CC BY
10DOI: 10.12731/2658-6649-2021-13-3-170-192 УДК 611.18-007.253:519.87
МОРФОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЙ MURRAY C.D. ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СОСУДИСТЫХ ДИХОТОМИЙ ПОЧКИ ЧЕЛОВЕКА
О.К. Зенин, И.С. Милтых, А.В. Дмитриев, О.О. Юрченко
Цель. Провести анализ применимости уравнений Murray C.D. для расчёта значений углов дихотомий внутриорганного артериального и венозного русел почки человека.
Материал и методы. Были исследованы внутриорганные артерии и вены почек. Почки полученны на аутопсии у людей (возраст от 36 до 74 лет; 9 человек мужского пола, 8 - женского), изготовлены 17 коррозионных препаратов: 9 препаратов артериальное русло, 8 - венозное. Визуализацию проводили с помощь микротомографа BRUNKER SkyScan 1178. Для морфометрии использовали программный пакет blender с надстройкой NeuroMorph Measuring tools. Измеряли диаметры сегментов (D, d , d .)
Г ° г г ' max min
и углы между ними (а , а .). Для расчетов углов дихотомии пользовались
у у ' max min ! ' Г у
уравнениями Murray C.D.
Результаты. Установлено наличие четырех структурно-различных типов дихотомий, составляющих внутриорганное сосудистое русло почки. Показано, что применять уравнение Murray C.D. для расчетов величины угла а„схможно для любых структурно-различных типов сосудистых дихотомий почки человека. Однако использовать уравнение Murray C.D. для расчетов значений угла атЫ нельзя для артериальных и венозных дихотомий 1-го структурно-различного типа и для 2-го типа венозных дихотомий.
Заключение. Применение уравнений Murray C.D. для численного моделирования сосудистых дихотомий почки человека носит ограниченный характер. Это необходимо учитывать при создании структурных математических моделей сосудистого русла почки человека.
Ключевые слова: внутриорганное сосудистое русло почки; сосудистая дихотомия; угол ветвления; внутренний диаметр сосуда
Для цитирования. Зенин О.К., Милтых И.С., Дмитриев А.В., Юрченко О.О. Морфометрический анализ применимости уравнений Murray C.D. для
численного моделирования сосудистых дихотомий почки человека // Siberian Journal of Life Sciences and Agriculture. 2021. Т. 13, № 3. C. 170-192. DOI: 10.12731/2658-6649-2021-13-3-170-192
MORPHOMETRIC ANALYSIS OF C.D. MURRAYS LAW APPLIANCE FOR NUMERICAL MODELING OF VASCULAR DICHOTOMIES OF KIDNEYS
O.K. Zenin, I.S. Miltykh, A.V. Dmitriev, O.O. Iurchenko
Aim. To analyze the possibility of using Murray C. D. equations for calculating the angles of dichotomies of the intraorgan arterial and venous beds of the human kidney.
Material and methods. Intraorgan arteries and veins of the kidneys were examined, obtained at autopsy of humans (age from 36 to 74 years; 9 males, 8 females), 17 corrosive preparations were made: 9 preparations of the arterial bed, 8 - venous. Visualization was created using a BRUNKER SkyScan 1178 microtomograph. For morphometry, the blender software package with the NeuroMorph Measuring tools was used. The diameters of the segments (D, dmX dm.J and the angles between them (a , a .) were measured. To calculate the angles of dichotomy, we used the
' max min ° J y
equations of Murray C. D.
Results. The presence of four structurally different types of dichotomies that make up the intraorgan vascular bed of the kidney was established. It is shown that the Murray C. D. equation can be used to calculate the value of the angle amax for any structurally different types of vascular dichotomies of the human kidney. However, the Murray C. D. equation cannot be used to calculate the values of the angle amin for arterial and venous dichotomies of the 1st structurally different type and for the 2nd type of venous dichotomies.
Conclusion. Application of Murray C. D. equations for numerical modeling of vascular dichotomies of the human kidney is limited. This must be considered when creating structural mathematical models of the vascular bed of the human kidney.
Keywords: intraorgan kidney vascular bed, vascular dichotomy, branching angle, inner vessel diameter
For citation. Zenin O.K., MiltykhI.S., DmitrievA.V., Iurchenko O.O. Morpho-metric analysis of C.D. Murray's law appliance for numerical modeling of vascular dichotomies of kidneys. Siberian Journal of Life Sciences and Agriculture, 2021, vol. 13, no. 3, pp. 170-192. DOI: 10.12731/2658-6649-2021-13-3-170-192
Список сокращений:
ВСРП - внутриорганное сосудистое русло почки, D - диаметр проксимального сегмента; dmx - диаметр дистального сегмента с большим диаметром; dmi„ - диаметр дистального сегмента с меньшим диаметром; ^ - значение степени из уравнения D - d ^ + d . ^ n - (area ratio) - коэффициент ветвления;
j 1 max min 7 1 4 у 11 7
amax - угол отхождения большего дистального сегмента от проксимального; amm - угол отхождения меньшего дистального сегмента от проксимального; ОДМ - оптимальные дихотомии в соответствии с критерием C.D. Murray; НДМ - неоптимальные дихотомии в соответствии с критерием C.D. Murray; ОДи - оптимальные дихотомии в соответствии с критерием H.B.M. Ulings; НДи - неоптимальные» дихотомии в соответствии с критерием H.B.M. Ulings.
В 1926 году английский физиолог Murray C.D., основываясь на так называемых «Правилах Ру» предложил уравнения [7, 32], которые позволяют рассчитать величины углов артериальной дихотомии, зная значения внутренних диаметров артерий, которые ее образуют [25]. С этого момента в среде анатомов и врачей не прекращается дискуссия о возможности практического использования этих уравнения в качестве морфо-метрического эталона сосудистых русел внутренних органов здорового человека и для численного моделирования структуры русла как фрактальной системы.
В ряде работ приведены факты хорошего согласования реальных углов ветвления артерий и углов, рассчитанных с использованием уравнений Murray C.D. [4, 22, 24]. Есть работы, которые как подтверждают [9, 11], так и опровергают положение теории (Murray's law) результатам морфо-метрии реальных артериальных русел [15, 19, 20, 23, 29, 30, 34]. Авторы некоторых работ используют данное правило для численного моделирования структуры артериальных русел [10, 27, 28]. Более того, на основании этого моделирования делаются выводы о внутриартериальной гемодинамике жизненно важных органов человека [12, 17].
