CC BY
11вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2015. №4
13
1,mi), и точка (si,m2), соответствующая точке (si — 1,m2)• Выбросим из множества Ai,k точки (si, mi) и (si, из множества An,k точки (si + 1, mi) и (si — 1, Ш2). Это и есть шаг обновления. Очевидно, свойства 1'-3' по-прежнему будут иметь место. Неравенство (14) достаточно доказать для обновленных множеств, поскольку выполняется неравенство, получаемое комбинацией неравенств (2) и (4):
f (si, m2) — f (si — 1, m2) < f (si + 1, mi) — f (si, mi).
Таким образом, неравенство (14) установлено и мы доказали п. 2 теоремы 2.
Докажем теперь п. 3 теоремы 2. Проследим доказательство в п. 1 теоремы для момента остановки Ti, такого, что P{ri = N или STl = MTl} = 1. Заметим, что благодаря равенству (5) достижение равенства в (9) равносильно равенству в (11). Далее, равенство достигается в свойстве 3, поскольку в процессе П2, переводящем момент остановки то в момент остановки ri, мы встретим поровну пар траекторий типа 2 и пар траекторий типа 1. И, наконец, заметим, что равенство в (11) равносильно для любых множеств, получаемых в процессе П3, поскольку замена точек одинаково изменяет суммарную полезность точек множества Ао,к и точек множества Ai,k- В конце процесса П3 мы
Ti
как и момент то.
Автор приносит благодарность А. Н. Ширяеву за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2: Теория. М.: Фазис, 1998.
2. Shiryaev A.N., Xu Z., Zhou X.Y. Thou shalt buy and hold // Quantitative Finance. 2008. 57, N 8. 765-776.
3. Allaart P. C. A general "bang-bang" principle for predicting the maximum of a random walk //J. Appl. Probab. 2010. 47, N 4. 1072-1083.
Поступила в редакцию 28.02.2014
УДК 521.131, 517.925.42
МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ХИЛЛА В ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ И МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
Е. А. Кудрявцева1
Изучается 2-параметрическое семейство гамильтоновых систем Нш,е с двумя степенями свободы, где система НШ}0 описывает задачу Кеплера во вращающихся осях с угловой частотой w, система Hi,i описывает задачу Хилла, т.е. "предельное" движение Луны в плоской задаче трех тел "Солнце-Земля-Луна" с массами m1 ^ m2 > m3 = 0. Методом усреднения па подмногообразии доказано существование числа w0 > 0 и гладкого семейства 2п-перподнческих решений Yu,e(t) = (q.u,e(t), Pw,e(t)) системы Нш,е, |е| ^ 1, |w| ^ w0, такого, что решения являются круговыми, = 1ш,0 + O(w2e) и "масштабированные" движения 7ш,е(?) := (w2/3qu,e(t/w),w-i/3pu,e(t/w)) щи 0 < |w| < w0 и е = 1 образуют два семейства решений Хилла, т.е. начальные участки известных семейств f и g+ (с обратным и прямым направлением движения) 2пш-иериодических решений задачи Хилла Hi,i. С помощью усреднения доказано, что сумма мультипликаторов решения Хилла Yu,i имеет вид Tr (7шд) =4 — (2nw)2 + (2nw)3/(4n) + O(w4). Описаны уточнения и обобщения результата на класс систем, включающий ограниченную задачу трех тел, а также его приложения к планетным системам со спутниками.
Ключевые слова: задача трех тел, задача Хилла, периодические решения, усреднение на подмногообразии.
A 2-parameter family of Hamiltonian systems Hu,e with two degrees of freedom is studied, where the system Hu,0 describes the Kepler problem in rotating axes with angular frequence w, the system Hi}i describes the Hill problem, i.e. a "limiting" motion of the Moon in the planar three body problem "Sun-Earth-Moon" with the masses mi ^ m2 > m3 = 0. Using
1 Кудрявцева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложе-
ний мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eakudrQmech.math.msu.su.
the averaging method on a submanifold, we prove the existence of w0 > 0 and a smooth family of 2n-periodic solutions Y^,e(t) = (qw,e(i),Pw,e(i)) to the system |e| < 1, |w| <
ш0, such that are cirlular solutions, = ju,0 + O(w2e), and the "rescaled" motions 7w,e(i) := (w2/3qu,e(t/w),w-1/3pu,e(t/w)) for 0 < |w| < w0 and e =1 form two families of Hill solutions, i.e., the initial segments of the known families f and g+ (with a reverse and direct directions of motion) of 2nw-periodic solutions of the Hill problem H1,1. Using averaging, we prove that the sum of the multipliers of the Hill solution jUi1 has the form Tr(Yu,1) = 4 — (2nw)2 + (2nw)3/(4n) + O(w4). The results are developed and extended to a class of systems including the restricted three body problem, as well as applied to planetary-systems with satellites.
Key words: three body problem, Hill problem, periodic solutions, averaging on a submanifold.
1. Введение. Изучается задача Хилла [1-3], т.е. гамильтонова система с двумя степенями свободы, описывающая "предельное" движение Луны в плоской задаче трех тел "Солнце-Земля-Луна" с массами mi ^ m2 > m33 = 0 относительно "синодической" (т.е. вращающейся вместе с Землей) системы координат. Движение описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона
dQ dHi,i(Q, P) dP dHi,i(Q, P)
dt dP dt dQ
где
dHM(Q,P) /dHii dHi,A dHii(Q,P) (dHii dHi,i
дР V дР1 дР2 ) дд V дЯ! д^2
р2 1 1 ям = #м(д, р) = _ _ _ _ [д, р] + щся, вд) = -я\ + -я1
Здесь И\! — функция Гамильтона и Я — потенциал Хилла (описывающий предельное влияние Солнца на Луну); д = (Я,Я2) € К2 \ {0} — "координаты"; Р = (Р\,Р2) € К2 — "импульсы"; И— время; через [д, Р] обозначена ориентированная площадь параллелограмма, построенного на
векторах д,Р. При замене К на еК в Н\ \ получаем систему И^е с гамильтонианом := ^--
щу — [д, Р] + еЩО), в частности задачу Кеплера во вращающихся осях с угловой частотой 1 (т.е. синодическую задачу Кеплера).
