Мультипликативно обратный элемент для вычета по модулю m Текст научной статьи по специальности «Прочие технологии»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №4/2016 ISSN 2410-6070

В.Г. Шухова. 2009. №3м. С. 139-143.

5. Радоуцкий В.Ю., Шаптала В.Г. Методологические основы моделирования систем обеспечения комплексной безопасностью ВУЗов. // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2008. №3. С. 64-66.

6. Шаптала В.В., Ветрова Ю.В., Шаптала В.Г., Радоуцкий В.Ю. Оценка риска чрезвычайных ситуаций природного, техногенного характера и пожаров. Учебное пособие. / Белгород, 2011.

7. Павленко А.В., Ковалева Е.Г., Радоуцкий В.Ю. Анализ подходов к оценке риска. // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2015. №3. С. 106-109.

© Северин Н.Н., Шульженко В.Н., Павленко А.В., 2016

УДК51

Г.А.Сикорская,

Д-р пед. наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики, ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный университет», г. Оренбург

МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ОБРАТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ ВЫЧЕТА а ПО МОДУЛЮ М

Аннотация

В статье дано краткое обоснование методов поиска мультипликативно обратного элемента по модулю т на основании алгоритма Евклида и в соответствии с теоремой Ферма-Эйлера; продемонстрировано практическое применение этих методов.

Ключевые слова

Мультипликативно обратный элемент для вычета а по модулю т; алгоритм Евклида; теорема Ферма-

Эйлера; цепная дробь; подходящие дроби.

Умение находить мультипликативно обратный элемент для вычета а по модулю т весьма важная составляющая математического образования выпускника матфака, однако опыт работы в ВУЗе показывает, что студенты испытывают определенные затруднения в усвоении практических приемов поиска мультипликативно обратного элемента. В связи, с чем мы посчитали необходимым провести небольшой дополнительный практикум.

Известно, что мультипликативно обратным элементом по модулю т для элемента а называется число, удовлетворяющее равенству

ах = ха = 1(той т.) (обозначение а-1).

Рассмотрим два способа вычисления мультипликативно обратного элемента по модулю т - по алгоритму Евклида и по теореме Ферма-Эйлера.

Способ вычисления мультипликативно обратного элемента по модулю т, основанный на алгоритме Евклида, следует из свойства числителей и знаменателей двух последних подходящих дробей цепной дроби — = (д^ ц2, ■■■, Цк). Очевидно, что поскольку НОД(а, т) = 1, то из равенств

PkQk-i - Pk-iQk = (-1Г,- = Sk=fk .1-m(-1)kbk-1

следует a(—1)kQk-l — т(—1)кРк-1 = 1.

Из чего, очевидно, далее следует, что х = (—1)kQk-1 и у = (—1)к+1Рк-1 являются целочисленными решениями уравнения ах — ту = 1 и, значит а-1 = (—1)kQk-1 для знаменателя Qk-1 предпоследней подходящей дроби представления числа — в виде цепной дроби.

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №4/2016 ISSN 2410-6070_

Второй способ вытекает из теоремы Ферма-Эйлера.

Для взаимно простых чисел а и т выполняется свойство a^(m) = l(mod m), где ^(m) - значение функции Эйлера, равное по определению количеству натуральных чисел п < т, которые взаимно простые с числом т.

Представив формулу Ферма-Эйлера в виде: aa^(m)-1 = 1(mod m), получаем а-1 = а^(т)-1. Продемонстрируем на примере процесс поиска мультипликативно обратного элемента по модулю т = 42 для элемента а = 25 обоими методами.

25

а) Представим рациональное число г = — в виде цепной дроби, в соответствии с алгоритмом Евклида.

42

Имеем:

а0 = 25 = 42 х 0 + 25 = а1д1 + а2, или а1 = 42 = 25 X 1 + 17 = а2д2 + а3, или а2 = 25 = 17 х 1 + 8 = a3q3 + а4, а3 = 17 = 8X2 + 1 = a4q4 + а5 а3 = 8 = 1X8 + 0 = %q5

а5 1

25

Результат вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей цепной дроби — = (0; 1,1, 2, 8)

42

оформим в виде следующей таблицы:

ао _ а1 25 42 = 25 0+ « = + 32

а1 — а2 42 25 = 1+ 15= ^2 + аз

или 32 а3 =25=1 + 1. 17 17 1 а4 = «з+а;,

или 33 а4 17 1 = —= 2 +- = 8 8 а4

или 34 а5 = 8=8= 45

I -1 0 1 2 3 4 5

qi 0 1 1 2 8

Pi 0 1 0 1 1 3 25

Qi 1 0 1 1 2 5 42

Для вычета а = 25 мультипликативно обратный элемент 25"1 по модулю т= 42 вычисляется по формуле a"1 =(-1)feQfe-i = (-1)5*5 = -5.