Однако анализ литературных источников показал, что работ, посвященных собственно исследованию фактического материала - морфометрии реальных артериальных и венозных дихотомий - не так много и представленные результаты противоречивы. Например, нельзя использовать уравнения Murray C.D. для расчетов углов дихотомий, образованных сосудами с внутренним диаметром менее 100 мкм [2]. Кроме того, артериальное русло почки человека состоит из структурно-различных типов дихотомий [3]. Анализ возможности использования уравнений Murray C.D. для чис-
ленного моделирования углов дихотомий венозного русла почки человека вообще не проводился.
Цель работы: провести анализ применимости уравнений Murray C.D. для расчёта значений углов дихотомий внутриорганного артериального и венозного русел почки человека.
Материалы и методы
Были исследованы внутриорганные сосудистые русла почек (ВСРП) (артерии и вены), визуализированные на аутопсии у людей (возраст от 36 до 74 лет; 9 человек мужского пола, 8 - женского), умерших от патологии, которая практически не изменила сосудистое русло почки (асфиксия).
Исследование выполнено в соответствии с принципами Хельсинской декларации (1997 - 2000 гг.), Конвенции Совета Европы о правах человека и биомедицине (1997 г.), положениями ВОЗ, Международного кодекса медицинской этики (1983 г.), правилами Европейской конвенции по защите позвоночных животных, используемых в экспериментальных исследованиях и других целях [14], а также законодательством РФ.
Были изготовлены и исследованы 17 коррозионных препаратов ВСРП: 9 препаратов артериальное русло, 8 - венозное. Использовали известный способ [8]. После извлечения из организма сосудистая система почки подвергалась промывке физиологическим раствором через почечную артерию и вену в течение 40-45 минут под давлением 80-90 мм Hg. При этом орган во время промывки и последующих этапов приготовления препаратов находился в специальном резервуаре, заполненном физиологическим раствором, что предотвращало деформацию его сосудов под действием собственного веса. После промывки в артериальное или венозное русло при помощи шприца нагнеталась предварительно подготовленная композиция [6] под давлением 80-100 мм рт. ст., после этого сосуд наглухо перевязывался. Емкость с находящейся в ней почкой помещали в термостат (t=36°C). Через 24 часа почка погружалась в раствор концентрированной щелочи на 3-4 суток. Последующая промывка осуществлялась водопроводной водой в течение нескольких часов.
Использовали полимерную рентген контрастную композицию, состоящую из: полимера - порошкообразное средство «Протакрил М»; жидкого компонента - жидкое средство «Протакрил М»; рентген контрастного средства - сульфат бария; красителя - универсальный краситель. При следующем соотношении ингредиентов в мас. %: порошковое средство «Протакрил М» 30-50, жидкое средство «Протакрил М» 10-30, сульфат бария 10-30, универсальный краситель 10-30 [6].
Визуализацию проводили с помощь микротомографа BRUNKER SkyScan 1178 (рис. 1).
а) артериальное русло б) венозное русло
Рис. 1. КТ-сканы коррозионных препаратов ВСРП человека
ВСРП представляли как дерево, состоящее из дихотомий (рис. 2). Дихотомия - конструкция, состоящая из трех сосудистых сегментов, где за материнский (D) принимали проксимальный сегмент, за два дочерних -дистальные сегменты с большим и меньшим диаметрами (d^ и d^), идентично для артериального и венозного русла.
Для морфометрии использовали программный пакет blender с надстройкой NeuroMorph Measuring tools [26]. Измеряли диаметры сегментов (D, d , d .) и углы между ними (а , а . ). Минимальный диаметр
4 ' max' mmy J J 4 max' mm-7 r
слепков сосудистых сегментов, который был измерен по данной методике, составлял 0,1 мм с точностью 0,05 мм и 0,5°.
Кроме морфометрического определения углов (ат^ и а^п) между сосудистыми сегментами дихотомий, значения углов рассчитывали (где это возможно), используя уравнения Murray C. D. [7].
где D - проксимальный сегмент, ¿тах - дистальный сегмент с большим диаметром, - дистальный сегмент с меньшим диаметром, атах -угол отхождения дистального сегмента с большим диаметром от проксимального, атЬ - угол отхождения меньшего дистального сегмента от проксимального.
D4 + dmax4-{D3-dmax3y\
«max = arCCOS (-——-^-) (1)
2 D2dmax
,D4 + dmin4-(D3-dmin3)\
amin= arccos d-———s-) (2)
2 D2dmin
На последующих этапах дихотомии были разделены на 2 группы - «оптимальные» (ОДМ) и «неоптимальные» (НДМ) в соответствии с критерием C.D. Murray. Для ОМД - для артериальных дихотомий £ = 2,55 - 3,02; для венозных дихотомий £ = 2,76 - 3,02 из уравнения [21, 30, 36, 37]:
D - d £ + d £ (3)
max min v 7
А также на «оптимальные» (ОДЦ) и «неоптимальные» (НДЦ) в соответствии с критерием H. B. M. Ulings. Для ОДи - для артериальных и венозных дихотомий 1<п<1,26 из уравнения [35]:
d-max + d-min ,, ч
Л=---(4)
В последующем артериальные и венозные дихотомии были разделены на четыре структурно-различных типа [3]:
1) полная асимметрия - величины диаметров сегментов, которые составляют дихотомию, не равны между собой (D^d ^d .);
2) боковая асимметрия - величина диаметра проксимального сегмента равна значению диаметра большего из дистальных сегментов (D=dmax, D^dmin);
3) односторонняя симметрия - величины диаметров дистальных сегментов равны между собой и не равны значению диаметра проксимального сегмента (D^d , d =d );
v max max mm'7
4) полная симметрия - величины диаметров всех сегментов равны между собой (D=d =d ).
J v max mm'
Определяли медиану, среднюю величину, квартили, доверительный интервал, минимальное и максимальное значение, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, ошибку среднего. Для оценки характера распределения использовали критерии Normal expected frequencies, Lilliefors Test For Normality, Shapiro-Wilk's W-test и Колмогорова-Смирнова. После проверки распределения величин исследуемых показателей использовали параметрические или непараметрические методы, руководствуясь рекомендациями [5].
Для получения представительной выборки пользовались методикой многоэтапной гнездовой выборки по Автандилову Г.Г. [1]. Для определения оптимального объема выборки использовали уравнение [5]:
S2 '
= + (5)
N - рекомендуемый объем выборки для каждой группы; S - среднее квадратичное отклонение анализируемого признака; DIFF - значение эффекта (различия между средними значениями), которое предполагается выявить; А=1,96 - константа, зависящая от уровня значимости; В=0,84 -константа, зависящая от мощности критерия; при уровне значимости - 5% (A-1,96), и мощности - 80% (В=0,84) [5].
Пользовались лицензионными пакетами статистических программ -IBM SPSS Statistics и Microsoft Excel, MedStat в соответствии с рекомендациями [5, 18].