Всюду далее мы отождествляем плоскость движения К2 с С и пишем д = Р = Р\ + 1Р2-
Изучим периодические решения задачи Хилла При этом в качестве "порождающих" периодических решений рассмотрим два семейства круговых 2п\ш|-периодических решений
(дш,0®, Р-,с(*)) := ((ш-1 + 1)-2/3, г(ш-1 + 1)1/3), ш € (-1, 0) и (0, +«>), (1)
синодической задачи Кеплера Н1>о с параметром ш € (—1, 0) и ш € (0, соответственно.
Пример 1. Многие семейства периодических решений задачи Хилла Н1Д хорошо изучены [3], причем некоторые из этих семейств "достаточно близки" к семействам (1) круговых решений синодической задачи Кеплера Н\оо- Например, известны два 1-параметрических семейства / и д+ [3] (с обратным и прямым направлением движения) периодических решений задачи Хилла, параметром каждого из которых служит период Т € (0, Tf) или Т € (0, Тд+) соответственно, где Tf ~ 2п и Тд+ ~ 4п [4, табл. 3, 4]. Оба семейства / и д+ начинаются (при Т ^ 0) квазикруговыми орбитами вокруг
д=0
втором прямое (против часовой стрелки). Согласно численному результату М. Хенона [4, табл. 11, 12, 3, 4], семейства / и д+ "достаточно близки" к семействам (1) круговых решений на следующих
начальных участках этих семейств: когда период Т = 2п\ш\ решения удовлетворяет оценке Т ^
1, 51822 или Т ^ 0, 92296 соответственно. Наш подход (теорема 1 ниже) дает построение начальных участков семейств / и д+ и их "достаточную близость" к семействам (1) круговых решений при
следующей оценке на период решения: Т ^ 2пшо, где шо € (0,1) — некоторая (достаточно малая) константа. Видимо, наша верхняя грань 2пшо для периода меньше обоих значений 1, 51822 и 0, 92296, указанных Хеноном. Движение Луны в системе Солнце-Земля-Луна приближенно соответствует
решению из семейства д+ с периодом Т = 2тт ■ ^ Щ & 0, 48.
Для изучения задачи Хилла Н1;1 рассмотрим "параметрическую задачу Хилла" гДе Нш,е
— 2-параметрическое семейство гамильтоновых систем с гамильтонианом
р2 1
нш>е = Нш>е{с\, р) := — - — - ш[с1, р] + ш2еК{с{, р), ш,е <ЕШ. 2 \Ч\
Дело в том, что система Н*,е при w = 0 приводится к системе Hi)£ дробно-степенным преобразованием
Q = w2/3 q, P = w-1/3p, t = wt, HM = w-2/3H*,e, (2)
где t — время в системе Нш,е. Так как система Нш,е содержит малый параметр ш, ее периодические решения можно изучать методами теории возмущений. При этом в качестве "порождающих" периодических решений рассмотрим круговые 2п-периодические решения
(q*,о(t), P. ,o(t)) := eit((1 + ш)-2/3, i(1 + ш)1/3), ш £ (—1, +«>), (3)
синодической задачи Кеплера H*,о- Круговые решения (1) и (3) синодических задач Кеплера Hi , о и НШ)0приш = 0 связаны масштабной заменой (2), т.е. (Q*,0(t), P*,0(i)) = (ш2/3q*,0(i/w),w-1/3p*,0(t/w)).
Обозначим через glH фазовый поток системы с гамильтонианом И. Мультипликаторами T-периодического решения y называются собственные числа "оператора монодромии" dgH(y(0))-
Теорема 1. Существуют число ш0 £ (0,1) и гладкое 2-параметрическое семейство 2п-периодических решений Y*,s(t) = (q*,e(t), p*,e(t)) системы H*e, |w| ^ ш0, |е| ^ 1, т,акие, что q*,e(0) £ R>0, Y*,0 суть круговые решения (3) и y*,е = Y*,0 + O(w2e). Сумм,а, мультипликаторов решения y*,е является гладкой функцией от ш,е вида Tr (Y*,e) = 2 + 2cos(2nw — nw2e/2 + O(w3e)). При ш = 0 "масштабированные" движения (Q*,e(t), P*,e(t)) := (ш2/3q*,e(i/w),w-1/3p*,e(i/w)) образуют, два, семейства 2п|w|-nepuoдuчecкux решений (с обратным и прямым направлением движения) задачи H1 в частности задачи Хилла H1,1.
Семейства решений (Q* , 1(i), P* , 1(i)) из теоремы 1 — это (обнаруженные Хиллом fl, 5]) начальные участки известных семейств f и g+ периодических решений задачи Хилла H1 ,1 [3]. В каждом семействе f и g+ интервад изменения периода содержит указанный нами интервал (0, 2пш0) (см. также пример 1). Оба семейства порождают семейства периодических решений круговой ограниченной задачи трех тел (см. [6; 7; 2, § 17-19; 8; 9; 3]) и относительно-периодических решений задачи трех тел (см. [7; 2, § 18-19]).
Отметим, что из теоремы 1 легко получаем 3-параметрическое гладкое семейство ^-периодических решений Yn,w,e(i) := (^_2^3qП1//3р^)£(Ш)) задачи с параметрами Q ф 0,
InK^o, N < 1.
Из теоремы 1 выводится ее обобщение [10, 11] на случай плоской задачи N + 1 тела типа планетной системы со спутниками при любом числе планет и спутников. А именно предполагается, что одно из тел (Солнце) намного тяжелее остальных тел (планет и спутников), планеты намного тяжелее спутников, а "годы" намного дольше "месяцев". Доказывается, что при условии невырожденности, выполненном в случае "общего положения", существует не менее 2N-2 гладких 2-параметрических семейств симметричных периодических решений во вращающейся системе координат, для которых расстояния между каждой планетой и ее спутниками много меньше расстояний от Солнца до планет.
