CC BY
22
Техническая диагностика и контролепригодные системы
УДК 681.518.5:004.052.32
Вал. В. Сапожников, д-р. техн. наук, Вл. В. Сапожников, д-р техн. наук
Кафедра «Автоматика и телемеханика на железных дорогах», Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I
Д. В. Ефанов, д-р техн. наук
Кафедра «Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте», Российский университет транспорта
МОДИФИЦИРОВАННЫЕ МОДУЛЬНЫЕ КОДЫ С СУММИРОВАНИЕМ ВЗВЕШЕННЫХ РАЗРЯДОВ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ОБРАЗУЮЩЕЙ НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД ЧИСЕЛ
Анализируются способы построения двоичных кодов с суммированием с малой избыточностью для решения задач технического диагностирования дискретных систем. Показано, что может быть построен целый класс кодов с суммированием с постоянным числом контрольных разрядов вне зависимости от количества информационных разрядов в кодовом слове. Принципы построения таких кодов основаны на взвешивании разрядов информационного вектора. При этом весовые коэффициенты выбираются из последовательности возрастающих натуральных чисел, а счет осуществляется по заранее установленному модулю в виде степени числа два. Кроме того, для коррекции свойств обнаружения ошибок вычисляются специальные поправочные коэффициенты - свертки по модулю два части информационных разрядов. Установлено, что существует ограниченное число модульно-взвешенных кодов с суммированием для данного значения длины информационного вектора, обозначены условия построения помехоустойчивых модульных кодов с суммированием. Подробно проанализированы ключевые свойства разработанных кодов с суммированием по обнаружению ошибок в информационных векторах. Приводится детальное сравнение характеристик новых кодов с характеристиками известных модульных кодов - модульных и модульно-модифицированных кодов с суммированием единичных информационных разрядов и модульных кодов с суммированием взвешенных переходов. Представлены основные преимущества и недостатки модифицированных модульных кодов с суммированием взвешенных информационных разрядов, а также классификация модульных кодов с суммированием по количеству контрольных разрядов.
обнаружение ошибок; диагностика; код Бергера; код Боуза - Лина; модульный код с суммированием; взвешенный код с суммированием; взвешивание разрядов; взвешивание переходов; натуральный ряд чисел
Б01: 10.20295/2412-9186-2019-1-113-138.
Введение
При разработке надежных дискретных систем автоматики и управления повсеместно используются методы помехоустойчивого кодирования [1-4]. Например, при синтезе аппаратных средств диагностирования применяются коды с малой избыточностью, ориентированные на обнаружение ошибок в информационных векторах [5, 6]. К таким кодам относятся равновесные неразделимые коды и разделимые коды с суммированием [7, 8].
Классический код с суммированием, или код Бергера (Б(т,к)-код, где т и к - длины информационных и контрольных векторов соответственно), строится следующим образом. Определяется сумма единичных информационных разрядов (вес информационного вектора), а затем полученное число в двоичном представлении записывается в разряды контрольного вектора. Избы-
log2 ( m +1)].
точность £(т,к)-кода определяется величиной к =
Коды Бергера имеют важную особенность, которая определяет их частое использование при построении дискретных систем: ими обнаруживаются любые монотонные ошибки (при таких ошибках искажаются либо единичные, либо нулевые разряды) [7]. К необнаруживаемым £(т,к)-кодом ошибкам относятся все ошибки, содержащие группу искажений {0—1 —(все симметричные ошибки), что, например, составляет 50 % двукратных и 37,5 % четырехкратных ошибок в информационных векторах [9-11].
£(т,к)-кодами неэффективно используются разряды контрольных векторов: так, все контрольные векторы формируются только в частном случае т = 2р -1, р = 2,3,..., а сами информационные векторы распределены между контрольными векторами крайне неравномерно. По этой причине существуют трудности применения £(т,к)-кодов при построении устройств, наделяемых свойством самопроверяемости компонентов [5].
Для уменьшения структурной избыточности систем автоматики и управления, а также для упрощения обеспечения свойства самопроверяемости элементов аппаратной реализации применяют коды с уменьшенным по сравнению с кодами Бергера количеством контрольных разрядов. Такие коды строятся путем подсчета веса информационного вектора и последующим определением наименьшего неотрицательного вычета полученного числа по заранее установленному модулю М. Они относятся к классу модульных кодов с суммированием, или 5М(т,к)-кодов. Наиболее известными £М(т,к)-кодами являются коды паритета (52(т,к)-коды) и коды Боуза -Лина (Б4(т,Щ и £8(т,к)-коды) [12-17].
Подобно кодам Бергера, модульные коды с суммированием не обнаруживают любые симметричные ошибки, а также все монотонные ошибки
т
с кратностью d = ]М, у = 1,2,...,р, р < —
|_ М
не обнаруживают некоторую долю асимметричных ошибок (такие ошибки происходят при искажении и нулевых и единичных разрядов в информа-
Кроме того, £М(т,к)-коды
ционном векторе, но при неравном их количестве [18]) кратностью ё = М + 2у, ] = 1, 2,...,р, ё < т [19]. Модульные коды с суммированием, в
отличие от кодов Бергера, имеют более равномерное распределение информационных векторов между контрольными векторами, контрольное оборудование для них гораздо проще и легче обеспечить его самопроверяемость [20]. Однако ценой таких свойств 5М(т,к)-кодов является ухудшение характеристик обнаружения ошибок по сравнению с £(т,к)-кодами.
В [21] показан алгоритм модификации классических и модульных кодов с суммированием, основанный на определении наименьшего неотрицательного вычета веса информационного вектора и подсчете специального поправочного коэффициента для коррекции свойств обнаружения ошибок кодом. Такие коды обозначены как ДО(т,к)- и ЯБМ(т,к)-коды. ДО(т,к)-код - это модифицированный код Бергера (у него такая же избыточность, как и у £(т,к)-кода). ЯБМ(т,к)-код - это модифицированный модульный код с суммированием с избыточностью к = 1 + 1о82 М. Свойства модифицированных кодов с суммированием единичных информационных разрядов подробно представлены в [22]. В частности, показано, что код с максимально эффективным использованием контрольных разрядов может быть построен только при М = 2. Остальные способы построения КБ(т,к) и ЯБМ(т,к)-кодов дают коды с неравномерным распределением информационных векторов между всеми контрольными векторами, для некоторых кодов используются не все контрольные векторы, что усложняет задачу обеспечения самопроверяемости дискретных устройств.
Код с суммированием с аналогичной коду Бергера избыточностью может быть построен при установлении неравноправия между разрядами информационного вектора путем приписывания весовых коэффициентов самим разрядам или переходам между ними [23-26]. При построении таких кодов разрядам (или переходам между разрядами, занимающими соседние позиции в информационных векторах) приписываются специальные весовые коэффициенты - числа из натурального ряда. Затем определяется наименьший неотрицательный вычет суммарного веса единичных
разрядов (или активных переходов) по модулю М = 2^1о§2 , а полученное число представляется в двоичном виде и записывается в разряды контрольного вектора. Таким образом строятся модульные коды с суммированием взвешенных разрядов и взвешенных переходов (ШБМ(т,к)- и ЖТМ(т,к)-коды) [27].
В [19] доказывается, что только на основе взвешивания разрядов последовательностью весовых коэффициентов из натурального ряда чисел невозможно построить класс модульных кодов со значением
М е|2;4;...;2^°82^^ 1|. Коды с суммированием с постоянным значением числа контрольных разрядов вне зависимости от длины информационного
вектора могут быть построены на основе взвешивания переходов между разрядами, занимающими соседние позиции в информационном векторе. При этом, однако, существует ограничение: ЖТМ(т,к)-код со значением
модуля М е|2;4;...;2^1о§21| будет помехоустойчивым в том случае,
т
если m ф jM +1, j е{1, 2,...,p}, p
К примеру, коды WT4(5,2),
М
ЖТ4(9,2), ЖТ4(13,2) и прочие не будут являться помехоустойчивыми (в классе необнаруживаемых будут присутствовать одиночные ошибки).