Результаты
Установлено, что оптимальный объем выборки артериальных дихотомий составил N=66. Использовали уравнение 5, где S=0,39 - среднее
квадратичное отклонение анализируемого признака (в данном случае - п) [3]; DIFF=0,19 (теоретически рассчитанное значение среднего квадратичного отклонения показателя п [36] - значение эффекта (различия между средними значениями), которое предполагается выявить. Таким образом:
N = 2 X (1,96 + 0,84)2 X ^^ = 66 (6)
Подобный расчет для венозных дихотомий на сегодняшний день невозможен, т.к. отсутствуют данные о величине S - среднее квадратичное отклонение анализируемого признака (в данном случае - п) Были получены и подвергнуты анализу 172 артериальных и 91 венозная дихотомия. Из дальнейшего исследования были исключены три венозные дихотомии, у которых D=d , d >D. Установлено, что распределение значений D, d ,
r min max ^ r г ' max'
d , L п, а , а в группе артерий; D, d , d , t п, а в группе вен от-
min ~ " max' min rj г г 7 ? max' min ~ " max rj
лично от нормального закона распределения. Тогда как закон распределения величины amin венозного русла не отличается от нормального закона.
Результаты морфометрии величин изучаемых показателей приведены в табл. 1.
Таблица 1.
Результаты морфометрии изучаемых показателей ВСРП
Переменная Кол-во Медиана I квартиль III квартиль Мини- мум Максимум Ош. медианы Лев. (95% ДИ) Прав. (95% ДИ)
Артериальное русло
D, мм 172 1,6 1,3 2,5 0,2 7,0 0,1 1,5 1,9
dm„, мм 172 1,5 1,0 2,0 0,5 5,0 0,1 1,3 1,6
dmin, мм 172 1,0 0,8 1,4 0,2 4,0 0,1 0,9 1,1
amlx,° 172 28,0 5,2 40,0 0,0 110,0 2,2 20,0 30,0
«min,° 172 49,5 30,0 69,0 0,0 164,9 2,8 42,1 53,0
Венозное русло
D, мм 88 4,0 3,0 5,3 1,5 11,5 0,3 3,7 4,5
dmax, мм 88 3,9 2,7 5,0 0,5 9,0 0,2 3,0 4,0
dmin, мм 88 2,5 2,0 3,0 0,5 8,0 0,2 2,0 3,0
a_,° 88 18,0 0,0 39,0 0,0 152,2 3,4 12,6 27,9
Переменная Кол-во Среднее С.к.о. Минимум Максимум Ош. среднего Лев.(95% ДИ) Прав. (95% ДИ)
amin,° 88 31,37 22,15 0,0 91,0 2,4 26,7 36,1
Примечание: D - диаметр проксимального сегмента (мм); dmаJ¡ - диаметр дистального сегмента с большим диаметром (мм); dmin - диаметр дистального сегмента с меньшим диаметром (мм); атах - угол отхождения большего дистального сегмента от проксимального (°), атЬ - угол отхождения меньшего дистального сегмента от проксимального (°).
Далее была проведена проверка гипотезы о принадлежности независимых выборок к одной генеральной совокупности. Независимые выборки значений анализировали на предмет их возможной связи.
Таблица 2.
Значения морфометрических и расчетных показателей углов а и а . дихотомий ВСРП
_^_max_min
Показатель Артериальное русло Венозное русло
Морфометри-ческие Расчетные Р Морфометри-ческие Расчетные Р
«max," Me (ДИ) 28,0 (20,0; 30,0) 29,7 (27,3; 33,9) 0,61 18,1 (14,1; 29,7) 29,7 (22,4; 32,7) 0,64
«min,0 Me (ДИ) 49,5 (42,1; 53,0) 55,4 (53,3; 56,9) 0,007 26 (20,3; 37,4) 54,5 (52,7; 56,9) 0,005
Примечание: amax - угол отхождения большего дистального сегмента от проксимального (°), amin - угол отхождения меньшего дистального сегмента от проксимального (°), p - уровень значимости отличий (U критерия Манна-Уитни).
На следующем этапе исследования дихотомии были разделены на 2 группы, «оптимальные» (ОДМ) и «неоптимальные» (НДМ) в соответствии с критерием C.D. Murray (табл. 3) и H.B.M. Ulings (табл. 4), а также на 4 структурно-различных типа (табл. 5). Результаты приведены на рис. 3.
В дальнейший анализ не были включены дихотомии, для которых невозможно рассчитать величину а . по уравнениям C.D. Murray. Были исключены семь артериальных и пять венозных дихотомий. Обращали внимание именно на величину показателя amin, т.к. она значимо отличается при сравнении значений, полученных путем морфометрии и рассчитанных по уравнению C.D. Murray.
Таблица 3.
Значения amln «оптимальных» (ОДМ) и «неоптимальных» (НДМ) в соответствии с критерием C.D. Murray групп дихотомий ВСРП
Показатель Группы дихотомий в соответствии с критерием C.D. Murray
Артериальное русло Венозное русло
ОДМ НДМ Р ОДМ НДМ Р
amin,° (морфометрический) Me (ДИ) 34 (26; 58) 49.5 (42,9; 53) 0,22 15,4 (0;60) 27 (20.3;37.8) 0,440
a . ,° (расчетный) Me (ДИ) 49,8 (45,1;52,7) 55,9 (55,2; 60,6) 0,003 45,1 (41,5;45,1) 56,9 (52.7;58.4) 0,047
Уровень значимости отличий (p) 0,271 0,005 0,343 0,0001
Примечание: ат.п - угол отхождения меньшего дистального сегмента от проксимального (°), р - уровень значимости отличий (и критерия Манна-Уитни).
Рис. 3. Относительное количество (%) сосудистых дихотомий разных групп и структурно-различных типов, составляющих ВСРП
В таблицах 3 и 4 приведены результаты определения amin для оставшихся дихотомий. На заключительном этапе исследования была проведена проверка гипотезы о принадлежности независимых выборок к одной генеральной совокупности. Выборки были представлены значениями углов a . структурно-различных дихотомий ВСРП, которые были получены путем морфоме-трии и с использованием уравнений C.D. Murray 1 и 2 (табл. 5).
Артериальные и венозные дихотомии 4 типа не рассматривались в связи с их малым количеством - одна артериальная и две венозные.
Таблица 4.
