Мультипликативная рюкзачная криптосистема Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 4. С. 23-25.

УДК 512.53 Т.Н. Шевляков

МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ РЮКЗАЧНАЯ КРИПТОСИСТЕМА

Представлен новый вариант криптосистемы, основанной на задаче о мультипликативном рюкзаке. Предложено свойство, обобщающее супервозрастание в случае

г + п

.

Ключевые слова: мультипликативный рюкзак, диагональное супервозрастание, рюкзачная криптосистема.

Задача о мультипликативном рюкзаке.

Под задачей о мультипликативном рюкзаке будем понимать следующее. Пусть дан набор весов

В = {bx,b2,...bk},bt eZ+,

и вес рюкзака

П eZ+,

где через обозначено Z+ множество всех положительных целых чисел. Необходимо найти такой вектор X = {, Х2,...xk },} e{0,l}k , что

п=да-.

i=i

Заметим, что эта задача является интерпретацией «Subset product problem»:

«Дано конечное множество A с Z+ и В е Z+ . Существует ли подмножество Ac A такое, что В = П a ?».

aeA

«Subset product problem» является NP-трудной задачей [1].

Чтобы построить криптосистему, основанную на задаче о мультипликативном рюкзаке, необходимо выполнить следующие условия:

1) найти свойство P для набора весов В такое, что задача нахождения вектора X е {0,l}k будет простой.

2) найти преобразование р, которое будет скрывать свойство P для набора весов В .

Свойство P.

Воспользуемся идеей супервозрастающей последовательности. Рассмотрим набор A = {а1,а2,...ak},ai eZ+n:

ai = {aii,ai25ai35-•-ain}, a2 = {a2i5a22,a235- • a2n },

© Т.Н. Шевляков, 2011

ak ={aki,ak 2,ak 3,■■■akn },

24

Т.Н. Шевляков

а є г.

Пусть п > к, и числа а^- удовлетворяют следующему свойству:

і

а2,2 > 1а,2, і=1 2

а3,3 > Iа,3,

к-1

ак ,к > Іа.

(1)

г —

Если п < к, то разобьем набор А на к ' 1 поднаборов:

Аі ={а1,_,ап }

А2 = {ап+1, • • •, а2 п },

= [а.

Аг = {а(г—1)п+1,'", ак },

п

ап+1,1 > Іа

а

(г—1)п+1.

1 > I а1,1.

Таким образом, мощность каждого из этих множеств меньше или равна п. Теперь на эти наборы можно перенести определенное выше свойство.

Определение 1. Назовем свойство Р диагональным супервозрастанием. Элементы, стоящие в левых частях неравенств (1), будем называть суперэлементами. .

Пример 1.

а1,1 — 1, а1,2 — 1, а13 3

а2,1 — 2, а2,2 — ,3 2, $ 2, — 1

а3,1 — 1, а3,2 — 1, а3,3 5

а4,1 II і 4а 2 — - 1, а4 ,3 - = 7

а5,1 1, а5,2 , і II 3

аб,1 II .і- 2 II 1,аб,3 _ : 21

а7,1 —14, а7 2 —14, а7 ,3 =5

2 2 — 2 > а12 — 1

а33 — 5 > а13 + а2,3 — 4

а4,1 — 6 > а11 + —2 1 + 4 II 3, а

а5 2 — 6 > а12 + а2 2 + аз 2 + а4 2 — 5

а63 — 21 >а13 +а23 +а43 +а53 — 19

а7 1 — 14 > а1 1 + а2 1 + а3 1 + а4 1 + а5 1 + а6 1 — 12

Для набора весов А, обладающего свойством Р, выполнено следующее

Свойство 1. Задача нахождения век-к к тора х є {0,1} такого, что ^ — Iха, для

і—1

некоторого ^ — {і,1,52,...,,5п} є Z+п, является простой.

Доказательство. Сразу оговоримся, что решение задачи существует, необходимо только найти его. Заметим, что УаД/ а - является супер-элементом.

