Мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга для областей с нерегулярной границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.23

А. Ю. Головко

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Мультипликативные неравенства типа Гальярдо^Ниренберга для областей с нерегулярной

границей

Установлены мультипликативные неравенства типа Гальярдо^Нирепберга нерегулярных для областей с нерегулярной границей С € Нп с условием гибкого а-конуса.

Ключевые слова: мультипликативное неравенство, обобщенные производные, область с нерегулярной границей.

1. Введение

Гальярдо и Ниренбергом в [1] и [2] в 1959 году для областей С С Кга с гладкой границей было установлено неравенство

Е 11^/ (С) < С (||/[Е И-МС)) + II/

а\=1 у \Н=« ) у

(1)

где 1 ^ р,р,д,г < ж, 8 € И, I € Z+, I < 8, ^ ^ в ^ 1, при выполнении соотношения

' -1='{• - ?)+(1 -«Ю • <2>

При этом последнее слагаемое в правой части (1) в случае неограниченной области с гладкой границей можно убрать и будет справедливо неравенство

Е II-,(«) < ^||/1|-;(С) [ £ \\&>/\-р(С)) • (з)

Ильин В. П. в работе [3] установил мультипликативное неравество типа Гальярдо-Ниренберга для областей с условием конуса в случае 1 ^ р,г ^ д < ж, I = 0. Мазья В. Г. в [4] доказал мультипликативные неравенства (3) при I = 0 для областей более общего вида, принадлежащих классам, определенным им в терминах емкостных неравенств.

В данной работе установливаются аналоги неравенства Гальярдо-Ниренберга для нерегулярных областей с условием гибкого ст-конуса, а > 1.

в

2. Основные результаты

Будем пользоваться следующими обозначениями:

р(х) = ё18^х, Мга \ С), где С С Мга — открытое множество, п ^ 2, р\(х) = тт{р(х), 1}, В(х, Я) = {у : 1у — х| < К}, х — характеристическая функция шара В(0,1).

Определение 1 (см. [5]). При а ^ 1 область С С Мга назовем областью с условием гибкого а-конусм,, если при некоторых Т * > 0, к > 0 для любо го х € С существует кусочно гладкий путь 7 : [0, Т*] ^ С, 7(0) = х, |7'| ^ 1 почти всюду, и такой, что р(^у(Ь)) ^ при

0 <г ^т*.

При этом при а = 1 область называют областью с условием гибкого конуса. Область С, не удовлетворяющую условию гибкого конуса, называют нерегулярной. Пусть N — множество натуральных чисел; п € М, п ^ 2; К™ — п-мерное евклидово пространство; 1 4 т 4 п, г0 = 0, 1 4 г\ < г2 < ... < гт = п — натуральные числа, П = Ч - Ъ'-ь Хз : {1, 2,...,п}^ {ОД},

1 при г,_1 + 1 4 г 4 г,,

Хз (г) = {

I 0 при 1 4 г 4 и при г^ + 1 4 г 4 гт = п.

т

При а € Z!+ положи м а? := Хза = (0,..., (г'_1+1,... , 0,..., 0), так что а = ^ а?.

3 = 1

При X € К™ ПОЛОЖИ М X = (х1, . . . ,хт), где Х^ = (Хг_1 + 1, . . .Хг-) € К™"'.

Теорема 1. Пусть С — область с условием гибкого а-конуса, 1 4 р,д,г < о, в,т € М, I € Z+, I < 8, 0 < в < 1, р < д, г 4 д, р > 1, 1 4 т 4 п. Пусть г < д, если I = 0, а = 1. Тогда мультипликативное неравенство типа Гальярдо-Ниренберга:

( (ш V \

Е \\°а 1 \\ь,(С) ^^ т\-1с) (Е Е иыо) + или,(С)

Н=г у у=1 «=«' ,Н=з ) у

(4)

I-^ = 9 ^ - (8 - 1)(т - 1)(а - 1) - а(п ~р1) + ^ +(1-в)(-- (а - 1)т(в - 1)) . (5)

То есть для ограниченной области с условием гибкого конуса (в частности для области с гладкой границей) при выполнении соотношения (2) справедливо неравенство (4) при любом т € {1,..., п}. При т = п в правой части (4) участвуют только несмешанные

т = 1

неравенством Гальярдо-Ниренберга (с р = г).

