Момент сил, действующий на взвешенную в колеблющейся жидкости твердую частицу, имеющую форму вытянутого эллипсоида вращения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 3 (18)

УДК 532.33

Момент сил, действующий на взвешенную в колеблющейся жидкости твердую частицу, имеющую форму вытянутого эллипсоида вращения

А. А. Черепанова

Институт механики мплошных мред УрО РАН, 614000, Пермь, ул. Королева, 1

Исследуется влияние высокочастотных вибраций на поведение взвешенной в жидкости твердой частицы, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения. Получены аналитические выражения для средних сил и моментов сил, действующих на такую частицу со стороны пульсационного потока. Найдено ориентирующее действие вибраций на частицу такой формы.

Ключевые слова: вибрации, момент сил, частица.

1. Введение

Если в сосуде с жидкостью, совершающем вибрации, содержатся твердые включения другой плотности, то в жидкости возникают индуцированные вибрациями течения. Их наличие может приводить к тому, что на частицы, взвешенные в жидкости, будут действовать, при некоторых условиях, силы с ненулевым средним значением. Такие силы приводят к парадоксальному поведению тел в вибрирующей жидкости: частицы, более тяжелые, чем жидкость, могут всплывать, а частицы меньшей плотности тонуть [1-7]. При однородных вибрациях средняя сила, действующая на включения со стороны пульсационного потока, существенна лишь вблизи твердой стенки; она быстро убывает с увеличением расстояния от частицы до стенки [1-5]. Вибрации, имеющие ненулевую вращательную компоненту, приводят к возникновению дальнодействующей средней силы, которая может вызывать движение частиц против направления силы тяжести [6-7].

Целью настоящей работы является изучение влияния вибраций высокой частоты на твердые частицы, имеющие форму вытянутого эллипсоида вращения, вычислению средних сил и моментов сил, действующих на такие частицы со стороны пульсационного потока. Эта проблема изучалась для случая частиц, имеющих форму сплюснутого эллипсоида вращения в работе [5]. Показано, что вибрационный момент сил ориентирует частицы таким образом, чтобы большая часть их поверхно-

сти была перпендикулярна направлению вибраций. В то же время форма большинства биочастиц более близка к вытянутому эллипсоиду вращения. Расчеты для частиц такой формы до сих пор не делались.

2. Силы и моменты сил, действующие на взвешенную в колеблющейся невязкой жидкости частицу в форме вытянутого эллипсоида вращения

Пусть сосуд, содержащий жидкость плотности р, совершает линейно-поляризованные вибрации вдоль направления, задаваемого единичным вектором д, с частотой а и амплитудой а . Внутри сосуда находится твердая частица плотности р;, отличной от р.

В работе [5] получены общие формулы для средней вибрационной силы и среднего вибрационного момента сил, действующих на тело произвольной формы в колеблющейся невязкой жидкости. Найдено, что средняя вибрационная сила, действующая на твердое тело со стороны окружающей жидкости, определяется выражением

р

(ур - я)2 2

-УР • (в + Фх г)

-|Р(Ф х ёБ')}^--

(1)

© Черепанова А. А., 2011

а средний вибрационный момент - выражением

(УР - 4 )2 2

- УР • (О + Фх г)

(г х ёБ) -

-1 (Ф х г) х ёБ - £р\г х (Ф х ёЯ)]}^-

(2)

(УР )я = 4

и на поверхности эллипсоида

(УР - 4)и = Оп +(СФ х Г )я

где

О = | Р • ёБ - 4 фі =Р1- І Р(г х ёБ)к .

_д_

да

(а2 - 1)^Р" ' 'да

_5_

дт

(1 -т2)-

' ' Я)^7"

_ 2 2 а -т

д2 Р

(а2 -і)(і-т2) д^2

= 0 :

Будем искать решение в виде

Р = Р • соєа + Р • єша

а(а2-1) /+ 2 (2а2-1) /' = 0.

на бесконечности решение

.. 1 , а +1 1

/і = 7Т1п-------7 —

2 а-1 а

(11)

Подставляя полученное выражение для Р в уравнения и при д = к , получим соответственно

где Р - безразмерная амплитуда пульсационной части давления, удовлетворяющая уравнению Лапласа:

АР = 0

с граничными условиями на бесконечности

Ог = рУ (1 + *1 • /1)-1

т

(12)

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

Ф1 = 0. (13)

Тогда из условия на границе эллипсоида можно определить константу с :

т

(14)

где р =

АРУ- ііп ао +1

рУ 1

2

ао -1 ао -1 т ао

Аналогичным образом находим решение, соответствующее вибрациям вдоль оси х. В этом случае уравнение (8) имеет вид

I- - тензор, обратный тензору момента инерции.

Рассмотрим влияние вибраций на тело в форме вытянутого эллипсоида вращения. Направление вибраций будем задавать вектором 4 = і • єіпа+к- соєа , где і = Ух и к = У і - орты координатных осей (ось г направлена вдоль длинной оси эллипсоида).

Уравнение Лапласа в системе координат вытянутого эллипсоида вращения имеет вид:

■(а2-1)/2+(5а2 -1)/' = 0 .

а его затухающее на бесконечности решение

11 1, а +1

/2 =ТІТ 1п

а

2 I 2 а-1 а -1

Тогда из уравнений и следует

Ох =РУ (1 + *2 • /2 )-1 т

ф = 0.

(15)

(16)

(17)

(18)

Из граничного условия (5) определяем констан-

(8) ту с2:

Ар •У 1 т Р

(19)

где 0 <а<да, -1 <т< 1,0 <ф< 2ж - координаты указанной системы координат, причем а = а соответствует поверхности эллипсоида.