2. Метод доказательства и уточнение теоремы 1. Обобщенная параметрическая задача Хилла. Опишем основные идеи доказательства теоремы 1. Во-первых, вместо задачи Хилла H1,1 мы изучаем (эквивалентную ей, см. выше) "параметрическую" задачу Хилла Н*д, к которой применяем методы теории возмущений. Во-вторых, изучаемая задача H*,1 имеет специальный вид (см. ниже) в некоторых координатах, т.е. принадлежит некоему классу гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Опишем этот класс систем, которые мы назовем обобщенными параметрическими задачами Хилла.
Пусть гамильтонова система £0 задана функцией Гамильтона H0 = Hi(I, q,p) на симплектиче-ском многообразии (M = S1 х R3,dI Л dф + dp Л dq) с регулярными коордипатами ф mod 2п, I, q,p. Пусть функция H0 = H0(I,q,p) обладает следующими свойствами периодичности и невырожденности:
1) все решения гамильтоновой системы S0 в некоторой окрестности цилиндра S1 х (a, b) х {(0, 0)} являются периодическими с периодами T о H0 для некоторой гладкой функции T = T(h) = 0 (см. [12]);
2) в любой точке (I, 0, 0) £ (a,b) х {(0, 0)} выполнены условия
дН° от 2?г дНо дНо д2Н0 А ^ д2Н0 2
= :=т(я0(/,о,о))' ^ = ^ = detd^W = iHiy (4)
Обобщенной параметрической задачей, Хилла назовем 2-параметрическое семейство гамильтоновых систем S*,e на M с функцией Гамильтона
H*,e = H*,e(ip,I,q,p) := H0(I,q,p) — wI + ш2еК(ф, I,q,p), ш,е £ R,
где К = К(^,1,д,'р) — любая гладкая функция. Будем рассматривать систему 5шд как обобщение параметрической задачи Хилла а систему 5Ш,0 как обобщение синодической задачи Кеплера
Нш,0. Отметим, что 50,0 = 50,е — это введенная выше система 50, обобщающая задачу Кеплера Но,о = Н-0,£-
Систему Бш,е при |ш| ^ 1, |е| ^ 1 будем считать "возмущенной" системой с параметром возмущения ш. В качестве "порождающих" периодических решений рассмотрим 2-параметрическое семейство -периодических решений ((П(/) — Сс>)£,1,0,0), I £ (а, Ъ), системы (т.е. "возмущенной" системы се = 0).
Теорема 2. (А) Для любой обобщенной параметрической задачи Хилла 8ше, ш,е € М; существуют, непрерывная функция ш0 = ш0(О) > 0 аргумента О € (О(а), О(Ь)) и гладкое 3-параметрическое семейство щ-периодических решений 7п)Ш;£(£) = (<Рп,ш,е№), ^ € (О(а), П(Ь)); |ш| ^ Ш0(П) |е| ^ 1, такие, что рп,ш,е(0) = 0 и ^п(1)-ш,ш,0= ((О(1) - ш)г,1, 0, 0) -"порождающие" решения.
(B) Пусть Г е {а, Ъ), := П(/°), := Щ^1, 3 := (_(,)(1))' П° := Ш1,9,р) = Яо(/°,0,0)}, функция (В,°)(д,р) получена усреднением функции := Щи° по р^у-периодическим решениям системы 5о, (.4°,р°(¿))Т := — • 7п°,ш,е(^) = 7п°,ш,о(^) + ше(0,(Ь),р°(Ь)) + 0(ш2 е).
(C) Мультипликаторы любого решения 7п,(
в которых "оператор монодромии" dgH (Л §Иёя(Т n n^l^L. 0
2п/|П|
(хп,<
сушь 1,е±га(п,ш,£); более того, существует глад-ix) реперов вп,ш,е,1, еп,ш,£,2, еп,ш,£,з, еп,ш,е,4 &
с) в т,оч,ке хп,ш,£ := 7п,ш,е(0) задается матрицей
кое семейство канонических (т.е. симплектических) реперов вп,ш,£д, вп,ш,е,2, вп,ш,£,3, вп,ш,е,4 & TXn ш £M,
1 "sT^i1'0'0)}?^
0 1 0 0
0 0 cos а(0.,ш,е) sin а(0.,ш,е)
\0 0 — sin а(0.,ш,е) cos а(0.,ш,е) J
,2п ,
Q & (Q(a), fi(b)), М < wq(Q), \е\ < 1,
для некоторой гладкой функции а(0,,ш,е) = Т1щ(ш + ^ еА(О) + 0(ш е)). Здесь знак г] € {1,-1}
зависит, только от, функции Н0 и число Д(О°) линейно выражается через первые и вторые частные производные функции {К°) в точке (0, 0) с коэффициентами, зависящим,и от, функции Н0, следующим образом:
г] := sgn (Q°Tr Q°) ; A(Q°) := —Tr
(Q°)
_! d2{R°}(0,0) d(q,p)2
при d{R°)(0, 0) = 0.
При этом еп,ш,0,1 € М>0 д/др, еп,шд2 € М>0 д/д1, еп,шдз € М>0 д/дд.
Пример 2. (А) Покажем, что ограниченная задача трех тел с массами 1 — ¡л.,ц,, 0 приводится к следующей системе Н1д,р, аналогичной задаче Хилла Н1Д, где р = ц1/3. А именно гамильтониан системы Н1,е,р есть Н1,е,р(Р, Р) := Н1,0(Р, Р) + е(1 — р3)Кр(Р), т.е. вместо потенциала Хилла К(Р) взят "возмущенный потенциал Хилла" (1 — р3)Кр(Р), определяемый формулой
ВД) := 4
р2
1
\1 + pQ\
— pQi) = R(Q) — pQi
3Q2 — 5Q1
Действительно, при 0 < ц < 1 преобразование
Q = pQ + 1,
pP + i, Hh
i,p
^23Q4-30Q2Q2 + 35Q? + G(p3)_
23 p hi,i,p ~ 2 + 2/x
приводит систему Hi,i,p к стандартной системе, описывающей плоскую круговую ограниченную задачу трех тел [91, с гамильтонианом Н\ \ „(Q, Р) = ^— [Q, Pi — ^т + uQi— ,• "Параметрическая"
' 2 |CJ| |CQ — 11
ограниченная задача трех тел Нш,£,р (получающаяся из задачи H1,s,p преобразованием переменных (2)) задается гамильтонианом Нш,£,р(ц, p) := HM,Q(q, p) + М2е(1 — p3)Rw2/3p(q)
(В) Обе задачи Нш,£ и Нш,£,р (т.е. параметрические задача Хилла и ограниченная задача трех тел) являются примерами обобщенной параметрической задачи Хилла. Это показывается с помощью
1
канонического преобразования (ч, р) —>■ (ср,1,д,р) := (ф — или преобразования
(ч, р) — := (Ф,Р'Ф,г,рг) с использованием более широкого класса систем (см. п. (С) ниже)
при грф ф 0, где ф,рф,г,рг — "полярные координаты и импульсы" (т.е. гег^ := q, грг + грф := рс|). В задаче Нш,£ имеем
тт /2+Р2 1 от 1 г д2Н0(1°, 0,0) / 2 1 2
д2{Я°}(0, 0) _ 1 / пго , 2 , 25
d(R°Kо, 0) = о, = ^ ^-29rv + ¥dp
значит, A(Q) = — щ, а(0,из,е) = ^r — Щфг + 0(из3е). В задаче *Нш,£,р (ввиду линейной зависимости A(Q) от R) при 0 < р ^ 2-1/3 получаем
А(П) = + 0{ш2'3р), а(0, ш,е) = ^ - (1 - р3)^ + 0(^'3ер + W3,).
