивности являются монотонно невозрастающими с расстоянием (то есть либо остаются постоянными, либо монотонно убывают). Однако детальный анализ зависимости числа сосуществующих режимов от параметров, последовательность их появления и закономерности расположения их зон устойчивости на плоскости управляющих параметров проведен не был. Данные вопросы и оказались в центре внимания настоящего исследования.
1. Бегущие волны в ансамблях с дальнодействующими связями
Рассмотрим ансамбль из N одинаковых автогенераторов в виде замкнутой в кольцо цепочки, где между отдельными осцилляторами существуют взаимные линейные связи, действующие на интервале в Ь позиций (см. структуру связей ансамбля на рис. 1):
Здесь х - М-вектор динамических переменных; Г - М-мерная вектор-функция, определяющая уравнения одиночного генератора; с - матрица связности М хМ, определяющая, по каким переменным осуществляется связь между осцилляторами; у>0 - параметр силы связей; нижний индекс задает положение (номер) осциллятора в ансамбле. В силу периодических граничных условий все математические операции с индексами осцилляторов осуществляются по модулю N, и дальность связей Ь не может превышать N/2. В частном случае, при Ь=1 получаем кольцо из локально связанных автогенераторов, при Ь=N/2 - полносвязную сеть. В настоящем исследовании будем рассматривать, как меняются свойства системы при переходе между этими граничными случаями.
ь
(1)
г = 1 + N.
Предположим, что колебания в системе (1) являются периодическими, то есть + Т) = Хг(Ь) для всех г. В силу трансляционной симметрии уравнений системы (1), в ней существуют решения в виде бегущих вдоль кольца волн:
X,
(к).
(г) = х[к)(г — (г — 1)Дг(к)). Здесь Дг(к) - интервал задержки между колебаниями в соседних элементах ансамбля, который в силу периодических граничных условий может принимать лишь конечное число эквидистантных значений
At(k) =
N '
Дф(к) = 2п
At(k) T
k
= 2п n
(2)
где к = 0, ±1,..., ±N/2 - целочисленный индекс волны. Нормировав на период колебаний, перейдем к фазовому сдвигу между колебаниями подсистем
Рис. 1. Структура связей системы (1) Fig. 1. The structure of network (1)
(3)
Мода с нулевым индексом (к = 0) -режим синфазных колебаний. Волны с положительными индексами распространяются в сторону возрастания порядковых номеров осцилляторов, волны с отрицательными индексами - в противоположном направлении. Поскольку по всем остальным характеристикам «правые» и
1.0
0.5 0
-0.5 -1.0
. • к=0 -к=1 * к =2 *к=3
/ L. А. Д \ С \ * t « •* .» * ff
— '■. '■ .' • '. я ■ ;
. i ♦ А « à 'к Я » À
\ *. ы : / \ я
\ ♦ /у ♦ я 1 * »
4 i "я / * i \ • * / é
- \ \ Î \ у \ ♦
\ V/ ■ 'м \ *. ♦ ' * V \ \ : ' . ï *
..... i , 1 Г , 1
10
15 20
25
Рис. 2. Пространственные профили бегущих волн с разным к в кольце из тридцати гармонических осцилляторов
Fig. 2. Spatial profiles of traveling waves with different к in a ring of 30 harmonic oscillators
«левые» волны совершенно одинаковы, в дальнейшем будем рассматривать только неотрицательные значения к. В случае гармонических колебаний получим гармонические автоволны, вращающиеся вдоль кольца с фазовой скоростью V = —2^пk/N и характеризуемые пространственным периодом (длиной волны) Л(к) = N/k:
x(k)(t) = P(k) cos (t + (i - 1)Дф(к)) -
Мгновенные снимки к-волн, взятые в моменты времени, отстоящие на целое число периодов, называют также пространственными профилями бегущих волн. Эти профили для к = 0,1, 2, 3 показаны на рис. 2.