В данной статье опишем способ построения целого семейства помехоустойчивых модульно-взвешенных кодов с суммированием, обладающих таким важным свойством, как равномерность распределения информационных векторов между всеми 2к контрольными векторами (такое свойство дает минимальное общее количество необнаруживаемых кодом ошибок и накладывает меньшие ограничения при обеспечении свойства самопроверяемости дискретного устройства).
1. Модульно-взвешенные коды с суммированием
Используя базовый алгоритм модификации [21] и устанавливая неравноправие между разрядами информационного вектора путем их взвешивания, можно строить семейства помехоустойчивых модульно-взвешенных кодов с суммированием (RWSM(m,А:)-кодов). Такие коды будут иметь постоянное количество разрядов в контрольных векторах, не зависящее от длины информационного вектора и определяемое только значением модуля M.
Алгоритм. Правила вычисления разрядов контрольных векторов мо-дульно взвешенных кодов с суммированием с последовательностью весовых коэффициентов, образующей натуральный ряд чисел:
1. Устанавливается последовательность весовых коэффициентов разрядов информационного вектора, образующая натуральный ряд чисел начиная с младшего разряда: [wm; wm-i; ...; W2; wi] = [m; m-1; ...; 2; 1].
2. Фиксируется значение модуля M e |2; 4; ...;2^log21 j.
3. Подсчитывается сумма весовых коэффициентов единичных информационных разрядов - число W:
m
W = £ wf. (1)
i=1
4. Определяется наименьший неотрицательный вычет числа W по выбранному модулю M: WM = W (mod M).
5. Подсчитывается поправочный коэффициент а, равный сумме по модулю два (ХОК) произвольного (но заранее установленного) числа любых информационных разрядов.
6. Формируется число
V = + аМ. (2)
7. Полученное число V представляется в двоичном виде и записывается в контрольный вектор.
Следует отметить, что описываемый класс КЖ5М(т ,к)-кодов дает частные случаи модифицированных взвешенных кодов, подробно описанные в [28].
В табл. 1 приводятся все кодовые слова КЖ52(4,2)-кода, для которого поправочный коэффициент вычислен по формуле а = /2 © /4. Следует отметить, что это только один из вариантов построения модульно взвешенного кода с суммированием. Изменение значения модуля и правил формирования поправочного коэффициента а позволяют строить разные ЯЖБМ(т,к)-коды с различными характеристиками обнаружения ошибок в информационных векторах.
Таблица 1. Кодовые слова КЖ£2(4,2)-кода с а = /2 © /4
Информационный вектор Контрольный вектор
№ /4 /з /2 /1 ж жм а v &2 &1
= 4 ^з = 3 ^2 = 2 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
2 0 0 1 0 2 0 1 2 1 0
3 0 0 1 1 3 1 1 3 1 1
4 0 1 0 0 3 1 0 1 0 1
5 0 1 0 1 4 0 0 0 0 0
6 0 1 1 0 5 1 1 3 1 1
7 0 1 1 1 6 0 1 2 1 0
8 1 0 0 0 4 0 1 2 1 0
9 1 0 0 1 5 1 1 3 1 1
10 1 0 1 0 6 0 0 0 0 0
11 1 0 1 1 7 1 0 1 0 1
12 1 1 0 0 7 1 1 3 1 1
13 1 1 0 1 8 0 1 2 1 0
14 1 1 1 0 9 1 0 1 0 1
15 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0
Вообще, в качестве модуля М может выступать любое натуральное число из множества м е |2; 3;...; (Жтах + ^ где Жтах = ^ + ^ +... + ч + .
Однако наилучшими с точки зрения схемотехнической реализации и характеристик обнаружения ошибок в информационных векторах будут ЯЖБМ(т,к)-коды, для которых значение модуля выбирается из множества
М е{2;4;...;2Г1оё2+1)-1| [15].
ЯЖБМ(т,к)-коды, строящиеся по приведенному алгоритму, обладают важной особенностью - все они имеют минимальное общее количество необнаруживаемых ошибок в информационных векторах при соответствующих значениях т и к. Такие коды имеют равномерное распределение информационных векторов между всеми контрольными векторами. Например, такое распределение показано в табл. 2 для ЯЖ£2(4,2)-кода с а = /2 © /4. Общее количество необнаруживаемых ЯЖБМ(т,к)-кодом ошибок может быть определено по формуле
МтЛ = 2т(2т-к -1). (3)
Таблица 2. Контрольные группы .ЯЖ52(4,2)-кода
с а= /2 © /4
Контрольные группы, v
0 1 2 3
Контрольные векторы
00 01 10 11
ин юрмационные векторы
0000 0001 0010 0011
0101 0100 0111 0110
1010 1011 1000 1001
1111 1110 1101 1100
К примеру, для рассматриваемого кода формула (3) дает следующий результат: Ы42 = 24 (24-2 -1) = 16 • 3 = 48. Однако при различных способах
подсчета поправочного коэффициента а будут наблюдаться различные распределения информационных векторов между контрольными векторами, что будет определять и различные распределения необнаруживаемых ошибок по видам (монотонная, симметричная или асимметричная ошибка [18]) и по кратностям й.
Поскольку поправочный коэффициент может быть подсчитан как сумма по модулю два произвольного количества разрядов информационного вектора, существует следующее количество способов построения ЯЖБМ(т ,к)-кода для данного значения длины информационного вектора:
N.
codes
S cm=2-
(4)
t=0
Однако не все RWSM(m ,k)-коды будут помехоустойчивыми (это следует из алгоритма построения кода).
Теорема 1. RWSM(m,k)-код будет помехоустойчивым в том и только том случае, если поправочный коэффициент будет вычисляться по формуле
а
= 0 f., D = ^M,2M,
isD
m M
•m !
(5)
Доказательство. Справедливость положения теоремы 1 объясняется следующими соображениями. При вычислении значения наименьшего неотрицательного вычета суммарного веса информационного вектора по модулю М е |2; 4;...; 2 Г1о82(т+1)1 11 значения разрядов, номера позиций которых в
информационных векторах кратны значению модуля, перестают учитываться (не контролируются). При последующей модификации для исключения однократных необнаруживаемых ошибок требуется контролировать значения неучтенных разрядов. Коэффициент а при Ме|2; 4;...; 2^°8211 будет определять значение старшего разряда контрольного вектора RWSM(m ,k)-кодa. Таким образом, для «наделения» кода свойством помехоустойчивости необходимо суммировать по модулю два значения разрядов, номера позиций которых в информационном векторе кратны значению М, а также любые другие информационные разряды.
Доказательство завершено.
Из теоремы 1 непосредственно следует такое положение.
Теорема 2. Мощность множества помехоустойчивых RWSM(m,k)-кодов определяется величиной
Ncodes 2
(6)
Доказательство. Величина
m
M
определяет количество разрядов
информационного вектора, которые перестают контролироваться на этапе определения наименьшего неотрицательного вычета суммарного веса информационного вектора. Их все необходимо контролировать в старшем разряде контрольного вектора при вычислении поправочного коэффициента а. Общее количество разрядов информационного вектора равно т. Тогда
т
оставшиеся m -
M
разрядов информационного вектора могут входить
в сумму поправочного коэффициента, а могут и не входить. Количество способов вычисления поправочного коэффициента, таким образом, опре-
m
M
42
деляется величиной 2 1 . Отсюда следует справедливость положения теоремы 2, что и требовалось доказать.
Теорема 1 определяет условия построения помехоустойчивого модуль-но взвешенного кода с суммированием, а теорема 2 - количество таких кодов. Так, при т =4 и значении модуля М =2 может быть построено
4
2 - 4 различных помехоустойчивых ^Ж^2(4,2)-кода. В табл. 3 представлены характеристики обнаружения ошибок различными ^Ж^2(4,2)-кодами.
