CC BY
52УДК 534.546.3
МОДЫ КОЛЕБАНИЙ ИЗОТРОПНОГО ДИСКА, СЛАБО ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЕГО ТОЛЩИНЫ
Гайдуков Ю.П. (gaidukov@lt.phys.msu.su), Данилова Н.П., Сапожников О.А.
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Elastic vibrations of nickel disks were exited by magnetostriction. Frequencies of the vibration modes observed does not depend on sample thickness. The vibration modes have been considered theoretically. Relations linking resonant frequencies and elastic moduli of material have been obtained
ВВЕДЕНИЕ
Исследование упругих модулей твердых тел проводится обычно либо эхо-импульсным методом по скорости прохождения по образцу высокочастотного импульса, либо резонансным методом, в котором тем или иным способом возбуждаются определенные акустические моды собственных колебаний образца. Одним из преимуществ резонансного метода является его высокая абсолютная и относительная точность определения скорости звука, что позволяет проводить тонкие физические исследования разнообразных явлений в металлах [1,2]. Успешное использование резонансного метода возможно лишь при умении как теоретически рассчитывать конкретные типы колебаний, так и возможности идентифицировать их по экспериментально измеренным резонансным частотам. Эта задача для образцов произвольной формы является очень сложной. Поэтому чаще всего используются либо тонкие стержни, либо тонкие пластинки. В случае пластинок обычно исследуются толщинные резонансы, ввиду их простой связи со скоростью звука. Точность определения скорости звука по толщинным резонансам ограничивается многомодовостью этих резонансов, возникающей вследствие конечности поперечных размеров пластин [3]. Расшифровка типов колебаний упрощается на низких частотах, в частности при резонансах изгибных колебаний. Однако сильная дисперсия изгибных волн и существенная зависимость их свойств от толщины пластинки ограничивают точность резонансного метода в этом случае. Более удобными могут оказаться другие типы низкочастотных колебаний пластинок.
К этому типу относятся радиальные колебания тонкого диска, которые в случае пьезоэлектрических дисков нашли широкое применение [4]. Наряду с радиальными модами колебаний, тонкий диск обладает многими другими (неосесимметричными) низкочастотными модами, частоты которых не зависят от его толщины. На их существование указывал еще Ляв, подвергая, однако, сомнению их важность [5]. Более подробный теоретический анализ этих колебаний был проведен позже в работе [6]. Некоторые из указанных мод наблюдались в эксперименте [7]. Как отмечается в книге [8], работа [7] до сих пор остается единственной, достаточно полно описывающей спектральные свойства неосесимметричных мод колебаний дисков. На наш взгляд, недостаточный интерес к таким колебаниям может быть объяснен трудностью их возбуждения и регистрации. Задача настоящей работы -теоретическое и экспериментальное исследование свойств указанных низкочастотных мод.
ТЕОРИЯ СИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОГО ДИСКА
Изучаемые в настоящей работе моды были теоретически рассмотрены в работах [5, 6]. Однако для использования теоретической модели в эксперименте желательно более детальное обсуждение ее следствий. Ниже кратко приводятся основные результаты теории симметричных колебаний изотропного диска и более подробно рассматриваются свойства изучаемых мод.
Произвольное колебание тонкого диска может быть представлено как суперпозиция волн всех возможных типов, которые могут распространяться в тонкой пластине. Как известно, на низких частотах имеется три типа волн [9]. Два из них представлены низшими волнами Лэмба (изгибной и продольной волнами тонкой пластины), третий тип - поперечной SH-волной. Если интересоваться колебаниями, не зависящими от толщины пластины, то изгибные волны следует исключить из рассмотрения. Оставшиеся волны относятся к симметричному типу движений, сохраняющему неподвижной серединную плоскость пластины. Два указанных типа волн в ограниченной пластинке оказываются связанными условием отсутствия напряжений на боковой границе. Результирующее составное движение и представляет собой интересующие нас моды.