Так как необходимо отобрать наименьшее положительное число, то -5 + 42 = 37. Выполним проверку: 25x37 = 925

925/42 = 22 (ост. 1) 925 = 42 x 22 + 1

25 x 37 = 1(mod 42)

Итак, мы получили, что для вычета а = 25 мультипликативно обратный элемент 25"1 по модулю т= 42 равен 37.

б) Теперь, используя теорему Ферма-Эйлера, находим обратный элемент по формуле а-1 = а^(т)-1, где ^(т)- функция Эйлера от т.

Разложим число т на простые множители 42 2

21 3

7 7

1

и найдем значение функции Эйлера от т = 42:

<р(42) = (2-1) x (3-1) x (7-1) = 1x2x6 = 12.

Следовательно, а-1 =а^(42)-1 = а11, то есть а-1 = 2511(mod 42) Разложив 2511 как 252x 2510 , получим а-1= 375x25(mod 42) Разложив 375 как (372)2 x 37, получим

а-1 = 252 х37х25 (mod 42), а-1 = 37x37x25(mod 42), а-1 = 25x25(mod 42) а-1 = 37(mod 42)

Итак, для вычета а= 25 мультипликативно обратный элемент 25-1 по модулю т = 42 равен 37.

Список использованной литературы 1. Виноградов, И. М. Основы теории чисел : учеб. пособие /И.М. Виноградов. - 11-е изд., стер. - СПб. : Лань,

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №4/2016 ISSN 2410-6070_

2006. - 176.

2. Молчанов, В.А. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие для вузов/ В.А. Молчанов; М-во образования и науки Рос. Федерации, Гос. образоват. учреждение высш. проф. образования «Оренбург. гос. ун-т». -Оренбург : ГОУ ОГУ, 2009. - 194с.

3. Нестеренко Ю. Теория чисел. — Академия Москва, 2008. — С. 272.

© Сикорская Г.А.,2016

УДК 621.312.12

Б.В.Хлопов

д.т.н., ФГУП «ЦНИРТИ имени академика А.И. Берга», г. Москва, Российская Федерация М.И. Самойлович д.ф.-м.н., ОАО «ЦНИТИ «Техномаш», г. Москва, Российская Федерация А.Б.Митягина

вед. инженер, ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, г. Фрязино Моск. обл., Российская Федерация

УСТОЙЧИВОСТЬ МУЛЬТИФЕРРОИДНЫХ МАТЕРИАЛОВ НЖМД ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НА

НИХ ВНЕШНИХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Аннотация

Бурное развитие технических средств связи и систем внешней памяти, позволяющих получать конфиденциальную информацию из компьютеров и компьютерных сетей, определило потребность в проведении исследований и в разработке аппаратуры для экстренного стирания информации с магнитных носителей. Так как в базах данных ЭВМ хранится большое количество информации, то в случае возникновения непредвиденного события, которое может произойти с головокружительной быстротой и неожиданностью (терроризм, похищение государственных коммерческих и промышленных секретов), актуальным становится вопрос о мгновенном уничтожении конфиденциальной информации. Данная работа посвящена определению устойчивости параметров мультиферроидных материалов, применяемых в системах памяти при экстренном внешнем воздействии на них электромагнитными полями.

Проведены экспериментальные исследования магнитных свойств тонкопленочных мультиферроидных материалов, напыленных на подложки

НЖМД при воздействии на них внешних постоянных, периодических и импульсных магнитных полей с учетом экранирования металлическим корпусом. В ходе проведения ряда экспериментальных исследований удалось определить необходимые условия устойчивости магнитных свойств мультиферроидных материалов при воздействии на них внешних импульсных магнитных полей с учетом экранирования металлическим корпусом НЖМД. Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности создания оборудования с магнитной системой, обеспечивающей создание магнитных и электромагнитных полей, напряженность которых превосходит значения коэрцитивной силы, определяющей устойчивость мультиферридных материалов, применяемых в существующих широко выпускаемых фирмами производителями носителях информации.

Экспериментальные результаты могут быть рекомендованы для использования при разработке устройств экстренного стирания информации с НЖМД.

Ключевые слова

Магнитное поле, сканирующая зондовая микроскопия, магнитный рельеф, экстренное стирание

информации, напряженность магнитного поля.