При д > г, а также при д = г в случае а > 1 ми I € N из соотношения (5) следует неравенство

8-1- {8 - 1)(т - 1)( а - 1) - а(п - 1) + 1 + п> 0. (6)

р

а-

1 4 р,д,г < оо, 8, т € М, I € Ъ+, I < 8, 0 <9 < 1, а ^ 1, ™ < ™ +1, 1 4 т 4 п и

I-П->9 (.-(в - 1)(т - 1)(а - 1) - а(п -1) + ^+(1 - в) (-п) (7)

мультипликативное неравенство (4) не имеет места.

а > 1

ношений (2) и ™ < ™ +1 несправедливо ни при каких 1 4 р,д,г < о, в, т € М, I € Z+, I < в, 0 <9 < 1, 1 ^т 4 п.

Следствие 2. Пусть 1 4 т1 < т2 4 п, а > 1. Тогда соотношение (5) для т = т1 не является достаточным для выполнения, мультипликативного неравенства (4) при т = т2 при определенных 1 4 р,д,т < о, з,т1 ,т2 € М, I € I < в, 0 < 9 < 1, а > 1, ^ < ^ + 1.

Возникает вопрос о справедливости мультипликативного неравенства

Е ива IИь,(С 4 С 01 л\ьг(о)1-в ( £ Е и°а1 (С) I (8)

Н=г \.?=1 а=а' ,|а|=8

е

в случае нерегулярных неограниченных областей.

В случае ст > 1 вопрос решается отрицательно. Пусть существуют шары В(хи, К) произвольного радиуса К > 0 лежащие в области. Пусть £ е С0° (-6(0,1)) , £ = 0. Рассмотрим функцию = £ (х—Устремляя К ^ 0 и К ^ ж, получаем, что неравенство (8) может быть справедливым только при выполнении соотношения (2). Следовательно, в силу следствия 1 для некоторых неограниченных областей с условием гибкого ст-конуса неравенство (8) не выполняется ни при каких 1 * р,д,г < ж, 8,т е N I е Ъ+, I < в, 0 < в < 1, ст ^ 11 * т * п.

Определение 2. Область С С Ега назовем областью с условием бесконечного гибкого конуса, если при некотором к > 0 для любого х е С существует кусочно гладкий путь 7 : [0, ж) ^ С, 7(0) = х, | * 1 почти всюду такой, что р(^(Ь)) ^ К для любого Ь > 0.

Теорема 2. Пусть С — область с условием бесконечного гибкого конуса, 1 * р,д,г < ж, 8, т, е М, I е Z+, I < 8, 0 < в < 1, р < д, г * д, р > 1, 1 * т * п. Пусть г < д в случае I = 0. Тогда для функций f с конечной правой частью при выполнении соотношения (2) справедливо мультипликативное неравенство (8).

Доказательства теорем будут приведены в разделах 7, 8.

3. Исправление путей

Лемма 1. Пусть С — облаеть с условием гибкого ст-конуса. Тогда при некоторых 5 е (0, 2) , £0 е (0,1), к > 0, С > 0, Со > 0 для каждой точки х е О существует, кусочно гладкий путь 7 = 7х : [0, ¿х] ^ Си непрерывная кусочно гладкая, функция г у : [0, ¿х] ^ [0, ж) такие, что

7(0) = х, \7'\ * 1 п. в., Гу(*) ^ 777, 0 < Гу(*) * 5р1(^(*)), Гу(¿х) ^ ¿2, Щ(*)\ * Со п. в.,

5гу(¿') * гу(г") при 5(7(£),5гу(¿')) П ВШ"),6гу(О) = 0,^" е [0,*х], (9)

8Ир8Ир

у УеО

1 « * с.

^ гу{1) \ £0Гу(1) Доказательство см., например, в [5] и [6].

Лемма 2. Пусть х0 е Мга. Пусть = х0 + Ьё при £ е [0,¿*], где \е\ = 1. Пусть Гу(¿) = сЪ + с0, где с, с0 ^ 0. Пусть > 1. Тогда,

вир

уекп

1 ;х(У~М) Я * С = С (с,£0),

0 Г у (¿) V £0Гу (*) )

где С зависит лишь от с,е0.

Доказательство очевидно.

