CC BY
28
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 154, кн. 2 Физико-математические пауки
2012
УДК 519.71
МОНАДИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПРИ АСИНХРОННО АВТОМАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
Н.Н. Корнеева
Аннотация
Доказано, что свойство разрешимости мопадическпх теорий бесконечных последовательностей сохраняется при асинхронно автоматных преобразованиях. Получен критерий разрешимости мопадической теории полной последовательности.
Ключевые слова: автоматные преобразования, мопадические теории, полные последовательности.
1. Асинхронно автоматные преобразования
В [1] введено понятие конечно-автоматной сводимости для бесконечных последовательностей над конечными алфавитами при помощи автоматов Мили, классов эквивалентности (или степеней автоматных преобразований) и частичный порядок на классах эквивалентности. Эти определения обобщены на случай асинхронных автоматов в [2].
Определение 1 [3, с. 14, 35]. Конечным автоматом Мили (конечным асинхронным автоматом) называется набор Т = (Б, Е, Е', 6, ш), ще Е, Е' - конечные множества состояний, входных и выходных символов соответственно; 6 : Б х х Е —> Б — функция переходов; ш : Б х Е —> Е' (соответственно ш : Б х х Е —> (Е')*) - функция выходов. Если выделено начальное состояние во, то автомат (Т, во) называется инициальным.
Единственное отличие конечного асинхронного автомата от конечного автомата Мили в том, что областью значений функции выхода являются не только символы выходного алфавита, но и слова из символов выходного алфавита произвольной длины (в том числе и пустое слово).
Определение 2 [1, 2]. Пусть ж, у - бесконечные последовательности над конечными алфавитами (каждая над своим). Последовательность у автоматно сводится (асинхронно автоматно сводится) к последовательности ж, если существует конечный инициальный автомат Мили (соответственно конечный инициальный асинхронный автомат) (Т, во) такой, что шТ(во, ж) = Ау, где блок А определяет некоторую конечную задержку (соответственно шТ(во, ж) = у).
Данное отношение сводимости индуцирует отношение эквивалентности на множестве бесконечных последовательностей.
ж
у
ные инициальные автоматы Мили (соответственно конечные инициальные асинхронные автоматы) (Б, во) и (Т,іо) такие, что ш^(во, ж) = Ау, шТ(іо,у) = А'ж, где блоки А Є Е^ и А' Є ЕТ* определяют некоторые конечные задержки (соответственно ш,5(во, ж) = у, шТ(іо, у) = ж).
Класс эквивалентности последовательности х называется степенью автоматных преобразований (соответственно степенью асинхронно автоматных преобразований) и обозначается через [х] (соответственно [х]*) [1, 2].
На множестве степеней автоматных преобразований определяется частичный порядок: [х] > [у] ([у] сводится к [х]), если существует конечный инициальный автомат Мили (Т, в) и блок А € ЯТ такие, что шт(в, х) = Ау.
Аналогично определяется частичный порядок на множестве степеней асинхронно автоматных преобразований: [х]* >* [у]* ([у]* асинхронно сводится к [х]*), если существует конечный инициальный асинхронный автомат (Т, в) такой, что шт (в,х) = у.
В.Р. Байрашева показала [4], что из разрешимости моиадической теории после-х
у, тел и [у] < [х]. Обобщим этот результат па случай асинхронно автоматной сводимости.
х
обычную теорию первого порядка структуры (М, <, X), где N - множество натуральных чисел, которое пробегают индивидуальные переменные, < — двухместный предикат порядка, X - функциональный символ, который интерпретируется как последовательность х : N ^ Я. Истинность формул интерпретируется естественным образом. Более сильная теория монадическая теория (второго порядка). В этой теории кроме предметных переменных (по натуральным числам) разрешены также монаднческне переменные по множествам натуральных чисел (или одноместным предикатам) Р(у), ф(г). Разрешаются кванторы как по предметным переменным (натуральным числам), так и по монаднческнм переменным. Вводятся также атомарные формулы вида Р(р) («р принадлежит Р»), Такую теорию обозначают МТ(М, <,х) [5]. Во всех теориях подразумевается наличие двухместного предиката равенства, который интерпретируется естественным образом.
Теория называется разрешимой, если существует алгоритм, который по любой замкнутой формуле определяет ее истинность.