Значения аш1п «оптимальных» (ОДЦ) и «неоптимальных» (НДЦ) в соответствии с критерием Н. В. М. Ulings групп дихотомий ВСРП
Показатель Группы дихотомий в соответствии с критерием H. B. M. Ulings
Артериальное русло Венозное русло
оди нди Р оди нди Р
amin,° (морфометрический) Me (ДИ) 51 (45;70) 45 (35;53) 0,042 22,6 (17.2;40) 27 (20,3;37,8) 0,748
a . (расчетный) Me (ДИ) 62,5 (55,4;66,2) 55,4 (53,3;58,0) 0,004 55,3 (47,1;61,5) 55 (52,7;57,9) 0,626
Уровень значимости отличий (p) 0,360 0,006 0,0001 0,0001
Примечание: ат(п - угол отхождения меньшего дистального сегмента от проксимального (°), р - уровень значимости отличий (и критерия Манна-Уитни).
Таблица 5.
Значения угла а , ВСРП структурно-различных типов дихотомий
Показатель Структурно-различные типы дихотомий
Артериальное русло Венозное русло
1 2 3 Р* 1 2 3 Р*
amin,° (морфометрический) Me (Ди) 40 (34;50) 60 (50;77) 32 (2;47,5) 0,0001 26 (17,9;38) 32 (24;40) 32.65 (5;74) 0,134
a . ,° (расчетный) Me" (ДИ) 55,4 (53.3;58.2) 59,2 (55;65,7) 43,6 (32,7;53,3) 0,008 56,9 (54,5;59,3) 53,6 (47,5;57,9) 39,1 (29,7;73) 0,021
Уровень значимости отличий (p) 0,0001 0,158 0,193 0.0001 0.0001 1.0
Примечание: ат.п - угол отхождения меньшего дистального сегмента от проксимального (°), р* - уровень значимости отличий (критерий Крускаля-Уолиса), р - уровень значимости отличий (и критерия Манна-Уитни).
Обсуждение
Результаты морфометрии (табл. 1) исследуемых показателей показывают, что внутренний диаметр венозных сегментов, составляющих дихотомию, примерно в 2,5 раза больше, чем значения соответствующих показателей артериальных дихотомий. Приведенные факты широко известны [33] и являются непрямым подтверждением правильности проведенных измерений. Важно отметить, что распределение значения угла amin соответствует нормальному закону распределения в отличие от распределений величин остальных изучаемых показателей.
Интересные результаты получены в ходе сравнительного анализа значений углов amax и amin дихотомий, полученных путем морфометрии и расчетов с использованием уравнений C.D. Murray 1 и 2 (табл. 2). Установлено, что величина угла amax двух групп сравнения (морфометрические и расчетные) не отличается друг от друга в случае артериального и венозного русел. Тогда как расчетные значения amin значимо больше, чем морфометрические. Это характерно и для артериального, и для венозного русла. Полученные факты свидетельствуют о том, что уравнения C.D. Murray можно уверенно использовать для численного моделирования amax артериальных и венозных дихотомий ВСРП человека. Ситуация с a . нуждается в дальнейшем исследовании и обсуждении.
Вильгельмом Ру была предложена гипотеза о том, что конструкция оптимальной (нормальной, непатологической) сосудистой дихотомии построена на основании принципа минимальной затраты биологического материала и минимальной работы, необходимой для продвижения по ней крови. Английский физиолог Murray C. D. установил зависимости между величинами углов и значениями внутренних диаметров сосудов, составляющих оптимальную дихотомию [16]. Для магистральных артерий этот показатель равен £ = 2,33 (£ - из уравнения 3) [31], для более мелких - £ = 1 - 1,15. Pollanen M.S. et al [29] считают, что значение £ = 3 обеспечивает оптимальное соотношение между диаметрами артериальных сегментов, составляющих дихотомию в условиях ламинарного тока крови, а £ = 2,33 - в условиях турбулентного. Для оптимальных венозных дихотомий £ = 2,76 - 3,02. [21, 30, 36, 37]. Однако проведенное нами исследование показало (рис. 3), что дихотомии, удовлетворяющие данному принципу, составляют - 11,05% для артериального русла и 4% - для венозного!?
H. B. M. Ulings для оценки оптимальности использовал коэффициент ветвления: n - area ratio. Он утверждал, что оптимальными являются дихотомии, у которых величина n находится в пределах 1<n<1,26. И считал воз-
можным применять данный показатель для определения оптимальности симметричных и несимметричных дихотомий [35]. Действительно, значение n - area ratio может быть рассчитано практически для любого типа структурно-различных дихотомий ВСРП. Однако нами было обнаружено только 37% оптимальных (по H. B. M. Ulings) дихотомий в артериальном русле и 26% в венозном (рис. 3).
Возникает закономерный вопрос о «нормальности» исследованного нами ВСРП. Возможно, в физиологических условиях функционирования ВСРП данный феномен компенсируется за счет разности реологических свойств крови и/или сосудистой стенки на разных уровнях деления сосудов. Известно, что сосудистое русло делится на ряд функциональных групп [13]: амортизирующие, резистивные, обменные и др. Наше исследование касается в основном сосудов резистивного типа - артерии и ёмкостного - вены, поэтому показатели, характеризующие оптимальность для них, имеют значения отличные от таковых амортизирующих (магистральных) и обменных (микроциркуляторное русло) сосудов. Нельзя также исключать наличие некоторого процента патологических сосудистых дихотомий, которые, вероятно, в таком количестве себя клинически не проявляют, однако могут служить потенциальной основой будущей функциональной несостоятельности ВСРП. Вероятно также наличие погрешности измерений.
Возвращаясь к ситуации с поведением величины угла amin стоит отметить, что в табл. 3 приведены убедительные свидетельства, значимого (p=0,005) отличия величины этого показателя у НДМ, полученные путем морфометрии (Me=49,5°) и путем расчетов (Me=55,9°) и отсутствие (p=0,271) таковых у ОДМ для артериального русла. В венозном русле величина морфометрического показателя угла amin НДМ (Me=27°) значимо (p=0,0001) меньше, чем расчетного (Me=56,9°). Значения угла amin у мор-фометрических и расчетных показателей ОДМ не отличаются (p=0,343). Наличие значимых отличий между величинами угла amin, полученными расчетным путем у ОДМ и НДМ для артерий (p=0,003) и вен (p=0,047), можно рассматривать как подтверждение правильности проведенных расчетов.