Лемма 3. Пусть С — облаеть с условием гибкого ст-конуса. Тогда, при некоторых е0 е (0,1), к0 > 0, Т0 > 0, с > 0, С > 0 для любого х е С существует кусочно гладкий путь Г = Г(£,х) : [0,Т0] ^ С, Г(0) = х, \Г'\ * 1 почти всюду и непрерывная кусочно гладкая, функция г = гг : [0, Т0] ^ [0, ж) : г(£) > 0 щи Ь > 0, г(0) = 0, \ г'(¿)\ * с для п. в. Ь, г(г) * 1 ^(Г(£, х), дС), сЬ ^ г(^ ^ Х0£7 при 0 <г *Т0 и

вир вир

г уес

( у - Г(! \Х) *с. (10)

Доказательство.

Для произвольной точки х е С рассмотрим путь 7 и функцию г^у из леммы 1. Тогда путь

{ж + (£, 0,..., 0) при ¿е [0, М ],

ж + (7уу (0) - г, 0,..., 0) при ге [ М ,7у (0)], 7^ - гу(0)) при ¿е [гу(0), ¿х + гу(0)]

X

*

и кусочно гладкая функция r(t ) =

t при tE [0, Гу (0)],

Гу(t — Гу(0)) при t E [Гу(0),tx + Гу(0)] удовлетворяют утвеждению леммы.

2

В самом деле, условие |г')| ^ с, очевидно, выполнено, откуда в силу оценки гу(tx) ^ 5 следует, что существует число То такое, ч то + г у (0) ^ То для любо го х Е С.

Соотношение г(£) ^ |,х),дС) следует из леммы 1.

гу(0) ^ 1, откуда г(Ъ) ^ Я7 при t € (0, Гу(0)]. № соотношенпя (9) следует, что гу(¿) ^ 5гу(0) при t € [0,5гу(0)]. Отсюда г(£) ^ 5гу(0) ^ ^(т+г) ^ ПРИ tЕ [гу(0), (1 + 5)гу(0)].

г(£) ^ К(£ — Гу(0))7 ^ К (т+г) V7 ПРИ Ъ ^ (1 + й)гу(0)- Таким образом, существует ко > 0 такое, что г(Ъ) ^ коО7 при t € (0,То].

Лемма 4. Пусть С — область с условием бесконечного гибкого конуса. Тогда, при некоторых ео Е (0,1), ко > 0, с > 0, С > 0 для любого х Е С существует кусочно гладкий путь Г = Г(£, х) : [0, те) ^ С, Г(0,х) = х, |Г'| ^ 1 почти всюду и непрерывная кусочно гладкая, функция г = гг : [0, те) ^ [0, те) : г(Ь) > 0 щи Ь > 0, г(0) = 0, |г'(£)| ^ с для п. в. t, г(í ) < 1 dist(Г(í, х), дС), сЪ ^ г(р) ^ коí при 0 <г< те,

sup sup

г Уес

1 К1—М-

Mt)

эо

0

Доказательство отличается от доказательства леммы 3 лишь построением бесконечного пути 7 : [0, те) ^ С. Положи м г у = р(7 (£)), где 7 — бесконечный путь из определения 2, р(х) — регуляризованное расстояние от х до Мга \ С (см., например, [7]), то есть р — бесконечно дифференцируемая функция на С и при некотором N ^ 1:

-1 р(х) ^ р(х) ^ р(х), ^ N (х Е С).

Тогда при некотором 5 Е (0,1)

6г7(О < Гу(f) при В(7(0,^7(О) ns(7(i"),5r7(t")) = 0,t',t" E [0, те]. (11)

Зафиксируем е E (0, |).

Путь 7 — вписаннная в 7 бесконечная ломаная с вершинами 7(ti), 0 = to < t\ < < ... < ti < ..., где при iE N

ti = sup {t E (ti-1, те) : B(7(t),£ry(t) n В(7(ti-\),eГ7(i»-i) = 0}

(U < те в силу соотношения (11)).

Через 7 : [0, те) ^ G обозначим путь, состоящий из отрезков, последовательно соединяющих точки 7(ti), и параметризованный с помощью длины дуги, отсчитываемой от х = 7(0) = 7(0). Пусть при этом {Тг}^ — значения параметров последовательных вершин 7, так что 7(п) = 7(ti) при г E Z+.

Через Гу : [0, те) ^ (0, те) обозначим непрерывную функцию, принимающую значания Гу= er7(U)(i E Z+) и линейную на каждом отрезке [r^-1,Ti],

Свойства путей 7 и функций г у (аналогичные свойствам путей 7 и функци й г у из леммы 1) устанавливаются так же, как и в работе [5].

