CC BY
98
УДК 372.851
МУЛЬТИДИСЦИПЛИНАРНЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИИ БУДУЩИМИ УЧИТЕЛЯМИ МАТЕМАТИКИ
© 2016
Ельчанинова Галина Георгиевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры
«Математики и методики её преподавания» Мельников Роман Анатольевич, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Математики и методики её преподавания» Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина (399770, Россия, Елец, улица Коммунаров, 28.1, e-mail: roman_elets_08@mail.ru)
Аннотация. В статье рассматривается возможность изучения будущими учителями математики одного из труднейших разделов школьного курса математики (тригонометрии). Задачи, содержащие тригонометрический материал, являются неотъемлемой частью ЕГЭ по математике, а также служат селективным материалом при составлении заданий к олимпиадам, конкурсам и т.п. Показ достижений предков, далеко шагнувших за пределы мысли своего времени, подчас более организует и направляет на изучение науки. История тригонометрии насчитывает уже десятки веков и открывает имена людей, видевших гораздо дальше своих современников. По этой причине в статью включен крайне беглый исторический экскурс в становление тригонометрии. Идея мультидисциплинарного подхода к изучению тригонометрии направлена на усиление предметно-методической подготовки будущих учителей математики и затрагивает ряд проблем. Во-первых, это проблема перехода от изучения тригонометрии в основной школе к рассмотрению её в старшей школе; во-вторых, проблемы, связанные с самим тригонометрическим материалом (трансцендентность, семейство корней, обилие формул, множественность в выборе пути решения, специфические способы решения уравнений и систем); в-третьих, аспекты межпредметных и внутрипредметных связей при изучении тригонометрического материала в вузе.
Ключевые слова: тригонометрия, подготовка бакалавров, будущий учитель математики, мультидисциплинар-ный подход, школьные учебники, изучение школьных учебников, элементарная математика, методика обучения математике.
MULTIDISCIPLINARY APPROACH TO THE STUDY OF TRIGONOMETRY BY FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS
© 2016
Elchaninova Galina Georgievna, candidate of pedagogical sciences, associate professor of the department
"Mathematics and methods of teaching" Melnikov Roman Anatolyevich, candidate of pedagogical sciences, associate professor of the department
"Mathematics and methods of teaching" Bunin Yelets State University (399770, Russia, Yelets, Communards street, 28.1, e-mail: roman_elets_08@mail.ru)
Abstract. The possibility of study one of the most difficult sections in a school, course of Mathematics (Trigonometry) by future math teachers are discussed in the article. Tasks containing Trigonometric material are an integral part of the Unified State Exam in Math, as well as selective material for preparing to the competitions, contests etc. Achievements of ancestors being in advance of their time sometimes more organize and direct to the study of science. The history of Trigonometry has had tens of centuries and reveals the names of people, who looked much further than their contemporaries. For this reason, the article includes a very cursory historical excursion into the development of Trigonometry. The idea of a multidisciplinary approach to the study of Trigonometry is pointed at strengthening the subject and Methodological training of future math teachers and addresses some issues. It touches, Firstly: The aspects of inter-subject and intra-subject relationships while studying trigonometry material at universities, Secondly: The problem of transforming from learning trigonometry in junior classes to senior ones and Thirdly: The problems connected with trigonometry material itself (transcendence, plenty of radicals and formulae, multiplicity of approaches to the choice of the way solution, specific ways of solution to equations and systems).
Keywords: trigonometry, preparation of bachelors, future teacher of mathematics, multidisciplinary approach, school textbooks, study textbooks, elementary mathematics, methods of teaching mathematics.
Текущий момент развития нашей страны характеризуется политизированностью практически всех сфер жизни. Мы постоянно слышим, как со всех трибун звучат заявления о том, что стране жизненно необходимы реформы в системе образования. Главным образом, звучат призывы модернизировать нашу школу технически: оснастить образовательные организации новым оборудованием (компьютерными классами, интерактивными досками, проекторами и т.п.), новыми программными ресурсами (разного рода пакетами программ). Предлагается создать благоприятные условия для нахождения обучающихся в помещении школы (освещение, удобная мебель, загруженность школы в одну смену, питание детей, обеспеченность учебниками и дополнительной литературой и многое другое).
