Модифицированный метод круглых колец Гаусса. Применение к двупланетной задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСТРОНОМИЯ, АСТРОФИЗИКА И КОСМОЛОГИЯ

Модифицированный метод круглых колец Гаусса. Применение к двупланетной задаче

Б.П. Кондратьев,1,2'3, * В.С. Корноухов,2 Е.В. Басова1

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра небесной механики, астрометрии и гравиметрии Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 2Государственный астрономический институт имени П. К. Штернберга (ГАИШ МГУ). Россия, 119991, Москва, Университетский пр-т, д. 13 3Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург, Россия (Поступила в редакцию 03.06.2023; после доработки 26.06.2023; принята к публикации 30.06.2023)

Изложена схема расширенного метода круглых колец Гаусса, предназначенного для изучения вековой эволюции орбит в системах, состоящих из центральной звезды и двух планет. Причиной вековой эволюция узлов и углов наклона орбит планет является их взаимное гравитационное притяжение. Орбиты планет моделируются однородными круглыми кольцами Гаусса, на которые переносятся массы, размеры и углы наклона орбит, а также орбитальные угловые моменты планет. Метод учитывает, что в общем случае восходящие узлы орбит могут не совпадать. Взаимная гравитационная энергия колец представлена в виде ряда в квадра-

тичном приближении по степеням малых углов наклона. С помощью функции составлена

замкнутая система из 4 дифференциальных уравнений, описывающих вековую эволюцию орбит планет. Решение уравнений получено в конечном аналитическом виде, что упрощает интерпретацию изучаемых движений. Метод проверен на примере системы «Солнце-Юпитер-Сатурн»; для неё, в частности, впервые была рассчитана разность долгот узлов орбит Юпитера и Сатурна как функция времени. Новый подход применяется также для исследования прецессии узлов в экзопланетной системе К2-36. Построены графики всех неизвестных величин. Установлено, что в ходе эволюции угол взаимного наклона орбит остается постоянным, а либрации орбит по углу наклона и по движению узлов происходят синхронно.

РЛСЯ: 95.10.Ce, 96.15.De УДК: 521.1

Ключевые слова: планеты, экзопланеты, кольца Гаусса, вековая эволюция орбит. DOI: 10.55959/М8Ш579-9392.78.2350801

ВВЕДЕНИЕ

В небесной механике для изучения вековых возмущений орбит планет и спутников применяются три основных подхода. Первый подход (аналитический) основан на разложении функции возмущений Лагранжа в ряд по малым значениям эксцентриситетов и углов наклона орбит [1-3]. Второй подход связан с численным интегрированием уравнений движения планет Солнечной системы [4, 5]. Хотя численные методы позволяют проводить расчеты с любой точностью, но они не дают качественную картину явлений.

Третий подход основан на методах осреднения [6]. Здесь одним из основных является метод колец Гаусса, предназначенный для изучения вековых возмущений первого порядка. Этот метод отличается наглядностью и основан на том, что возмущающее воздействие одного тела на другое при некоторых дополнительных условиях эквивалентно влиянию силового поля гравитирующего кольца (кольца Гаусса), полученного при распределении возмущающей массы по эллиптической орбите. При таком

E-mail: work@boris-kondratyev.ru

подходе рассматриваются не только задачи с однократным усреднением по орбите возмущающего тела, но и задачи с дополнительным усреднением по орбите самого возмущаемого тела. В последнем случае задача сводится к изучению взаимодействия двух колец Гаусса.

Одномерная плотность вещества на кольце Гаусса обратна скорости движения планеты массой М на данном участке её траектории и элемент массы равен

dm =

M (1 - e2)

3

2\ 2

du

2п (1 + e cos u)2

(1)

где и — угол истинной аномалии, е — эксцентриситет орбиты. В частном случае е = 0 кольцо превращается в однородный круглый обруч с пространственным потенциалом

ф (г, хз) = --К (к),

nJ (R + r)2 + x2

4Rr

(2)

(R + r)2 + x3

2 ^„.2 -

1

(хз — аппликата пробной точки). В общем (невырожденном) случае пространственный потенциал

k

эллиптического кольца Гаусса в аналитическом виде был получен в работе [7].