4. Интегральное представление

Воспользуемся усреднением из [8] для 0 < Ь ^ То (в случае области с условие бесконечного конуса 0 <Ь< ж):

/1 (х)

= (-1)1

Кп.[ у>. —I. Г(I,х) -х т

. т /

П

3=1 4

т /

П< 1 (у'.

.7=1 4

)И7 (

х + у)йу =

у>. —т. .х) -х^ Цх + у)йу.

(12)

где ( € Мп, 1(31 < 8. г(Ь) = гг^), а множители ядра усреднения удовлетворяют соотношениям (см. [8])

КПА

г (). Г (г. х) - х^ е С0°° (в ^Г (г. х) - хj.

К£?1 ( у>, . Г^. х) -х>) = В$КП1{ у>, —I. . х) - х

т

1 Ф)

У . I-. Г ( ь . х ) х I КПп _

т Ц \ \ т

').

при а.п = 0 ми а3 =

К*)(^. —I. Г (I .х) -X

и> - Г (г .х)+хх

г^уэ+^н3-1*31-1. (13)

КП](^у3. -т. Г (г .х) -х^ йу = 1.

т

Определение 3 (см. [7]). Семейство измеримых подмножеств Р в Мп называется регулярным, если существует константа с > 0 такая, что для любого 5 € Р существует открытый шар В Э 5 с центром в начале координат такой, что те8(5) ^ сте$(В).

Лемма 5 (см. [7]). Если семейство Р является регулярным, то для любой локально

Нт

1

яеР, те8(5)

шев^^-О

| }(х - у) - ¡Шу = 0.

Заметим, что семество ( В (Г-7 - х^. . t € [0. г^(0)] ^ является регулярным. Из соотношения (13) при некоторой С > 0

С

т /

ПКп У'.

3=1 4

кпА у3 . г-%. г «.х) -х;

<

^ВИрр И Кп, (V

те^ 8ирр П Кп. (уз. . Г & .х) - х^

при £ е [0. г^(0)]. Функция / локально суммируема в силу теоремы вложения (см., например, [8]). Тогда из леммы 5 следует, что Нт^ (Л^ = (1) почти всюду.

Таким образом, из формулы Ньютона—Лейбница почти всюду справедливо неравенство

П^/(х)

<

•т

¿х) М +|(У/)т (х)

(14)

при 0 <Т ^ То.

и

о

В [8] показано, что

< Ct(s-l)m-l^lr(t)-n-(s-l)(m-l)

П* I ^^ IE £ w

Из соотношений (13) — (15) следует, что

D?f (х) < С (Aof (х) + А19(х)) ,

где д(х) = £ £ \Daf (х)\

j=l a=ai ,|a|=s

Aof (x) = r(T)(-s+l)m-n T{s-i)m-W-i

1у-Г(Т,х)1<г(Т )

\f (x + y)\ dy,

Aig(x) =

■T

^{s-l)m-l^lr(^)-n-{s-l){m-l)

ly-r(t,x)l<r(t)

g(y)dydt.

(15)

(16)

(17)

(18)

5. Оценка нормы оператора А0

Мы будем пользоваться неравенством Иенсена:

(E.=i Щ)1 < E.=i Ы,гДег > 1,Ъг > 0.

Введем кубическую сетку с шагом Т (Qi — аг + [0,Т]П, где аг — Tz%, где в

свою очередь z% — последовательное!ь всех п-мерных целочисленных векторов). Пусть

Gi — G П Qi. Тогда mes (Gi) < mes (Qi) = Tn.

Замечание. Объединение шаров (J В(Г(Т, x), r(T)) (при фиксированном j) может

xeGj

пересекаться не более чем с конечным числом Gi, не зависящим от j.

Тогда из (17) с помощью неравенств Гельдера и Иенсена и замечания получим, что

\\A0f \\l4(g) < C\r(T)(-s+l)m-nT(*-l)™-lft-lr(T)

G

L(В(Г(Т,х),г(Т)))^Х ) <

< Cr(T){-s+l)m-n(l-r7)t(s-l)m-i < CTa(-(s-l)m-i)+(s-l)m-№lT

£

Gi

Gi

Lr(Gi) dx i <

« \\r\\Lr(G) = CT-(°-l)('-l)™+ i-"

Lr(G) ■

6. Оценка нормы оператора Al

Говорят, что оператор А имеет, сильный тип (р, q), где 1 < р < q < ж, если

Ш\\Lq{G) < С \\f\Lp{G) V f G LP(G), и что А имеет слабый тип (p,q), если

sup Л (mes G G : \Af (х)\ > À})7 < С \\/\\L {G) V f G LP(G), \>o py '

(19)

x

3=l \ ~Jm ) l=l а=аг,|=s

o

причем в обоих случаях наименьшую возможную постоянную С называют нормой (сильной или слабой соответственно) оператора А.