(С) Рассмотрим (более общую) систему 5*,е на M с каноническими коордипатами (ф mod 2п, I, q,pi) и гамильтонианом H*,e := H0(I, q,p) — wI+w2eR(<p, I, q,pi), где H0 = H0(I, q,pi) — любая гладкая функция, обладающая свойством 1 периодичности и следующим (более слабым, чем свойство 2) свойством: _ _
2') в любой точке x = (I,q,pi) £E := {dH0/dq = dH0/dpi = 0} "относительного равновесия"
dH) 2п Л д2Щ , (д2Hi0 d2ДЛ д2Щ д^АТ
dI
= О(х) := —det Q(x) = 0\х), —ф ф —ф, —ф Q(x) .
T(H0(x)) dI2 \dIdq dIdp I \dIdq dIdp
Здесь := ^щп^т- Отметим, что из первых двух условий в свойстве 2' и теоремы о неявных
функциях следует, что Е = {(1,(р(1 ),р(1))} для некоторых гладких функций ((I),р(1 )• Третье условие в свойстве 2' имеет вид П'(!) = 0 гДе Н0(1) := Но(1, (¡(I),р>(1)), 0,(1) := О(I, ((I),р((1)) = НО(I). Нетрудно показывается, что в некоторой окрестности множества 51 х Е в М систем а 5Ш>£ приводится к обобщенной параметрической задаче Хилла некоторым каноническим преобразованием (() I, ()( — (р, I, (,р)- Поэтому применима теорема 2 и выполнены все ее утверждения. (Координаты ((, I, (, р) "более естественные", но в них формулы для "операции усреднения" и решений системы уравнений в вариациях более громоздкие, поэтому мы не даем переформулировку утверждений теоремы 2 в терминах этих координат.)
Например, пусть система Но,о получена из задачи Кеплера Но,о при Но < 0 и I = 0 каноническим преобразованием (ч, р) — (ф^Ор) := (ф,рф,г,рг) (см. (В)). Условия 1 и 2' верны, так как НоЮ = (2/2 + 12/(2(2) — 1/( ( > 0, Е = {р = 0, ( = 12}, Hо(I) = — 1/(2^), Q(I) = НО(I) = I-3 = 0 и 0'(!) = 0. Поэтому обе задачи и Нш,£,р являются примерами обобщенной параметрической задачи Хилла.
(Б) Рассмотрим гамильтонову систему на М с каноническими коорди патами (р mod 2^, I, (р,рз) и гамильтонианом = Щ(1) — из1 + Щ((р2 +рз2) +ш2еК(р, I, (р,р>), где г? € {1, —1}; из, е — параметры. Система ¿>ш,£ при 0(р) := НО(/) = 0 Н0(1) = 0 приводится к обобщенной параметрической
задаче Хилла некоторым каноническим преобразованием (р, I, ^р) — (р, I := I — п(с[2 + р>2)/2, (,р)-Поэтому применима теорема 2. Переформулируем утверждения теоремы 2 в терминах координат
(<р,1 ,(р,р>)- Порождающие решения — это |щ-периодические решения 7п°)Ш;о(£) := +
и;), 0,0) системы Пусть 0° = 0(1°) и функция := ^ /27Т В,(р, 1°, (р,р)й(р получе-
на усреднением функции По теореме 2 существует семейство |щ-периодических решений
1п°,ш,£(^) = %°,ш,0(£) + ше(0, 0, р°,р°) + 0(ш2е) системы Зш,£ с мультипликаторами 1,е±га(^,ш,£) и оператором монодромии, как в п. (С) теоремы 2, где "отклонения" имеют вид ((р°,рз°)т :=
и а(П°, и, е) - = + 0(ш3е) согласно (9)—(11).
В силу примера 2, (В) для задачи Нш,£ при О = 1 из теоремы 2 следует теорема 1. В примере 2, (Б) теорема 2 сформулирована в "более удобных" фазовых координатах (через которые
18
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2015. №4
"невозмущенный" гамильтониан Но и первый интеграл I выражаются так же просто, как через "элементы Делоне"). Хотя теорема 2 и пример 2, (В) сформулированы в "менее естественных" координатах, в доказательстве теоремы 2 использованы "более удобные" координаты, аналогичные координатам из примера 2, (D). В данной статье все рассматриваемые координаты регулярны вблизи траекторий порождающих решений (в отличие от "элементов Делоне", являющихся каноническими, но нерегулярными фазовыми переменными вблизи круговых орбит) и гамильтониан (а потому и найденные решения) гладко зависит от координат и параметров. В частности, потенциал Хилла R (а также более общие "возмущающие" функции R и R) гладко зависит от координат из примера 2, (В) (соответственно примеров 2, (С) и (D)), в отличие от потенциала Хилла R = (a\(l, е) +a,2(l, е) cos(2д) +аз(1, е) sin(2g))G4 как функции от "элементов Делоне" (I mod 2тт, L,g mod 27t,G) в гамильтониане Нш>£ = — 1/(2L2) — r¡u)G + u)2eR параметрической задачи Хилла при Но < 0 и I = 0. Здесь 0 < G ^ L, dG = dL при G = L, симплектическая структура при G < L равна dL A dl + dG A dg, п = sgn I, функции ai(l, e) гладко (и даже аналитически) зависят от "средней аномалии" I и эксцентриситета е := л/l — G2/L2, но негладко от I, е2 и от l,L,G.