С открытием экзопланет интерес к кольцам Гаусса возрос. На базе эллиптических колец был создан общий метод изучения долгопериодических и вековых возмущений в задачах небесной механики [8]. Есть еще два метода, в основе которых лежит идея усреднения по быстрым переменным прецессирую-щего эллиптического гауссова кольца. Так, усреднение прецессии кольца по вращению линии апсид дает модель круглого двумерного диска (R-коль-цо) [9], а дополнительное усреднение по движению узлов кольца дает модель 3D R-тороида [10].

Как известно, задачи по изучению вековой устойчивости систем небесных тел являются очень трудоемкими и сложными, поэтому актуален поиск упрощенных методов решения таких задач. Один из приемов упрощения основан на замене эллиптических колец Гаусса на круговые [11, 12]. Метод круглых колец оказался востребованным, так как орбиты некоторых экзопланет действительно имеют очень малые эксцентриситеты. При этом следует подчеркнуть, что применение метода круглых колец заметно упрощает дифференциальные уравнения эволюции орбит, причем решения этих уравнений можно получить в конечном аналитическом виде. Это дает преимущества при изучении экзопланетных систем.

В первой части данной работы кратко изложен метод круглых колец Гаусса, в котором учитывается несовпадение узлов орбит. Необходимость введения такой поправки следует уже из того, что, как известно, угол ДП = П2 — П между узлами орбит Юпитера и Сатурна отличен от нуля и равен ДП « 13.0953° [13]. В разд. 3 данный метод проверен на известном примере двупланетной задачи «Солнце-Юпитер-Сатурн». В разд. 4 методом круглых колец впервые изучается вековая эволюция экзопланетной системы K2-36.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВЗАИМНАЯ ЭНЕРГИЯ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ

Рассмотрим в координатах Ожуг систему из трех тел «Звезда-Планета 1-Планета 2». Пусть массы планет М1 и М2 равномерно распределены вдоль их орбит, представляющих собой концентрические круговые кольца Гаусса с радиусами Д1 и Д2. Третье тело — звезда, находится в центре колец. Плоскости колец имеют малый угол наклона ¿1 и ¿2 к главной плоскости отсчета (в Солнечной системе — к эклиптике); поэтому угол между плоскостями также будет мал. Восходящие узлы орбит-колец и ^2 в общем случае не совпадают. Задачей является нахождения взаимных возмущений указанных колец Гаусса [11, 14].

В основе данного метода лежит применение функции взаимной гравитационной энергии колец Эта функция была найдена ранее в работах [11, 14], поэтому здесь ограничимся только необ-

ходимыми пояснениями.

По определению вклад в энергию Wmut от двух элементарных точечных масс и ¿Ш2, расположенных в точках (ж1,у1,^1 )и (^2,^2,^2), равен

dW„

Gdmidm2 Г12 :

(3)

Г12

(x2 - xi)2 + (y2 - yi)2 + (z2 - Z1)2,

где Г12 — расстояние между материальными точками. Полное выражение взаимной гравитационной энергии находится двукратным интегрированием по обеим кольцам. Так как = Д^^и и ¿Ш2 = Д2^2^и2, имеем

Wmut = -Gui^RiR? / du2 / —1. (4)

Jo Jo r12

Чтобы найти Г12 заметим, что в указанной системе отсчета Oxyz координаты пробной точки на круглом кольце 1 можно представить (см., например, [1]) формулами:

x1 = R1 (cos u1 cosQ1 - sin u1 sinQ1 cos ¿1), y1 = R1 (cosu1 sinQ1 + sinu1 cosQ1 cos¿1), (5) z1 = R1 sin u1 sin ¿1,

аналогичными формулами представим и координаты пробной точки на втором кольце:

x2 = R2 (cos u2 cosü2 - sin u2 sin^2 cos ¿2) , y2 = R2 (cos u2 sin^2 + sin u2 cos^2 cos ¿2) , (6) z2 = R2 sin U2 sin ¿2 .