Для каждого ЯЖ£2(4,2)-кода приведен способ подсчета поправочного коэффициента а. В первой графе таблицы указан десятичный эквивалент, соответствующий способу вычисления поправочного коэффициента а (например, число 13 представляется в двоичном виде как </ / /2/> = = <1101>, что означает использование при вычислении поправочного коэффициента формулы а = / © /3 © /4), а во второй - сама формула. В остальных графах таблицы представлены рассчитанные значения количества необнаруживаемых ошибок по кратностям и по видам. Для необнару-живаемых ошибок по кратностям в каждой клетке таблицы указаны: число сверху - общее количество необнаруживаемых ошибок данной кратностью, числа снизу - количество монотонных/симметричных/асимметричных не-обнаруживаемых ошибок.
m
2. Свойства модульно-взвешенных кодов с суммированием
На основе алгоритмов анализа табличной формы задания ЯЖБМ(т,к)-кодов реализован специальный программный модуль по расчету характеристик обнаружения ошибок данными кодами по видам и кратностям. В табл. 4 и 5 представлены характеристики обнаружения ошибок семействами ЯЖБ2(т,к)- и ЯЖ84(т,к)-кодов при длинах информационных векторов т < 8.
Анализ свойств ЯЖ82(т,к)- и ^Ж^4(т,к)-кодов показал, что для конкретного значения длины информационного вектора существует ограниченное количество кодов с различными характеристиками обнаружения ошибок. Для обоих семейств кодов наблюдается следующая закономерность: с увеличением количества разрядов в информационном векторе в распределении необнаруживаемых ошибок уменьшается доля монотонных и увеличивается доля асимметричных ошибок. Для ЯЖ82(т,к)-кодов со значением т > 4 и для ^Ж^4(т,к)-кодов со значением т > 5 может быть подобран такой способ подсчета поправочного коэффициента а, который даст код со смещением распределения необнаруживаемых ошибок по кратностям в сторону «средних» кратностей (значений кратностей, близких к половинному значению длины информационного вектора).
Таблица 3. Характеристики обнаружения ошибок семейством Я И^£2(4,2)-кодов
Десятичный эквивалент формулы вычисления поправочного коэффициента а Формула вычисления поправочного коэффициента а всех видов Общее количество необнаруживаемых ошибок по видам Общее количество н ошибок по к гобнаруживаемых ратностям
одиночные монотонные симметричные асимметричные 1 2 3 4
0 а = 0 112 32 26 22 32 32 32 32 16
32/0/0 16/16/0 8/0/24 2/6/8
1 а = /| 48 32 8 8 0 32 16 0 0
32/0/0 8/8/0 0/0/0 0/0/0
2 а = /2 48 16 12 8 12 16 16 16 0
16/0/0 8/8/0 4/0/12 0/0/0
3 а = У1®/2 48 16 6 6 20 16 0 16 16
16/0/0 0/0/0 4/0/12 2/6/8
4 а = /3 48 32 8 8 0 32 16 0 0
32/0/0 8/8/0 0/0/0 0/0/0
5 а = /Ф/з 112 32 26 22 32 32 32 32 16
32/0/0 16/16/0 8/0/24 2/6/8
6 а = /2Ф/3 48 16 6 6 20 16 0 16 16
16/0/0 0/0/0 4/0/12 2/6/8
7 а = ^е/2е/3 48 16 12 8 12 16 16 16 0
16/0/0 8/8/0 4/0/12 0/0/0
8 а = /4 48 16 12 8 12 16 16 16 0
16/0/0 8/8/0 4/0/12 0/0/0
9 а = Л©Л 48 16 6 6 20 16 0 16 16
16/0/0 0/0/0 4/0/12 2/6/8
10 а = /2Ф/4 48 0 18 22 8 0 32 0 16
0/0/0 16/16/0 0/0/0 2/6/8
11 <*=./;®/2®/4 48 0 16 8 24 0 16 32 0
0/0/0 8/8/0 8/0/24 0/0/0
12 а = /з®/4 48 16 6 6 20 16 0 16 16
16/0/0 0/0/0 4/0/12 2/6/8
13 а = /Ф/3Ф/4 48 16 12 8 12 16 16 16 0
16/0/0 8/8/0 4/0/12 0/0/0
14 а = /2Ф/3Ф/4 48 0 16 8 24 0 16 32 0
0/0/0 8/8/0 8/0/24 0/0/0
15 а = /1 © Л ® /з ® Л 48 0 18 22 8 0 32 0 16
0/0/0 16/16/0 0/0/0 2/6/8
M M
Таблица 4. Характеристики обнаружения ошибок семейством Д WS2(от,-кодов
m Способ подсчета поправочного коэффициента Общее количество необнаружи вас м ы х ошибок Распределение необна руживае м ы х ошибок по видам, % Распределение необнаруживаемых ошибок по кратностям, %
монотонные симметричные асимметричные 2 3 4 5 6 7 8
3 2,7 8 50 50 0 100 0
3, 6 8 25 0 75 0 100
4 10, 15 48 37,5 45,83 16,67 66,67 0 33,33
И, 14 48 33,33 16,67 50 33,33 66,67 0
5 10, 31 224 33,93 44,64 21,43 57,14 0 42,86 0
11, 14, 15, 26,27,30 224 30,36 19,64 50 28,57 57,14 14,29 0
6 42, 63 960 27,5 42,5 30 40 0 60 0 0
43,46,47, 58, 59, 62 960 26,67 20,83 52,5 26,67 40 20 13,33 0
7 42,127 3968 22,48 40,52 37 29,03 0 61,29 0 9,68 0
43,46, 58, 63, 106,111, 123, 126 3968 21,82 20,57 57,61 19,35 29,03 29,03 19,35 0 3,24
47, 59,62,107,110,122 3968 21,67 19,56 58,77 16,13 38,71 22,58 12,9 9,68 0
8 170, 255 16 128 17,67 38,53 43,8 19,05 0 60,31 0 19,05 0 1,59
171,174, 186,191, 234,239, 251,254 16 128 17,51 19,94 62,55 14,29 19,05 30,15 25,4 4,76 6,35 0
175, 187, 190,235,238,250 16 128 17,47 19,09 63,44 12,7 25,4 22,21 25,4 12,7 0 1,59
51 &
5 о
Qj_
О. О)' «О S О
Ю Q-
Й' Qj S CL
О О
s
Qj &
СЪ tn
т CD
3
tn
> 41
ч
о 2 О]
ч
О]
х
О]
ч тз
О] X
п =1 о тз ч пз
Таблица 5. Характеристики обнаружения ошибок семейством ЯЖУ4(от,£)-кодов
т Способ подсчета поправочного коэффициента Общее количество н еоб наруж и ваемы х Распределение необнаруживаемых ошибок по видам, % Распределение необнаруживаемых ошибок по кратностям, %
ошибок монотонные симметрич н ые асим метричные 2 3 4 5 6 7 8
8, 13 16 50 0 50 50 50 0
4 9, 12 16 25 25 50 0 50 50
10, 15 16 50 25 25 50 0 50
11,14 16 25 0 75 0 100 0
8, 29 96 41,67 16,66 41,67 50 50 0 0
9,13, 24,28 96 29,17 12,5 58,33 16,67 50 33,33 0
5 10,31 96 37,5 37,5 25 50 0 50 0
И, 15,26,30 96 33,33 8,34 58,33 16,67 66,66 16,67 0
12, 25 96 25 33,33 41,67 16,67 50 33,33 0
14, 27 96 20,83 20,84 58,33 16,67 66,66 16,67 0
8,29 448 32,14 21,43 46,43 35,71 42,86 21,43 0 0
9, 13, 24,28 448 24,11 19,64 56,25 21,43 28,57 35,71 14,29 0
10,31,40,61 448 25 16,07 58,93 21,43 35,71 21,43 21,43 0
11,15,26,30,41,45,56, 60 448 22,32 14,29 63,39 7,14 50 35,72 7,14 0
6 12, 25 448 23,22 32,14 44,64 21,43 28,57 35,71 14,29 0
14,27, 44, 57 448 19,64 19,64 60,72 7,14 50 35,72 7,14 0
42, 63 448 28,57 39,29 32,14 35,71 0 64,29 0 0
43,47,58, 62 448 27,68 16,07 56,25 21,43 42,85 21,43 14,29 0
46, 59 448 19,64 21,43 58,93 21,43 42,85 21,43 14,29 0
-С
0)
я
О) 50
Ь
О)
3
о о
3 §
0
1 §
0) I
I £ п>
о о
а
а
СР
ч
о
01 тз ч
ы о м-
ю
м со
Окончание табл. 5
т Способ подсчета Общее количество не обнару- Pací i ределе! ше необнаружнваемых ошибок по видам, % Распределение необнаружнваемых ошибок по кратностям, %