2. Ансамбль осцилляторов ван дер Поля
Выберем в качестве парциального элемента ансамбля генератор ван дер Поля
х — (е — х2) х + х = 0, который представляет собой классическую автоколебательную систему, демонстри-
рующую при £ = 0 бифуркацию Андронова-Хопфа. Ансамбль из N генераторов с линейными нелокальными (дальнодействующими) связями описывается системой уравнений
Xi - (е - x2) xi + Xi = L ^ (xi+i - xi), (4)
l=-L
i = 1, 2, 3, ...,N.
Она соответствует уравнениям (1) при x = [x, x], f = [1, (е — x2) x-x] и с =
00 0 1
Систему уравнений (4) можно решить аналитически при квазигармоническом при ближении.
Стационарные решения для комплексных амплитуд. Предположим, что колебания в каждом генераторе близки к гармоническим, и определим для этого случая приблизительный вид решения в виде гармонического колебания с «медленной» амплитудой
X = 2 К(Ь) еХР + а*(1) ехР (-#)] >
где а?(Ь) - медленная по сравнению с ехр (^'Ь) комплекснозначная функция времени. Посредством стандартных преобразований получим уравнения для комплексных амплитуд ai
^ = а? -1аР) +2к £ (а+1 - а^ • (5)
Будем искать стационарные решения системы (5) в виде бегущих волн а(к = Рк ехр {р(г — 1)Аф(к)). Подставив а(к в (5) и приравняв нулю правые части, найдем значения стационарных вещественных амплитуд
р(к) = 2у/е - 2у (1 - х(к)) , (6)
где х(к) = (1/L)Y^L=i cos(2nkl/N). Нетрудно заметить, что у^ L=1 cos(2nkl/N) совпадает по форме с дискретным преобразованием Фурье от N-вектора связей с компонентами
(у, 0 <l < L, Yi = [
[0, l > L.
Используя известное выражение для спектра прямоугольного сигнала, получаем
X<k> =2l ((2L + 1) sine (я ML^) - 1). (7)
Для длинных цепочек (N ^ 1) выражение (7) упрощается: x(k) ~ sine (2nkL/N) = = sine (Ф(к)), где Ф(к) = LAф(k) - суммарный набег фазы на длине связей. Последнее тем лучше оценивает точное значение (6), чем длиннее ансамбль. Например, для
5 15 25 35 45 L » 0 100 200 300 400 L
Рис. 3. Графики функций %(k)(L) для ансамблей из ста (a) и тысячи (b) осцилляторов: точные значения (7) отмечены сплошными линиями lk, аппроксимированные - штриховыми lk (k соответствует индексу кривой)
Fig. 3. Function graphs (L) for ensembles of 100 (a) and 1000 (b) oscillators: exact values (7) are marked by solid lines lk, the approximated values are plotted by dashed lines lk (k corresponds to the index of the curve)
N = 100 наблюдается совпадение с точностью до нескольких процентов вплоть до k = 10 (рис. 3, a), а для N = 1000 они практически перестают различаться (рис. 3, b).