Подставляя формулы (5) и (6) в r12 из (3) и учитывая, что радиусы колец равны,

R1 = у/ X? + у2 + z2

R2 = \J x2 + У2 + z2,

(7)

находим

Г12

= v/2r1r2 • \Ja - b sin u1 - ccos u1. (8)

Здесь коэффициенты a, b и c определяются формулами [14]

a = RR+R- = 1 U + i) > 1, n = га < !,

2RiR2 2 V 1 if — ' vl — '

b = [cos ¿1 cos ¿2 cos (Q1 - Q2) + sin ¿1 sin ¿2] sinU2-

- cos ¿1 sin (Q1 - Q2) cos u2,

c = cos (Q1 - Q2) cosU2 + cos ¿2 sin (Q1 - Q2) sinu2.

(9)

С учетом r12 из (8), формула для взаимной энергии (4) примет вид

Wmuí = -GU1U2

Дт-> í'2-К 1 R2

du2 х

г2п

dui

Va - b sin u1 - c cos u1

. (10)

1

2

o

x

o

Как показано в [14], выражение (10) можно представить однократным интегралом

и (11) приводится к полученному в [11] выражению

п/2 du, ( 2n1/4 ^

Wmut = ^G^V^X du2

W„

-Ж^у/Щь Г -KÍ^ ;

Jo m \ m J

x

Vb2 + c2.

o

Va+p

K

2p

a + p

(11)

Здесь р -

В частном случае П2 — ^ =0 узлы орбит совпадают и круговые кольца пересекаются по диаметрам. Ранее этот вариант был рассмотрен в монографии [11] (см. также статью [12]). В этом случае коэффициенты Ь и с из (9) упрощаются:

b = cos(¿1 — ¿2) sin u2;

c = cos U2,

(12)

I RRi ~+ ¡— ' 2 2 2

m = v —i n 2 + 2v n'; n = sin 0 cos a + cos y R1R2

(13)

Интеграл (11) в конечном виде не берется, поэтому представим его в виде ряда по степеням малых углов ¿i и ¿2. Нахождение такого ряда также довольно трудоемкая операция. Как показано в [14], искомый ряд имеет вид

Wmut = Wo + Wii¿2 + +W22¿2 + Wi2¿1¿2, (14) где коэффициенты равны

„, V2Gm1m2 ... Wo =--K (k);

W11 = W22 = W12 = —

G%/2

m1m2

8^v/R1R^v/TTa i a — 1 ^V2m1m2

E (k) — K (k) ;

(15)

: cos (Q1 — Q2)

a1

E (k) — K (kU .

Здесь модуль k = y^+a - 1.

После преобразований (14) приводится к виду

„, V2Gm1 m^ í 1

= — nvR^7r^{K (k) — 8

a1

E (k) — K (k)

[¿1 + ¿2 — 2cos (П1 — П2) ¿1¿2]

(16)

Для удобства в численных расчетах, коэффициенты ряда (16) далее преобразуем с помощью вспомогательных формул:

r2 + r2 i

1

1 + R2 1 I , M r2 ^ i

2rr- = 2 ín + n'; n = " -1

Г1

, 2^ ; T (1 — n)2;

k = -; a — 1 =

1 + n2

1 + n'

2n a — 1 (1 — n)2

_ 1 + n

= 72n.

(17)

Тогда взаимная гравитационная энергия двух круглых колец Гаусса в квадратичном приближении по углам наклона примет вид [14]:

плоскости соотношением

cos A¿ ' = cos ¿1 cos ¿2 + sin ¿1 sin ¿2 cos (Q2 — Q1) .

(19)

С учётов малости наклонов колец к главной плоскости, A¿' из (18) выражается через углы в системе координат, связанной с эклиптикой (нештрихован-ные координаты)

A¿

¿2 + ¿2 — 2¿1¿2 cos(Q2 — П1). (20)

Заметим: так как выражение (18) относится к случаю, когда малы углы наклона ¿1 и г2, то мала и их разность Дг = ¿2 — ¿1; вместе с тем разность долгот узлов ДП = ^2 — не обязательно является малой величиной.

2Gm1m2

Wmut =----X

X K ( n) —

nR1

A¿ 2

8(1 — n2)

1 + n2 (1 — n)

E ( n) — K ( n)

(18)

где угол взаимного наклона Дг ' колец связан с углами ориентации колец (г 1, ¿2) относительно главной

2. УРАВНЕНИЯ ВЕКОВОЙ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ

В полном виде уравнения Лагранжа для оскули-рующих элементов выглядят сложно (см., например, формулы 8.6 в книге [2]). Однако в нашем частном случае, когда углы наклона ¿1 и ¿2 малы и орбиты круговые е1 = е2 = 0, эти уравнения упрощаются и для элементов, например, второго кольца имеют вид

a

a

a

a

a

¿¿2

1

<9Д.