поправочного коэффициента живаемых ошибок монотонные симметричные асимметричные 2 3 4 5 6 7 8
8, 93 1920 27,71 20,42 51,87 26,67 40 23,33 6,67 3,33 0
9, 12, 24, 29, 43, 46, 72, 77, 89, 92, 106, 111, 123, 126 1920 21,35 20 58,65 16,67 30 30 13,33 6,67 3,33
10,40,95,125 1920 22,61 18,33 59,06 20 26,68 23,33 23,33 3,33 3,33
11,14,26,31,41,44, 56,61, 74, 79,91,94, 104, 109, 121, 124 1920 19,79 17,08 63,13 10 36,67 30 16,66 6,67 0
7 13, 28, 73, 88 1920 20,21 18,75 61,04 13,33 26,67 36,67 20 3,33 0
15,30,45,60, 75,90, 105, 120 1920 20,1 16,67 63,23 6,67 40 36,67 10 3,33 3,33
25, 76 1920 19,37 30,42 50,21 13,33 26,67 36,67 20 3,33 0
27, 57, 78, 108 1920 17,6 21,67 60,73 6,67 40 36,67 10 3,33 3,33
42,127 1920 24,38 38,75 36,87 26,67 0 63,33 0 10 0
47, 62, 107,122 1920 23,54 17,08 59,38 13,33 40 23,34 13,33 10 0
59,110 1920 16,04 22,08 61,88 13,33 40 23,34 13,33 10 0
143, 158, 173, 188.203, 218,233, 248 7936 16,53 17,54 65,93 6,45 29,03 30,65 17,74 11,29 4,84 0
155, 185,206,236 7936 15,93 20,36 63,71 6,45 29,03 30,65 17,74 11,29 4,84 0
139, 142,154,159,169, 172,184, 189, 202,207, 219, 222, 232, 237, 249,252 7936 16,45 17,82 65,73 8,06 25,82 29,03 24,19 9,68 1,61 1,61
141, 156,201,216 7936 16,56 19,43 64,01 9,68 19,35 37,1 22,58 6.45 3,23 1,61
153, 204 7936 16,36 27,89 55,75 9,68 19,35 37,1 22,58 6,45 3,23 1,61
8 175, 190,235,250 7936 17,36 17,82 64,82 9,68 25,81 24,19 25,81 12,9 0 1,61
187,238 7936 15,55 19,83 64,62 9,68 25,81 24,19 25,81 12,9 0 1,61
137, 140,152, 157, 200, 205, 217, 220 7936 16,83 20,37 62,8 11,29 19,35 32,26 22,58 11,29 3,23 0
171, 174, 186, 191,234,239,251,254 7936 16,83 18,75 64,42 11,29 19,35 32,26 25,81 4,84 6,45 0
138, 168,223,253 7936 17,14 18,75 64,11 12,9 16,12 30,65 30,65 4,84 4,84 0
136,221 7936 18,38 19,83 61,79 16,13 19,35 24,19 22,59 12,9 3,23 1,61
170,255 7936 17,56 37,58 44,86 16,13 0 62,91 0 19,35 0 1,61
В табл. 6 и 7 для сравнения приведены подробные характеристики обнаружения ошибок различными модульными кодами с суммированием с двумя и тремя контрольными разрядами для значения т = 8. Для каждого кода даны распределения ошибок по кратностям и видам (смысл обозначений тот же, что и в табл. 3).
Сравнивая между собой отдельно группы кодов [Б4(т,к), Я£2(т,к), ЖТ4(т,к), ДЖ£2(т,к)} и (58(т,к), Д£4(т,к), WT8(m,k), ЯЖ84(т,к)}, отмечаем следующие закономерности:
- коды Д£2(т,к), ЖТ4(т,к), ДЖ?2(т,к), ЖТ8(т,к) и ЯЖБ4(т,к) принадлежат к типу кодов с наименьшим общим количеством необнаруживаемых ошибок при фиксированных значениях т и к;
- наилучшими по обнаружению монотонных и асимметричных ошибок в информационных векторах как в общем, так и в области малой кратности ошибок являются Б4(т,к)- и 58(т,к)-коды;
- коды ЯЖ82(т,к) и ЯЖБ4(т,к) имеют наименьшее количество необ-наруживаемых двукратных ошибок среди всех модульных кодов с суммированием с аналогичным количеством контрольных разрядов;
- в отличие от сравниваемых модульных кодов*, ЯЖБ2(т,к) и ЯЖБ4(т,к) имеют в классе необнаруживаемых ошибки как четных, так и нечетных кратностей (исключения составляют случаи, когда поправочный коэффициент при построении кода выбирается как свертка по модулю два всех разрядов информационного вектора или всех разрядов, занимающих четные позиции в информационном векторе).
Таким образом, могут быть выявлены преимущества и недостатки модифицированных модульно-взвешенных кодов с суммированием с последовательностью весовых коэффициентов, образующей натуральный ряд чисел. Кроме того, на основании преимуществ можно сделать выводы о практической направленности данного класса кодов. Наибольшим преимуществом ЯЖБМ(т,к)-кодов перед всеми остальными кодами является возможность идентификации наибольшего количества двукратных ошибок. Именно ошибки малых кратностей, по статистике, наиболее часто вызываются неисправностями в технических объектах. Например, в [29] приводятся статистические данные о распределениях ошибок на выходах контрольных комбинационных схем. Несомненным и весомым недостатком ЯШБМ(т ,к)-кодов является высокий процент необнаруживаемых монотонных ошибок в информационных векторах, в том числе в области малой их кратности. Это обстоятельство не дает возможности применения класса КЖБМ(т,,к)-кодов, допустим, при известных «монотонных реализациях» логических устройств [30-36]. Требуется разработка новых подходов к приложению данных кодов с учетом свойств топологии объекта диагностирования.
* Из [19, 27] известно, что для класса модульных кодов с суммированием взвешенных переходов при четных значениях длин информационных векторов в классе необнаруживаемых присутствуют ошибки только четной кратностью, а при нечетных значениях длин информационных векторов - как четных, так и нечетных кратностей.
м О)
Таблица 6. Характеристики обнаружения ошибок модульными кодами с двумя контрольными разрядами
Код Способ подсчета поправочного коэффициента Распределение ошибок по кратностям и видам Всего ошибок
2 3 4 5 6 7 8
54(8,2) - 3584 0 8960 0 3584 0 128 16 256
0/3584/0 2240/6720/0 0/2240/1344 2/70/56 2242/12 614/1400
Л52(8,2) Все варианты с 1-ми и 7-ми разрядами 5376 0 8960 0 1792 0 0 16 128
2688/2688/0 1120/3360/4480 56/560/1176 3864/6608/5656
Все варианты с 2-ми и 6-ми разрядами 4096 0 7680 0 4096 0 256 16 128
2048/2048/0 960/2880/3840 128/1280/688 2/70/184 3138/6278/6712
Все варианты с 3-ми и 5-ми разрядами 3328 0 8960 0 3840 0 0 16 128
1664/1664/0 1120/3360/4480 120/1200/2520 2904/6224/7000
Все варианты с 4-ми разрядами 3072 0 9728 0 3072 0 256 16 128
1536/1536/0 1216/3648/4864 96/960/2016 2/70/184 2850/6214/7064
074(8,2) - 3072 0 9728 0 3072 0 256 16 128
1536/1536/0 1216/3648/4864 96/960/2016 2/70/184 2850/6214/7064
Д 032(8,2) 175, 187, 190, 235, 238,250 2048 4096 3584 4096 2048 0 256 16128
1024/1024/0 1024/0/ 3072 448/1344/1792 256/0/3840 64/640/1344 2/70/184 2818/3078/10 232
171,174,186,191, 234, 239,251,254 2304 3072 4864 4096 768 1024 0 16 128
1152/1152/0 768/0/2304 608/1824/2432 256/0/3840 24/240/504 16/0/1008 2824/3216/10 088
170,255 3072 0 9728 0 3072 0 256 16 128
1536/1536/0 1216/3648/4864 96/960/2016 2/70/184 2850/6214/7064
51 &
2 о а
о.