Следуя работе [5], для описания симметричных колебаний бесконечно тонкой плоскопараллельной изотропной пластины введем вспомогательные функции
0=V и и 2 W= Vx и , где и и V- соответственно вектор смещения и оператор пространственного дифференцирования вдоль плоскости пластины. Функция 0 имеет смысл относительного изменения площади элемента пластины при его деформировании, вектор W характеризует поворот этого элемента. Вектор W перпендикулярен пластине, т.е. имеет лишь z-компоненту, которую мы обозначим W. В случае гармонических колебаний вида exp(-iw) функции 0 и W описываются соответствующими уравнениями Гельмгольца
D0+ ¿20=0, DW+ к^= 0 . (1)
Здесь kp=wlcp - волновое число продольной волны в пластине, ср = 2су 1 - сг2 /с/2 -
скорость этой волны, kt=wlct - волновое число SH-волны, с( и а - скорости сдвиговой и продольной волн в безграничной среде. При исследовании колебаний тонкого круглого диска удобно перейти к полярным координатам (г,ф). Общее решение уравнений (1) в цилиндрических координатах может быть записано в виде суперпозиции решений вида
0= А )
/ \
(2) (2)
W=,B етф J Jkt г),
где А и В - произвольные постоянные (они несколько отличаются от использованных в [5]), мнимая единица перед В введена для удобства, Fm - функции Бесселя, т = 0, 1, 2, ... - угловой индекс. Смещения иг, Ц/ и напряжения Тф , Гп- , Тфф могут выражены через найденные функции 0 и W. Расчет дает следующие выражения:
и г = - е '
Т к)
Т, '. т(х)
. 2Вт 3 т(у) "Г]
(3)
и . е,тф Ат ^ 2В . д
ф кр ' X + к, '3 т 8
(4)
Тгф -, т е
|тф 2<Ат' ^^^ - 3ткХ)+ 2 В' О^)
X X2 V
Тгг = - 2 т е1ШФ '
ФФ
2 т е|т(| А
]т<х)-
]'т©+2
f с , 2 I 0
f С2 2 1 с| 0
J т (X
3 т (у) . 23 т (у)
---------+ т _ Г (5)
V2
„ 3 т ^ 3 т ^
)+ 2 Вт' —--
V V2
' 3 т(Х
+ 2 Вт'
3 т ( у) 3 т ( у)
(6)
(7)
Здесь введены обозначения Х= крг, V = к(г . Граничные условия заключаются в
отсутствии напряжений на боковой поверхности, т.е. Г1Т=ГГф=0 при г=а. Из
уравнений (5) и (6) при этом следует однородная система линейных уравнений относительно амплитуд А и В. Существование нетривиального решения приводит к равенству нулю соответствующего определителя: Го
J т ( )- J ш] (Fp )]{ 2 J т(F) + Jm (F + L i-о'
+ 2т'
т р/) р) ]'тФ) J m(F)
1 ~ F F2
(8)
где F = кр, Fp = кра = F -Л(1 -о)/2 , а - радиус диска, а о - коэффициент
Пуассона. Отметим, что с использованием реккурентных соотношений для функций Бесселя это уравнение можно свести к виду, приведенному в работе [6]. С учетом (8) коэффициенты А и В оказываются связанными:
Jтí. _ Ц©
в х X
(9)
А 2J Лт (
Величина В/А показывает относительный вклад сдвиговых деформаций в колебательное движение диска. Как видно, А и В можно считать чисто действительными величинами. При | В/А \ < 1 колебание является преимущественно продольным, при | В/А | > 1, напротив, преобладают сдвиги. Для расчета картины смещений и напряжений в диске следует перейти к действительным Т] , Дт , Т] , иг и и , рассматривая действительную часть соотношений (3)-(7). Соответствующие выражения получаются из (3)-(7) заменой exp(/mj)®cos(mj), ехр^'т])® z-sm(mj). Отметим, что компоненты тензора деформаций Т] и Т]] зависят от угла по-разному: sin(mj), ^~ cos(mj). Это, в частности, означает, что при любом радиальном разрезе диска (при вырезании сектора) никакая мода не сохранится, т.к. не будут удовлетворяться одновременно граничные условия на разрезе Тгф=0 и Т]]=0. Этим рассматриваемые моды колебаний диска отличаются от хорошо известных мод колебаний упругой мембраны.