2

п2 Д2п2 вш ¿2 дП2

1

дД

¿П2 =

п2д2п2 вш ¿2 дг2

(21)

2

где Д2 — возмущающая функция, равная нормированной на массу взаимной энергии колец

Д2 = - Ешщ . ^ т2

В итоге, добавив к (21) уравнения для первого кольца, и учитывая третий закон Кеплера

СМ = п2а3 = п2 а3п3,

(22)

где М — масса центрального тела (звезды), п1и п2 — средние движения планет по орбитам, уравнения вековой эволюции двух круглых колец запишем в виде [14]

—01

1 - — совДП |

«1

¿¿1

—а1г2 вш

ДП,

°П2 (, »1 д0\

—Г— = — 02 I 1 — _ сов ДП |

у ¿2 У

Здесь введены обозначения:

¿¿2 . . д0

—— = 02г1 вт ДП. от

(23)

01

02 =

п1

Ш2

2п (1 + п) М

П2П Ш1

2п (1 + п) М

2

1 + п (1 — п) 1 + п2 (1 — п)

2 Е (Л) — К (Л) 2 Е (Л) — К (Л)

(24)

3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ЭВОЛЮЦИИ

Для анализа полученных уравнений (23) введём переменные

= ¿1 совП1, Л1 = ¿1 в1пП1, Г2 = ¿2 совП2, Л2 = ¿2 втП2.

(25)

Тогда уравнения (23) преобразуются к более простому виду

^ГТ = —01 (^2 — , ^ = 01 (^2 — ^1),

от от

^^Т = 02 (^2 — Ы , ^Ог2 = —02 (Г-2 — Г1) ,

(26)

где коэффициенты (24) являются частотами вековых колебаний.

Решение системы дифференциальных уравнений (26) имеет вид [14]:

Г1 (!) = С1 + 01 [С3 сов 0! + С4 вш 0!], Л1 (!) = С2 + 01 [—С3 вт 0! + С4 сов 0!], Г2 (!) = С1 — 02 [С3 сов 0! + С4 вт 0!], Л2 (!) = С2 — 02 [—С3 вт 0! + С4 сов 0!] .

(27)

Здесь введена сумма частот 0 = 01 + 02,

а константы интегрирования 01^2 +

С1 =

■02 Г?

01 + 02

Л0 - Л0

Сз =--;-,

01 + 02

01Л0 + 02^0

С2 = -,-:

01 + 02 Л0 _ Л0 С4 = — Л2 Л1 01 + 02

(28)

(29)

включают в себя начальные условия ^ = Г1 (0), Л0 = Л1 (0),

= Г2 (0), л0 = ^2 (0).

(30)

Подставив (27) в (23), приходим к выводу, что в линейном приближении угол взаимного наклона орбит в ходе эволюции остаётся постоянным:

Дг' = ^ (Г1 — Г2)2 + (Л1 — Л2)2 = сопв^

(31)

4.

РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОРБИТ ТРАНЗИТНЫХ ЭКЗОПЛАНЕТ

Поскольку параметры орбит оцениваются, как правило, для экзопланет, открытых транзитным способом, наклоны орбит таких планет к картинной плоскости варьируются вблизи 90°. Поэтому, чтобы использовать уравнения (23), нужно переходить от картинной плоскости к такой главной плоскости, чтобы новые наклоны орбит были малыми, например к плоскости Лапласа. Альтернативно можно использовать другие уравнения, которые работают в случае использования картинной плоскости в качестве главной.

Выберем картинную плоскость в качестве главной. Тогда малыми величинами будут являться не только взаимный наклон орбит Д^ = ¿2 — ¿1, но и разность долгот восходящих узлов ДП = П2 -П1. Угол взаимного наклона колец в системе координат наблюдателя выражается теперь через малые параметры из формулы (20) в таком виде:

Дг

Дс + вт2 %■ ДП2

¿1 + ¿2 2 '

(32)

С помощью уравнений (21) аналогично (23) получаем уравнения вековой эволюции круглых орбит для экзопланетных систем:

¿П Д% ¿¿1 -= 01 ■-, — = —01 ■ вт % ■ ДП,

я! вт % от

¿П2

И

—2 Д —2 . . до

-= —02 ■-, — = 02 ■ вт % ■ ДП.