си' и=>
5!
О (/>
о-
В'
сь 5 О.
О
о 3
й) &
пГ
1л X 1/1 т 0)
3
Ш
> 41
ч
о 2 О]
ч
О]
х
О]
ч тз
О] X
п =1 о тз ч пз
Таблица 7. Характеристики обнаружения ошибок модульными кодами с тремя контрольными разрядами
-С
О)
я
О) 50
Ь
О)
3
о о
3 §
ч
о
Код Способ подсчета поправочного коэффициента Распределение ошибок по кратностям и видам Всего ошибок
2 3 4 5 6 7 8
58(8,3) - 3584 0 6720 0 2240 0 72 12616
0/3584/0 0/6720/0 0/2240/0 2/70/0 2/12 614/0
А54(8,3) Все варианты с 1-ми и 7-ми разрядами 2688 0 4480 0 896 0 0 8064
0/2688/0 1120/3360/0 0/560/336 1120/6608/336
Все варианты с 2-ми и 6-ми разрядами 2048 0 3840 0 2048 0 128 8064
0/2048/0 960/2880/0 0/1280/768 2/70/56 962/6278/824
Все варианты с 3-ми и 5-ми разрядами 1664 0 4480 0 1920 0 0 8064
0/1664/0 1120/3360/0 0/1200/720 1120/6224/720
Все варианты с 4-ми разрядами 1536 0 4864 0 1536 0 128 8064
0/1536/0 1216/3648/0 0/960/576 2/70/56 1218/6214/632
№Т8(8,3) - 1792 0 4096 0 1792 0 256 7936
1024/768/0 592/1520/1984 40/624/1128 2/70/184 1658/2982/3296
0
1 §
0) I
I £ п>
о о
а
а
СР
01 тз ч
ы о м-
ю
м
Окончание табл. 7
Код Способ подсчета поправочного коэффициента Распределение ошибок по кратностям и видам Всего ошибок
2 3 4 5 6 7 S
Й034(8,3) 143, 158, 173, 188, 203,218,233, 248 512 2304 2432 1408 896 384 0 7936
384/128/0 512/0/1792 288/992/1152 96/0/1312 24/272/600 8/0/376 1312/1392/5232
155, 185, 206, 236 512 2304 2432 1408 896 384 0 7936
128/384/0 768/0/1536 288/992/1152 32/0/1376 40/240/616 8/0/376 1264/1616/5056
139, 142, 154, 159, 169, 172, 184, 189, 202,207,219,222, 232,237, 249,252 640 2048 2304 1920 768 128 128 7936
384/256/0 512/0/1536 256/896/1152 128/0/1792 24/224/520 0/0/128 2/38/88 1306/1414/5216
141, 156,201,216 768 1536 2944 1792 512 256 128 7936
512/256/0 256/0/1280 448/1088/1408 64/0/1728 32/160/320 0/0/256 2/38/88 1314/1542/5080
153,204 768 1536 2944 1792 512 256 128 7936
256/512/0 768/0/768 64/1472/1408 192/0/1600 16/192/304 0/0/256 2/38/88 1298/2214/4424
175, 190,235,250 768 2048 1920 2048 1024 0 128 7936
512/256/0 512/0/1536 192/832/896 128/0/1920 32/288/704 2/38/88 1378/1414/5144
187,238 768 2048 1920 2048 1024 0 128 7936
256/512/0 512/0/1536 320/704/896 128/0/1920 16/320/688 2/38/88 1234/1574/5128
137, 140, 152, 157, 200,205,217,220 896 1536 2560 1792 896 256 0 7936
512/384/0 384/0/1152 288/992/1280 128/0/1664 16/240/640 8/0/248 1336/1616/4984
171, 174, 186, 191, 234, 239,251,254 896 1536 2560 2048 384 512 0 7936
512/384/0 384/0/1152 288/992/1280 128/0/1920 16/112/256 8/0/504 1336/1388/5112
138, 168, 223,253 1024 1280 2432 2432 384 384 0 7936
640/384/0 256/0/1024 288/992/1152 160/0/2272 8/112/264 8/0/376 1360/1488/5088
136,221 1280 1536 1920 1792 1024 256 128 7936
768/512/0 256/0/1280 320/704/896 64/0/1728 48/320/656 0/0/256 2/38/88 1458/1574/4904
170,255 1280 0 4992 0 1536 0 128 7936
768/512/0 576/1984/2432 48/448/1040 2/38/88 1394/2982/3560
3. Классификация модульных кодов с суммированием
На рисунке изображена классификация (т,к)-кодов, в которой указаны типы кодов и сделано разбиение их по количеству контрольных разрядов: от к = 1 до к = д (д - некоторое натуральное число).
Классификация модульных кодов с суммированием
При к = 1 существует единственный код с суммированием - код паритета. Увеличение числа контрольных разрядов позволяет увеличить и количество способов построения (т,к)-кодов: при к > 2 возможно построение БМ(т,к)-, ЖТМ(т,к)-, ЯБМ(т£)- и ЯЖ8М(т,к)-кодов. БМ(т,к)- и ЖТМ(т,к)-коды строятся единственным способом для заданной длины информационного вектора, тогда как множество семейств ЯБМ(т,к)- и ЯЖБМ(т,к)-кодов с заданным значением т гораздо шире и определяется количеством вариантов вычисления поправочного коэффициента при модификации: для
ЯБМ(т,к)-кодов это число равно 2т - 2, а для ЯЖБМ(т,к)-кодов - 2 Следует также отметить, что Б2(т,к), ЯБ2(т,к) и все помехоустойчивые ЯШБМ(т,к)-коды имеют наименьшее общее количество необнаруживае-мых ошибок в информационных векторах при соответствующих соотношениях длин информационных и контрольных векторов. ЖТМ(т,к)-коды
со значениями модуля М е |2; 4; ...;2^1о§2^^ 1| будут обладать подобным
М
свойством при выполнении условия т > — +1 [19]. Остальные же коды -
БМ(т,к) и ЯБМ(т,к) - при М > 4 имеют несколько большее количество ошибок в классе необнаруживаемых, чем коды с минимальным общим количеством необнаруживаемых ошибок.
m
Заключение
Предложенный авторами ранее [28] принцип построения модифицированных кодов с суммированием на основе взвешивания разрядов весовыми коэффициентами из натурального ряда чисел может быть использован и при построении класса модифицированных кодов с суммированием
взвешенных переходов со значениями модуля М е|2;4;...;2^1о§2(т+1)1-1|
(ЯЖБМ(т,к)-кодов). При этом ЯЖБМ(т,к)-коды будут иметь вне зависимости от количества информационных разрядов постоянное значение числа контрольных разрядов, определяемое значением модуля: к = 1 + 1о§2 М.
Естественно, что ЯШБМ(т,к)-коды будут обладать возможностью обнаружения меньшего количества ошибок в информационных векторах по сравнению с ^Ж^(т,к)-кодами при одинаковых значениях длин информационных векторов. Но вносимая при реализации дискретной системы с использованием ЯШБМ(т ,к)-кода аппаратурная избыточность будет меньшей, чем при использовании Л'Ж^т ,к)-кода.
