CC BY
73
УДК 629.7.07
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОТРЕЗКЕ
А. В. ДВОРАК, Е.М. ИВЕНИНА, С.В. ФИЛИМОНОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Рассмотрена модификация метода дискретных вихрей для решения сингулярных интегральных уравнений на отрезке. Приведен пример решения модельной задачи. Сравниваются результаты расчета при различных вариантах неравномерного разбиения отрезка интегрирования, а также расчета классическим методом при аналогичных разбиениях отрезка.
Ключевые слова: модифицированный метод дискретных вихрей, решение сингулярных интегральных уравнений, неравномерное разбиение отрезка интегрирования.
Введение
Использование потенциала двойного слоя при решении задач бесциркуляционного обтекания в двумерном случае приводит к интегральному уравнению вида
{ , ^
K (r , r0) ( ТГ~ЦТ g (r)
' = f ( r0 ):
(1)
(n (r ) • ( r — r ))(n (r ) • ( r — r )) гдеL - линия профиля, K(7,70)= n (70)• n (7)-2-— 0 ----2 -------- гладкое (или кусочно’ r - ^l2
гладкое) ядро; n (r0), n (r ) - орты нормали к L в точках r0, r соответственно; g (r ) - искомая плотность потенциала двойного слоя; f (r0) = — 2pu0 (r0 )• n (r0) - правая часть, определяемая нормальной компонентой скорости невозмущенного потока и0 в точках контура L .
В точках r0, r е L подынтегральная функция имеет сильную (неинтегрируемую) особенность, и интеграл необходимо понимать в смысле конечного значения по Адамару [3]
■f (r > r0 ),
L\r — r0|
j f -a dl = 1® j f( 1 r)dl—eef (r0,r0)
d, , . r r
a™ e\^0
L\R£ \r — r0| ь
V I 0I J
, Re ={r | Ir0 — r| <e} .
Если Ь - отрезок прямой (Ь = [а, Ь] е Ох), имеем К (г, Г0) = 1 и уравнение (1) принимает вид
ь
jrg(X12dx = f (x0).
x — x,
x)adx = f (X0). (2)
1. Аппроксимация интеграла
Рассмотрению метода дискретных вихрей как метода численного решения сингулярных интегральных уравнений (в том числе и уравнений с сильной особенностью) посвящены многие работы [1-4]. В частности, И.К. Лифановым [4] доказана сходимость квадратурных формул типа прямоугольников к
интегралу (2), когда х0 е [а + 3, Ь — 8], 8 - фиксировано. При этом принципиальное значение имеет
характер разбиения отрезка [а,Ь] на частичные отрезки (а = х1 < х2 < ... < хп = Ь) и выбор точек кол-
локации х0г. внутри частичных отрезков [ х{, хг+1 ] : разбиение должно быть равномерным, а контрольные
точки х0г. должны являться серединами частичных отрезков.
Приведем квадратурные формулы, которые позволяют отказаться от столь жестких ограничений. Зафиксируем произвольно малый шаг к > 0 и для п >(Ь — а) / к разобьем отрезок [а, Ь] точками х1
j
r - r0
L
a
(i = 1, n +1) так, чтобы a = х1 < х2 < ... < xn+1 = b, xi+1 — x, < h, i = 1, n. Внутри каждого частичного отрезка [xt, xi+1 ] зафиксируем также произвольно точку x0i. Единственное ограничение на разбиение в том, чтобы при устремлении h ® 0 (n ® ¥ существовала константа c1 е (0,0.5], не зависящая от h, такая,
что min xi—x0. > c1h . Пусть на отрезке [ a, b] функция g (x) допускает представление
и. I 1 .
g ( x )= g ( x0 ) + g'( x0 )( x —x0 ) + g 2 ( ^ x0 )( x —x0 )\ |g2 (x, x0 )|< c2, Vx, x0 e[a b],
тогда можно показать, что для произвольной точки x е {x0i} справедливо неравенство
UM,Ä — ±A,g (x0i)
< — (c1 + 6 + 2c1 |ln c11)h ,
где коэффициенты квадратурной суммы
определяются равенствами a =
x+1 —x,
( xi +1 — x0 )( xi—x0 )
S (x0 )= Ё ArS (x0i)
, b = a (x0— x0i)+ln
(3)
xi+1 x0
x — xn
i = 1, n;
A = a + -
i 1
i +1
x0i x0i—2
x0i+2 x0i
i = 2, n — 1;
(4)
Aj = ax
x03 x01
-; An = an+■
b
n—1
x0n x0n— 2
Вначале рассмотрим аппроксимацию интеграла (2) квадратурной суммой
п
^1 (х0 ) = Е (аг8 (^ ) + Ьгё'(^ )) ,
г=1
где а{, Ь определяются первыми двумя равенствами (4) и имеют смысл
(5)
x — x„
rdx.
(х —х0) х (х —х0)
При х0 = х0г. интегралы понимаются в смысле конечного значения по Адамару и главного значения по Коши соответственно. Производные g'(х0г.) аппроксимируем конечно-разностным аналогом
g'(). g; = g (x0i+-)—g (^.
(6)
x0,+1 x0i—1
Отметим, что, подставляя правые части (6) в (5) и перегруппировывая слагаемые, приходим к квадратурной сумме (3) с коэффициентами (4). Можно показать, что квадратура (3) обеспечивает равномерную
сходимость к значению интеграла (2) на всем интервале (а,Ь) .
2. Численное решение уравнения на отрезке
Решение уравнения (2) с сильной особенностью в классе функций, обращающихся в нуль на концах отрезка [а, Ь], Г g(х)2<^х = /(х0) проводится редукцией к системе линейных алгебраических уравне-
а|х— х0|2 “
ний следующим образом.