Пункт (А) теоремы 2 доказывается стандартным методом усреднения: решения "невозмущенной" и "возмущенной" систем сравниваются с помощью усреднения функции -^\ш=оНШуе вдоль решений "невозмущенной" системы So- Усреднение в пп. (В), (С) менее стандартное: мы сравниваем решения двух "возмущенных" систем с помощью усреднения функции вдоль решений системы So-
3. Доказательство теоремы 2. Проведем доказательство в несколько шагов.
Шаг 1. (А) Доказательство п. (А) основано на методе усреднения на подмногообразии [13, теорема 11.1; 11, теоремы 2, 4], обобщающем метод усреднения на многообразии [14]. А именно из условия 1 периодичности и всех условий из (4), кроме последнего, следует, что при любом I° Е (a,b) подмногообразие П° (см. п. (В)) является "невырожденным" множеством, состоящим из T о Hq(I°, 0, 0)-периодических траекторий системы So. Здесь под невырожденностью подмногообразия П° понимается, что в любой его точке x Е П° множество неподвижных векторов оператора dgT (x) совпадает с касательным пространством Txn° к этому подмногообразию (а не толь ко содержит ТЖП°).
Из неравенства в (4) следует, что окружность S1 х {(I°, 0, 0)} С П° является невырожденным (т.е. боттовским) критическим множеством "возмущающей" функции —/|п° = (^\ш=оНШу£)\и° ■ Да-
So
потому совпадает со своим усреднением вдоль периодических траекторий этой системы.
Так как все указанные свойства выполнены при любом I° е (a,b), то в силу [13, теорема 11.1] или [11, теорема 4] существуют функция Wo(O) > 0 и гладкое 3-параметрическое семейство периодических решений Yn,w,£(t) "возмущенной" системы Si£, Q е (Q(a), H(b)), |w| ^ wo(^), |e| ^ 1, такие, что фп,ш,£(0) = 0 и Yn(i),o,£(t) = (&(I)t,I, 0, 0) при I е (a,b). Пункт (А) доказан.
Шаг 2. (В) Пусть J = Jx — поле операторов Jx : T*M ^ TxM, x Е M, определенных условием (dI A d<£ + dp A dq)(-, J£) = £ для любого ковектора £ Е T*M. Пусть Vi£ := JdHi£ — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом НШуЕ. Обозначим частные производные через (') := (') := Jj, d '■= г = Jgp) или ^ := Ш = f__) в зависимости от рассматриваемых координат х =
(<р, I, q, p) ил и x = (ф, I, q, p) на M.
Фиксируем число I° Е (a, b), положим Q° := Q(I°), T := 2n/|Q°|. Пусть Лш,£ := gQ — отображение "за период", Ao := Ao,£. Определим операцию [■) "усреднения по времени" на пространстве функций C™(M) формулой [f )(x) := T-1 jQ f (gT0(x))dt.
Обозначим Yw,£(x,t) := (x). Запишем первую и вторую системы уравнений в вариациях (по малому параметру w) для ("возмущенной") системы уравнений Afi£(x,t) = Vu,£(ju,£(x,t)) вдоль решения Yo,£(x, t) ("невозмущенной") системы для любых x Е M, t Е R:
Yi ,£ (x, t) = Vi ,£(ríu,£(x,t)) + dVu¡£(rru¡£(x,t))r/'u ,£ (x, t), (5)
Yí,£Áx,t) = V¿',£(rru¡£(x,t)) + 2dVi,£(Yi,£(x,t))YÍ ^(x,t) + +d2Vu,£(Yi,£(x, t))(YÍ,£(x, t))2 + dVi,£(Yi,£(x, tyYÜ^x, t). Отсюда получаем для любой точки x Е M
A0,£(x) = -TJdI(Ao(x)), A'¿££(x) - Aq,0(x) = 2eTdAo(x)Jd[R)(x), ' dA'¿ £(x) - dA¿ 0(x) '= 2eTdA0 (x)Jd2 [R)(x),
для точки Х0 := (0, I°, 0, 0)
dA'0ie(x0) = ^dA0(x0)Jd2(H - tt°I)(x0).
(7)
Формулы (6) и (7) легко получаются относительно "выпрямляющих" канонических координат вида (ф, I = H0, q, p>), где необязательно ф = ф mod 2п. Поэтому они верны относительно любых координат.
Шаг 3. Обозначим х*,е := Yn°,*,e(0), x0 := Х0,е = (0,I°, 0, 0), см. (А). Пусть (ф = ф mod 2n, I = /(H0),ф,ф) — "периодические" канонические координаты, такие, что
ф|^=0 = 0 I\^=q=p=0 = ^
\v=q=p=0 = h^=q=p=0 = 0, d(I — q)(X0) = d(I — p)(X0) = 0.
В этих координатах для любой точки х = (ф, I,I,pI) имеем V0(x) = (^(q), 0, 0, 0)Т и ^(х) = х + TV0(x), поэтому
( 0П'(ф) 0 0\
( 0 TП'(ф) 0 0\
0 0 0 0 , dA0 (x) — E = 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0/ 0 0 0 0/
dV0 (x) =
Продифференцируем дважды по w условие того, что точка x*,e неподвижна при отображении А*,е:
A*,e(x*,e) — (E dAш,е(xш,е))Xш,е, А*,e(x*,e) + 2dA*,e(x*,e)x*,e + d A*,e(x*,e)x*,ex*,e —
= (E — dA*,e (x*,e))x*,е.