Таким образом, для практического анализа упрощенное выражение может служить оценкой для расчета амплитуды k-волны. Подставляя эту аппроксимацию в формулу (6), получаем приближенное значение амплитуды k-волны:
p(k) ~ 2у/е — 2у (1 - sinc (ф№)). (8)
3. Бифуркации рождения бегущих волн
Рассмотрим процесс «рождения» режимов бегущих волн в ансамбле (4) при увеличении параметра е и фиксированном у > 0. Появление новой k-моды происходит при значениях параметров, соответствующих прохождению амплитуды p(k) через ноль. Введя эффективный параметр возбуждения для k-й волны e(k = = е — 2у (1 — sinc (Ф(й))), можно привести (6) к виду
p(k) = 2\Ге(9)
совпадающему по форме с зависимостью амплитуды от параметра возбуждения в отдельно взятом генераторе ван дер Поля. Соответственно, подобно отдельному генератору, условие e(k = 0 задает линию «рождения» предельного цикла:
е ~ 2у (1 — sinc (Vfc))) . (10)
При этом, в силу монотонной зависимости функции sinc(a) от угла a при 0 < a < п, последовательность появления новых волн вплоть до 0.5(L/N) совпадает с последовательностью их индексов: 0,1, 2,.... Сначала, при е = 0 из состояния равновесия (0, 0) рождается режим синфазных колебаний с k = 0. При этом состояние
равновесия теряет устойчивость и «передает устойчивость» вновь родившемуся синфазному циклу1. Затем, по мере увеличения е, при е = е(к^ происходят аналогичные бифуркации, сопровождающиеся появлением циклов с индексами к = 1, 2, .... Поскольку состояние равновесия в начале координат к моменту бифуркации стало седлом, несинфазные режимы при рождении являются седловыми. Таким образом, из всех бифуркационных линий, задаваемых условием (10), лишь самая нижняя (е = 0) соответствует наблюдаемому в эксперименте «мягкому» возбуждению колебаний посредством бифуркации Андронова-Хопфа. Все остальные бифуркационные линии рождения к-волн «невидимы» в эксперименте. Тем не менее, рожденные на них несинфазные колебательные режимы в дальнейшем могут приобрести устойчивость и при соответствующем выборе начальных условий стать наблюдаемыми. Отметим, что порядок появления режимов полностью повторяет таковой для локально связанных осцилляторов (см. например [9]).
4. Условия устойчивости бегущих волн
Для определения условий устойчивости найденных решений сделаем в (5) замену сц = рг ехр (] фг) и перейдем к вещественным амплитудам и фазам
з ъ
Рг = 2Рг " ^ + 2ь ^ (Рг+1 СОЙ(фг+г - Фг) - рг) , (11)
г=-ь
ъ
фг = 2ТТ Е ~ й1п(фг+г - фг). (12)
2Ь 1=_ ъ рг
Фазовая устойчивость. Рассмотрим сначала устойчивость второго (фазового) уравнения, считая все вещественные амплитуды одинаковыми:
L
у
ф = 21 ^ S[n(^i+l — ф^ (13) l=-L
Отметим, что в него не входит параметр возбуждения е, а коэффициент связи определяет общий масштабный множитель, влияя на устойчивость решения лишь своим знаком. Якобиан системы (13) Jfo) в окрестности решения ф» = (i — 1)Аф(к) представляет собой N х N правоциркулярную матрицу, первая строка которой
— EL=-L cos (1Аф(к)) , cos (Аф(к)) , ..., cos ( ЬАф(к)) , 0,...
повторяется в последующих строках, циклически смещаясь на одну позицию вправо. Для правоциркулярных матриц собственные значения получаются как дискретное
1 Очевидно, что о цикле можно говорить лишь применительно к исходной «полномасштабной» системе, в укороченной системе происходит рождение нового состояния равновесия.
т(ф) = Y Jl = 2L
преобразование Фурье от вектора-строки коэффициентов матрицы:
L
cos
1=1
n = 0,...,N - 1.
= I
¿cos ((Д<р<») (cos (2-N) - l) , (14)
Проанализируем полученные собственные числа. Очевидно, что Хо = 0, что отражает инвариантность решения системы (12) относительно выбора общей начальной фазы для всех осцилляторов и характеризует, таким образом, нейтральную устойчивость к одновременному сдвигу всех фаз на одну и ту же константу. Для устойчивости по другим направлениям необходимо, чтобы все остальные Хпк были отрицательными. Это условие гарантированно выполняется, если cos (1Дф(к)) > 0 для всех ¡£1+Ь, то есть когда суммарный набег фазы на длине связей не превосходит л/2:
2
(15)
Данное условие было получено в работах Г. Эрментроута с соавторами [20] как достаточное условие устойчивости бегущих волн в линейной цепочке фазовых осцилляторов. Для ансамбля с локальными связями оно, как видно из формулы (14), является также и необходимым условием, то есть определяет границу между устойчивыми и неустойчивыми модами. Будет ли условие Эрментроута также необходимым условием и для ансамбля (4) с нелокальными связями (при Ь > 1)?
