Модусы категорического силлогизма (продолжение) Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДУСЫ КАТЕГОРИЧЕСКОГО

СИЛЛОГИЗМА

(продолжение, начало в № 2,2008 г.)

Ю. С. Антонов,

кандидат физико-математических наук

Несколько силлогизмов, следующих один за другим так, чтобы заключение предыдущего было одной из посылок последующего, называется полисиллогизмом. Различают прогрессивные и регрессивные полисиллогизмы. В прогрессивном силлогизме каждое заключение предыдущего заключения становится большей посылкой последующего силлогизма. Рассмотрим пример:

«Спорт укрепляет здоровье». «Гимнастика - спорт». «Гимнастика укрепляет здоровье». «Аэробика - гимнастика». «Аэробикаукрепляет здоровье».

В регрессивном полисиллогизме каждое предыдущее заключение становится меньшей посылкой последующего силлогизма. Рассмотрим пример:

«Все планеты суть космические т ела». «Сат урн - планета». «Сатурн - космическое т ело»

(это заключение является малой посылкой следующего силлогизма, так как в следующем заключении слово «Сатурн» будет являться субъектом).

«Все космические тела имеют массу»

(эта большая посылка, так как слово «масса» в заключении является предикатом). «Сатурнимеет массу».

В полисиллогизмах, также как в энтимемах, часть рассуждений можно опустить. Такой сокращенный полисиллогизм называется соритом. Сориты, также как полисиллогизмы, могут быть прогрессивными и регрессивными. Прогрессивный сорит называется гоклениевским. Пример:

«Все продукты, содержащие витамины, полезны».

«Фрукты - продукты, содержащие витамины». «Бананы - фрукты». «Бананы полезны».

Регрессивный сорит называется аристотелевским. Пример:

«Все розы - цветы». «Все цветы -раст ения». «Все раст ения дышат». «Все розы дышат».

Решить сорит - это значит вывести из предложенных силлогизмов заключение. Если силлогизмов много и сорит не является гоклениевским или аристотелевским, то решение соритов может вызвать затруднения. Существует много стандартных способов решения соритов. Два способа их решения уже были рассмотрены в нашем журнале («Наука и техника в Якутии, № 1 за 2004 г.). Еще два оригинальных способа решения соритов приведены в работе Льюиса Кэрролла [4]. С одним из наиболее применяемых способов - методом Порецкого - можно познакомиться в книге Г И. Москиновой [5]. Покажем, как для решения соритов можно применить один из наиболее мощных методов решения логических задач - метод резолюций. Для этого предварительно рассмотрим понятие импликации. Для понятия А ® А (Аимплицирует В, А влечет В, из А следует В) рассмотрим таблицу истинности:

А В А ®Á

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Таблица истинности для импликации основывается на законе Дунса Скота: «Из лжи следует все чт о угодно».

Поэтому первые два значения равны 1. Последние два значения для таблицы истинности импликации являются естественными.

Мы в своих рассуждениях часто будем использовать фор м ул у а ®а=хив .

Для доказательства этой формулы воспользуемся таблицей истинности:

А В a A®Á a ub

0 0 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 1 0 1 1

Два последних столбца таблицы совпадают, что означает верность указанной формулы.

Метод резолюций состоит в том, что исходное предложение разбивается на произведения сумм (одно слагаемое тоже является суммой). Каждая дизъюнкция (сумма) выписывается отдельной строкой. Вместо доказываемого предложения берется его отрицание и также записывается отдельной строкой. Затем строки произвольно попарно объединяются и противоречащие друг другу предложения резольвируются (сокращаются). Если

после объединения строк получается пустое множество, то считается, что получено противоречие, которое показывает истинность доказываемого предложения.

Рассмотрим применение метода резолюций для решения соритов. Решение состоит в том, что необходимо попарно объединять все конъюнкты. Полученная резольвента и будет решением сорита. Возьмем в качестве примера сорит, приведенный в нашей статье в журнале «Наука и техника в Якутии», 2004 г., № 1.

1. «Ни одна акула не сомневает ся в т ом, чт о она хорошо вооружена».

2. «Рыба, кот орая не умеет танцевать кадриль, заслуживает сострадания».

3. «Ни одна рыба не уверена в своем вооружении, если она не имеет хотя бы три ряда зубов».

4. «Всерыбы, за исключением акул, ласковы с детьми».

5. «Тяжелые рыбы не умеют танцевать кадриль».

6. «Рыба, имеющая три ряда зубов, не заслуживает сострадания».

Введем обозначения: А - акула; С - заслуживает сострадание; Л - ласкова с детьми; 3Р - рыбы, имеющие три и более ряда зубов; К - рыба, умеющая танцевать кадриль; В - рыбы, не сомневающиеся в том, что они хорошо вооружены; Т - тяжелые рыбы. Каждое предложение можно связать с другими связкой «и». Следовательно, все шесть предложений как бы перемножены. Поэтому каждое из них выписано отдельной строкой. Перепишем эти строки в виде:

1. А ®В ; 2. к ® С ; 3.В ® 3Р ;

4. А ®Ё ; 5. Т ®к ; 6. 3Р .