В координатах (ф mod 2п,1,ф,ф) первое из этих уравнений с учетом первой формулы в (6) и явного вида оператора dA0 (x) дает
дд А'о,еЫ) = А'о,оЫ) = -TQ'(ndI(x'0ie)— = -Tn'(ndl(x'0fl) — ,
откуда
dI(x'0,e — x0,0) =
(8)
Дифференцируя вектор Уш,£(%ш,£) п0 ^ получаем из (8) и явной формулы для dVо(х) важное свойство
д д
-т^Уш>£{хш>£) = У^е{хш>£) + dVШí£{xШí£)x'ш^, т^\ш=о(Уш,£(хш,£) -К,;о(жШ)о)) = dVo(xo)(x'0íe-x'0í0) = О,
т.е. Уш, £(хш, £) = Уш,0(хш,0)+О(ш2е). Второе из указанных уравнений с учетом второй формулы в (6), формулы (7), явного вида оператора dA0(x) и формулы (8) дает
2еТйАп(х0уй{11)(х0) + 2^dA0(x0)Jd2{H - По1)(х0)(х'0уе - х'0у0) + 0 + ((М0Ы - Е)(х^е - х^0) = 0,
откуда получаем
2eTd(R)(x0)+2
( 0 0
0 0 \
0 Q'(I°) 0 0
о О д2н0(Г,о,о) \ о 0 Щрр
(x0 , е — x0 , 0) +
/
/ 0 0 0 0\ 0 TQ'(I°) 0 0 0 0 0 0 V 0 0 00/
(x0',e — x0',0) = 0.
Так как вектор х'0 е — х'0 0 принадлежит координатной плоскости, натянутой на векторы -щ, щ (ввиду (8) и р(хш,£) = 0), находим компоненты этого вектора в координатах ((,р) или (1,11) в этой плоскости:
V (д2!!,)^^^-1 д(Я°К0,0) „ (д21(Г,0,0)\~1 д(Я°К0,0) ^
°'£ V 0(9>р)2 ) д(д,р) -£{ д(д,р)2 ) д(д,р) ^
в силу й(Н0 — О°1)(х0) = 0. Из (5) и (9) имеем 7^0 0е(^) — 7^о 00(^) = е(0, 0,д°(¿),р°(¿)). Пункт (В) доказан.
Шаг 4- (С) Изучим семейство "операторов монодромии" йАш,е(хш,е) и их разностей Дш,е := йАш,е(хш,е) — йАш,0(хш,0) с точностью до 0(ш3). Продифференцируем йАш,е(хш,е) по ш два раза:
д_
дМ
dAM,£(XM,£) - dAUJ,e(X^,£) + d А-Ш,е (x X {jj,£ ,
дМ2
dAM,e(xM,e) — dAuj,е(хш,е) + 2d Аш,е(хш,е)хш,е + d Аш,е(хш,е )(х'ш,е)2 + d Аш,е(хш,е')хш е.
В координатах (р mod 2п, I, q, р) первое из этих уравнений с учетом формул (7) и (8) дает
дд До,е = \ш=о^-ш,£ = -Q^\u=o(dAui£(xwi£) — (Мш,о(жш,о)) = 0,
т.е. Дш,е = 0(ш2е). Из второго уравнения с учетом третьей и первой формул в (6) и формулы (8) получаем
д"
д0,е
дМ2
\ш=о Дш,е = 2eTdAo (xQ)Jd2 {R)^q) + 2d2 AQо(хо)(х0е — х0 q) + 0 + d2Ao (хо)(х0'е — х0'q).
Поэтому в координатах ({ mod 2п, I, р,р) правый нижний (2 х 2)-блок Дш,е матрицы Дш,е имеет вид
0,0) Э3/(/°,0,0) /^/(/"ДОП"1 Э(Д°)(0,0)' <9(g,p)2 <9(g,p)3 V 9(q,p)2 ) d(q, р)
Дш е = u2eTJ
+ 0(м3е)
(10)
в силу первой формулы в (6), формулы (9) и тождественности отображения A|J■_I0 = А^-г^Но(/0 0 0))' Обозначая выражение в квадратных скобках через 9 = 9 > имеем ДШ;£ =
d{q,p)2
Шаг 5. Будем отождествлять операторы и их матрицы относительно "периодических" координат
({р mod 2п,1 = р(Н0), р,р). Симплектические операторы Лш , е := dAw , е(хш , е) обладают следующими свойствами:
1) Лш, е = Лш,0 + Дш , е, Дш , е = 0(ш2е) (согласно шагу 4);
2) оператор Лш,е имеет неподвижный вектор вида Уш,е(хш,е) = Уш,0(хш,0) + 0(ш2е) (согласно шагу 3);
3) матрица оператора
Лш,о = (1Аш,о (хш,о) = dgH 0—(хш,о) = dgTHo—{п°+ш)1 (хш,о) = e™2 ,0)
имеет (в силу условий (4)) блочно-диагональный вид
\
11 аш 0 1 00 \ 00
00 0 0
(1 0 1 00 V 00
00 0 0
Г-П (т Т92(Но-(П°+Ш)1)(1°т\ 00 Ш тЭ2(Но-(П°+^)/)(/,°,0,0)\
eXP^J d(q,p)2 J J yoo Pv n°+w
где 1° := О 1(О° + ш), аш := ТО'(1°). Поэтому оператор Лш,0 имеет спектр 1,е±гвш,0, где (Зш,0 := Тш.
В силу свойств 1-3 и следующей леммы оператор монодромии Лш,е при |ш| ^ 1 имеет аналогичный спектр 1,е±гв^•Е и обладает другими требуемыми свойствами из п. (С). Действительно, благодаря лемме имеем
с = (/3Ш)оТг [7-1 (А -Е)]) = Г],
r]a(Q°,uj, е) = /Зш>е = /Зш>0 + /Зш,0 j^Tr (Q°)~L J"1 ДШ;£ + 0(ш3е)
и с учетом шага 4
Рш,е — Рш,0 — Рш, owe —Тг
(Q°)
-1Э2((Д°))(0,0)
d(q,p)2
+ 0(ш3е) = ,о шеА(П°) + 0(ш3е). (11)
J
Итак, пи. (А) и (В) теоремы 2 доказаны, а п. (С) будет доказан после того, как будет установлена следующая лемма.
4. Лемма о нормализации "возмущенного" семейства симплектических операторов.