Лишь изредка упоминают о роли учителя во всей этой модернизации: о знании им своего предмета, о методической грамотности и готовности использовать высокотехнологическое оборудование, о загруженности современных педагогов, как в плане числа проводимых им в течение недели уроков, так и в плане количества различной бумажной документации, сопровождающей образовательный процесс.
Подготовкой к решению части вопросов (знание предмета, методическая грамотность и др.), возникающих в профессиональной деятельности учителя, несомненно, занимаются профильные (выпускающие) кафедры вузов, ведущие подготовку по соответствующим направлениям. Кроме того, преподавателями этих же кафедр проводятся курсы повышения квалификации учителей школ. Поэтому проблематика, связанная с ролью учителя и его компетентностью в преподавании целиком ложится на их плечи.
Система математической подготовки будущих учителей математики (на уровне бакалавриата) включает множество различных курсов - классических, современных, адаптированных. В их числе давно уже нет отдельно и глубоко изучаемой дисциплины «Тригонометрия». Отметим также, что её нет отдельно взятой и среди школьных дисциплин. Раздел математики, имеющий древнейшие корни, множественные внутри и межпредметные связи, допускающий выполнение служебных ролей, сам имеющий достаточно обширный круг теории, не имеет единообразия в изучении, рассматривается далеко не полно. Из-за этого молодой специалист, пришедший в школу, теряется в обилии методических
подходов, ограничении круга теории и отсутствии свободного времени для того, чтобы дать школьнику хотя бы немного больше сведений о древней, не теряющей своей актуальности, науке мореплавателей, геодезистов, астрономов и др.
Исследований, направленных на совершенствование методики преподавания тригонометрии в вузе, крайне мало. Из сравнительно недавних работ, затрагивающих указанную проблематику, можно отметить труды А.К. Жафярова [1], Н.И. Попова [2] и В.И. Снегуровой [3].
Постоянные призывы методистов и исследователей о том, что необходимо сделать математику доступной, показывая насущные практические приложения её, для ряда классических тем невыполнимы без экскурса в историю науки. В рамках данной статьи мы предлагаем лишь поверхностный ретроспективный обзор, который даже в предложенном объёме мобилизует, дисциплинирует и нацеливает на изучение тригонометрии, показывая длинный и общий в достижении цели для всех стран путь становления тригонометрии.
Термин «тригонометрия» закрепился в науке после того, как под одноименным названием «Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» («Trigonometría sive de soluione triangularum tractatus brevis et prespicuus») вышла в Гейдельберге в 1595 г. книга немецкого богослова и математика Бартоломеуса Питискуса (1561-1613). Но основы тригонометрии как науки начали формироваться ещё в глубокой древности, когда некоторые её понятия стали использовать для расчётов в астрономии, архитектуре и землемерии. Так, например, «по отношению к звёздному небу наблюдатель как бы оказывается в центре сферы. Чтобы определить положение того или иного небесного светила, он должен знать величину некоторых круговых дуг на небесной сфере или, что то же, центральных углов в круге» [4, С. 7].
Еще в Древнем Вавилоне астрономы догадались, что центральный угол в круге можно измерять стягивающей его хордой, выражая её величину в частях диаметра. Для нахождения хорды пользовались уже известной тогда теоремой, которая впоследствии получила название «теорема Пифагора». Н.А. Александрова отмечает: «ещё от трудов вавилонских астрономов ведёт столь важное для тригонометрии деление окружности на 360 равных частей - градусов, каждого градуса - на 60 минут и т.д.» [5, С. 188].
Несомненно, что знаниями по тригонометрии обладали и математики Древнего Египта. Об этом свидетельствует задача № 36 из папируса Ринда [6, С.42], в которой требовалось по стороне основания пирамиды и её высоте определить так называемый «скат», т.е. расстояние, на которое наклонная линия отходит от вертикальной при подъеме на единицу длины.