Необходимо указать на основную особенность ЯШБМ(т,к)-кодов по сравнению с известными модульными кодами с суммированием единичных информационных разрядов. Помехоустойчивые ЯШБМ(т,к)-коды об-
ладают минимальным общим количеством необнаруживаемых ошибок в информационных векторах при конкретных значениях длин информационных и контрольных векторов. SM(m,k) и RSM(m,k) при значениях M > 4 к таковым не относятся. Следует, однако, отметить приоритет последних по обнаружению монотонных и асимметричных ошибок в информационных векторах. Эффект в уменьшении общего количества необнаруживаемых ошибок RWSM(m,к)-кодами достигается именно за счет снижения доли необнаруживаемых симметричных ошибок по сравнению с SM(m,k)- и RSM(m ,к)-кодами.
RWSM(m,к)-коды могут иметь различные сферы приложения, в том числе при организации диагностического обеспечения логических устройств. Например, в [37] анализируются характеристики структурной избыточности самопроверяемых схем встроенного контроля, синтезированных на основе RWSM(m,к)-кодов, при построении которых поправочный коэффициент вычислялся как а = f2 © f4 ©... © fm, если m - четное
число, и а=f ©f ©... ©f-1, если m - нечетное число (при таком способе построения код обнаруживает любые ошибки нечетных кратностей и сравним с классическими и модифицированными кодами Бергера [22]). Результаты экспериментов подтверждают эффективность приложения RWSM(m,k)-кодов при синтезе самопроверяемых схем встроенного контроля как по сравнению с дублированием, так и по сравнению с использованием известных кодов с суммированием.
Представленные в данной статье RWSM(m,к)-коды и установленные их особенности обнаружения ошибок в информационных векторах не ориентированы на какие-либо технологии изготовления дискретных устройств и систем, а также на какие-либо модели неисправностей. Это свидетельствует об универсальности полученных результатов и возможности использования RWSM(m,к)-кодов при организации высоконадежных дискретных систем на современной и только развиваемой в исследованиях элементной базе.
Библиографический список
1. McCluskey E. J. Logic Design Principles: With Emphasis on Testable Semicustom Circuits / E. J. McCluskey. - N. J. : Prentice Hall PTR, 1986. - 549 p.
2. Fujiwara E. Code Design for Dependable Systems: Theory and Practical Applications / E. Fujiwara. - John Wiley & Sons, 2006. - 720 p.
3. Göessel M. New Methods of Concurrent Checking: Edition 1 / M. Göessel, V. Ocheretny, E. Sogomonyan, D. Marienfeld. - Dordrecht : Springer Science+Business Media B. V., 2008. - 184 p.
4. Рабочее диагностирование безопасных информационно-управляющих систем / А. В. Дрозд, В. С. Харченко, С. Г. Антощук, Ю. В. Дрозд, М. А. Дрозд, Ю. Ю. Сулима ; под ред. А. В. Дрозда и В. С. Харченко. - Харьков : Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского (ХАИ), 2012. - 614 с.
5. Согомонян Е. С. Самопроверяемые устройства и отказоустойчивые системы / Е. С. Со-гомонян, Е. В. Слабаков. - М. : Радио и связь, 1989. - 207 с.
6. Mitra S. Which Concurrent Error Detection Scheme to ^oose? / S. Mitra, E. J. McCluskey // Proceedings of International Test Conference, 2000, USA, Atlantic City, NJ, 3-5 October 2000. - Pp. 985-994.
7. Berger J. M. A Note on Error Detection Codes for Asymmetric Channels / J. M. Berger // Information and Control. - 1961. - Vol. 4. - Issue 1. - Pp. 68-73.
8. Freiman C. V. Optimal Error Detection Codes for Completely Asymmetric Binary Channels / C. V. Freiman // Information and Control. - 1962. - Vol. 5. - Issue 1. - Pp. 64-71.
9. Ефанов Д. В. О свойствах кода с суммированием в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 6. - С. 155-162.
10. Сапожников Вал. В., Сапожников Вл. В., Ефанов Д. В. Предельные свойства кода с суммированием // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2010. -№ 3. - С. 290-299.
11. Ефанов Д. В. Три теоремы о кодах Бергера в схемах встроенного контроля / Д. В. Ефанов // Информатика и системы управлении. - 2013. - № 1. - С. 77-86.
12. Аксёнова Г. П. Необходимые и достаточные условия построения полностью проверяемых схем свертки по модулю 2 / Г. П. Аксёнова // Автоматика и телемеханика. -1979. - № 9. - С. 126-135.
13. Fujiwara E. A. Self-Testing Group-Parity Prediction Checker and Its Use for Built-in-Testing / E. Fujiwara, N. Muto, K. Matsuoka // IEEE Transaction on Computers. - 1984. -C. 33. - N 8. - Pp. 583-588.
14. Bose B. Systematic Unidirectional Error-Detection Codes / B. Bose, D. J. Lin // IEEE Transaction on Computers. - Nov. 1985. - Vol. C-34. - Pp. 1026-1032.
15. Piestrak S. J. Design of Self- Testing Checkers for Unidirectional Error Detecting Codes / S. J. Piestrak. - Wroclaw : Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroclavskiej, 1995. - 111 p.
16. Das D. Synthesis of Circuits with Low-Cost Concurrent Error Detection Based on Bose-Lin Codes / D. Das, N. A. Touba // Journal of Electronic Testing: Theory and Applications. - 1999. - Vol. 15. - Issue 1-2. - Pp. 145-155.
17. Ghosh S. Synthesis of Low Power CED Circuits Based on Parity Codes / S. Ghosh, S. Basu, N. A. Touba // Proceedings of 23rd IEEE VLSI Test Symposium (VTS'05), 2005. - Pp. 315-320.
18. Сапожников Вал. В. Классификация ошибок в информационных векторах систематических кодов / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Известия вузов. Приборостроение. - 2015. - Т. 58. - № 5. - С. 333-343.
19. Сапожников Вал. В. Модульные коды с суммированием взвешенных переходов с последовательностью весовых коэффициентов, образующей натуральный ряд чисел / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов, А. Г. Котенко // Труды СПИИРАН. - 2017. - № 1. - С. 137-164.
20. Ефанов Д. В. Применение модульных кодов с суммированием для построения систем функционального контроля комбинационных логических схем / Д. В. Ефанов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2015. -№ 10. - С. 152-169.
21. Блюдов А. А. Построение модифицированного кода Бергера с минимальным числом необнаруживаемых ошибок информационных разрядов / А. А. Блюдов, Д. В. Ефанов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Электронное моделирование. -2012. - Т. 34. - № 6. - С. 17-29.
22. Блюдов А. А. О кодах с суммированием единичных разрядов в системах функционального контроля / А. А. Блюдов, Д. В. Ефанов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2014. - № 8. - С. 131-145.
23. Das D. Weight-Based Codes and Their Application to Concurrent Error Detection of Multilevel Circuits / D. Das, N. A. Touba // Proceedings of 17th IEEE Test Symposium, USA, California, 1999. - Pp. 370-376.
24. Das D. Low Cost Concurrent Error Detection Based on Modulo Weight-Based Codes / D. Das, N. A. Touba, M. Seuring, M. Gossel // Proceedings of IEEE 6th International OnLine Testing Workshop (IOLTW), Spain, Palma de Mallorca, July 3-5, 2000. - Pp. 171-176.
25. Ghosh S. Scan Chain Fault Identification Using Weight-Based Codes for SoC Circuits / S. Ghosh, K. W. Lai, W. B. Jone, S. C. Chang // Proceedings of 13th Asian Test Symposium, 15-17 November 2004. - Pp. 210-215.
26. Мехов В. Б. Контроль комбинационных схем на основе модифицированных кодов с суммированием / В. Б. Мехов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 8. - С. 153-165.
27. Сапожников Вал. В. Модульно-взвешенные коды с суммированием с наименьшим общим числом необнаруживаемых ошибок в информационных векторах / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Электронное моделирование. - 2017. -Т. 39. - № 4. - С. 69-88.
28. Сапожников Вал. В. Коды с суммированием с последовательностью весовых коэффициентов, образующей натуральный ряд чисел, в системах функционального контроля / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Электронное моделирование. - 2017. - Т. 39. - № 5. - С. 37-58.