Уравнение (8) является условием, связывающим безразмерные резонансные частоты F = кр всех возможных симметричных колебаний тонкого диска, причем коэффициент Пуассона о выступает в качестве параметра этого уравнения. Для каждого углового индекса т имеется бесконечное количество корней F . Введем
индекс п, равный порядковому номеру корня при увеличении частоты. Тогда уравнение (8) задает резонансные значения безразмерной частоты ka как функции коэффициента Пуассона s для различных мод (т,п). На рис.1 приведены результаты численного расчета всех указанных зависимостей в диапазоне 0 < kfl < 8 . Как видно, существует большое количество мод колебаний, частоты которых являются неубывающими функциями коэффициента Пуассона. Наинизшая частота, соответствующая моде (да,п)=(2,1), практически не зависит от коэффициента Пуассона: для нее ka растет от значения 2.336... при s=0 до 2.349... при s=0.5, т.е. общее изменение не превышает 0.6 %. Среди остальных мод имеются как чувствительные к коэффициенту Пуассона, так и слабо зависящие от него. Эта особенность может быть объяснена относительной долей продольных деформаций в процессе колебаний диска. Это видно из таблицы 1, где приведены результаты расчетов ka и соответствующих значений В/А (см.(9)). Отметим, что в общем случае моды представляют собой связанные продольные и сдвиговые колебания сравнимых амплитуд.
Связь продольных и сдвиговых возмущений пропадает лишь при не зависящих от угла колебаниях диска (да=0). При этом характеристическое уравнение (8) распадается на два более простых
s
1 _/ J т (5)-Ц(5)-0, (10)
2Jm(V) + Jm(V)- 0. (11)
Уравнение (10) соответствует радиальным колебаниям диска (В=0), которые рассматривались Мэзоном [4] в связи с исследованием мод колебаний пьезоэлектрических резонаторов. Резонансные частоты этих колебаний особенно сильно зависят от s (см. рис.1, кривая для моды (0,1)). Второе уравнение соответствует чисто сдвиговым колебаниям (А=0) и является частным случаем дисперсионного уравнения Похгаммера-Кри для мод крутильных колебаний упругого стержня, не зависящих от постоянной распространения^. Решение для этих мод является точным для диска произвольной толщины. Из (11) следует, что соответствующие резонансные частоты абсолютно не зависит от коэффициента Пуассона (см.рис.1), кривая для моды (0,2)). Резонансная частота моды (0,2) может быть использована для экспериментального нахождения скорости сдвиговых волн с( . В тех случаях, когда она не возбуждается, для нахождения с( с точностью не хуже 0.5 % можно использовать и самый низкочастотный резонанс, поскольку значение
его частоты для тонкого диска слабо зависит от коэффициента Пуассона. Однако для реальных образцов при этом может возникнуть ошибка, связанная с влиянием конечной толщины пластинки, т.к. теория бесконечно тонкого диска при этом, вообще говоря, неверна. Крутильная мода не меняет своей частоты при изменении толщины диска и поэтому более удобна для измерения сг
Как видно из рис.1, зависимости резонансных частот от коэффициента Пуассона для всех мод представляются плавными монотонными кривыми. Поскольку решение трансцендентного уравнения (8) в каждом конкретном случае требует специального расчета, для практического использования указанные зависимости удобно аппроксимировать более простым выражением
Ьо + Ь1 5
р = к t а 1+Ь (12)
1 + Ь2 5 ,
где Ь0 , Ь1 , Ь2 - подходящие константы. Их значения для различных мод приведены в таблице 1. Практически интересным для большинства материалов является диапазон 0.1 < s< 0.4 . Расчет показал, при этом ошибка, вносимая выражением (12) с константами из таблицы 1, для всех рассмотренных мод не превышает 0.1% , за исключением моды (2,3), где она не превышает 0.2%, и мод (1,2) и (1,3), где она не превышает 0.3%. Выражение (12) легко обратить: а -Ь0)/(( -Ь2 ■ л^а) . Эта
формула может быть использована для определения коэффициента Пуассона на основе экспериментально измеренных резонансных частот.