Учёные Древней Греции унаследовали от египтян и вавилонян большой запас астрономических сведений и вычислительных методов. Историки математики считают, что именно в Египте Фалес Милетский (640/624 -548/545 до н.э.) познакомился со способом вычисления высоты шеста по отбрасываемой им тени. Эта идея была положена в основу конструкции солнечных часов. Шест, укрепленный на некоторой горизонтальной площадке, назывался гномоном. Длина его тени зависела от положения светила и менялась в течение дня. Наибольшей она была в моменты солнечного восхода и захода, наименьшей - в полдень, в момент, когда Солнце находится наиболее высоко. Именно таким образом древние люди определяли время. Первое описание гномона, согласно древним источникам, дал в своей «Книге о природе» Анаксимандр (610 - 547/540 до н.э.) - ученик Фалеса Милетского. Отношения величин, представляющие собой, по сути, тригонометрические соотношения, впервые встречаются в труде «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» знаменитого ученого античного мира
Аристарха Самосского (ок. 310 до н.э. - ок. 230 до н э.), который известен тем, что первым предложил рассмотреть гелиоцентрическую модель мироустройства. Клавдий Птолемей (ок. 87 - ок. 165 н.э.) в главном труде всей своей жизни «Megale syntaxis» - «Великое математическое построение по астрономии в тринадцати книгах» (более известном в арабском мире под кратким названием «Альмагест»), собрал и систематизировал астрономические знания ученых древней Греции и Вавилона. В одной из частей этой книги он изложил основы прямолинейной и сферической тригонометрий. Птолемей вошёл в историю тем, что предложил, исходя из идей Гиппарха Никейского (ок. 190 до н.э. - ок. 120 до н.э.), геоцентрическую модель мира, которая продержалась до появления Николая Коперника! Персидский математик Нассир-Эддин (1201 - 1274) первым отделил тригонометрию от астрономии.
На Ближнем и Среднем Востоке точное определение времени было связано с особенностью религии Ислам, так как каждый мусульманин обязан ежедневно в определенное время суток совершать пять намазов (обязательных молитв). Именно арабские математики развили тригонометрические методы и уже к XII в. фактически превратили тригонометрию в самостоятельную науку. Именно в арабской литературе появился новый жанр
- зижди - сборники астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённые правилами их использования и доказательствами некоторых правил расчетов по таблицам. Важный методический шаг в развитии тригонометрии сделал Абу-л-Вафа (940 - 998), он первым положил, что радиус окружности, для которой рассматривались величины хорд и центральных углов, равным единице. Это существенно облегчило вычисления. Это открытие совершалось несколько раз, но только после Л. Эйлера в тригонометрии раз и навсегда договорились использовать единичную окружность.
Развитием тригонометрии занимались и европейские учёные. По меткому замечанию Н.В. Александровой: «полное введение в тригонометрию и первый учебник тригонометрии» - это труд немецкого математика Йоганна Мюллера (1436 - 1476) «De triangulis o libri quinque» («Пять книг о треугольниках всех видов» 1462
- 1464) [7, с. 189]. Но этот учёный известен более по псевдониму - Региомонтан. Он же ввёл понятие «тангенс». Новую эру развития тригонометрии открыла книга «Canon mathematicus seu ad triangula appendicibus» (1579) французского математика Франсуа Виета (1540 -1603), который первым применил в ней алгебраические преобразования. До этого времени задачи тригонометрии были задачами на построение. Он же вывел формулы для sift ш и cos ш при п < 10. В 1739 г. И. Бернулли ввёл современные обозначения синуса и косинуса.
Благодаря трудам великого Леонарда Эйлера (1707 -1783) развитие тригонометрии продвинулось резко вперёд. В своем труде «Introduction in analysis infinitorum» (1748) он предложил новый - функциональный подход к тригонометрии. Им были получены формулы приведения, установлены знаки тригонометрических функций по четвертям. Более того он установил связь между тригонометрическими функциями комплексного аргумента и экспонентой того же аргумента. Сам термин «тригонометрические функции» ввёл немецкий математик, почетный член Петербургской Академии Наук Георг Симон Клюгель (1739 - 1812) в работе «Аналитическая тригонометрия» (1770). Благодаря усилиям Л. Эйлера тригонометрию стали изучать и в России. Аналитическая (т.е. не зависящая от геометрии) концепция построения теории тригонометрических функций, начатая ещё Эйлером, получила логическое завершение в трудах Н.И. Лобачевского (1792 - 1856).