В табл. 4, где даны значения угла amin «оптимальных» (ОДи) и «неоптимальных» (НДи), в соответствии с критерием H. B. M. Ulings, приведены в какой-то степени противоречивые данные. Показано, что величина морфометрического угла amin НДи (Me=45°) значимо (p=0,006) меньше, чем расчетных НДи (Me=55,4°) артериальных дихотомий. Морфометри-ческие и расчетные величины угла amin ОДи и НДи артериального русла
заметно отличаются друг от друга. Значения этих показателей артериальных морфометрических ОДи (Me=51°) и расчетных ОДи (Me=62,5°) значимо больше, чем у морфометрических НДД и расчетных НДД (Me=45° и Me=55,4°, соответственно). Это не характерно для венозного русла. В венозном русле морфометрические и расчетные значения угла amin ОДИ и НДИ значимо не отличаются. Однако имеет место отличие между морфо-метрическими и расчетными показателями внутри группы ОДИ и НДИ. Величина морфометрического показателя угла amin ОДИ (Me=22,6°) меньше (р=0,0001) значения расчетного угла ОДИ (Me=55,3°). Подобное характерно и для НДИ, величина морфометрического показателя угла amin НДИ (Me=27°) меньше (р=0.0001) значения расчетного угла НДИ (Me=55°).
Приведенные факты можно объяснить наличием структурно-различных типов дихотомий (рис. 3), присутствующих в разных группах (ОДМ-НДМ и ОДИ-НДИ) и отделах ВСРП (артериях и венах) [35].
Результаты анализа значения угла amin ВСРП структурно-различных типов дихотомий приведены в табл. 5. Установлено, что величины углов a . , полученные путем морфометрии структурно-различных типов артериальных дихотомий значимо отличаются (р=0,0001). Сходная картина наблюдается и в случае расчетных значений углов amin структурно-различных типов артериальных дихотомий (р=0,008). В венозном русле значимых отличий между величинами углов a ., полученных путем морфометрии, не наблюдается (р=0,134). Однако наблюдаются значимые отличия в величинах углов a ., рассматриваемых структурно-различных дихотомий, полученные расчетным путем (р=0,021). Установлено отсутствие значимых отличий между значениями углов a . , полученных путем морфометрии и рассчитанных по формуле C.D. Murray для структурно-различных артериальных дихотомий 2-го и 3-го типов (р=0,158 и р=0,193, соответственно) и венозных дихотомий 3-го типа (р=1,0). Для артериальных дихотомий 1-го и венозных дихотомий 1-го и 2-го типов подобные отличия имеют место. Полученное путем морфометрии значение угла a . (Ме=40°) артериальной дихотомии 1-го типа значимо (р=0,0001) меньше величины соответствующего показателя, полученного расчетным путем (Ме=55,4°). Похожая картина наблюдается и для венозной дихотомии 1-го типа, где величина угла amta (Ме=26°), полученная путем морфометрии, значимо (р=0,0001) меньше, чем полученная расчетным путем (Ме=56,9°). У венозных дихотомий 2-го типа величина угла amln (Ме=32°), полученная путем морфо-метрии, также значимо (р=0,0001) меньше, чем полученная расчетным путем (Ме=53,6°).
В порядке дискуссии. Возможно, установленные нами факты касаются только сосудистого русла почки. Как известно в почках присутствует так называемая «чудесна сеть» (rete mirabile) - сосудистая сеть, образующаяся в результате одновременного разделения исходного кровеносного сосуда на капилляроподобные ветви, которые затем собираются в общий ствол. Может быть, обнаруженные особенности строения дихотомий характерны для 3D конструкции сосудистого русла паренхиматозных органов, к которым относиться почка и не характерно для органов, у которых русло имеет 2D конструкцию. Например, полые органы (желудок, толстая и тонкая кишка), у которых сосудистое русло имеет плоскую конфигурацию. Становится понятно, что подобного рода исследования должны быть проведены в отношении различных внутренних органов человека. Только после этого можно делать какие-то общие выводы и намечать глобальные перспективы использования уравнений Murray C. D. для численного моделирования сосудистых дихотомий. Не исключено, что после проведения подобного рода исследований будут сформулированы новые морфофункциональные принципы оптимальности строения различных (артериальных и венозных) русел разных органов (паренхиматозных, полых, мышечных и имеющих особое строение). И на основании этих принципов оптимальности будет создана система универсальных уравнений, подобная уравнениям Murray C. D., которую можно будет использовать для численного моделирования любого вида, группы, типа дихотомий.
Резюмируя представленный материал, следует отметить, в соответствии с целью нашей работы - провести морфометрический анализ применимости уравнений Murray C. D. для расчёта значений углов дихотомий внутриорганного артериального и венозного русел почки человека - установлено, что применение уравнений Murray C. D. для численного моделирования сосудистых дихотомий почки человека носит ограниченный характер. Использование уравнения Murray C. D., для расчетов величины угла а можно для любых структурно-различных типов сосудистых дихотомий почки человека. Однако применять уравнение Murray C. D. для расчетов значений угла amin нельзя для артериальных и венозных дихотомий 1-го структурно-различного типа и для 2-го типа венозных дихотомий. Таким образом, считаем, что поставленная цель достигнута. Чтобы рассуждать о перспективе численного моделирования сосудистых дихотомий внутренних органов нужно провести большое самостоятельное исследование, что не является целью данной работы.
Информация о конфликте интересов. Конфликт интересов отсутствует.
Информация о спонсорстве. Проект реализуется при поддержке гранта Фонда содействия развитию институтов гражданского общества в ПФО
(грантополучатель: Милтых И.С., 2020 г.).
Список литературы
1. Автандилов Г.Г. Медицинская морфометрия. Руководство. М.: Медицина, 1990. 384 с.
2. Глотов В.А. Структурный анализ микрососудистых бифуркаций (микрососудистый узел и гемодинамический фактор). Смоленск: Ампипресс, 1995. 251 с.
3. Зенин О.К. Морфометрический анализ дихотомий внутриорганного артериального русла почки / О.К. Зенин, О.А. Бешуля // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2013. № 4 (28). С. 26-34.
4. Мамисашвили В.А. Критерий оптимального функционирования подсистем крупных и мелких пиальных артерий / В.А. Мамисашвили, М.К. Бабуна-швили // Физиологический журнал СССР. 1975. Т. 61, № 10. С. 1501-1506.
5. Основы компьютерной биостатистики: анализ информации в биологии, медицине и фармации статистическим пакетом MedStat / Ю.Е. Лях [и др.]. Донецк: Папакица Е. К., 2006. 214 С.
6. Полимерная рентгенконтрастная смесь для изготовления коррозионных анатомических препаратов: пат. 145561 Украина: МПК A01N 1/02 / Ка-фаров Э. С. Дмитриев А.В., Зенин О.К., Везирханов А.З., Вагабов И.У, Милтых И.С.; заявл. 09.06.2020; опубл. 28.12.2020, Бюл. № 24. 6 с.
7. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. М.: Мир, 1969. 231 с.