Характер деформаций диска на различных резонансных частотах иллюстрируется на рис.2. При расчете смещений использовались формулы (3),(4) и (9). Наинизшая мода (№1) соответствует колебанию, при котором контур диска превращается из круглого в эллиптический. Далее по частоте следует мода (№2), при которой концентрические с границей диска окружности не искажаются, однако в процессе колебания происходит их относительный сдвиг и они перестают быть концентрическими, причем окружности вблизи границы диска и вблизи его центра смещаются в противофазе с окружностями, лежащими в промежуточной области. Как замечено в работе [7], при переходе к толстому диску эта мода превращается в изгибное колебание цилиндра. Третья по частоте мода является модой радиальных колебаний диска. Среди оставшихся мод имеется крутильная мода (№7), а также колебания, при которых контур диска приобретает вид многоугольников (№4,6,8). Приведенные на рис.2 картины могут быть полезными при выборе конкретных схем резонансного возбуждения соответствующих мод.
СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
Для экспериментальной проверки выводов теории нами были проведены измерения на дисках из никеля технической чистоты (99%). Они изготавливались механическим путем на токарном станке и не подвергались в дальнейшем термической обработке. Размеры использованных образцов (с точностью 0.05 мм) приведены в таблице 2. Для возбуждения ультразвука был выбран магнитострикционный механизм преобразования электромагнитных колебаний в акустические, а для его регистрации - обратное преобразование через магнитоупругий механизм. Такое возбуждение упругих волн широко применяется в научных исследованиях и технических приложениях [10,11]. Электромагнитное возбуждение звука [2] для генерации исследуемых колебаний диска непригодно, т.к. в этом методе возбуждаются лишь толщинные резонансы и требуются довольно сильные (свыше 1 Тл) магнитные поля, заметно влияющие на сдвиговые модули.
Блок-схема измерений приведена на рис.З Интегратор 1 формировал напряжение и1 развертки по рабочей частоте w. С целью повышения точности измерений использовалась частотная модуляция сигнала. Для этого с помощью трансформатора 2 на напряжение развертки по частоте накладывалось напряжение частоты W/2p = 37 Гц. Глубина модуляции могла изменяться в широких пределах, но всегда была много меньше ширины резонанса. Управляющее напряжение иупр подавалось на генератор плавающей частоты З. Генератор З создавал частотно модулированное электрическое напряжение амплитуды порядка 1 В, которое подавалось на возбуждающую катушку 4, охватывающую никелевый диск вблизи его центра. Катушка была намотана на жесткий каркас и состояла из 10 витков медного провода диаметром 0.1 мм. Ток через катушку не контролировался. Вторая (приемная) катушка была аналогична первой и располагалась вблизи нее, также охватывая диск. Катушки вместе с образцом располагались между полюсами постоянного электромагнита так, что его магнитное поле Н0 лежало в плоскости диска. Таким образом, полное магнитное поле в образце являлось суперпозицией сильного постоянного поля Н0 и слабого высокочастотного поля возбуждающей катушки Н№. При выбранном расположении катушек и образца результирующее магнитное поле обладало симметрией относительно серединной плоскости диска и поэтому возбуждало лишь симметричные моды колебаний образца. Угол а между
Н° и осью катушки мог устанавливаться от О0 до 90°, что позволяло изменять структуру магнитного поля и тем самым добиваться более эффективного возбуждения той или иной моды колебаний диска. Сигнал э.д.с. амплитуды и° с приемной катушки проходил последовательно высокочастотный детектор 5 и синхронный детектор 6. В результате получался сигнал, пропорциональный производной по частоте сигнала du°/dw. Он регистрировался двухкоординатным самописцем. Отметим, что имелась также возможность проводить измерения в режиме без частотной модуляции, когда проводилась запись не производной du°/dw, а непосредственно сигнала и°. Регистрация резонансных пиков при этом существенно затруднялась.