вт %

а%2

(33)

Введём новые переменные

р = вт % ■ ДП, д = Д%, (34)

к которым добавятся средний наклон из (32) и средняя долгота восходящего узла

П1 + П2

П=

(35)

t, лет t, лет

Рис. 1. Слева — зависимость изменения долготы восходящего узла для Юпитера (сплошная линия) и Сатурна (штрихи), представляющие вековую прецессию плоскостей орбит планет-гигантов под действием взаимного возмущения; справа — разность долгот узлов орбиты Юпитера и Сатурна как функция времени

тогда уравнения (33) эволюции двух круглых колец приводятся к виду

dp

dq

dt dt

ap,

dQ ai — a2 d / p dt 2a dt vsin i

d¿ ai — a2 dq dt 2a dt'

Уравнения (36) имеют такие решения:

p (t) = a [-C? sin (at) + C? cos (at)] q (t) = a [C? cos (at) + C? sin (at)] ,

i (t) = C? - ^^q (t) ,

Q(t) = C4? - (ai - a?)p (t) , w 4 2a sin i (t)^w'

(36)

(37)

Решение разд. 4 не является частным случаем решения разд. 3. Между этими решениями существует нетривиальное преобразование. Тривиальна только инвариантность периодов либрации при преобразовании к другой системе координат. Подчеркнем: задача преобразования решения между системами координат не столь тривиальна, как может показаться на первый взгляд, чего стоит только проблема малых знаменателей.

5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КРУГЛЫХ КОЛЕЦ

5.1. Двупланетная задача «Солнце—Юпитер—Сатурн»

где константы, выраженные через начальные условия

i0

i? + i?

i (0),

Q? =

Q? + Q?

= Q (0),

Ai? = i? - i? = Ai (0),

AQ0 = Q? - Q? = AQ (0),

(38)

записываются в виде

Ai?

C? =

ai + a? '

C3

aii? + a?i? ai + a? :

C?? =

C4?

sin iciAQ?) ai + a? a1Q?+a?Q? ai + a? '

(39)

Из решения (37) с учётом (32) следует (как и в первом варианте (31)), что при эволюции угол взаимного наклона орбит в линейном приближении остаётся постоянным:

Ai ' = \/p? + q? = const.

(40)

Обратим внимание на то, что полученные здесь в линейном приближении составляющие частоты либраций о"! и а"2 из (24), как и их сумма а из (28), не зависят от разности долгот узлов орбит ДП = П2 — П1.

3.0 2.8 2.6 2.4

I 2.2 t

2.0 1,8 1.6 1.4

-Г^— ! \ 1 \ 1 \ —м—М 1 \ ^ -- 1 \ 1 \ ! 1 —н—м-1 ~т\" /\ / \ 1 \

j V ! \ 1 \

1 \ \ 1 1

V V V V V 1 /

\ п

\ п 1\ / \

1 \ / 1 t \ / \ i \ / \ \\J\ 1 \ / v 1 Vy \

í w 1 i w i 1 \

1 t i i / 1 1 \

/ \ 1 \ i i \ 1 1

V/ \ \> \

-100000

-50000

О

t, лет

50000

100000

Рис. 2. Зависимость от времени наклона (к эклиптике) кольца Юпитера (сплошная линия) и Сатурна (штриховая)

В Солнечной системе в рамках двупланетной задачи обычно рассматриваются планеты-гиганты Юпитер и Сатурн. Начальные данные для орбит Юпитера и Сатурна (табл. 1) можно взять, например, в книге [13].

По формулам разд. 3 на интервале 200 000 лет была рассчитана эволюция долгот восходящих узлов и наклонов орбит планет-гигантов Юпитера и Сатурна. Результаты этих расчетов показаны на рис. 1, 2.