8. Спомб виготовлення корозшних препаралв судинно! системи порожнисто-го органа: пат. 42409А Укра!на, МПК 7А6№2/06. / Юрякулов Г. С., Зетн О. К., Хаджинов Д. Г., Неудачина К. А., Балабанова Ю. В. № 2001021136; заявл. 19.02.2001; опубл. 15.10.2001, Бюл. № 9. 2 с.
9. Angle matching in intravascular elastography / C.R.M. Janssen [et al.] // Ultrasonics. 2000. Vol. 38. № 1-8. P. 417-423. https://doi.org/10.1016/s0041-624x(99)00188-2
10. Beek J.H.G.M. Van. Regional myocardial flow heterogeneity explained with fractal networks / J.H.G.M. Van Beek, S.A. Roger, J.B. Bassingthwaighte // American Journal of Physiology-Heart and Circulatory Physiology. 1989. Vol. 257. № 5. P. H1670-H1680. https://doi.org/10.1152/ajpheart.1989.257.5.h1670
11. Bell J.B. A Second-Order Projection Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations / J.B. Bell, P. Colella, H.M. Glaz // Journal of Computational
Physics. 1989. Vol. 85. № 2. P. 257-283. https://doi.org/10.1016/0021-9991(89)90151-4
12. Blood vessel segmentation algorithms — Review of methods, datasets and evaluation metrics / S. Moccia [et al.] // Computer Methods and Programs in Bio-medicine. 2018. Vol. 158. P. 71-91. https://doi.org/10.1016/j.cmpb.2018.02.001
13. Cavagna G. Circulation of Blood // Fundamentals of Human Physiology. Springer International Publishing, 2019. P. 1-63. https://doi.org/10.1007/978-3-030-19404-8_1
14. European Convention for the Protection of Vertebrate Animals used for Experimental and Other Scientific Purposes. Strasbourg, 1986. 53 p.
15. Extension of Murray's law using a non-Newtonian model of blood flow / R. Revellin [et al.] // Theoretical Biology and Medical Modelling. 2009. Vol. 6. № 1. Article number: 7. https://doi.org/10.1186/1742-4682-6-7
16. Fast algorithm for 3-D vascular tree modeling / M. Kretowski [et al.] // Computer Methods and Programs in Biomedicine. 2003. Vol. 70. № 2. P. 129-136. https:// doi.org/10.1016/s0169-2607(01)00200-0
17. Fredrich T. Dynamic vessel adaptation in synthetic arteriovenous networks / T. Fredrich, M. Welter, H. Rieger // Journal of Theoretical Biology. 2019. Vol. 483. P. 109989. https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2019.109989
18. Green S.B. Using SPSS for Windows and Macintosh: Analyzing and understanding data / S.B. Green, N.J. Salkind. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2012. 459 p.
19. Greenwald S.E. Improving vascular grafts: the importance of mechanical and haemodynamic properties / S.E. Greenwald, C.L. Berry // The Journal of Pathology. 2000. Vol. 190. № 3. P. 292-299. https://doi.org/10.1002/(SICI)1096-9896(200002)190:3<292::AID-PATH528>3.0.C0;2-S
20. Hagmeijer R. Critical review of Murray's theory for optimal branching in fluidic networks / R. Hagmeijer, C.H. Venner // arXiv. 2018. http://arxiv.org/ abs/1812.09706
21. LaBarbera M. Principles of design of fluid transport systems in zoology // Science. 1990. Vol. 249. № 4972. P. 992-1000. https://doi.org/10.1126/ science.2396104
22. Leuprecht A. Computer simulation of non-newtonian effects on blood flow in large arteries / A. Leuprecht, K. Perktold // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. 2001. Vol. 4. № 2. P. 149-163. https://doi. org/10.1080/10255840008908002
23. Limited Bifurcation Asymmetry in Coronary Arterial Tree Models Generated by Constrained Constructive Optimization / W. Schreiner [et al.] // Journal of
General Physiology. 1997. Vol. 109. № 2. P. 129-140. https://doi.org/10.1085/ jgp.109.2.129
24. Morphometry of the human pulmonary vasculature / W. Huang [et al.] // Journal of Applied Physiology. 1996. Vol. 81. № 5. P. 2123-2133. https://doi. org/10.1152/jappl.1996.81.5.2123
25. Murray C.D. The physiological principle of minimum work applied to the angle of branching of arteries // Journal of General Physiology. 1926. Vol. 9. № 6. P. 835-841. https://doi.org/10.1085/jgp.9.6.835
26. NeuroMorph: A Toolset for the Morphometric Analysis and Visualization of 3D Models Derived from Electron Microscopy Image Stacks / A. Jorstad [et al.] // Neuroin-formatics. 2015. Vol. 13. № 1. P. 83-92. https://doi.org/10.1007/s12021-014-9242-5
27. Olufsen M.S. A one-dimensional fluid dynamic model of the systemic arteries / M.S. Olufsen // Studies in Health Technology and Informatics. 2000. Vol. 71. P. 79-97. https://doi.org/10.3233/978-1-60750-915-8-79
28. Personalized Computational Hemodynamics. Pers. Comput. Hemodynamics / Y. Vasilevski [et al.]. Elsevier, 2020. 270 p. https://doi.org/10.1016/C2017-0-02421-7
29. Pollanen M.S. Dimensional optimization at different levels of the arterial hierarchy / M.S. Pollanen // Journal of Theoretical Biology. 1992. Vol. 159. № 2. P. 267-270. https://doi.org/10.1016/S0022-5193(05)80706-4
30. Pries A.R. Design Principles of Vascular Beds / A.R. Pries, T. W. Secomb, P. Gaehtgens // Circulation Research. 1995. Vol. 77. № 5. P. 1017-1023. https:// doi.org/10.1161/01.RES.77.5.1017
31. Retinal vascular tree morphology: A semi-automatic quantification / M.E. Martinez-Perez [et al.] // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 2002. Vol. 49. № 8. P. 912-917. https://doi.org/10.1109/TBME.2002.800789
32. Roux W. Ueber die Verzweigungen der Blutgefsse. Eine morphologische Studie / W. Roux // Z. Naturwissenschaft. 1878. Vol. 12. P. 205-266.
33. Standing S. Gray's anatomy E-Book: the anatomical basis of clinical practice. London: Elsevier Health Sciences, 2021. 1588 p.