Типичный вид записи самописца приведен на рис.4. Видно, что отчетливо регистрируются многочисленные резонансные пики. Аналогичные записи проводились для всех исследуемых образцов. Особенностью наблюдаемых резонансов является их одномодовость, которая нарушается при более высоких частотах (свыше 1 МГц). Тонкая структура резонансов была следующей: вблизи резонанса сигнал и° с ростом частоты проходил через слабый максимум и глубокий минимум, либо, наоборот, через сильный максимум и слабый минимум. В общем случае вид резонансных кривых определяется электрическими импедансами возбуждающего и регистрирующих устройств, а также отношением глубины скин-слоя к толщине пластины [12]. Поскольку нас интересовали только частоты резонансов, то более подробно указанная особенность резонансных пиков здесь не обсуждаются. За частоту механического резонанса диска принималось среднее значение между ними, при регистрации производной du°/dw (рис.4) это была частота, соответствующая максимуму отклонения от нерезонансного значения в пределах выбранного резонанса. Так как резонансы являлись очень острыми, то допускаемый при этом произвол был не более 0.5%, что и определяло общую точность проведенных измерений.
Исследовалось влияние величины и ориентации магнитного поля Н° на характер резонансов. Оказалось, что при увеличении магнитного поля амплитуды резонансов увеличиваются, проходят через максимум при полях порядка 200-300 А/см и затем уменьшаются, исчезая в полях порядка 1000-15°° А/см. Это, безусловно, свидетельствует о магнитострикционном механизме возбуждения звука, так как в больших полях магнитострикция в никеле выходит на насыщение и не может быть промодулирована высокочастотным полем. Амплитуды ряда резонансов
сильно зависят от взаимной ориентации высокочастотного и постоянного магнитных полей, что хорошо видно на рис.4. Это связано с особенностями магнитострикционного возбуждения звука, детали которого здесь не обсуждаются.
Стрелками на рис.4 приведены резонансные частоты, рассчитанные по описанной выше теории тонкого диска. При этом величина сдвиговой скорости определялась по резонансу крутильных колебаний (№7), который фиксировался достаточно четко при ориентации осей катушек перпендикулярно магнитному полю Н0 (а=900, рис.З). При параллельной ориентации (а=00 ) эта мода не видна, так как при этом имеется несовместимая с кручением симметрия относительно соответствующей диагонали диска. Найденная величина сдвиговой скорости в пределах точности измерений действительно не зависела от толщины дисков и составляла с( = (3.05+0.01) км/с, что превышает значение 2.96 км/с, приведенное в справочнике [13]. Это различие может быть объяснено некоторым повышением сдвиговой жесткости никеля в используемых образцах в связи с наличием примесей или текстурированием и нагартовкой материала в процессе его механической обработки. Значение продольной скорости может быть также рассчитано с помощью исследуемых резонансов. Действительно, предполагая справедливой теорию тонкого диска, рассмотрим отношение резонансных частот для мод №З и №7 (радиальный и крутильный резонансы). В эксперименте, данные которого
представлены на рис.4, получается значение /3/?7 =(кр) J к р/ = 0.678 ± 0.006 , откуда следует, что для радиальной моды ^ = 3.48 ± 0.03 . Из формулы (12) с использованием констант из таблицы 1 получим
G=(kt а -Ь0 )/(к -Ь2 • к а) = 0.30± 0.01, что в пределах ошибки измерения совпадает с табличным значением с= 0.309 . Соответствующая скорость продольных волн
может быть рассчитана по формуле с^ = с 2(1 -с)/(1- 2с) , что при
использовании экспериментальных значений с и с дает величину С'] =(5.7 ± 0.1) км/с, совпадающую с табличным значением с] =5.63 км/с. Все остальные стрелки на рис.4 построены с использованием найденной сдвиговой скорости с =3.05 км/с и коэффициента Пуассона с=0.З0. Как видно, для данного образца наблюдается прекрасное согласие положения резонансов с теоретически рассчитанными значениями частот мод тонкого диска. Более того, соответствие является взаимно однозначным: каждый теоретический резонанс виден в эксперименте и каждый экспериментальный пик имеет теоретически предсказанное значение частоты.