Существует критерий разрешимости моиадической теории бесконечной последовательности па языке теории автоматов. Приведем необходимые определения и результаты.
Недетерминированным автоматом Бюхи называется набор (5, Я, во, А, Г), где £ — множество состояний, Я - входной алфавит, во — выделенное начальное состояние, А С £ х Я х £ — множество переходов, Г - множество заключительных состояний. Ходом автомата па последовательности х = х0ххх2 ... называется такая последовательность состояний р = р0р1р2 ..., что р0 = в0 и (р*,х*,р*+1) € А для любого г. Автомат принимает последовательность х, если существует хотя бы рх р
заключительных состояний Г. Детерминированный автомат Бюхи отличается от
А
цию переходов 6 : £ х Я ^ £.
Недетерминированным автоматом Мюллера называется набор (£, Я, в0, А, Т), £, Я, в0, А С £ х Я х £ автомата Бюхи, ТС 2й - множество заключительных макросостояний (под макро-
£
х=
= х0х1х2 ... как такая последовательность состояний р = р0р1р2 ..., что р0 = в0 и (р*, х*, р*+1) € А для любо го г. Пределом автомата па последовательности х вдоль рр
х
р этого автомата та последовательности х, для которого предел принадлежит Т.
А
па функцию переходов 6 : £ х Я ^ £.
Теорема 1 [6]. Недетерминированные автоматы, Бюхи, недетерминированные автоматы Мюллера и детерминированные автоматы Мюллера распознают один и тот :лее класс языков. Более того, по автомату одного типа можно получать эквивалентный автомат другого типа алгоритмически.
Детерминированные автоматы Бюхи распознают меньший класс языков. Множество последовательностей, принимаемых автоматом Бюхи или Мюллера £, будем обозначать как Ьй-
х
и только тогда, когда существует алгоритм, который по любому автомату Бюхи (шш любому детерминированному автомату Мюллера) может определить,
х
Воспользовавшись только что приведенным критерием, докажем, что свойство разрешимости монадических теорий бесконечных последовательностей сохраняется при асинхронно автоматных преобразованиях.
Теорема 3. Пусть [у]* <* [х]* и МТ(М, <, х) разрешима. Тогда МТ(М, <,у) такж е разр е ш им а.
Доказательство. Пусть х, у - последовательности над алфавитами Я и Я' соответственно, причем существует автомат Т = (Т, Я, Я/Д0,6Т, шт) такой, что шт(40, х) = у. Действие автомата Т па любую последовательность можно представить как действие композиции автоматов ^ V (Т = Уи), которые определяются следующим образом:
1) и = (и, Я, Я", М0, 6и, ши), где и = Т, Я" = Т х Я, «0 = 6и(4, а) = 6т(4, а),
ши (4, а) = (4, а), где 4 € Т, а € Я;
2) V = (V, Я", Я', «0, 6у, шу), где V = {«}, Я" = Т х Я «0 = V, 6у(V, (4, а)) = V,
шу («, (4, а)) = шт(4, а), где 4 € Т, а € Я.
Пусть £ = (£, Я', в0, 6^, Те) — произвольный детерминированный автомат Мюллера. Согласно теореме 2 для разрешимости моиадической теории последовательности у достаточно уметь определять по £, действующему па у, принимает он у
х
х
£у
хТ
Т
разбивается на 2 шага.
Т
бом, отличным от доказательства В.Р. Байрашевой [4]. Это позволит нам затем обобщить ее на случай асинхронных автоматов.
Шаг 1. Строим автомат VS = (V х £, Я'', («0,в0),6уй, Туй), где V х £ = £, («0, в0) = в0. Функция перехода определяется следующим образом:
6уй((«, в), а") = (V, 65(в, шу (V, а''))).
Множество заключительных макросостояний Туй = Тй ■
Тогда очевидно, если у € (принимается авто матом £), то для любой последовательности г такой, что у = шу(-у0, г), справедливо г € Ьу^. Если г € Ьу,5, то
шу (г>0, г) €
Обозначим полученный автомат через Ш = VS = (Ш, Я'', ад0, 6^, Т^).
Шаг 2. Строим автомат иШ = (и х Ш, Я, (и0,ад0),6и^, Ти^), где и х Ш = = Т х Ш, («0, ад0) = (40, ад0). Функция перехода определяется следующим образом:
6иж((и, ад), а) = (6и(и, а),6^(»,ши(и, а))).