2

Таблица 1. Параметры системы Юпитер-Сатурн по книге [13]

Параметр Юпитер Сатурн

е 0.0474622 0.0575481

М/М© 9.54786 • 10-4 2.85837 • 10-4

а, а.е. 5.202545 9.554841

п, °/год 30.3374 12.1890

г, ° 1.30667 2.48795

О, ° 100.0381 113.1334

По нашим формулам, период либраций для наклона Т и движения узлов Тп одинаков и составляет примерно Т^ = Т « 50950 лет (ранее в [12], где изучался вариант с совпадением узлов, было получено Тп « 50625 лет, причиной малого расхождения в 0.5% является отличие в начальных условиях).

5.2. Эволюции орбит в системе экзопланет К2-36

Вековая эволюция орбит для системы из двух планет вокруг звезды К2-36 ранее не изучалась. Параметры этой системы даны в табл. 2.

Таблица 2. 10 параметров экзосистемы К2-36. Погрешности параметров симметризованы для удобства оценки погрешности периода прецессии. Период прецессии Тргес круговых орбит планет рассчитан нами по формуле Тргес = 2п/ (Ац + А21). Данные по статьям [15, 16]

Система К2-36

М*, Мэпп 0.79 ± 0.01

гпь, МЕВЛЬ 3.9 ± 1.1

ГПс, Мев^Ь 7.8 ± 2.3

аь, аи 0.0223 ± 0.0004

ас, аи 0.054 ± 0.001

гь, ° 84.45 ± 0.063

гс, ° 86.917 ± 0.061

Рь, дни 1.422614 ± 0.000038

Рс, дни 5.340888 ± 0.000086

Тргес, 103 лет 1.3 ± 0.3

Как следует из наших формул, период либрации орбит по углу наклона и либрации по узлу будет одинаковым. Расчеты показывают, что эти периоды для системы К2-36 одинаковы и примерно равны:

Тп = Т « 1306 лет. (41)

Результаты расчетов по формулам разд. 4 показаны на рис. 3, 4. Как и следовало ожидать, во всех

трех вариантах расчета происходят либрационные колебания углов наклона и долготы восходящего узла орбиты.

Как видно из рис. 3 и 4, разность долгот узлов ДП = П2 - П1 влияет на смещение графиков либра-ций, но (только в линейном приближении!) не влияет на величину самого периода колебаний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлены следующие результаты. Изложена схема модифицированного метода круглых колец Гаусса, предназначенного для изучения вековой эволюции орбит в системах, состоящих из центральной звезды и двух планет. Орбиты планет моделируются однородными круглыми кольцами Гаусса, на которые переносятся массы, размеры и углы наклона орбит, а также орбитальные угловые моменты планет. Восходящие узлы орбит в общем случае не совпадают. Данный метод опирается на взаимную гравитационную энергию колец Wmut, которая представлена в виде ряда в квадратичном приближении по степеням малых углов наклона. С помощью этой функции составлена система из 4 дифференциальных уравнений, описывающих вековую эволюцию орбит планет. Решение уравнений эволюции было получено в конечном аналитическом виде, что позволяет в наглядном виде интерпретировать все движения оскулирующих орбит для двупланетных систем.

Заметим, что решение разд. 4 не является частным случаем решения разд. 3. Между этими решениями существует нетривиальное преобразование. Тривиальна только инвариантность периодов либрации при преобразовании к другой системе координат. Заметим: задача преобразования решения между системами координат не столь тривиальна, как может показаться на первый взгляд, чего стоит только проблема малых знаменателей.

Адекватность метода круглых колец подтверждена на примере системы «Солнце-Юпитер-Сатурн», для которой впервые была рассчитана зависимость от времени разности долгот узлов орбит Юпитера

t, лет t, лет

Рис. 3. Зависимость угла наклона орбиты для внутренней планеты К2-36 Ь (левый график) и внешней планеты К2-36 в (правый график) от времени. Пунктирная линия соответствует значению ДО0 = — Дг0, сплошная линия — значению ДО0 = 0, а штрихованная — значению ДО0 = Дг0

t, лет t, лет

Рис. 4. Зависимость долгот восходящих узлов для планеты К2-36 Ь (левый график) и планеты К2-36 в (правый график) от времени. Пунктирная линия соответствует значению ДО0 = — Дг0, сплошная линия — значению ДО0 = 0, а штрихованная — значению ДО0 = Дг0

и Сатурна. Кроме того, с помощью данного метода изучается и вековая эволюция орбит в экзопланет-ной системе К2 -36. Для неё построены графики всех неизвестных величин. Установлено, что в ходе эволюции угол взаимного наклона орбит остается постоянным, а либрации орбит по углу наклона и по движения узлов происходят синхронно.