В R4 с базисом e1,e2 ,e3 ,e4 рассмотрим кососимметрическую билинейную форму, задаваемую матрицей
/ 0 1 0 0\ -10 0 0 0 0 0 1 V 0 0 -1 0 у
Линейный оператор на пространстве R4, сохраняющий эту форму (т.е. задаваемый (4 х 4)-матрицей B со свойством BT J B = J), называется симплектическим. Базис назовем каноническим, если он является образом базиса ei ,ез ,в4 при некотором симплектическом операторе.
Лемма. Рассмотрим ("невозмущенное") семейство симплектических операторов в R4, заданных матрицам,и
(1 аш 0 0 \
0 10 0
0 0 eos вш i sin \0 0 —сsinвш cosвш )
где ш £ R — малый парам,етр; аш = ао + О(ш); вш = вш + о(ш); а0,в,с — ненулевые константы. Пусть A = Aш — другое ("возмущенное") семейство симплектических операторов в R4, обладающих (при любом ш) следующими свойствами:
а) оператор A имеет неподвижный вектор е1 = e1 + О(ш2);
б) A = A + где Д = О(ш2) т.е. операторы, A и A О(ш2)-близки.
Тогда, при \ш\ операт,ор A обладает, следующим,и свойствами, подобными свойствам оператора
A = A,,
A;
1) его спектр состоит из трех чисел: spec A = {1,e±%e" }, причем чиело вш имеет вид
вш=вш + О(со2) = вш + -Тг
2
0 -с-1 с 0
Д
+ 0(w3) = в, +
Рш 2
Tr
(А-Е)
+ й(ш3), (12)
где Е — единичная матрица, и, для любой, матрицы В через В обозначен ее правый нижний (2x2) блок;
2) существует канонический базис /ь/2,/3, /4 (зависящий от ш), в котором оператор A име■ ет вид
/1 ао 0 0 \
0 1 ^ 0 _
0 0 cos (Зш \ sin (Зи \0 0 —с sin cos ¡Зш )
(13)
причем /1 = e1 + О(ш), /2 = e2 + О(ш), векторы /3 и /4 ограничены, и /3 + О(ш) G R>0e3.
Если семейство операторов A, гладко зависит от ш, а семейство Aш гладко зависит от ш и других возможных параметров, то число (Зш и базис /1,/2,/3,/4 гладко зависят, от, ш и этих парам,ет,ров.
Доказательство. Шаг 1. Сначала докажем свойство 1 о спектре оператора А. Для любой (4 х 4)-матрицы В обозначим через Bkl ее элемент, стоящий на пересечении fc-й строки и ¿-го столбца. Из явного вида матрицы A и О(ш2)-близости к ней матрицы A (см. условие б) с учетом того, что cos в, = 1 + О(ш2) и sin в, = О(ш), имеем следующую связь между определителем и следом матрицы
А + 3 = ТГ А - А12 А21 - А34 А43 + О (и4).
Так как матрица А = А + О(и2) имеет неподвижный вектор И\ = в\ + О(и2), то первый столбец матрицы А — Е равен линейной комбинации других ее столбцов с коэффициентами порядка О(и2), поэтому А21 = О (и4). Отсюда
det А — det A = TrA — ТгА + /?ш(сД34 - -Д43) + 0(w4)
(14)
В частности, det A—det A = Tr A—Tr А+0(ш3). Ввиду равенства det A = 1 (в силу симплектичности матрицы А) и (3 ф 0 имеем TrA = Тг А-ДДсД34-\Д43) + 0(w4) = 2 + 2cos/?ш + 0(/?3) = 2 + 2cos/l, для подходящего (Зш = вш + 0(ш2). А именно из (14) легко находим
„11 /Ч _
Рш=Рш + 2 (сА34 - - А43) + 0(^3) = ft, + уй [(А - Е)"1 Д] + 0(w3),
т.е. удовлетворяет (12), причем функция [Зш гладкая, если и A = A2 гладкие. Ввиду условия а, и условия симплектичности спектр оператора A состоит из числа 1 (кратности 2) и пары взаимно обратных комплексных чисел и поэтому однозначно определяется следом этого оператора. Значит,
спектр состоит из 1 и пары чисел . Так как /Зш удовлетворяет (12), первое свойство оператора A (о его спектре) доказано.
Шаг 2. Теперь докажем свойство 2, т.е. построим канонический базис /i, /2, /3, /4, "приводящий" симплектический оператор A к виду (13). Перейдем к новому каноническому базису e'i := ei, e2, e'3, e4, 0(ш2)-блпзкому к исходному базису ei, e2, e3, e4. (Этот базис можно выбрать однозначно, потребовав, например, чтобы при разложении R4 = span(ei,e2) + span(e3,e4) в прямую сумму двух координатных плоскостей проекция вектора e2 на первую плоскость имела вид (1 + 0(w2))e2, а проекции векторов e3 и e4 на вторую плоскость — вид e^ (1 + 0(w2))e4.) В этом базисе оператор A задается матрицей A' гад a A' = (E + 0(ш2))А (E + 0(ш2)) = (E + 0(ш2))(А + 0(ш2 ))(E + 0(ш2)) = A + 0(ш2), причем первый столбец и вторая строка этой матрицы имеют нужный вид: (1, 0, 0, 0)т и (0,1, 0, 0).
Ae — E Ae
оператора (A — E)2 равен двум. В базисе ёъ e'2, e'3, e4 оператор (A — E)2 задается матрицей (A' — E)2, 0(ш3)-близкой к диагональной матрице с диагональными элементами 0, 0, —в2, —в2 (так как первый столбец и вторая строка матрицы A' — E нулевые). Поэтому его образ Im (A — E)2 совпадает с инвариантным двумерным подпространством L = L2, натянутым на векторы ^т(А — E)2e':i = eg +
О (из) и дт(А - Е)2е'4 = е'А + О (из).