Таким образом, низкочастотные колебания тонких дисков с успехом могут описываться теорией бесконечно тонкого диска. Заметим, что такое хорошее соответствие теории и эксперимента позволяет использовать для нахождения сдвиговой скорости не крутильный резонанс, который не всегда возбуждается, а основной низкочастотный резонанс, соответствующий условию kp = 2.342 ± 0.008 в диапазоне 0 <s< 0.5.
Естественным является выяснение границ применимости теории тонкого диска к дискам конечной толщины. С этой целью были проведены измерения резонансных частот для дисков разных радиусов а и разной толщины h, вплоть до очень толстых, когда отношение h/a было близко или даже превышало единицу (см. таблицу 2). Результаты приведены на рис.5. Нанесены экспериментальные точки и теоретические зависимости, построенные при учете дисперсии продольной волны в пластине (см.ниже). При h/a®N теоретические кривые представляют резонансные частоты бесконечно тонкого диска. Для всех кривых использовалось значение ct =3.05 км/с. Видно, что в области ниже нанесенных тонкими линиями гипербол эксперимент и теория находятся в очень хорошем соответствии. Имеющийся небольшой разброс экспериментальных точек от образца к образцу может быть объяснен неодинаковостью упругих свойств дисков, которая неизбежно возникала при их изготовлении. Замечательно, что резонансные частоты для всех мод практически не зависят от толщины вплоть до частот, близких к частоте сдвигового толщинного резонанса. Аналогичный результат для некоторых из используемых мод наблюдался в упомянутой ранее работе [7].
Наблюдаемое в эксперименте уменьшение резонансных частот некоторых мод с ростом толщины диска может быть рассчитано в рамках представления о колебании пластинки как суперпозиции недиспергирующей крутильной волны и диспергирующей волны Лэмба. Закон дисперсии для волн в пластине выражается уравнениями Рэлея-Лэмба [14], из которых следует, что фазовая скорость низшей симметричной волны Лэмба V слабо зависит от толщины пластины h лишь на частотах много меньших частоты сдвигового толщинного резонанса: kt h <<p ; при
этом V = cp = 2c-JT-cf/cf. При kth > p с ростом h величина V начинает заметно уменьшаться, достигая для очень толстых пластин скорости рэлеевской волны cR. Рассматривая закон дисперсии для обсуждаемой волны на низких частотах, можно получить следующее разложение для скорости по безразмерной толщине kt h :
(ку )2 = (ср )2 + S(kxh) j48 + ... Расчет показывает, что выписанные в правой
части члены разложения дают значение величины V, которое практически не отличается от точного в диапазоне 0 < ^ к <р. Влияние конечной толщины диска на сдвиг резонансных частот может быть учтено использованием в уравнении (8) вместо скорости ср истинной скорости волны Лэмба V. Это означает, что вместо коэффициента Пуассона о=1 -2сг2/ср следует брать его эффективное значение
зей- = 1 - 2с12/У2 >^-о2 (кк) /24. Пусть / - резонансная частота некоторой моды колебаний диска, а /0 - ее значение для бесконечно тонкого диска. Учет относительного сдвига частоты в первом приближении дает:
fh л
Е ~ - (13)
/-/о
/о 0 уа-
где y=o2F(9F/Эo )/24 , а F(s)- решение уравнения (8). Если использовать аппроксимацию (12), то получается следующее выражение для коэффициента g:
о2 F ■( - Ъг F)
Е = 24 1 + Ъ2 о (14)
Теоретические кривые для резонансных частот, представленные на рис.5, рассчитаны по формулам (12)-(14). Видно, что экспериментальные точки хорошо ложатся на указанные зависимости.