Подчеркнем, что полученные здесь в линейном приближении составляющие частоты либраций 01 и 02 из (24), а также их сумма 0 из (28) не зависят от разности долгот узлов орбит ДП = П2 — П1. Указанная зависимость проявляет себя только в следующем (втором) приближении.

[1] Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. 1975.

[2] Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. 1968.

[3] Емельянов Н.В. Динамика естественных спутников планет на основе наблюдений. 2019.

[4] Laskar J. // Astron. Astrophys. 198. 341. (1988).

[5] Simon J.L, Bretagnon P., Chapront J. et al. // A&A. 282. 663. (1994).

[6] Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. 1986.

[7] Кондратьев Б.П. // Астрономический вестник. 46, № 5. 380. (2012).

[8] Кондратьев Б.П., Корноухое В.С. // Астрономический журнал. 97, № 5. 408. (2020).

[9] Kondratyev B.P. // MNRAS. 442. 1755. (2014).

10] Кондратьев Б.П., Корноухое В.С. // Астрономический журнал. 98, № 7. 571. (2021).

11] Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. 2007.

12] Кондратьев Б.П. // Астрономический вестник. 48, № 5. 396. (2014).

13] Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы. 2009.

14] Кондратьев Б.П., Корноухое В.С. // Астрономический журнал. 2023. Принята в печать.

15] Damasso M., Zeng L., Malavolta L. et al. // Astronomy & Astrophysics. 624, A38. (2019).

16] Sinukoff E., Howard A. W., Petigura E.A. et al. // ApJ. 827, 78. (2016).

Modified method of round Gaussian rings. Application to the two-planetary

problem

B.P. Kondratyev1'2'3'", V.S. Kornoukhov2, E.V. Basova1

1 Department of Celestial Mechanics, Astrometry and Gravimetry, Faculty of Physics,

Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia 2 P.K. Sternberg State Astronomical Institute (GAISH MSU). Moscow, 119991, Russia 3Main (Pulkovo) Astronomical Observatory RAS. St. Petersburg, Russia E-mail: awork@boris-kondratyev.ru

A scheme of the modified method of round Gaussian rings, designed to study the secular evolution of orbits in systems consisting of a central star and two planets, is presented. The reason for the secular evolution of the nodes and inclinations of the orbits of the planets is their mutual gravitational attraction. The orbits of the planets are modeled by homogeneous round Gaussian rings, to which the masses, sizes and angles of inclination of the orbits, as well as orbital angular momenta of the planets, are transferred. The method takes into account the fact that, in general, the ascending nodes of the orbits may not coincide. The mutual gravitational energy of the rings Wmut is represented as a series in the quadratic approximation in powers of small inclination angles. Using this function Wmut, a closed system of four differential equations describing the secular evolution of the planets' orbits is composed. The solution to the equations is obtained in finite analytic form, which simplifies the interpretation of the investigated planetary motions. The method was tested on the example of the Sun-Jupiter-Saturn system; for it, in particular, the difference in the longitudes of the nodes of the orbits of Jupiter and Saturn was calculated as a function of time. New approach is also used to study the precession of nodes in the exoplanetary system K2-36; graphs of all unknown quantities are obtained. It has been established that in the course of evolution the mutual inclination angle of the orbits remains constant, and the librations of the orbits in the inclination angle and in the motion of the nodes occur synchronously.

PACS: 95.10.Ce, 96.15.De, 96.12.De.

Keywords: planets, exoplanets, Gaussian rings, secular evolution of orbits. Received 03 June 2023.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2023. 78, No. 5, pp. 681-688. Сведения об авторах

1. Кондратьев Борис Петрович — доктор физ.-мат. наук, профессор; e-mail: work@boris-kondratyev.ru.

2. Корноухов Вадим Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, инженер.

3. Басова Екатерина Владимировна — студентка физфака МГУ.