Определим множество заключительных макросостояний Ти^ по заданному Т^. Выберем Г^ € Т^ и зафиксируем все дуги, ведущие из Г^ в Г^. Пусть ад € Г^ , и € и произвольно выбраны. Рас смотрим (и, ад) и найдем все состояния, в которые можно прийти из (и, ад) по пути из выделенных дуг. В итоге получим некоторое множество Ги^. Рассмотрим подмножества О С Ги^ такие, что множество, состоящее из вторых координат элементов О, образует все Г^, то есть рг2 О = Г^. Все такие множества О добавим в Ти^. Аналогично поступаем для всех Г^ € Т-^, ад € Г^ , и € и.
Теперь если х € Ьи^, то предел автомата иШ та последовательности х (обозначим это множество через О) иринадлежит Ти^. Отсюда следует, что предел автомата Ш та последовательности ши(и0,х) теть рг2О, следовательно, по построению он принадлежит Т^, то есть ши(и0, х) = г € .
Если х / Ьи^, тогда предел автомата иШ та последовательности х (пусть это снова множество О) та принадлежит Ти^. Если допустить, что предел автомата Ш та последовательности ши (и0,х) (то ест ь рг2О) иринадлеж ит Т^, то по построению получим, что О € Ти^, что невозможно. Значит, ши(и0, х) = г / .
В итоге получаем: если х € Ьи^, то ши(и0,х) = г € = Ьу,5, значит,
шу (г>0,г) = шу (г>0, ши(и0,х)) = у € Если х / Ьиж, то ши(и0,х) / =
= Ьу^. Допустив, что шу(^0,ши(и0,х)) = у € получим ши(и0,х) € Ьу^, что невозможно. Следовательно, у / .
х
гда можем определить х € Ьи^ ип х / Ьи^, значит, для последовательностп у мы можем ответить на аналогичный вопрос для произвольного детермнннрован-
£
у
Т
ного автомата Мили возникают лишь в автомате V, а именно у функции выхода автомата V: шу(V, (4, а)) = шт(4, а) € Я'* .
Сначала строим промежуточный автомат VS = (V х £, Я'', (^0,в0),6уй, Туй), где V х £ = £ (-у0, в0) = в0. Функция перехода определяется следующим образом:
6у5((V, в), а'') = (V, 65(в, шу (V, а''))).
Т
ведущей из некоторого состояния (V, в) в состояние (V, в') и помеченной буквой а", пишем множество всех промежуточных состояний пути из в в в' та слов у шу (V, а'') £
Поскольку на каждой дуге записано, кроме метки, еще и множество промежуточных состояний, немного изменим построенный автомат. Каждому состоянию поставим в соответствие некоторое множество состояний следующим образом. Для каждого состояния (V, в) и каждого множества промежуточных состояний {в*1,..., в*г}, записанного та дуге, приводящей в (V, в), построим одно «новое» состояние, причем «новые» состояния будут иметь двойную метку:
((V, в), {в*1,..., в*г, в}). Соответственно, дуги из этих состояний будут выходить так же, как в автомате V£ из состояния, указанного в первой метке, но с учетом промежуточных состояний, указанных на дуге в автомате V£.
Построим множество заключительных макросостояний по заданному множеству заключительных макросостояний Тй автомата £. Рассмотрим произвольное Гэ € Тй • В качестве Гуй возьмем все состояния ((V, в), {в*1,..., в*г, в}), у которых в первых метках есть состояния из Гэ> то есть в € Гэ • Удалим из полученного множества те состояния, у которых во вторых метках есть состояния, не принадлежащие Г^. Получим Гуэ. Теперь рассмотрим все подмпожества О С Гуа такие, что множество, состоящее из вторых координат элементов О, образует все Гэ, то есть рг2О = Гэ • Все такие множества О добавим в Ту^- Аналогично поступаем для всех Гэ € Тэ • Полученный автомат, как и в случае с автоматами Мили, обозначим Ш = (Ш, Я'', ад0, 6^, Т^).