Идея записывать обратные тригонометрические функции, используя приставку «арк -» (от лат. arcus -лук, дуга) принадлежит австрийскому математику Карлу Шерферу (1716 - 1783). Эта ' мысль была поддержана из-
вестным французским математиком Ж.Л. Лагранжем, который ввёл (в 1772 г.) в рассмотрение «арксинус» -первую из шести обратных тригонометрических функций.
Итак, приведенный краткий исторический обзор развития тригонометрии свидетельствует о том, что она появилась на геометрической основе, использовала язык геометрии и применялась для решения геометрических задач. Поэтому уже более ста лет первое знакомство школьников с элементами тригонометрии происходит именно при изучении планиметрии (раздела геометрии).
До 1966 г. тригонометрическому материалу в школьном образовании отводилась важная и заметная роль. Это выражалось в том, что в старших классах в программу входила отдельная дисциплина «Тригонометрия», на изучение которой отводилось 2 часа в неделю, а итоговая оценка выставлялась в «аттестат зрелости». Известно, что начиная с середины 60-х гг., в ходе подготовки и осуществления «колмогоровской реформы», отношение к изучению тригонометрии изменилось, что в первую очередь отразилось на программных целях изучения данного раздела в средней школе. Кроме того, тригонометрию перестали рассматривать как педагогический инструмент развития мышления. В итоге тригонометрический материал стал вытесняться не только из содержания основной школы, но и из курса старшей ступени обучения в школе, несмотря на то, что изучение физики подразумевает хорошее владение тригонометрическим аппаратом.
В результате часть тригонометрии, касающаяся решения треугольников, оказалась в современных школьных учебниках геометрии, а тригонометрия любого действительного аргумента стала изучаться в курсе алгебры.
Заметим, что большинство «средних» современных учеников не считают себя сведущими в тригонометрии даже настолько, чтобы выполнить тождественные преобразования. Тогда, как, к примеру, в принятом учебном плане по математике на 1826 г., были указаны разделы, которые надо изучать: арифметика, алгебра, геометрия. Для не обучавшихся греческому языку также предполагались такие предметы: начертательная геометрия, тригонометрия и приложение алгебры к геометрии до конических сечений включительно.
Подавляющее большинство авторских коллективов, создающих школьные учебники алгебры и начал анализа, используемые в современной школе, берут за основу способ введения их с использованием тригонометрической окружности. Однако не существует единообразия в подготовке к систематическому изучению тригонометрии в старшей школе. Так, ряд авторских коллективов предлагает в своих учебниках (9 классов) достаточно полную теорию тригонометрических функций - их введение как абсциссы и ординаты точки на координатной плоскости; единицы измерения угловых величин и даже решение простейших тригонометрических уравнений. Это авторские коллективы Ш.А. Алимова и др. [8], А.М. Абрамова и др. [9], А.Г. Мордковича [10], С.М. Никольского и др. [11].
Этот факт порождает проблему в подготовке студентов - будущих учителей математики: как изучать тригонометрию при переходе к старшей школе по учебникам различных авторов?
Изучение тригонометрии - одна из важных вех в процессе подготовки к профессиональной деятельности будущих учителей математики.
В этой связи мы предлагаем мультидисциплинарный подход к изучению тригонометрии будущими учителями математики. Его суть заключается в том, что на протяжении всего периода подготовки будущий учитель математики сталкивается с тригонометрическим материалом, содержащимся в различных математических дисциплинах, как базовой, так и вариативной частей учебного плана.
Представим сначала фрагмент учебного плана, реализующий такой подход, из которого станут ясными сроки и последовательность изучения соответствующих дисциплин.
Таблица 1 - Распределение дисциплин, содержащих тригонометрический материал
Вид дисциплины Название дне и шпины Курсы I П Ш IV
Семестры 1 2 3 4 5 6 7 S
i 1 и! о •-> с 1 ^Алгебра +
Математический анализ + +
Элементарная .математика +
Методика обучения математике +
Теория функций комплексного переменного +
i О 5 = §■ - z i б§- X S Практикум по школьному курсу .математики +
Изучение школьных учебника +
Нестандартные тригонометрические -
Рассмотрим теперь, с какими сведениями из тригонометрии студенты встречаются при изучении указанных дисциплин.