г=1
x
x
a
Отрезок [а, Ь] произвольным образом с учетом указанных ограничений разбивается на п частичных отрезков точками х1, а = х1 < х2 < ... < хп+1 = Ь, . = 1,п +1. Внутри каждого из отрезков достаточно
произвольно выбираем точки коллокации х0. е (xi, хм), . = 1, п . Затем, обозначая g. = g (х01.) - искомые неизвестные значения функции, интегральное уравнение (2) заменяем системой линейных алгебраиче-
п ___
ских уравнений ^ Лijgi = / (х0.), у = 1, п . Здесь Лу вычисляются в соответствии с (4)
i=1
Ь ,, Ь
Л = а.. +-----—-——, . = 2, п -1, V = 1, п;
1.1. 7 7 7 ^/77
V V
ЬЬ
Л = а.1 - —^ ;Дпу = а.п +-.-
х.+1 - х0V
х. - х0 V
. = 1, п, у = 1, п;
Матрица Ж = {а.} является обычной матрицей коэффициентов для метода дискретных вихрей с
использованием вихревых пар (МДВ). Отметим, что использование данных квадратурных формул приводит к отличию в матрице модифицированного метода (ММДВ) от матрицы обычного метода дискретных вихрей с использованием вихревых пар лишь введением в нее членов Ьу , что позволяет учесть линейные члены разложения g (х) и производить требуемую коррекцию в случае неравномерного распределения вихрей и контрольных точек. Последнее обстоятельство мало важно при решении двумерных задач обтекания, но становится принципиальным в пространственном случае, при сравнительно сложной формуле поверхности, когда равномерное разбиение просто не реализуемо. Одним из немногих случаев, когда применение данного метода оправдано в двумерных задачах, является исследование шарнирных характеристик закрылков (предкрылков), когда использование равномерного разбиения крайне затруднено из-за чрезвычайно мелкого шага, требуемого на закрылке.
3. Решение модельной задачи
Рассмотрим пример применения алгоритма к решению уравнения (2) на отрезке [0,1]
}^(хЬх = / (х,), (7)
0 |х - х0|
где / (х0 ) = -1. Точное решение уравнения в классе функций, обращающихся в 0 на концах отрезка
[°Л] g (х ) = ~у1 х - х2 . На рис. 1 приведен результат решения этой задачи для уравнения (7) в случае Р
равномерного разбиения отрезка [0,1], когда точки коллокации выбираются случайным образом из
8 -окрестностей середин частичных отрезков. Рассматриваются четыре случая 8 -окрестностей величин 0.1, 0.2, 0.5 и 0.9 от длины каждого частичного отрезка модифицированного метода (ММДВ) и для сравнения приведен результат расчета с помощью метода дискретных вихрей (МДВ) для 8 -окрестности величины 0.9 от длины частичного отрезка. На рис. 1 представлена зависимость среднеквадратичной
М п 2 1
ошибки &=1— ^Г( gт (х) - gр (х)) от —, где gт (х) - точное решение, п - число частичных отрезков,
gр (х) - расчетное решение уравнения (7). Как и ожидалось, наилучшая сходимость наблюдается в случаях ММДВ для 0.1 и 0.2, а наихудшую сходимость проявляет МДВ для 0.9.
х0. 0.-2 х0.+2 х0.
На рис. 2 приведены результаты расчета среднеквадратичной ошибки для случая неравномерного разбиения отрезка [0,1] с точками коллокации в серединах частичных отрезков. Ожидаемая наилучшая сходимость проявилась в случаях ММДВ для 0.1 и 0.2, а наихудшая в случае МДВ для 0.9.
Рис. 1 Рис. 2
Заключение
При решении задач проектирования летательных аппаратов часто требуется применение численных методов на неравномерных сетках, так как поверхностные особенности конструкции самолета имеют нерегулярную структуру. В этих случаях для метода дискретных вихрей вопрос о выборе контрольных точек решается исходя из опыта расчетчика, поэтому нахождение квадратур, устойчивых к неравномерности сетки и неопределенности положения контрольных точек, является актуальным. На примере решения модельной задачи было продемонстрировано преимущество модифицированного метода дискретных вихрей на неравномерной сетке при случайном выборе контрольных точек.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоцерковский С. М., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. - М.: Наука, 1975.
2. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. - М.: Наука, 1978.
3. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. - М.: Наука, 1985.
4. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: Янус, 1995.
MODIFIED DISCRETE VORTICES METHOD FOR SINGULAR INTEGRAL EQUATION ON AN INTERVAL
Dvorak A.V., Ivenina E.M., Filimonov C.V.
Modification of discrete vortices method for solving singular integral equations on an interval is described in the article. The calculation results for different variants of the irregular partition of the integration interval are compared.
Key words: modified discrete vortices method, the solution of singular integral equations, the irregular partition of the interval of integration.
Сведения об авторах
Дворак Александр Владимирович, 1956 г.р., окончил Киевский университет (1973), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры ВВА им. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, автор более 90 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование, численные методы и методы математической физики.
Ивенина Елена Михайловна, окончила МГУ (1986), старший преподаватель кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 8 научных работ, область научных интересов - численные методы, методы математического моделирования и комплексы программ.
Филимонов Сергей Владимирович, 1979 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2001), кандидат технических наук, доцент кафедры ВУНЦ ВВС «ВВА им. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», автор более 20 научных работ, область научных интересов - аэроупругость и численные методы в аэродинамике.