Теорема Марцинкевича (см., например, [9]). Пусть 1 ^ pi ^ qi < œ (i = 1,2), qi = Q2, 0 < т < 1, - = 1——L + , | = + ^. Если линейный оператор А имеет одновременно слабый тип (р\, q\) и (р2, q2) со слабыми нормами К\ и К2 соответственно, А ( , )

НА/\\Lq(G) <МК1~ТЩ ||/||MG) , (20)

где M = M(т, pi, qi, p2, q2) не зависит от функции f и линейного оператора А.

<

TJ'PQ

1

sup Л (mes {х G G : | Ai/(х)| > A})q ^

Л>0

^ С sup sup

xEGR>0

1\Т у(_-_^ t(( s-v^-rnw rv(t)(

и Ч |Г(t,х) - Г(0,х)| + rr(t)J Г()

x ( --- J t((s—i)m—\p\)p' fr(t)(—(s-1)(m-i)+-p>'dt

х mes(B(x,R))1 mLp(G) (21)

и убеждаемся, что в (21) можно выбрать постоянную С, не зависящую от T G (0,То|.

Пусть I(x,R) = {J^x (|p(t,,)-г(1)|+,Г(,) t((°-1)m-1^'rr(t)(-(s-1)(m-1)+V*dt}* х i

х mes(B(x, R)) q при x G G,R > 0.

При выполнении соотношения r(t) ^ et п ри 0 < t <T I(x, R) ^

< (Jo x (т+щ) t((s-1)m-Wrr(t)(-(s-l)(m-l)+Чт)p'dt) г7 mes(B(x, R))1 ,откудa I(x, R) = 0

при R ^ (C + 1)T И I(x,R) < ^J7^ Î( s-m-(s-1)(rn-1)(a-1)-1)p> dtj* R ? ПРИ R< (c + 1)T.

Таким образом, используя соотношение (6) при = I

supA (mes {x G G : /(x)| > A})1 < CTs-\fi\-(*-1)(™-1)("-1)-+? ||/||MG), (22)

A>0

где С те зависит от f G LP(G) и T G (0, To].

Соотношение (22) при = l выполняется также при замене в нем пары

(р, q) на каждую из пар (р1, q\), (р2, q2), удовлетворяющих соотношению (6), где

1 < р1 < р < р2 < q2 < ж, р1 < q1 < q < q2 < ж (р 1,р2 близки к р, a q-\_, q2 близки к )

1 1 _ 1 1 1 _ 1 2р 1 2р 2 р, 2 q1 2 q2 q.

Тогда в силу интерполяционной теоремы Марцинкевича

HA1Îhq(G) ^М(Р1, Р2, Q1, Q2)CT 2V IPI ( )( )( ) Р1 п) X

XT2 (*" 1й-(8-1)(ш- 1)(а-1)-+ q?) = дг-т-(3-1)(m-1)(*-1)-^ + ? , (23)

где С те зависит от T G (0,T0] и f G LP(G).

p

x

7. Доказательство мультипликативных неравенств

Введем обозначения

т

Е = Е1 (с) , А = Е Е \\ПУ\\ьр(0 , В = „, „^(с) .

„ ггв(з-1-(з-1)(т-1)(*-1)-+ т г

Положим £ = 1 V р и. !огда в силу соотношения (5) будут

справедливы соотношения:

е-^ =Т-(-1)т(-1)-™ + ? -, (24)

1

^ =г-1-( з-Щт-Щ*-1)-^р1^ +1. (25)

Если область удовлетворяет условию гибкого ст-конуса, то из соотношений (6), (16), (19), (23), (24), (25) следует, что

Е 4с[еквА + е-т^ В) (26)

в(з-1-( з-1)(т-1)(*-1)-"("^1)+1 + ^ )

при 0 <е ^ £о = Т0 р , где С не зависит от е € (0, £0] и /.