где

1 Ар • У а0 +1

1п-

рУ а0

2 т а0-1 а0а

(а02 -1)

т а2 -1

С учетом (13) и (18) формулы для средней вибрационной силы и момента сил преобразуются к

(9) виду:

где Р = 2 • с • / (ст) + 2 и Р = X • с • / (ст) + х являются решениями уравнения при д =к и д = / соответственно.

Для функции /, соответствующей ориентации

вектора вибраций вдоль длинной оси эллипсоида, уравнение принимает вид

М =

рР‘

рР<

(УР - 4)2 2

-УР • О

ёБ

(20)

(УР - 4 )2

2

-УР • О

(г х ёБ) -

(10)

-£Р• Ох ёБ}

(21)

Это уравнение имеет единственное затухающее

Подставляя полученные ранее выражения для Р и О в (20) и 21) и производя интегрирование,

и

сг

0

т

и

и

+

+

2

2

+

І

2

и

І

2

64

А. А. Черепанова

находим, что средняя вибрационная сила равна нулю

р = 0 , (22)

а средний вибрационный момент имеет одну отличную от нуля компоненту, перпендикулярную плоскости вибраций:

3р-У . , 2 2

М, =-----------Бша С08а • (----+ст„ -

у 4 3 0

~--^1ПСТ0-7) • [(С1/1 + О1 ) с2Л2 (ст02 - 1) + (23)

2 ст0 -1

+ (С2 Л + О2 ) С1 /1СТ02 + С1С2СТ0л/СТ02 - 1/' А'] .

Качественный вид зависимостей среднего вибрационного момента от эксцентриситета эллипсоида и от отношения плотностей сред приведен на рис. 1 и 2 соответственно.

Рис. 2. Зависимость величины среднего вибрационного момента от отношения плотностей сред для е = 0.3

го а = п/2, возникающая сила возвратит эллипсоид обратно. Следовательно, из двух положений рав новесия устойчивым является то, которое соответствует ориентации длинной оси эллипсоида перпендикулярно плоскости вибраций. Таким образом, вибрации оказывают на вытянутый эллипсоид вращения ориентирующее действие: они приводят к такому расположению эллипсоида, при котором наибольшая поверхность эллипсоида ориентирована перпендикулярно плоскости вибраций (Рис.3).

р1/р2

Рис. 1. Зависимость величины среднего вибрационного момента от эксцентриситета эллипсоида для р/р = 0.2

Как видно из рис.1, момент силы монотонно возрастает при изменении формы частицы от шарообразной к более вытянутой в одном направлении. При нулевой плотности несущей жидкости вибрационный момент обращается в нуль. При одинаковых плотностях эллипсоида и окружающей его жидкости, в виду однородности системы, вибрационный момент также зануляется. Чем сильнее плотность жидкости превосходит плотность эллипсоида, тем больший момент сил действует на частицу.

Из уравнения (23) видно, что имеются два положения равновесия: при а=0 и при а = п/2. Поскольку средний вибрационный момент направлен против оси у, то при любом малом отклонении

длинной оси эллипсоида от вектора вибраций д возникнет сила, приводящая к дальнейшему развороту эллипсоида. При малом отклонении эллипсоида от положения равновесия, соответствующе

Рис. 3. Иллюстрация ориентирующего

действия вибраций. Направление вибраций задается вектором д

4. Заключение

Исследовано влияние вибраций высокой частоты на поведение взвешенной в жидкости твердой частицы, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения. Получены аналитические выражения для средних сил и моментов сил, действующих на такую частицу со стороны пульсационного потока. Выяснено, что вибрации оказывают на частицу ориентирующее действие: они приводят к такому ее расположению, при котором наибольшая часть поверхности частицы ориентирована перпендикулярно плоскости вибраций.

Список литературы

1. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями// ДАН СССР. 1983. Т. 270, №1. С. 62-67.

2. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. О движении твердого тела в вибрирующей жидкости//Конвективные течения, Пермь, ПГПИ. 1987. С. 61-70.

3. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P. The motion of solid body in a liquid under the influence of a vibration field// Reviewed Proc. Of the First Int. Symp. On Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity, Gordon and Breach, 1992, Р. 247-251.

4. Луговцев Б.А., Сенницкий В.Л. О движении тела в вибрирующей жидкости//ДАН СССР. 1986. Т. 289, № 2. С. 314-317.

5. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux B. Vibration influence of a two-phase system in weightlessness conditions//! Physique IV. 2001. Vol. 11 (Pr6). P. 83-90.

6. Kozlov V.G. Solid body dynamics in cavity with liquid under high-frequency rotational vibrations // Europhys. Letters. 1996. Vol. 36, № 9. P. 651656.

7. Заичкин Е.В., Любимов Д.В. Поведение взвешенного в жидкости тела в поле торсионных вибраций// Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь. 2001. Вып. 2. С. 97-109.

The torque acting on suspended in pulsating fluid hard particle with the shape of elongate ellipsoid of rotation

A. A. Cherepanova

Institute of Continuous Media Mechanics, Koroleva St. 1, 614000, Perm

In work the influence of high-frequency vibrations on the behavior of suspended in the fluid particle with the shape of elongate ellipsoid of rotation is investigated. Analytic expressions for average forces and torques acting on such a particles from the direction of the pulsating flow are deducted. Orienting effect of the vibrations on particles of such form is defined.

Keywords: vibrations, torque, particle.