Чтобы ответить на данный вопрос, рассчитаем собственные значения (14) и найдем наибольшее из них. На рис. 4, а построено семейство кривых А,тах (Дф№) в ансамбле из ста осцилляторов для разных Ь (значению Ь соответствует нижний индекс в обозначении кривой). При малых углах (Дф ~ 0) максимальное собственное число А,тах всегда отрицательно; затем, при достижении некоторого порогового значения Дф = ф^ максимальное собственное число становится положительным
Ж
max 1.6
1.2
0.8
0.4
0
1 У
- У
- Д
~~ 1 / ho
............ | ■ ........... 1 , 1
//=1000
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 А® , 1 2 4 8 16 32 64 128 L a b
Рис. 4. (а) Графики Хтах(Дф) для разных L (кривые lL) в ансамбле из ста осцилляторов; (b) зависимость kmax(L) и fcmaL(L) для ансамблей из N = 100, N = 1000 осцилляторов; на вкладке построена разность между ними
Fig. 4. (a) Graphics Xmax (Дф) for different L (curves lL) in the ensemble of 100 oscillators; (b) the dependence of kmax (L) and fcimax(L) for ensembles of N = 100, N = 1000 oscillators; the sub-figure depicts the difference between them
и остается таковым вплоть до Дф = п. Таким образом, весь диапазон Дф распадается на две зоны: зона устойчивости (0 < Дф < ф^) и зона неустойчивости (Дф > ф4). Пороговое значение ф^ определяет максимально допустимый индекс волны:
kmax —
ФtN 2п
(16)
Рис. 5. График зависимости максимального набега фазы на длине связей от параметра дальнодействия; нижний индекс обозначает число осцилляторов в ансамбле N
Fig. 5. Graph of maximum phase-shift on the couplings length from the couplings radius; the lower index corresponds to the ensemble size N
а значит - и максимальное число сосуществующих режимов (2ктах +1). В соответствии с критерием Эрментроута:
'17 m яу
N 4L
(17)
Результаты сопоставления (16) и (17) показаны на рис. 4, Ь в двойном логарифмическом масштабе. Как видно из графиков, расчетные значения превышают теорети-
/р)
ческую оценку при Ь > 1. Для большей наглядности разность Дк — ктах ктах построена на рис. 4, Ь на вкладке. Как видно из графика, максимальное расхождение достигается при небольшом дальнодействии при Ь ~ 4, в то время как для крайних значений дальнодействия Дк ~ 0.
Рассчитаем максимальное значение суммарного фазового сдвига на длине связей Фтах в зависимости от Ь и сравним его с полученной в [20] оценкой п/2. Графики Фтах(Ь) для N = 50,100, 200 приведены на рис. 5, где штриховая линия соответствует значению п/2. Как видно из рисунка, условие (15) определяет границу между устойчивыми и неустойчивыми волнами лишь в случае локальной связи. При Ь > 1 фазовые условия устойчивости «смягчаются» и при больших Ь граница устойчивости плавно и монотонно смещается от значения п/2 к значению близкому к 0.7п (показано пунктирной линией). Кроме этого, детальный анализ графиков на рис. 5 показывает, что:
• все кривые Фтах(Ь) монотонно возрастают с ростом Ь от Фтах(1) = п/2 до ФтахДО) ~ 0.7п;
• при малых Ь (Ь < 7) графики Фтах(Ь), для ансамблей разной длины практически совпадают; на этом участке каждая из функций Фтах(ж) хорошо аппроксимируется общей зависимостью п/л/2 (1 — (\/2 — 1)/л/2ж);
• при больших Ь каждая из зависимостей становится почти линейной, угол наклона которой уменьшается с размером ансамбля N)
Ь7
Фтах(Ь) ~ 0.14П + 0.63П.