1. Алгебра. При изучении комплексных чисел неизменно рассматривается тригонометрическая запись комплексного числа. Умение осуществлять перевод комплексного числа, записанного в алгебраической форме, в тригонометрическую форму предполагает достаточно продвинутое умение работать с тригонометрической окружностью и знание таблицы значений тригонометрических функций.
2. Практикум по школьному курсу математики. Повторение известных из школы тождественных преобразований тригонометрических выражений.
3. Математический анализ. Это, прежде всего, первый замечательный предел и умение выделить подходящее для его использования выражение. Изучение интегрального исчисления функций одной действительной переменной (позже - нескольких переменных) систематически подразумевает обращение к тригонометрическому материалу, главным образом, тождественным преобразованиям тригонометрических выражений. Обучающимся часто приходится подбирать рационализирующие подстановки. Умение осуществлять рационализацию иррациональной функции при помощи тригонометрических подстановок предполагает знание достаточного обширного класса тригонометрических формул и аспектов, связанных с дифференцированием тригонометрических функций. Изучая тему «Степенные ряды», студенты сталкиваются с разложением тригонометрических функций в ряды Маклорена и Тейлора, что в дальнейшем позволяет им решать более трудные задачи, связанные с приближёнными вычислениями.
4. Элементарная математика. Изучение тригонометрии как раздела в целом.
5. Теория функций комплексного переменного. Здесь обучающиеся впервые узнают о связи тригонометрических функций с другой трансцендентной функцией - экспонентой комплексного аргумента (формулы Эйлера).
6. Методика обучения математике. Знакомство с методикой изложения материала, связанного с тригонометрическими и обратными им функциями.
7. Изучение школьных учебников математики. Знакомство с существующими школьными учебниками, их сравнительный анализ, в том числе по тригонометрическому материалу (последовательность подачи, наличие или отсутствие фактов, глубина изложения).
8. Нестандартные тригонометрические задачи. Тригонометрические функции как средство, как усложняющий материал, как практическое приложение различных исследований (например, связь тригонометрических функций с полиномами Чебышева).
Главенствующую роль в этом наборе дисциплин, изучение которых направлено кроме всего прочего на совершенствование математической и методической подготовки будущих учителей математики, мы все же отводим триаде: «Элементарная математика», «Изучение школьных учебников» и «Методика обучения математи-
ке».
Выделим перечень трудностей, с которыми сталкиваются школьники при изучении тригонометрии, к преодолению которых будущий учитель математики, несомненно, должен быть готов:
1) они узнают, что угол может быть более 130D;
2) помимо градусной меры угла существует ещё ра-дианная мера; важно понимать как они взаимосвязаны и как осуществлять перевод одной записи в другую форму;
3) появляется новое свойство функции - периодичность;
4) ограниченность функций у = sin х и у = cos х. «уход» графиков этих функций в бесконечность и отсутствие предела у этих функций на бесконечности;
5) наличие вертикальных асимптот у графиков тангенса и котангенса;
6) чрезмерное обилие тригонометрических формул;
7) многоплановость решения (возможность использования разных путей) при выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений.
Особо отметим трудности, с которыми сталкиваются обучающиеся при изучении тригонометрических уравнений'.
- тригонометрическое уравнение - трансцендентное, содержащее тригонометрические и обратные тригонометрические операции над неизвестными, его нельзя решить элементарными средствами, т.е. нельзя установить правила, позволяющие получить общее решение уравнения путем последовательного выполнения ряда арифметических действий и элементарных операций над данными (известными) числами;
- бесконечность множества корней у тригонометрического уравнения (это одно из принципиальных отличий тригонометрических уравнений от алгебраических уравнений). Ранее школьники привыкли к мысли, что количество корней уравнения конечно. Учителю приходится разрушать это стереотип. Следует отметить, что обучающихся следует сразу учить мысли о том, что решая тригонометрическое уравнение (даже самое простенькое) они получают серию (серии) корней;
- запись серии корней имеет «сложную структуру», составной частью которой является своеобразный «хвост», содержащий информацию о периодичности точек в этой серии;
- наличие в записи серии параметра, принадлежащего множеству Z:
- необходимость использовать обратные тригонометрические функции при записи серии корней того или иного уравнения. Здесь в большинстве случаев обучающиеся имеют очень поверхностное представление об этих функциях. Как правило, они не знают свойств этих функций, не знают, как выглядят их графики и т.п. Всё это связано со слабым использованием понятия «обратная функция» в школьном kydcc математики;
- наличие множителя (—1)" или знаков «±» в формулах для решения даже простейших уравнений вида swt г = ои cos х = а;
многоплановость записи ответа, например, для уравнения swt х = □ это можно сделать с использованием одной записи х = (—l)*1 nrcsin а — nfc, iceZ, либо можно записать две серии решений = arcsin а — 2irfc, : = и — orcsiit а — 2ш1.