Теперь если у € то предел авто мата £ та последовательности у (пусть это множество Гз) принадлежит Т^. Пусть г - такая последовательность, что шу(^0, г) = у. Очевидно, то построению, предел автомата Ш на последовательности г содержится в Гу5, причем множество состояний, принадлежащих вторым меткам, образует Гэ, отсюда указанный предел принадлежит Т^. Следовательно, г € ■
Пусть теперь г € В этом случае предел автомата Ш па последовательности г (обозначим его О) принадлеж ит Т^. Тогда предел авт омата £ па последовательности шу (^0, г) будет рг2О. Следовательно, по построению, получаем РГ2О € Тэ и шу (г>0, г) €
Осталось показать, что из х € Ьи^ следует у € и из х / Ьи^ следует у / Это доказывается так же, как и в случае конечных автоматов Мили.
х
у
□
2. Полные последовательности
Второй основной результат настоящей работы критерий разрешимости мона-дической теории полной последовательности. Приведем основные определения.
Определение 4 [1]. Последовательность х = {а„|п € М} над алфавитом Я называется полной, если для любого блока В = 6162 ... 6^ € Я* существует т € М такое, что ат+* = 6* для всех г = 1, 2,..., к.
Для полных последовательностей введем понятие регулятора полноты.
Пусть / : М ^ М — одноместная функция. Регулятором полноты для полной последовательности х € Ям назовем функцию /, которая каждому натуральному числу к сопоставляет наименьшее натуральное число I такое, что любое слово кЯ
тельности х длины I.
Нам достаточно будет знать не сам регулятор полноты, а только какую-нибудь
х
//
Определение 5. Последовательность х € Ям называется /-полной, если для любого к € М каждый блок длины к го символов алфавита Я встречается на начальном отрезке последовательности х длины /(к).
х
х / /
Ясно, что но каждый автомат может давать на выходе полную последовательность.
Определение 7 [7]. Конечный сильно связный автомат Мили £ = (£, Я, 6, ш)
Я
натурального к и любого к-блока В € Я* существуют состояние в € £ и к-блок А € Я* такие, что ш(в, А) = В.
Теорема 4 [7]. Пусть £ = (£, Я, 6, ш) - сильно связный конечный автомат с п состояниями, х - полная последовательность, А € Я+, в € £. Тогда £ находится в состоянии в бесконечно часто с А как блоком х, следующем на входе.
Теорема 5 [7]. Пусть £ = (£, Я, 6, ш) - произвольный конечный автомат, в0 € £, х € Ям - полная последовательность, {вп : п € М} - последовательность £
сти х в начальном состоянии в0. Тогда £с = (£с, Я, 6С, шс), где £с = {в € £ : в = = вп для бесконечного числа п € М}, 6С и шс - ограничение мо £с х Я функций 6 ш£
Теорема 6. Пусть Т = (£, Я, Я', 6, ш) является (сильно связным) полным автоматом Мили с п состояниями, х - /-полная последовательность. Тогда ш(в0,х) т д-полной последовательностью, где д(к) = /((к + п — 1)”).
Доказательство. В силу теоремы 4 полная последовательность проводит сильно связный автомат через каждое состояние с каждым блоком, следующим
ш(в0, х)
у
Перенумеруем состояния автомата д0, дь..., дп_1 и выделим одно из них д. Так как автомат сильно связный, то из любого состояния можно дойти до состояния д
п— 1
Для произвольного натурального к, произвольного слова В € Я* длины к и выделенного состояния д построим такое слово, что при чтении этого слова с любого состояния обязательно придем в состояние д то словом В на входе. Из состояния д0 д А1 п — 1
В д1 А1 В
яние д!, го которого по слову А 2 длины не более п — 1 можно прийти в состояние дВ
пиями. Тогда из состояния дп-1 то слов у А1В ... АП-1В придем в состояние дп-1, А” п — 1 д
дадим на вход слово В. Тогда при чтении слова А1ВА2В ... АП-1ВА”В с любого
дВ
Указанное слово А1ВА2В ... АП-1ВА”В имеет длину не более (к + п — 1)”,
х
/((к + п — 1)”). Отсюда получаем, что каждый блок длины к встречается в последовательности у та начальном отрезке длины /((к + п — 1)”),то есть последовательность у является (/-ПОЛНОЙ. □
Следствие 1. Пусть Т = (£, Я, Я', 6, ш) - (сильно связный) полный авто-х ш(в0, х)
эффективно полная последовательность.
Теорема 7. Монадическая теория МТ(М, <, х) полной последовательности х
х
ность.