34. The branching angles in computer-generated optimized models of arterial trees. / W. Schreiner [et al.] // Journal of General Physiology. 1994. Vol. 103. № 6. P. 975-989. https://doi.org/10.1085/jgp.103.6.975
35. Uylings H.B.M. Optimization of diameters and bifurcation angles in lung and vascular tree structures // Bulletin of Mathematical Biology. 1977. Vol. 39. № 5. P. 509-520. https://doi.org/10.1007/BF02461198
36. Zamir M. Cost of departure from optimality in arterial branching / M. Zamir, D.C. Bigelow // Journal of Theoretical Biology. 1984. Vol. 109. № 3. P. 401409. https://doi.org/10.1016/S0022-5193(84)80089-2
37. Zamir M. Branching characteristics of human coronary arteries / M. Zamir, H. Chee // Canadian Journal of Physiology and Pharmacology. 1986. Vol. 64. № 6. P. 661-668. https://doi.org/10.1139/y86-109
References
1. Avtandilov G.G. Meditsinskaya morfometriya. Rukovodstvo [Medical morphometry. Tutorial]. M.: Meditsina, 1990, 384 p.
2. Glotov V.A. Strukturnyy analiz mikrososudistykh bifurkatsiy (mikrososudistyy uzel i gemodinamicheskiyfaktor) [Structural analysis of the microvascular bifurcations (microvascular node and hemodynamic factor]. Smolensk: Ampipress, 1995, 251 p.
3. Zenin O.K., Beshulya O.A. Morfometricheskiy analiz dikhotomiy vnutriorgan-nogo arterial"nogo rusla pochki [Morphologycal analysis f dichotomies of the kidney intraorganic arterial bed]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Po-volzhskiy region [University proceedings. Volga region], 2013, no. 4 (28), pp. 26-34.
4. Mamisashvili V.A., Babunashvili M.K. Kriteriy optimal'nogo funktsionirovani-ya podsistem krupnykh i melkikh pial'nykh arteriy [Optimal functioning of the subsystems of large and small pial arteries criteria]. Fiziologicheskiy zhurnal SSSR [USSR Physiological jornal], 1975, vol. 61, no. 10, pp. 1501-1506.
5. Lyakh Yu.E. et al. Osnovy komp'yuternoy biostatistiki: analiz informatsii v bi-ologii, meditsine i farmatsii statisticheskim paketom MedStat [Computer bio-statistics basics: data analysis in biology, medicine and pharmacology with MedStat app]. Donetsk: Papakitsa E. K., 2006. 214 p.
6. Kafarov E. S. Dmitriev A.V., Zenin O.K., Vezirkhanov A.Z., Vagabov I.U., Miltykh I.S. Polimernaya rentgenkontrastnaya smes" dlya izgotovleniya korrozionnykh anatomicheskikh preparatov [Polymer radiopaque mixture for the manufacture of corrosive anatomical preparations]: pat. 145561 Ukraine: MPK A01N 1/02; applied. 09.06.2020; published. 28.12.2020, Byul. № 24. 6 p.
7. Rozen R. Printsipoptimal'nosti vbiologii [Optimality principle in biology]. M.: Mir, 1969. 231 p.
8. Kiryakulov G.S., Zenin O.K., Khadzhinov D.G., Neudachina K.A., Bala-banova Yu.V. Sposib vigotovlennya koroziynikhpreparativ sudinno'i sistemi porozhnistogo organa [A method of manufacturing corrosion preparations of the vascular system of the hollow organ]: pat. 42409A Ukraine, MPK 7A61F2/06. / № 2001021136; applied. 19.02.2001; published. 15.10.2001, Byul. № 9. 2 p.
9. Janssen, C.R.M., C.L. de Korte, M.S. van der Heiden, C.P.A. Wapenaar, and A.F.W. van der Steen. Angle Matching in Intravascular Elastography. Ultrasonics, 2000, vol. 38, no. 1-8, pp. 417-423. https://doi.org/10.1016/s0041-624x(99)00188-2
10. Beek J.H.G.M. Van S.A. Roger, Bassingthwaighte J.B. Regional Myocardial Flow Heterogeneity Explained with Fractal Networks. American Journal of Physiology-Heart and Circulatory Physiology, 1989, vol. 257, no. 5, pp. H1670-H1680. https://doi.org/10.1152/ajpheart.1989.257.5.h1670
11. Bell, John B, Phillip Colella, Harland M Glaz. A Second-Order Projection Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations. Journal of Computational Physics, 1989, vol. 85, no. 2, pp. 257-283. https://doi.org/10.1016/0021-9991(89)90151-4
12. Moccia, Sara, Elena De Momi, Sara El Hadji, Leonardo S. Mattos. Blood Vessel Segmentation Algorithms - Review of Methods, Datasets and Evaluation Metrics. Computer Methods and Programs in Biomedicine, 2018, vol. 158, pp. 71-91. https://doi.org/10.1016/j.cmpb.2018.02.001
13. Cavagna, Giovanni. Circulation of Blood. Fundamentals of Human Physiology. Springer International Publishing, 2019. pp. 1-63. https://doi.org/10.1007/978-3-030-19404-8_1
14. European Convention for the Protection of Vertebrate Animals Used for Experimental and Other Scientific Purposes. Strasbourg, 1986.
15. Revellin, Rémi, François Rousset, David Baud, Jocelyn Bonjour. Extension of Murray's Law Using a Non-Newtonian Model of Blood Flow. Theoretical Biology and Medical Modelling, 2009, vol. 6, no. 1, Article number: 7. https://doi. org/10.1186/1742-4682-6-7
16. Kretowski, Marek, Yan Rolland, Johanne Bézy-Wendling, Jean-Louis Louis Coatrieux. Fast Algorithm for 3-D Vascular Tree Modeling. Computer Methods and Programs in Biomedicine, 2003 vol. 70, no. 2, pp. 129-36. https://doi. org/10.1016/s0169-2607(01)00200-0
17. Fredrich, Thierry, Michael Welter, Heiko Rieger. Dynamic Vessel Adaptation in Synthetic Arteriovenous Networks. Journal of Theoretical Biology, 2019, vol. 483, 109989. https://doi.org/10.1016/jjtbi.2019.109989
18. Green, Samuel B, Neil J Salkind. Using SPSS for Windows and Macintosh: Analyzing and Understanding Data. 6th ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2012.