Пусть а — {1,...,ік},і- є1,2,...,п - набор индексов таких, что а, . ,а2 ,...,а, являют-

1Л 2,і2 к ,гк

ся супер-элементами.

Поиск вектора х сформулируем в виде следующего алгоритма:

Вход: множество А, множество а, вектор ^

Въход: вектор х Алгоритм:

Будем последовательно перебирать все а ■ є А , начиная с последнего. Если

а,, < 5,

х^ ^ 0 . Переходим к следующему а^.

Свойство доказано.

Свойство 2. Для различных

х, У е{0,1}

к к

Е Хаг Ф Е Угаг.

1=1 1=1

Доказательство. Предположим противное. То есть

к к

Е х,а = Е Уа

і—1

к

I(х ,— у г )а — °.

(2)

Сформируем три множества индексов: и+ ,а ,а0 таких что

У/ео+ (х - у 1) = 1, У!ео- (х - у 1) = -1,

У/еоо(х - уг) = 0. Предположение (2) эквивалентно равенству

к к ____________

Е х а - Е х а = о.

і—1

і—1

—1

—1

г—1

Мультипликативная рюкзачная криптосистема

25

Обозначим 1тах максимальный индекс среди Ст- ,а+ (пусть /тех ест+), тогда ат^ -это супер-элемент. Из (3) следует, в част-

ности, что

У а. -У а. = 0,

ЇЄ(Г_

У а. -Уа. = 0,

гєа\ їєо\_

*Є(Г+ їєо\_

а,* = Е а,,- Е а < Е а1 ,* < Е а,,, (4)

!ест_ 1'ест+ 1=1

1 ^тах

что противоречит определению суперэлемента.

Свойство доказано.

Свойство 3. Супервозрастание для набора весов из Z является частным случаем диагонального супервозрастания. Преобразование р.

В качестве преобразования возьмем перестановку п : {1,2,...,к} —> {1^,\г,..Ак}.

Таким образом, В = {Ъ, ,..., }.

Описание криптосистемы

Рассмотрим задачу о мультипликативном рюкзаке. Есть набор весов В = {Ъ1,Ъ2,...,Ък}, Ъ е Z+ . Справедливо представление

»,=П л

(5)

м

где р. - простые числа, аеNu{0}. Установка:

Выберем п простых чисел Р = {р1,р2,...,рп} и набор из к векторов

А = {а1,а2,...,ак},а е Z+п, обладающий свойством диагонального супервозрастания. Построим набор весов В = {, Ъ2,..., Ък } вида (5). Выберем перестановку п : {1,2,...,к} —{11,12,^ 1к}. В' ={Ъ2,•••,Ък},

Ъ = Ъп(,). {Р, А,п} - закрытый ключ шифрования. В - открытый ключ шифрования.

Передача сообщения:

1. Пользователь А запрашивает у пользователя В открытый ключ:

А ^—— В.

2. Пользователь А вычисляет вес рюкзака П. га = {,..., тк } е |0,1}к - сообщение.

п=Пб;т.

1=1

3. Пользователь А передает вычисленный вес рюкзака пользователю В

А ——— В.

4. Пользователь В решает задачу о мультипликативном рюкзаке, решением которой является сообщение т.

п=1Л ъ1х = 1Пъ Гп-1(0.

1=1 1=1

Пусть у 1 = х^1( . С одной стороны,

п = П рв,

а с другой -

к я Iу—

П —п —П рГ .

і—1 1—1

Теперь пользователю В необходимо решить задачу, описанную в (Свойстве 1). В знает закрытый ключ шифрования и все супер-элементы в множестве А. Поэтому он легко решает эту задачу, находя таким образом сообщение т.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Karp R. M. Reducibility Among Combinatorial Problems // Complexity of Computer Computations (Ed. R. E. Miller and J.W. Thatcher). New York : Plenum Press, 1972. Р. 85-103.

?_____ -1

г=1