Ясно, что подпространство L инвариантно относительно оператора A и (в силу шага 1) спектр
оператора A\l равен . Выберем в подпространстве L какой-нибудь канонический базис в3 = e3 + 0(ш), в4 = e4 + 0(ш), а в косоортогональном дополнении K к L канонический базис ei = e'i, в2 = e" + 0(ш). (Эти базисы можно выбрать однозначно, потребовав, например, чтобы при разложении R4 = span(ei, e'2) + span(e3, e4) в прямую сумму двух координатных плоскостей проекция вектора в2 на первую плоскость имела вид (1 + 0(w))e2, а проекции векторов e'3 и в4 на вторую плоскость —
вид e3, (1 + 0(w))e4-) Так как подпространства K и L инвариантны относительно оператора A, то
в новом базисе ei, e2, e3, e4, к ei, e2, e3, e4, оператор A имеет блочно-диагональный
вид
/1 а 0 0 \ 010 0 . , ,
0 0 ai °>2 = A + 0(W). (15)
\ 0 0 a3 a4)
Покажем, что числа а2/ш и а3/ш в (15) отделены от нуля при \ш\ ^ 1. Это вытекает из того, что
в=0
1 - sin2 ]3Ш = cos2 = + ^ aifl4 = i а2ЙЗ_
Шаг 3. Домножив векторы ei и в2 на подходящие взаимно обратные положительные числа, 0(ш)-блпзкие к 1, легко добиться равенства a = ао (ввиду ао = 0). Заменим вектор e4 на ограниченный и отделенный от нуля (см. выше) вектор
е4 = —l—^(e3 cos - Ае3) c sin f:>2
(этот вектор ограничен, поскольку оператор A\l 0(ш)-близок к тождественному). Домножим векторы e3 и e4 на подходящее положительное число так, чтобы значение симплектической структуры на них стало равным ±1. Потом мы покажем, что в действительности последнее значение равно 1.
В построенном базисе, который мы обозначим через /1, /2, /3, /4, симплектический onератор Л примет нужный вид (13) в силу свойства 1. Векторы /1, /2, очевидно, 0(ш)-близки к векторам ei,
e2 /3 /4
векторы е3 и в4, ограничено. Действительно, это равносильно тому, что значение симплектической структуры на паре векторов е3 и е4 отделено от нуля. Последнее равносильно ограниченности числа sin /а3 (см. конец шага 2).
/1 /2 /3 /4
значение симплектической структуры на паре векторов е3 и <=4 положительно. Другими словами, нужно показать, что —^^ < 0 для аз из (15). Для этого применим "соображения непрерывности".
c sin в и
Воспользуемся тем, что симплектические матрицы, первый столбец которых имеет вид (1, 0, 0, 0)т образуют подгруппу Ли в группе GL(4, R) всех обратимых матриц. Поэтому они образуют гладкое подмногообразие G в пространстве матриц (т.е. для любой точки из G существуют локальные координаты в некоторой окрестности этой точки в GL(4, R), пересечение кото рой с G является
G
G
метрики в объемлющем пространстве матриц. Соединим 0(ш2)-близкие матрицы Л и Л1 кратчайшей кривой Л(Ь), 0 ^ t ^ 1, в группе G, где Л(0) = Л, Л(1) = Л'. Тогда все матрицы Л(Ь), 0 ^ t ^ 1, являются симплектическими и удовлетворяют условиям а и б леммы. Значит, по доказанному спектр каждой матрицы Л^) состоит го трех чисел: spec Л(^ = {1,e±ie(t)}, где в(t) = вш + 0(м2). Также при любом t существует однозначно определенный базис е1 (t), е2 (t), е3 (t), е4 (t), в котором оператор Л^) имеет вид (15). Так как по доказанному в конце шага 2 значение а3(t)/sine(t) отделено от нуля
и непрерывно зависит от t, оно остается одного знака при всех t. При t = 0 имеем = —1 < 0,
С Sin ви
а3 аз(1)
а значит, число —г^^ = —. тоже отрицательно.
С sin в и С Sin в ( )
/1 /2 /3 /4
Это завершает доказательство леммы, а потому и теоремы 2. □
Автор приносит благодарность Н. Н. Нехорошеву за постановку задачи, А. Д. Брюно и Ю. М. Воробьеву — за ряд замечаний, способствовавших улучшению изложения, А. Т. Фоменко — за внимание к работе.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-01-00664-а) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-1410.2012.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hill G.W. Researches in the lunar theory // Amer. J. Math. 1878. 1, N 1. 5-26; N 2. 129-147; N 3. 245-260.
2. Siegel C.L. Vorlesungen iiber Himmelsmechanik. Berlin; Gottingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1956 (Зигель К. Л. Лекции по небесной механике / Пер. с нем. М.: ИЛ, 1959).
3. Брюно А.Д., Варин В.П. Периодические решения ограниченной задачи трех тел при малом отношении масс // Прикл. матем. и механ. 2007. 71, № 6. 1049-1081.
4. Нёпоп М. Numerical exploration of the restricted problem. V. Hill's case: periodic orbits and their stability // Astron. and Astrophys. 1969. 1, N 2. 223-238.
5. Wintrier A. Zur Hillschen Theorie der Variation des Mondes // Math. Z. 1926. 24. 259-265.
6. Brown E. W. On the part of the parallactic inequalities in the moon's motion which is a function of the mean motions of the sun and moon // Amer. J. Math. 1892. 14. 141-160.
7. Moulton F.R. A class of periodic solutions of the problem of three bodies with application to the lunar theory // Trans. Amer. Soc. 1906. 7. 537-577.
8. Perko L.M. Periodic solutions of the restricted problem that are analytic continuations of periodic solutions of Hill's problem for small ц > 0 // Celest. Mech. 1983. 30. 115-132.
9. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1990.
10. Кудрявцева Е.А. Периодические движения планетной системы с двойными планетами. Обобщенная задача Хилла // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 4. 59-61.
11. Kudryavtseva Е.А. Generalization of geometric Poincare theorem for small perturbations // Regular & Chaotic Dynamics. 1998. 3, N 2. 46-66.
12. Gordon W.B. On the relation between period and energy in periodic dynamical systems //J. Math. Mech. 1969. 19. 111-114.
13. Weinstein A. Lagrangian submanifolds and hamiltonian systems // Ann. Math. 1973. 98. 377-410.
14. Moser J. Regularization of Kepler's problem and the averaging method on a manifold // Communs Pure and Appl. Math. 1970. 23. 609-636.
Поступила в редакцию 13.02.2013