19. Greenwald S.E., Berry C.L. Improving Vascular Grafts: The Importance of Mechanical and Haemodynamic Properties. The Journal of Pathology, 2000, vol. 190, no. 3, pp. 292-299. https://doi.org/10.1002/(SICI)1096-9896(200002)190:3<292::AID-PATH528>3.0.C0;2-S
20. Hagmeijer R., Venner C.H. Critical Review of Murray's Theory for Optimal Branching in Fluidic Networks. ArXiv, December 23, 2018. http://arxiv.org/ abs/1812.09706
21. LaBarbera M. Principles of Design of Fluid Transport Systems in Zoology. Science, 1990, vol. 249, no. 4972, pp. 992-1000. https://doi.org/10.1126/sci-ence.2396104
22. Leuprecht Armin, Perktold Karl. Computer Simulation of Non-Newtonian Effects on Blood Flow in Large Arteries. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, 2001, vol. 4, no. 2, pp. 149-63. https://doi. org/10.1080/10255840008908002
23. Schreiner, Wolfgang, Friederike Neumann, Martin Neumann, Rudolf Karch, Adelheid End, Susanne M. Roedler. Limited Bifurcation Asymmetry in Coronary Arterial Tree Models Generated by Constrained Constructive Optimization. Journal of General Physiology, 1997, vol. 109, no. 2, pp. 129-40. https:// doi.org/10.1085/jgp.109.2.129
24. Huang, W., R. T. Yen, M. McLaurine, G. Bledsoe. Morphometry of the Human Pulmonary Vasculature. Journal of Applied Physiology, 1996, vol. 81, no. 5, pp. 2123-2133. https://doi.org/10.1152/jappl.1996.81.5.2123
25. Murray C.D. The Physiological Principle of Minimum Work Applied to the Angle of Branching of Arteries. Journal of General Physiology, 1926, vol. 9, no. 6, pp. 835-41. https://doi.org/10.1085/jgp.9.6.835
26. Jorstad, Anne, Biagio Nigro, Corrado Cali, Marta Wawrzyniak, Pascal Fua, Graham Knott. NeuroMorph: A Toolset for the Morphometric Analysis and Visualization of 3D Models Derived from Electron Microscopy Image Stacks. Neuroinformatics, 2015, vol. 13, no. 1, pp. 83-92. https://doi.org/10.1007/ s12021-014-9242-5
27. Olufsen, Mette S. A One-Dimensional Fluid Dynamic Model of the Systemic Arteries. Studies in Health Technology and Informatics, 2000, vol. 71, pp. 79-97. https://doi.org/10.3233/978-1-60750-915-8-79
28. Vasilevski, Yuri, Maxim Olshanskii, Sergey Simakov, Andrey Kolobov, and Alexander Danilov. Personalized Computational Hemodynamics. Personalized Computational Hemodynamics. Elsevier, 2020. https://doi.org/10.1016/C2017-0-02421-7
29. Pollanen, M.S. "Dimensional Optimization at Different Levels of the Arterial Hierarchy." Journal of Theoretical Biology 159, no. 2 (1992): 267-70. https:// doi.org/10.1016/S0022-5193(05)80706-4
30. Pries, Axel R., Timothy W. Secomb, Peter Gaehtgens. Design Principles of Vascular Beds. Circulation Research, 1995, vol. 77, no. 5, pp. 1017-23. https://doi.org/10.1161/01.RES.77.5.1017
31. Martinez-Perez, M. Elena, Alun D. Hughes, Alice V. Stanton, Simon A. Thom, Neil Chapman, Anil A. Bharath, Kim H. Parker. Retinal Vascular Tree Morphology: A Semi-Automatic Quantification. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 2002, vol. 49, no. 8, pp. 912-917. https://doi.org/10.1109/ TBME.2002.800789
32. Roux W. Ueber Die Verzweigungen Der Blutgefsse. Eine Morphologische Studie. Z. Naturwissenschaft, 1878, vol. 12, pp. 205-66.
33. Standring, Susan. Gray's Anatomy E-Book: The Anatomical Basis of Clinical Practice. 42nd ed. London: Elsevier Health Sciences, 2021.
34. Schreiner, Wolfgang, M Neumann, Friederike Neumann, Susanne M. Roed-ler, Adelheid End, P. Buxbaum, Mrcael R. Müller, Paul Spieckermann. The Branching Angles in Computer-Generated Optimized Models of Arterial Trees. Journal of General Physiology, 1994, vol. 103, no. 6, pp. 975-989. https://doi.org/10.1085/jgp.103.6.975
35. Uylings H. B. M. Optimization of Diameters and Bifurcation Angles in Lung and Vascular Tree Structures. Bulletin of Mathematical Biology, 1977, vol. 39, no. 5, pp. 509-520. https://doi.org/10.1007/BF02461198
36. Zamir, M., D. C. Bigelow. Cost of Departure from Optimality in Arterial Branching. Journal of Theoretical Biology, 1984, vol. 109, no. 3, pp. 401-409. https://doi.org/10.1016/S0022-5193(84)80089-2
37. Zamir M., H. Chee. Branching Characteristics of Human Coronary Arteries. Canadian Journal of Physiology and Pharmacology, 1986, vol. 64, no. 6, pp. 661-668. https://doi.org/10.1139/y86-109
ДАННЫЕ ОБ АВТОРАХ
Зенин Олег Константинович, д.м.н., профессор кафедры «Анатомия человека»
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный унивеситет»
ул. Красная, 40, г. Пенза, 440026, Российская Федерация zen.olegz@gmail.com
Милтых Илья Сергеевич, студент
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный унивеситет»
ул. Красная, 40, г. Пенза, 440026, Российская Федерация ilyamiltykh@outlook.com
Дмитриев Андрей Викторович, к.м.н., заведующий отделением рент-генэндоваскулярной хирургии
Институт неотложной и восстановительной хирургии имени В.К. Гусака
пр. Ленинский, 47, г. Донецк, 83000, Украина dmitriev72@list.ru
Юрченко Ольга Олеговна, ассистент кафедры «Патологическая анатомия»
Государственная образовательная организация высшего профессионального образования «Донецкий национальный медицинский университет имени М. Горького» пр. Ильича, 16, г. Донецк, 283003, Украина miss.patologoanatom@gmail.com
DATA ABOUT THE AUTHORS Oleg K. Zenin, Doctor of Medical Sciences, Professor of Human anatomy
Penza State University
40, Krasnaya Str., Penza, 440026, Russian Federation SPIN-code: 3159-1346 ORCID: 0000-0002-5447-1989 ResearcherlD: 0-7965-2015 Scopus Author ID: 57198085128
Ilia S. Miltykh, student
Penza State University
40, Krasnaya Str., Penza, 440026, Russian Federation ilyamiltykh@outlook.com SPIN-code: 9363-6873 ORCID: 0000-0002-9130-3255
Andrey V. Dmitriev, Candidate of Medical Sciences, Head of the Department of Endovascular Surgery
VK.Gusak Institute of Emergency and Reconstructive Surgery 47, Leninskiypr., Donetsk, 83000, Ukraine dmitriev72@list.ru
Olga O. Iurchenko, Assistant professor at "Pathological anatomy" department
M. Gorky Donetsk National Medical University 16, Illyica ave., Donetsk, 283003, Ukraine miss.patologoanatom@gmail.com