- необходимость отдельно запоминать формы для записи сешй копией в так называемых частных случаях, когда а = 0 и а = —1;
- отбор корней (в случае ОДЗ или когда в условии задачи оговорён числовой промежуток, которому должны принадлежать корни найденной серии; возможность совпадения корней, отобранных из нескольких серий, являющихся решениями одного и того же уравнения);
- многообразие методов решения даже не очень
сложных тригонометрических уравнений (метод введения вспомогательного аргумента, метод использования универсальной тригонометрической подстановки и т.п.);
- системы тригонометрических уравнений практически не изучаются, либо если изучаются, то методы решения систем тригонометрических уравнений заметно отличаются от способов решения систем алгебраических уравнений (например, метод возведения в квадрат уравнений системы с последующим использованием основного тригонометрического тождества) и, кроме того, решение тригонометрической системы может вызвать проблему даже в том сравнительно редком случае, когда решение выполнимо элементарными средствами;
- решение ряда уравнений приводит к решению систем (вид выражения одной из частей позволяет наложить ряд условий, которые необходимо учитывать при решении).
Одной из наиболее весомых проблем при подготовке будущих учителей математики является запаздывание изучения методики обучения математике (к которой студент должен подходить с достаточно полным багажом знаний) по сравнению с изучением школьных учебников. Обилие различных методических схем и подходов к изучению тригонометрии рассматривается порой после изучения основ методики обучения тригонометрии.
Основное назначение мультидисциплинрного подхода к изучению тригонометрии - решение обозначенных проблем. В рамках названного подхода мы предлагаем насыщение курсов элементарной математики, дисциплин по выбору задачами, которые позволяют не только актуализировать, систематизировать и обобщать тригонометрические факты, но и методически обрабатывать их. Помимо этого, предлагаемые в обучении задачи должны задействовать все направления, которые можно выделить в рамках тригонометрии: тождественные преобразования, тригонометрическая окружность, решение уравнений и неравенств, тригонометрические функции и их графики. Для формирования целостной тригонометрической картины у будущего учителя математики, по нашему, подтверждённому многолетним опытом преподавания, мнению, все направления должны переплетаться при работе на занятии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Жафяров А.Ж. Методология и технология повышения компетентности учителей, студентов и учащихся по тригонометрии. Новосибирск: НГПУ, 2011. 235 с.
2. Попов Н.И. Об эффективности использования модели обучающей технологии по тригонометрии при обучении студентов-математиков // Образование и наука, 2013. № 9. С. 138-153.
3. Снегурова В.И. Технология использования индивидуализированной системы задач как средство развития математической культуры учащихся (на примере изучения алгебры и начал анализа 10 класса): диссертация ... кандидата педагогических наук. Санкт-Петербург: РГПУ им. А. И. Герцена, 1998. 156 с.
4. Матвиевская Г.П. Очерки истории тригонометрии / Под ред. С.Х. Сираждинова; АН УзССР. Ин-т математики им. В.И. Романовского. Ташкент: Фан, 1990. 158 с.
5. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений. Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. М.: URSS ЛКИ, 2008. 246 с.
6. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции; [Пифагорейское учение о гармонии] / Пер. с гол. и замечания И.Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959. 459 с.
7. Матвиевская Г.П. Становление плоской и сферической тригонометрии (Из истории математических идей). М: Знание, 1982. 64 с.
8. Алгебра и начала математического анализа. 1011 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. М.: Просвещение, 2009. 464 с.
9. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. дУдницын и др. Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2004. 384 с.
10. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. 10-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2009. 399 с.
11. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 8 изд. М.: Просвещение, 2009. 430 с.