При условии к к >р теоретический расчет усложняется [8]. На первый взгляд, он мог бы быть проведен описанным выше способом, при использовании вместо приближенного выражения для скорости V его точного значения, следующего из уравнений Рэлея-Лэмба. Однако наряду с дисперсией скорости волны Лэмба для толстых дисков требуется учесть влияние неоднородных волн, возникающих вблизи края диска. Соответствующий сдвиг частот мод особенно существенен в окрестности частоты краевого резонанса. Согласно работе [8], для коэффициента Пуассона о=0.31 указанная частота определяется условием ^ к» 1.48р . Кривые, соответствующие толщинным и краевому резонансам, нанесены на рис.5. Как видно, в их окрестности разброс экспериментальных точек велик и принадлежность резонансных частот той или иной моде определить затруднительно.
Практически важным результатом проведенных исследований является демонстрация возможности экспериментального возбуждения в диске семейства
низкочастотных упругих мод - контурных колебаний (по терминологии работы [6], где они были впервые описаны). Метод магнитострикционного возбуждения позволил генерировать указанные колебания в чистом виде, без возбуждения изгибных мод. Получены простые формулы, позволяющие с высокой точностью выразить связь собственных частот мод с упругими модулями материала. Обнаружено, что вплоть до частот, близких к частоте сдвигового толщинного резонанса, собственные частоты всех мод исследованного типа практически не зависят от толщины диска. Частоты ряда мод слабо или вовсе не зависят от коэффициента Пуассона и поэтому могут быть использованы для экспериментального определения сдвигового модуля в материале диска. С другой стороны, в рассматриваемом семействе колебаний имеются моды, частоты которых очень чувствительны к значению коэффициента Пуассона и поэтому позволяют его измерить. Такой метод измерения упругих свойств образцов является очень перспективным, особенно при исследовании образцов малого размера.
БЛАГОДАРНОСТИ
Мы благодарны И.П. Голяминой, В.И. Анисимкину, В.А. Красильникову и В.Г. Можаеву за полезные консультации. Работа выполнена в рамках проекта государственной программы "Физика квантовых и волновых процессов", при частичной поддержке РФФИ (проект №98-02-17401) и программы "Университеты России" (проект №?????).
(2,3)
(7.1)
(4.2)
(1.3)
(0,2)
(4.1)
(2.2) (0,1)
Рис.
1.
Зависимость нормированных резонансных частот различных симметричных мод колебаний тонкого диска кд от коэффициента Пуассона s. Справа около кривых обозначены индексы мод.
Рис. 2. Характер деформации тонкого диска при s=0.3 для десяти первых низших симметричных мод колебаний. Номера 1-10 соответствуют модам (2,1), (1,1), (0,1), (3,1), (2,2), (4,1), (0,2), (4,1), (0,2), (5,1), (3,2) и (1,2). Штриховой линией изображена граница невозмущенного диска.
Рис. 3. Схема экспериментальной установки.
1 - интегратор, выдающий напряжение и1 , пропорциональное времени t ; 2 -
звуковой генератор W/2p=37 Гц ; 3 - разделительный трансформатор;
4 - измеритель АЧХ с генератором плавающей частоты, АРУ, аттенюатором
2
и частотомером, выходная мощность до 1.4 Вт, частотный диапазон от 10 до 107 Гц ; 5 - возбуждающая и приемная катушки, охватывающие диск; поле Н0 электромагнита и высокочастотное поле Н лежат в плоскости диска; а - угол между ними; 6 - высокочастотный детектор; 7 - синхронный детектор видеосигнала на частоте 37 Гц; 8 - двухкоординатный самописец, регистрирующий производную от видеосигнала.
Рис. 4. Резонансные кривые для диска радиуса 9 мм и толщины 1.8 мм при различной взаимной ориентации постоянного и переменного магнитного полей. Стрелки показывают значения резонансных частот, рассчитанные по теории тонкого диска.
Рис. 5. Зависимость нормированных резонансных частот kp от нормированной толщины различных дисков из никеля h/a (h - толщина диска, а - его радиус). Нанесены экспериментальные точки и теоретические кривые для всех возможных мод в указанном диапазоне частот. Кривые рассчитаны с учетом поправки на конечную толщину дисков. Приведены также гиперболы, соответствующие поперечному толщинному резонансу kfr = p (а), краевому резонансу kft = 1.48p (б) и продольному толщинному резонансу kh = p (в).