х/
/
Необходимость. Пусть монадическая теория МТ(Ж, <,х) /-полной последо-х/
п х(п)
х(п) = а для каждого а € Я. Поэтому х вычислима. Перебором можно также найти / (п), поскольку для любых п € М и I € М можно записать, что / (п) < I, при помощи следующей формулы:
Уа1, а2, .. ., ап € Я Зт ((т + п — 1 < 1)Л
Л(х(т) = а1) Л (х(т + 1) = а2) Л • • • Л (х(т + п — 1) = ап)).
х/
/
х
хх
Пусть £ = ({д1,..., дп}, Я, 6^, Т^) - произвольный детерминированный авто-п
поненты сильной связности. В графе конденсации существуют такие компоненты сильной связности, из которых не выходят дуги в другие компоненты. Именно они
£
дой компоненты сильной связности, отвечающей сильно связному подавтомату, по одному состоянию. Обозначим выбранные состояния в1,..., в;.
£х ствует сильно связный подавтомат £' автомата £ такой, что начиная с некоторого момента все состояния хода автомата £ та последовательности х принадлежат £'. Для вершины д1 € £ найдем путь из д1 в в1 (если он существует) длины не п— 1 А1
во А1 в состоявии д2 € £ и придем в состояние д2 € £. № него найдем путь в в1
п—1
А2 А1 . . . А”
более п(п — 1). Так поступаем для каждого состоянпя в1,..., в; и строим соответ-
п( п — 1)
Поскольку па отрезке длины не более /(п(п— 1)) последовательности х встреча-п( п — 1)
£
проводит сильно связный автомат через каждое состояние бесконечное число раз.
£х связный подавтомат. Если множество состояний полученного подавтомата принадлежит множеству допускающих макросостояний Т^, то х принимается автоматом (х £ Ьв). если оно не принадлежит Те, то не принимается (х £ Ьв). □
Последняя теорема обобщается на последовательности, которые становятся
к
Пусть теперь ^ : Я* ^ Я'* - к-равномерный морфизм (то есть ^(АВ) = = у>(А)у>(В) для любых А, В € Я* и |^(а)| = к для любого а € Я), х - полная последовательность над алфавитом Я. Последовательность вида у>(х) будем к
к
к
Следствие 2. Монадическая теория MT(N, <,x) к-полной последовательности x разрешима тогда и только тогда, когда x является образом эффективно
к
Основные результаты настоящей статьи (теоремы 3. 6. 7) были опубликованы в кратком сообщении в журнале «Известия вузов. Математика» [8].
Автор выражает благодарность профессору М.М. Арсланову за полезное обсуждение результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л- 10-01-00399-а) и гранта для поддержки ведущих научных школ НШ-5383.2012.1.
Summary
N.N. Korneeva. Monadic Theories of Infinite Sequences under Asynchronous Automata Transformations.
It is proved that the decidability property of the monadic theories for infinite sequences remains under asynchronous automata transformations. We get a criterion of decidability for the monadic theory of a complete sequence.
Key words: automata transformations, monadic theories, complete sequences.
Литература
1. Рейна Г. Степени автоматных преобразований // Киберп. сб. 1977. Л'! 14. С. 95
106.
2. Корнеева Н.Н. Степени асинхронно автоматных преобразований // Изв. вузов. Ма-тем. 2011. Л» 3. С. 30 40.
3. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколшн А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985. 320 с.
4. Байрашева В.Р. Степени автоматных преобразований почти периодических сверхслов и сверхслов с разрешимой мопадической теорией. Казань, 1989. 29 с. Деп.
в ВИНИТИ 11.05.1989 3103-В89.
5. Мучник Ап.А., Притыкин Ю.Л., Семенов А.Л. Последовательности, близкие к периодическим // Усп. мат. паук. 2009. Т. 64, Л'! 5. С. 21 96.
6. McNaughton R. Testing and generating infinite sequences by a finite automaton // Inform. Control. 1966. V. 9. P. 521 530.
7. Gordon E.G. Complete Degrees of Finite-State Transformability // Inform. Control.
1976. V. 32. P. 169 187.
8. Корнеева Н.Н. Об автоматных преобразованиях и мопадических теориях бесконечных последовательностей // Изв. вузов. Матем. 2011. Л'! 8. С. 90 93.
Поступила в редакцию 16.02.12
Корнеева Наталья Николаевна ипжепер отдела алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-шаіІ: Natalia.Korneevaeksu.ru