Применяя формулу А ® А =А и В , получим:

1. А иВ ; 2. к иС ; 3. В и3Р ; 4. А иЁ ; 5. Т иК ; 6. 3В иТТ.

Объединяя выражения 6 и 3, имеем:

7. В иТТ.

Объединив выражения 1 и 4, получим:

8. В иЁ .

Соединив 2 и 5,получим:

9. Т иС .

Объединяя теперь выражения 7 и 8, получим:

10. С иЁ .

Наконец, после объединения 9 и 10, окончательно имеем: — ..

Т иЁ .

Или в эквивалентном виде Т ®Ё

(«Тяжелые рыбы ласковы с детьми»). Рассмотрим решение еще одного сорита:

1. «Ни один муж, дарящий жене новые платья, не может быть несговорчивым».

2. «Аккуратный муж всегда возвращает ся домой к чаю».

3. «Жене нелегко содержать в порядке одежду мужа, если он имеет обыкновение вешать свою шляпу на дверную ручку».

4. «Хороший муж всегда дарит своей жене новые платья».

5. «Ни один муж не может не быть несговорчивым, если жена не следит за его одеждой».

6. «Неаккуратный муж всегда вешает свою шляпу на дверные ручки».

Решение:

Введем обозначения: С - сговорчивый; П - дарящий жене новые платья; А - аккуратный; Ч - возвращающийся домой к чаю; О - следящая за одеждой мужа; Ш -вешающий шляпу на дверную ручку; Х - хороший.

Перепишем строки в виде:

1. I ; 2. А ®х ; 3. 0 ®Г; 4. О ®1 ; 5. Г ®ТТ; 6. А ® 0 .

Сделаем преобразования: 1. Г иТ; 2. а их ; 3. 0 иГ; 4. О и1 ; 5. I иТТ; 6. А и0 . Соединяя 1 и 4, имеем:

7. О иС . Теперь соединим 2 и 6:

8. х и0 . Соединив 3 и 5, получим:

9. 0 иС .

Присоединив к 8 выражение 9, получим: х иС .

Наконец, объединяя это выражение и выражение 7, имеем:

О их .

Приведем это выражение к виду:

0 ®х .

Это означает - «хорошие мужья всегда возвращаются домой к чаю».

Как видно из этих примеров, решение соритов методом резолюций не представляет трудностей. Конечно, направление стрелок иногда может вызывать некоторые сомнения.

Например, если выражение 4 написать в виде:

1 ®О ,

то решение сорита будет неверным.

Однако такого рода затруднения будут и во всех остальных способах решения соритов (см., например, «Наука и техника в Якутии», 2004 г., № 1). Эти затруднения связаны с тем, что человеческая речь трудно формализуема, поэтому можно посоветовать при решении соритов, в затруднительных случаях, рассматривать оба варианта стрелок и выбрать тот вариант, при котором произойдет сокращение требуемых переменных.

Предлагаю читателям журнала самостоятельно решить следующие сориты:

1. «Я не называю день «несчаст ливым», если Робинсон вежлив со мной».

2. «Среды всегда бывают пасмурными днями».

3. «Если люди берут с собой зонты, день никогда не бывает солнечным».

4. «Единственныйдень недели, когда Робинсон невежлив со мной - среда».

5. «Всякий возьмет с собой зонт, если идет дождь».

6. «Мои "счаст ливые" дни неизменно оказывают ся солнечными».

1. «Животные всегда испытывают смер-т ельную обиду, если я не обращаю на них внимания».

2. «Те животные, кот орые принадлежат мне, находят ся на т ой площадке».

3. «Ни одно животное не сможет отгадать загадку, если оно не получило соот-вет ствующего образования в школе-интернате».

4. «Ни одно животное на т ой площадке не барсук».

5. «Если животное испытывает смер-т ельную обиду, оно носит ся с бешеной скоростью и воет».

6. «Я никогда не обращаю внимания на животных, которые не принадлежат мне».

7. «Ни одно животное, получившее соот-вет ст вующее образование в школе-инт ернат е, не станет носиться с бешеной скоростью и выть».

Лит ерат ура

1. Гэт манова А.Д. Логика. - М.: Новая школа, 1995. -415 с.

2. Ивин А.А. Логика. - М.: Просвещение, 1996. -206 с.

3. Яшин Б.Л. Задачи и упражнения по логике. - М.: Гуманит . изд. цент р ВЛАДОС, 1996. -226 с.

4. Льюис Кэрролл. Ист ория с узелками. - М.: Мир, 1973. - 408 с.

5. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера: Учебное пособие. - М.: Логос, 2004. -240 с.

6. Грей П. Логика, алгебра и базы данных. - М.: Машиност роение, 1989. - 368 с.