29. Sapozhnikov Val. Method of Combinational Circuits Testing by Dividing its Outputs into Groups and Using Codes, that Effectively Detect Double Errors / Val. Sapozhnikov, D. Efanov, Vl. Sapozhnikov, V. Dmitriev // Proceedings of 15th IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'2017), Novi Sad, Serbia, September 29 - October 2, 2017. -Pp. 129-136.
30. Гессель М. Построение самотестируемых и самопроверяемых комбинационных устройств со слабонезависимыми выходами / М. Гессель, Е. С. Согомонян // Автоматика и телемеханика. - 1992. - № 8. - С. 150-160.
31. Sogomonyan E. S. Design of Self-Testing and On-Line Fault Detection Combinational Circuits with Weakly Independent Outputs / E. S. Sogomonyan, M. Gössel // Journal of Electronic Testing: Theory and Applications. - 1993. - Vol. 4. - Issue 4. - Pp. 267-281.
32. Busaba F. Y. Self-Checking Combinational Circuit Design for Single and Unidirectional Multibit Errors / F. Y. Busaba, P. K. Lala // Journal of Electronic Testing: Theory and Applications. - 1994. - Issue 1. - Pp. 19-28.
33. Saposhnikov Val. V. A New Design Method for Self-Checking Unidirectional Combinational Circuits / Val. V. Saposhnikov, A. Morosov, Vl. V. Saposhnikov, M. Göessel // Journal of Electronic Testing: Theory and Applications. - 1998. - Vol. 12. - Issue 1-2. -Pp. 41-53.
34. Matrosova A. Yu. Self-Checking Synchronous FSM Network Design with Low Overhead / A. Yu. Matrosova, I. Levin, S. A. Ostanin // VLSI Design. - 2000. - Vol. 11. - Issue 1. - Pp. 47-58.
35. Ostanin S. Self-Checking Synchronous FSM Network Design for Path Delay Faults / S. Ostanin // Proceedings of 15th IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'2017), Novi Sad, Serbia, September 29 - October 2, 2017. - Pp. 696-699.
36. Matrosova A. Pseudo-Exhaustive Testing of Sequential Circuits for Multiple Stuck-at Faults / A. Matrosova, E. Mitrofanov // Proceedings of 14th IEEE East-West Design &
Test Symposium (EWDTS'2016), Yerevan, Armenia, October 14-17, 2016. - Pp. 533536.
37. Ефанов Д. В. Модульно-модифицированные взвешенные коды с суммированием в эксперименте по организации систем функционального контроля тестовых комбинационных схем / Д. В. Ефанов, А. М. Костроминов, А. Д. Манаков, А. В. Макша-нов, В. А. Шаров // Известия Петербургского университета путей сообщения. -2018. - Т. 15. - № 2. - С. 311-322.
Valery V. Sapozhnikov, Vladimir V. Sapozhnikov, «Automation and remote control on railways» department Emperor Alexander I St. Petersburg state transport university
Dmitry V. Efanov, «Automation, remote control and communication on railway transport» Russian University of Transport
Modified modulo codes with weight-based bits summation with natural number sequence of weight indexes
The methods for constructing binary codes with summation with low redundancy to solve the tasks of digital systems technical diagnostics are analyzed. It is proved that it is possible to construct a whole class of codes with summation with a constant number of check bits, which does not depend on a number of data bits in the codeword. The principles of constructing such codes are based on weighing bits of data vector by natural number sequence of weight indexes, starting with the lowest bit using the establishment of modulo in the form of degree of two and also calculation of special correction coefficients - modulo two convolutions of some part of data bits. It is determined in the article that there is a limited number of modulo weight-based codes with summation for this value of data vector length, also the conditions of the formation of error-tolerant modulo codes with summation are indicated. The paper contains a detailed analysis of the key properties of developed codes with summation concerning error detection in data vectors. A detailed comparison of the characteristics of the new codes (modulo and unit-modified codes with summation of one data bits) with the characteristics of the known modulo codes (modulo codes with summation of weighted transitions) is given. The main advantages and disadvantages of modified modulo codes with summation of weighted data bits are presented. The classification of modulo codes with summation by the number of check bits is given.
error detection; diagnostics; Berger code; Bose - Lin code; modular sum code; weighted-based sum code; weighing of the bits; weighing the transitions; natural number sequence
References
1. McCluskey E. J. (1986). Logic Design Principles (with Emphasis on Testable Semi-custom Circuits). New Jersey, Prentice-Hall. - 549 p.
2. Fujiwara E. (2006). Code Design for Dependable Systems: Theory and Practical Applications. John Wiley & Sons. - 720 p.
3. Goessel M., Ocheretny V., Sogomonyan E., Marienfeld D. (2008). New Methods of Concurrent Checking: Edition 1. Dordrecht: Springer Science+Business Media B. V. -184 p.
4. Drozd A. V., Harchenko V. S., Antoshchuk S. G., Drozd Yu. V., Drozd M. A., Su-lima Yu. Yu. (2012). Objects and Methods of On-Line Testing for Safe Instrumentation and Control Systems [Rabochee diagnostirovanie bezopasnyh informatsionno-upravlyayushchih sistem] ; Pod red. A. V. Drozd and V. S. Harchenko. Khar'kov, Natsionalnyj aerokosmicheskij universitet im. N. E. Zhukovskogo (KhAI). - 614 p.
5. Sogomonyan E. S., Slabakov E. V. (1989). Self-checking devices and fault-tolerant systems [Samoproveryaemye ustrojstva i otkazoustojchivye sistemy]. Moscow, Radio & Communication [Radio i svyaz']. - 208 p.
6. Mitra S., McCluskey E. J. (2000). Which Concurrent Error Detection Scheme to Choose? Proceedings of International Test Conference, 2000, USA, Atlantic City, NJ, 03-05 October 2000. - Pp. 985-994.
7. Berger J. M. (1961). A Note on Error Detection Codes for Asymmetric Channels. Information and Control, vol. 4, issue 1. - Pp. 68-73.
8. Freiman C. V. (1962). Optimal Error Detection Codes for Completely Asymmetric Binary Channels. Information and Control, vol. 5, issue 1. - Pp. 64-71.
9. Efanov D. V., Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V. (2010). On Summation Code Properties in Functional Control Circuits [O svojstvah koda s summirovaniem v skhemah funktsionalnogo kontrolya]. Automation and Remote Control [Avtomatika i telemekhanika], issue 6. - Pp. 155-162.
10. Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V. (2010). Sum code limit properties [Predel'nye svojstva koda s summirovaniem]. Proceedings of Petersburg Transport University [Izvestiya Peterburgskogo universiteta putej soobshcheniya], issue 3. - Pp. 290-299.
11. Efanov D. V. (2013). Three Theorems about Berger Codes in Builtin Control Circuits [Tri teoremy o kodah Bergera v skhemah vstroennogo kontrolya]. Informational Science and Control Systems [Informatika i sistemy upravleniya], issue 1. - Pp. 77-86.
12. Aksyonova G. P. (1979). Necessary and sufficient conditions for the design of totally checking circuits of compression by modulo 2 [Neobhodimye i dostatochnye usloviya postroeniya polnost'yu proveryaemyh skhem svertki po modulyu dva]. Automation and Remote Control [Avtomatika i telemekhanika], issue 9. - Pp. 126-135.
13. Fujiwara E., Muto N., Matsuoka K. (1984). A Self-Testing Group-Parity Prediction Checker and Its Use for Built-in-Testing. IEEE Transaction on Computers, vol. 33, N 8. - Pp. 583-588.
14. Bose B., Lin D. J. (1985). Systematic Unidirectional Error-Detection Codes. IEEE Transaction on Computers, vol. C-34, Nov. 1985. - Pp. 1026-1032.
15. Piestrak S. J. (1995). Design of Self-Testing Checkers for Unidirectional Error Detecting Codes. Wroclaw, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroclavskiej. - 111 p.