Полные условия устойчивости. Вернемся теперь к полной системе уравнений (11, 12). Собственные числа для ансамбля гармонических осцилляторов, аналогич-
ного данному, были получены в работе [19]. Для рассматриваемой системы (11, 12) они имеют вид:
= 0, А(к) = _ М
(к) — (б(к) + 2уСга(Дф(к))) + ^(е/к))2 + 4у2 (5га(Дф(к)))2
АпД =-2-'
(к) = — (б(к) + 2уСга(Дф(к))) — у/(е(к))2 + 4у2 (Бп(Дф(к^
К,2 = 2 '
где
Сп = Ь Е сов (гДф(к^ (1 — со^2п
5п = Ь Е (^Дф(к))
1=1 ^ '
п = 1 — 1.
Проанализируем эти значения. Собственные числа А,0к) и Х0к2 отвечают устойчивости к симметричным возмущениям фазы и амплитуды, соответственно. Значение А^ совпадает с полученным ранее собственным числом Ао для фазовых уравнений (см. (14)) и характеризует нейтральную устойчивость к одновременному смещению начальной фазы всех осцилляторов. Собственное число А0к противоположно эффективному параметру возбуждения к-волны и его переход через ноль соответствует бифуркации рождения данного режима (см. условие (9)). Знак оставшихся (2N — 2) собственных чисел определяет устойчивость режима х(к) (¿) по отношению к несимметричным возмущениям. 2 Так как, очевидно, что Апд > Ап,2, для этого достаточно выполнения N — 1) неравенств:
— [е(к) + 2уСп(Дф(к))) (б(к))2 + 4у2 (£п(Дф(к)))2 < 0. (18)
Обратим внимание, что при положительном е(к) неравенство (18) может быть выполнено лишь при условии уСп(Дф(к)) > 0, то есть при выполнении полученных ранее фазовых условий устойчивости (см. (14)). Однако, теперь в дополнение к ним полные условия (18) накладывают ограничение и на значения параметров подсистем:
(к) I — Сп
е( ) > у Шах -
п
/ Сп\
Л Сп г
2На самом деле имеет значение знак первых N/2 собственных чисел в силу симметрии:
— п,г — Ап,г
Расчеты показывают, что максимальное значение величин (БП — СП) /Сп достигаются для п = 1. Тогда, получаем условие устойчивости
£(k) > y©(fc),
(19)
где
©(fc) =
L
(EL=i sin (2nlk/N) sin (2nl/N)) — (cos (2nlk/N) (l- cos (2nl/N}})'
cos (2nlk/N) (l - cos (2nl/N))
(20)
Неравенство (19) - общее условие устойчивости к-волны, полученное при учете уравнений как для фаз, так и для амплитуд. Отметим, что зависимость между коэффициентом возбуждения и параметром связи линейная. Соответственно, на плоскости (е - у) область устойчивости для каждой из к-волн представляет собой конус, ограниченный слева прямой у = 0, а справа прямой е = + 2 (1 — 8те (Ф(й)))) у. Для ансамбля из тридцати элементов эти области построены на рис. 6, где значение к выделено цветом: более темные области соответствуют более коротким волнам. Рис. 6, а повторяет полученные в работе [9] зоны устойчивости для локально связанных осцилляторов; рис. 6, Ъ-й отображают их для случаев нелокальных связей:
Рис. 6. Области устойчивости бегущих волн на плоскости у - е для L = 1 (a), 2 (b), 3 (с) и 5 (d); N = 30
Fig. 6. Regions of stability of traveling waves in the plane у - е for L = 1 (a), 2 (b), 3 (с) and 5 (d); N = 30
l
4 8 12 16 20 24 28 32 L u 4 8 12 16 20 24 28 32 к a b
Рис. 7. Зависимость 0 от L (а) и от к (b) для ансамбля из ста осцилляторов; штриховые вертикальные линии соответствуют критическим значениям к и L, полученным из фазовых условий устойчивости
Fig. 7. Dependence 0 from L (a) and к (b) for the ensemble of 100 oscillators; dashed vertical lines correspond to critical values of к and L obtained from phase conditions of stability
10 20 30 40 50 60 к
Рис. 8. Совместная зависимость 0 от к и L для ансамбля из N = 300 осцилляторов Fig. 8. The joint dependence of 0 from к and L for the ensemble of N = 300 oscillators
Ь = 2, Ь = 3 и Ь = 5, соответственно. Как мы видим, переход от локальной связи к нелокальной не меняет качественно картину расположения зон устойчивости, но изменяет расположение границ областей, стягивая более коротковолновые режимы к оси у = 0, а также уменьшая число сосуществующих мод. В итоге, при Ь > Ьтах все пространственно неоднородные режимы исчезают и в ансамбле остается только режим синфазных колебаний.