NN (т,п ) кг а В/А Ъ Ъ Ъ2
1 (2,1 ) 2.34 б 3.12 2.34 0.02 0
2 (1,1 ) 2.73 4 1.90 2.47 3.01 0.78
3 (0,1 ) 3.4б 3 0 2.б0 0.70 0.б3
4 (3,1 ) 3.б0 1 1.50 3.54 7.91 2.14
5 (2,2 ) 4.24 5 1.20 3.79 4.8б 0.79
б (4,1 ) 4.б8 9 0.92 4.57 8.88 1.81
7 (0,2 ) 5.13 б ¥ 5.13 б 0 0
8 (5,1 ) 5.70 9 0.б0 5.53 9.73 1.б0
9 (3,2 ) 5.83 4 0.90 5.25 7.38 0.93
1 0 (1,2 ) 5.9б 5 0.б3 4.98 1.23 0.34
11 (б,1 ) б.б9 5 0.41 б.45 12.0 1.б7
12 (1,3 ) б.84 1 2.28 б.73 13.1 1.97
13 (4,2 ) 7.43 9 0.77 б.7б 10.8 1.15
14 (2,3 ) 7.б4 2 1.45 б. бб 12.4 1.20
15 (7,1 ) 7.бб 3 0.28 7.35 13.4 1.б1
Таблица 1. Параметры всех возможных симметричных мод колебаний тонкого диска в диапазоне 0 < ktp < 8 . В первой колонке - порядковый номер мод в порядке возрастания их резонансных частот при о=0.3, во второй колонке - индексы мод. В двух следующих колонках приведены значения kt а и В/А при s=0.3. Три последние колонки содержат константы Ь0 , Ь1 , Ь2 , используемые в формуле (12) при аппроксимации зависимостей резонансных частот мод от коэффициента Пуассона.
NN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2а, мм 12 18 12 10 8 . 1 6.1 11 4 . 12 9.07 11 6.15
h, мм 0 .85 1.8 1.8 1.8 1. 8 1.8 4.04 1.8 4.07 5.5 4.07
h/a 0 . 142 0.2 0.3 0 .36 0.444 0 .590 0.735 0.874 0.897 1 1.32
Таблица 2. Диаметр 2a и толщина h различных дисков из никеля, исследованных в эксперименте.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гайдуков Ю.П., Перов А.П. Электромагнитное возбуждение звука в металлической пластине. Измерение квантовых осцилляций скорости звука в олове. // Акуст. журн. 1971. Т.17. №2. С.314-317.
2. Васильев А.Н., Гайдуков Ю.П. Электромагнитное возбуждение звука в металлах. // Успехи физ. наук. 1983. Т.141. №3. С.431-467.
3. Физическая акустика: Принципы и методы. Под ред. У. Мэзона. Т.5. . М.: Мир, 1973. С.134-191.
4. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. М.: ИЛ, 1952.
5. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.; Л.: ОНТИ, 1935, С. 519521.
6. Опое, М. Contour vibrations of isotropic circular plates.// J. Acoust. Soc. Am. 1956. V. 28. No 6. P. 1158-1162.
7. McMahon, G.W. Experimental study of the vibrations of solid, isotropic, elastic cylinders.// J. Acoust. Soc. Am. 1964. V. 36. No 1. P. 87-94.
8. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981.
9. Ультразвук. Маленькая энциклопедия. Под ред. И.П. Голяминой. М.: Советсткая энциклопедия, 1979.
10. Белов К.П. Магнитострикционные явления и их технические приложения. М.: Наука, 1987.
11. Комаров В.А. Квазистационарное электромагнитно-акустическое преобразование в металлах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986.
12. Васильев А.Н., Гайдуков Ю.П., Каганов М.И., Попова Е.А., Фикс В.Б. Трансформация электромагнитной энергии в звуковую электронами проводимости в металлах в магнитном поле (нормальный скин-эффект). //Физика низких температур. 1989. Т.15. №2. С.160-167.
13. Физические величины. Справочник. Под ред. Григорьева И.С. и Мейлихова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991. С.148.
14. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966.