16. Das D., Touba N. A. (1999). Synthesis of Circuits with Low-Cost Concurrent Error Detection Based on Bose-Lin Codes. Journal of Electronic Testing: Theory and Applications, vol. 15, issue 1-2. - Pp. 145-155.
17. Ghosh S., Basu S., Touba N. A. (2005). Synthesis of Low Power CED Circuits Based on Parity Codes. Proceedings of 23rd IEEE VLSI Test Symposium (VTS'05). -Pp. 315-320.
18. Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V. (2015). Errors classification in information vectors of systematic codes [Klassifikatsiya oshibok v informatsionnyh
vektorah sistematicheskih kodov]. Journal of Instrument Engineering [Izvestiya vuzov. Priborostroenie], vol. 58, issue 5. - Pp. 333-343.
19. Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V., Kotenko A. G. (2017). Modulo Codes with Summation of Weighted Transitions With Natural Number Sequence of Weights [Modul'nye kody s summirovaniem vzveshennyh perekhodov s posledovatel'nost'yu vesovyh koehfficientov, obrazuyushchej natural'nyj ryad chisel]. SPIIRAS Proceedings [Trudy SPIIRAN], issue 1. - Pp. 137-164.
20. Efanov D. V., Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V. (2015). Applications of Modular Summation Codes to Concurrent Error Detection Systems for Combinational Boolean Circuits [Primenenie modul'nyh kodov s summirovaniem dlya postroeniya sistem funktsional'nogo kontrolya kombinatsionnyh logicheskih skhem]. Automation and Remote Control [Avtomatika i telemekhanika], issue 10. - Pp. 152-169.
21. Blyudov A. A., Efanov D. V., Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V. (2012). Formation Berger modified code with minimum total number of undetectable errors in data bits [Postroenie modifitsirovannogo koda Bergera s minimal'nym chislom neob-naruzhivaemyh oshibok informatsionnyh razryadov]. Electronic Modeling [Elektron-noe modelirovanie], vol. 34, issue 6. - Pp. 17-29.
22. Blyudov A. A., Efanov D. V., Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V. (2014). On Codes With Summation of Data Bits in Concurrent Error Detection Systems [O kodah s summirovaniem edinichnyh razryadov v sistemah funktsionalnogo kontrolya]. Automation and Remote Control [Avtomatika i telemekhanika], issue 8. - Pp. 131-145.
23. Das D., Touba N. A. (1999). Weight-Based Codes and Their Application to Concurrent Error Detection of Multilevel Circuits. Proceedings of 17th IEEE Test Symposium, USA, California, 1999. - Pp. 370-376.
24. Das D., Touba N. A., Seuring M., Gossel M. (2000). Low Cost Concurrent Error Detection Based on Modulo Weight-Based Codes. Proceedings of IEEE 6th International On-Line Testing Workshop (IOLTW), Spain, Palma de Mallorca, July 3-5, 2000. -Pp. 171-176.
25. Ghosh S., Lai K. W., Jone W. B., Chang S. C. (2004). Scan Chain Fault Identification Using Weight-Based Codes for SoC Circuits. Proceedings of 13th Asian Test Symposium, 15-17 November 2004. - Pp. 210-215.
26. Mekhov V. B., Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V. (2008). Checking of Combinational Circuits Basing on Modification Sum Codes [Kontrol' kombinacionnyh skhem na osnove modificirovannyh kodov s summirovaniem]. Automation and Remote Control [Avtomatika i telemekhanika], issue 8. - Pp. 153-165.
27. Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V. (2017). Modulo weighted codes with summation with minimum number of undetectable errors in data vectors [Modul'no-vzveshennye kody s summirovaniem s naimen'shim obshchim chislom ne-obnaruzhivaemyh oshibok v informacionnyh vektorah]. Electronic Modeling [Elektron-noe modelirovanie], vol. 39, issue 4. - Pp. 69-88.
28. Sapozhnikov Val. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V. (2017) Codes with summation with a sequence of weight coefficients, forming a natural series of numbers, in concurrent error detection systems [Kody s summirovaniem s posledovatel'nost'yu vesovyh koehfficientov, obrazuyushchej natural'nyj ryad chisel, v sistemah funkcional'nogo kontrolya]. Electronic Modeling [Elektronnoe modelirovanie], vol. 39, issue 5. -Pp. 37-58.
29. Sapozhnikov Val., Efanov D., Sapozhnikov Vl., Dmitriev V. (2017). Method of Combinational Circuits Testing by Dividing its Outputs into Groups and Using Codes, that Effectively Detect Double Errors. Proceedings of 15th IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'2017), Novi Sad, Serbia, September 29 - October 2, 2017. - Pp. 129-136.
30. Goessel M., Sogomonyan E. S. (1992). Design of Self-Testing and Self-Checking Combinational Circuits with Weakly Independent Outputs [Postroenie samotestirue-mykh I samoproverjaemykh kombinatsionnykh ustrojstv so slabonezavisimymi vykhodami]. Automation and Remote Control [Avtomatika i telemekhanika], issue 8. -Pp. 150-160.
31. Sogomonyan E.S., Gössel M. (1993). Design of Self-Testing and On-Line Fault Detection Combinational Circuits with Weakly Independent Outputs. Journal of Electronic Testing: Theory and Applications, vol. 4, issue 4. - Pp. 267-281.
32. Busaba F. Y., Lala P. K. (1994). Self-Checking Combinational Circuit Design for Single and Unidirectional Multibit Errors. Journal of Electronic Testing: Theory and Applications, issue 1. - Pp. 19-28.
33. Saposhnikov Val. V., Morosov A., Saposhnikov Vl. V., Göessel M. (1998). A New Design Method for Self-Checking Unidirectional Combinational Circuits. Journal of Electronic Testing: Theory and Applications, vol. 12, issue 1-2. - Pp. 41-53.
34. Matrosova A. Yu., Levin I., Ostanin S. A. (2000). Self-Checking Synchronous FSM Network Design with Low Overhead. VLSI Design, vol. 11, issue 1. - Pp. 47-58.
35. Ostanin S. (2017). Self-Checking Synchronous FSM Network Design for Path Delay Faults. Proceedings of 15th IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'2017), Novi Sad, Serbia, September 29 - October 2, 2017. - Pp. 696-699.
36. Matrosova A., Mitrofanov E. (2016). Pseudo-Exhaustive Testing of Sequential Circuits for Multiple Stuck-at Faults. Proceedings of 14th IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'2016), Yerevan, Armenia, October 14-17, 2016. - Pp. 533-536.
37. Efanov D. V., Kostrominov A. M., Manakov A. D., Makshanov A. V., Sharov V. A. (2018). Modified modulus weight-based sum codes in experiment on organization of concurrent error detection systems of combinational benchmarks [Modul'no-modificirovannye vzveshennye kody s summirovaniem v ehksperimente po organi-zacii sistem funkcional'nogo kontrolya testovyh kombinacionnyh skhem], Proceedings of Petersburg transport university [Izvestiya Peterburgskogo universiteta putej soobshcheniya], vol. 15, issue 2. - Pp. 311-322.
Статья представлена к публикации членом редколлегии Р. Убаром Поступила в редакцию 11.01.2018, принята к публикации 28.02.2018
САПОЖНИКОВ Валерий Владимирович - доктор технических наук, профессор
кафедры «Автоматика и телемеханика на железных дорогах» Петербургского государственного университета путей сообщения Императора Александра I.
e-mail: port.at.pgups1@gmail.com
САПОЖНИКОВ Владимир Владимирович - доктор технических наук, профессор кафедры «Автоматика и телемеханика на железных дорогах» Петербургского государственного университета путей сообщения Императора Александра I.
e-mail: sapozhnikov-at@yandex.ru
ЕФАНОВ Дмитрий Викторович - доктор технических наук, доцент, руководитель направления систем мониторинга и диагностики ООО «ЛокоТех-Сигнал», профессор кафедры «Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте» Российского университета транспорта.
e-mail: TrES-4b@yandex.ru
© Сапожников Вал. В., Сапожников В. В., Ефанов Д. В., 2019