Границы зон устойчивости определяются величинами констант 0 из формулы (20). Произведем их расчет в зависимости от параметра дальнодействия Ь и индекса волны к в ансамбле из N = 100 осцилляторов и построим графики функций 0(Ь) (рис. 7, a) и 0(к) (рис. 7, Ь). Как видно из рисунков, в обоих случаях поведение 0 качественно схоже: ее величина монотонно возрастает при увеличении
набега фазы на длине связей, вызванного либо увеличением дальнодействия Ь, либо вследствие перехода к более коротковолновой моде. Рост 0 резко усиливается при подходе к границе, обусловленной фазовыми условиями устойчивости. На рис. 7 эти значения отмечены вертикальными штриховыми линиями. Зависимость коэффициента наклона 0 от обоих параметров к и Ь построена на рис. 8 (оттенкам серого соответствует величина порогового значения 0, ниже которого колебания рассматриваемого типа неустойчивы). Несмотря на качественную схожесть 0(к) и 0(Ь), между ними наблюдаются количественные различия. Соответственно, в отличие от бифуркации рождения к-волн, для которых бифуркационные значения определяются суммарным набегом фазы на цепочке связей, по отношению к бифуркациям, приводящим к устойчивости этих режимов, симметрия по к и Ь не наблюдается.
Выводы
В ходе исследований ансамбля гармонических осцилляторов ван дер Поля с дальнодействующими связями проведен анализ последовательности возникновения мультистабильных состояний и зависимости их устойчивости от управляющих параметров. Методами медленно меняющихся амплитуд, теории устойчивости, а также посредством численных расчетов построены зоны устойчивости для сосуществующих гармонических мод на плоскости параметров «связь - возбуждение». Проанализировано влияние дальнодействия связей на расположение областей устойчивости и число сосуществующих мод.
В кольце связанных автогенераторов сосуществуют режимы бегущих вдоль кольца волн, пространственный период которых целое число раз укладывается вдоль цепочки. Качественные закономерности появления и стабилизации этих режимов совпадают с полученными ранее для ансамбля с локальными связями. Переход к дальнодействующим связям лишь «замедляет» рождение новых волн, уменьшает их амплитуду и сужает их зоны устойчивости, приближая их к оси у = 0. При этом рост дальнодействия связей оказывается качественно эквивалентным переходу с более длинноволнового режима на более коротковолновый.
В работе проведено сопоставление фазовых ограничений на устойчивость муль-тистабильных состояний с известным из литературы пороговым значением, составляющим набег фазы в п/2 на длине связей. Исследование показало, что данное условие действует только для ансамблей с локальными связями. При дальнодейству-ющих связях оно смягчается: чем больше дальнодействие, тем большее значение порога оказывается допустимым.
Результаты получены для ансамблей гармонических осцилляторов, что соответствует поведению реальных автоколебательных систем вблизи точки бифуркации Андронова-Хопфа. Применимость выявленных закономерностей для систем с иным типом поведения в работе не изучалась. Можно предположить, что наличие таких явлений, как неизохронность колебаний, появляющихся при отходе от точки бифуркации, приведет к ограничению областей устойчивости мод «сверху» по параметру возбуждения, а также изменит форму границ по параметру связи. Данные вопросы требуют дальнейшего изучения.
Библиографический список
1. Blekhman I.I., Landa P.S., Rosenblum M.G. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems // Appl. Mech. Rev. 1995. Vol. 11, N1. Pp. 733-752.
2. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом // Радиотехника и электроника. 2002. T. 47, № 2. C. 133-165.
3. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. Москва: Техносфера, 2003.
4. Малафеев В.М., Полякова М.С., Романовский Ю.М. О процессе синхронизации автогенераторов, связанных через проводимость // Известия вузов: Радиофизика. 1970. T. 13, № 6. C. 936-940.
5. Мынбаев Д.К., Шиленков М.И. Взаимная фазовая синхронизация генераторов, соединенных по кольцевой схеме // Радиотехника и электроника. 1981. T. 26, № 2. C. 361-370.
6. Мальцев А.А., Силаев А.М. Режимы работы цепочки автогенераторов с «жесткими» предельными циклами, связанных с помощью реактивных элементов // Известия вузов. Радиофизика. 1979. T. 22, № 7. C. 826-833.
7. Дворников А.А., Уткин Г.М., Чуков А.М. О взаимной синхронизации цепочки резистивно связанных автогенераторов // Известия вузов. Радиофизика. 1984. T. 27, № 11. C. 1388-1393.
8. Ermentrout G.B. The behaviour of rings of coupled oscillators // J. of Math. Biol. 1985. Vol. 23, № 1. Pp. 55-74.
9. Шабунин А.В., Акопов А.А., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Бегущие волны в дискретной ангармонической автоколебательной среде // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13, № 4. C. 37-54.
10. Matias M.A., Guemez J., Perez-Munuzuri V., Marino I.P., Lorenzo M.N., Perez-Villar V. Observation of a fast rotating wave in rings of coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78, № 2. Pp. 219-222.
11. Marino I.P., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Sanchez E., Matias M.A. Interaction of chaotic rotating waves in coupled rings of chaotic cells // Physica D. 2000. Vol. 128. Pp. 224-235.
12. Shabunin A., Astakhov V., Anishchenko V. Developing Chaos on Base of Traveling Waves in a Chain of Coupled Oscillators with Period-Doubling. Synchronization and Hierarchy of Multistability Formation // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2002. Vol. 12, № 8. Pp. 1895-1908.
13. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Velarde M.G. Spatial disorder and waves in a ring chain of bistable oscillators // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6. Pp. 1845-1858.
14. Kuramoto Y Chemical Oscillations Waves and Turbulence. Berlin: Springer, 1984.
15. Ermentrout G.B., Kopell N. Symmetry and phase locking in chains of weakly coupled oscillators // Comm. Pure Appl. Math. 1986. Vol. 49. Pp. 623-660.
16. Ermentrout G.B., Kopell N. Phase transitions and other phenomena in chains of coupled oscillators // SIAM J. of Appl. Math. 1990. Vol. 50. Pp. 1014-1052.
17. Ermentrout G.B. Synchronization in a pool of mutually coupled oscillators with random frequencies // J. of Math. Biol. 1985. Vol. 22. Pp. 1-9.
18. Crawford J.D., Davies K.T.R. Synchronization of globally coupled phase oscillators: singularities and scaling for general couplings // Physica D. 1990. Vol. 125. Pp. 1-46.
19. Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. Синхронизмы в системе циклически слабосвязанных осцилляторов // Динамические системы: Межвузовский сборник научных трудов. Изд-во Нижегородского университета, 1991. C. 84-97.
20. Ren L., Ermentrout G.B. Phase locking in chains of multiple-coupled oscillators // Physica D. 2000. Vol. 143. Pp. 56-73.
21. Astakhov V., Shabunin A., Uhm W., Kim S. Multistability formation and synchronization loss in coupled Hennon maps: Two sides of the single bifurcational mechanism // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 056212.
22. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev E.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems // Chaos, Solitons anf Fractals. 2003. Vol. 15. Pp. 695-711.
References
1. Blekhman I.I., Landa P.S., Rosenblum M.G. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems. Appl. Mech. Rev, 1995, Vol. 11, part 1, pp. 733-752.
2. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Synchronization of self-oscillations and noise-induced oscillations. Journal of Communications Technology and Electronics, 2002, vol. 47, no.2, pp. 117-148.
3. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2003.
4. Malafeev V.M., Polyakova M.S., Romanovsky Yu.M. Izvestya VUZ. Radiofizika, 1970, vol. 13, no.6, pp. 936-940 (in Russian).
5. Mynbaev D.K., Shilenkov M.I. Radiotekhnika i elektronika, 1981, vol. 26, no. 2, pp. 361-370 (in Russian).
6. Maltzev A.A., Silaev A.M. Izvestya VUZ, Radiofizika, 1979, vol. 22, no.7, pp. 826833 (in Russian).
7. Dvornikov A.A., Utkin G.M., Chukov A.M. Izvestya VUZ, Radiofizika, 1984, vol. 27, no.11, pp. 1388-1393 (in Russian).
8. Ermentrout G.B. The behaviour of rings of coupled oscillators. J. of Math. Biol, 1985, vol. 23, pp. 55-74.
9. Shabunin A.V., Akopov A.A., Astakhov V.V., Vadivasova T.E. Izvestya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2005, vol. 13, iss. 4, pp. 37-54 (in Russian).
10. Matias M.A., Guemez J., Perez-Munuzuri V., Marino I.P., Lorenzo M.N., Perez-Villar V. Observation of a fast rotating wave in rings of coupled chaotic oscillators. Phys. Rev. Lett., 1997, vol. 78, no. 2, pp. 219-222.
11. Marino I.P., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Sanchez E., Matias M.A. Interaction of chaotic rotating waves in coupled rings of chaotic cells. Physica D, 2000, vol. 128, pp. 224-235.
12. Shabunin A., Astakhov V., Anishchenko V. Developing chaos on base of traveling waves in a chain of coupled oscillators with period-doubling: Synchronization and hierarchy of multistability formation. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2002, vol. 12, no. 8. pp. 1895-1908.
13. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Velarde M.G. Spatial disorder and waves in a ring chain of bistable oscillators. Int. J. Bifurcation and Chaos, 1996, vol. 6, pp. 18451858.
14. Kuramoto Y. Chemical Oscillations Waves and Turbulence. Berlin: Springer, 1984.
15. Ermentrout G.B., Kopell N. Symmetry and phase locking in chains of weakly coupled oscillators. Comm. Pure Appl. Math., 1986, vol. 49, pp. 623-660.
16. Ermentrout G.B., Kopell N. Phase transitions and other phenomena in chains of coupled oscillators. SIAM J. of Appl. Math., 1990, vol. 50, pp. 1014-1052.
17. Ermentrout G.B. Synchronization in a pool of mutually coupled oscillators with random frequencies. J. of Math. Biol., 1985, vol. 22, pp. 1-9.
18. Crawford J.D., Davies K.T.R. Synchronization of globally coupled phase oscillators: singularities and scaling for general couplings. Physica D, 1990, vol. 125, pp. 1-46.
19. Gurtovnik A.S., Neimark Yu.I. Dinamicheskie Sistemy: Mezhvuzovskii sbornik nauchnyh trudov, 1991, pp. 84-97 (in Russian).
20. Ren L., Ermentrout G.B. Phase locking in chains of multiple-coupled oscillators. Physica D, 2000, vol. 143, pp. 56-73.
21. Astakhov V., Shabunin A., Uhm W., Kim S. Multistability formation and synchronization loss in coupled Henon maps: Two sides of the single bifurcational mechanism. Phys. Rev. E, 2001, vol. 63, 056212.
22. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev E.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems. Chaos, Solitons and Fractals, 2003, vol. 15, pp. 695-711.
Шабунин Алексей Владимирович - окончил Саратовский государственный университет (1990). Доктор физико-математических наук (2008), профессор кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. Научные интересы - нелинейная динамика, теория колебаний, синхронизация и управление хаосом. Автор более 75 научных публикаций.
410012 Саратов, ул. Астраханская, 83 Саратовский государственный университет E-mail: shabuninav@info.sgu.ru