Рассмотрим 2 случая:

1 __^ " 1 __^

1) е0 А ^ е0 1 е В. Тогда Зё € (0, е0] : ее А = ё 1-е В, откуда следует, что

Е ^ С (ё*А + ё~1— В) = 2С (ёке А} В) 1~в = 2САвВ1-в. (27)

1 __

2) е0е А < е0 1-е В. Тогда

Е < С ^4 А + 1-е ^ < 2Се- 1-е В (28)

Из соотношений (27), (28) следует неравенство

Е < 2 шах | С, Се- ^ | (АвВ1-в + в) ,

совпадающее с мультипликативным неравенством(4).

Если область удовлетворяет условию бесконечного гибкого конуса, то неравенство (26) справедливо для любого е > 0, откуда следует(как и при доказательстве неравенства (27)) мультипликативное неравенство (8).

Неравенства (4) и (8) в условиях теорем 1 и 2 доказаны.

8. Случаи несправедливости мультипликативных неравенств

Рассмотрим специальную область С, удоветворяющую условию гибкого ст-конуса,

со

«грибную поляну» С = У Ск. Здесь

к=0

С0 = (-1,1)га-1 х (-1, 0),

Ск = (тк, 0,..., 0) + ((-Гк, ГкГ-1 х (гк, 2Гк)) и ((-г*, г*Г-1 х (-1, 2гк)) ,

где последовательности {Гк}С=1 и {Тк}С=1 такие, что 1 > Гк > 0, 1 > Тк > 0, Гк I 0, Тк 0, выбраны таким образом, что Ск П Ск+ = 0 при к € N.

При т = 1 на области С рассмотрим следующую последователъность функций {Д

Г0 на С \Ск,

л = 1^ (* ) ..«к,

где ц € С^, г](£) = 0 при £ ^ 0, = 1 при £ ^ 1.

Легко убедиться в том, что при к ^ те

Lr(G) - rk

Е "Daл"к(с) - С1"+f, |«|=i

д(п-1) + 1

^р |a|=s

При m ^ 2 на области G рассмотрим следующую последовательность функций {Д

Г0 на G \Gk,

fk = (>i - Tk)s-1 п^с!^ (t) пРи ж £Gk,

где ц £ С, r](t) = 0 при i ^ 0, r](t) = 1 при t ^ 1.

Легко убедиться в том, что при к ^ те

Lr (с) - rk

(s-1)(m-1) + n

V-^ -Z+(s-1)(rn-1)+^

E "l,( с) - rk ( )( ) « ,

(n-1) + 1

£ E "D°fk < (Jr-s+'('k1)(mk1)+ - .

3=1 a=ai ,|a|=s

Устремляя к ^ те, в силу соотношения ^ < ^ + I при 1 ^ m ^ п получаем, что при выполнении соотношения (7) мультипликативное неравенство (4) несправедливо.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 11-01-00744).

Литература

1. Gagliardo Е. Ulterori proprieta di alcune classi di funzioni in pi-u variabili // Ric. mat. — 1959. - V. 8. - P. 24-51.

2. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa. Ser. III. - 1959. - V. 13. Fasc II. - P. 115-162.

3. Ильин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов // Труды МИЛИ СССР. — 1959. - Т. 53. - С. 64-127.

4. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

5. Бесов О.В. Теорема вложения Соболева для областей с нерегулярной границей // Матем. сб. — 2001. — Т. 192, вып. 3. — С. 3-26; англ. пер.: Besov O.V. Sobolev's embedding theorem for a domain with irregular boundary // Sb. Math. — 2001. — V. 192, X 3. P. 323-346.

6. Kilpelainen Т., Maly J. Sobolev inequalities on sets with irregular boundaries // Z. Anal. Anwendungen. - 2000. - V. 19, N 2. - P. 369-380.

7. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973 / пер с англ. Ellas М. Stein. Singular integrals and disfferentiabilitv properties of function. — Princeton univ. press, 1970.

8. Бесов О.В. Интегральные оценки дифференцируемых функций на нерегулярных областях // Матем. сб. — 2010. — Т. 201, № 12. — С. 69-82; англ. пер.: Besov О. V. Integral estimates for differentiable functions on irregular domains // Sb. Math. — 2010. — V. 201, N 12. - P. 1777-1790.

9. Весов О.В., Ильин В.П., Никольский G.M. Интегральные представления функций и теоремы вложения. — М.: Наука, 1996 / англ. пер.: Besov O.V., Il'in V.P., Nikol'skii S.M. Integral representations of functions and imbedding theorems. — V.H. Winston k, Sons, Washington, DC; J. Wiley k, Sons, New York, 1978, 1979. — V. 1, 2.

Поступим в редакцию 24-02.2012.