Модифицированное равновесие и его свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.833, 519.865

Р.И. Яминов

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Модифицированное равновесие и его свойства

При исследовании результатов игр, проведенных в контролируемых условиях лабораторий, наблюдается систематическое отклонение агрегированного поведения от равновесия Нэша. Вместе с тем сам принцип Нэша о наилучшем ответе на стратегии остальных игроков проявляется в несколько более слабом смысле. Будем предполагать, что игрок имеет неточную информацию о стратегиях остальных игроков, выраженную в вероятностной форме. Оказывается, что полученное на этом пути модифицированное равновесие обладает полезными математическими свойствами и лучше согласуется с результатами экспериментов.

Ключевые слова: модифицированное равновесие, дилема путешественника, экспериментальная экономика, теория игр, обобщение равновесия Нэша.

I. Введение

Экспериментальная экономика — сравнительно новая научная дисциплина, посвященная исследованию человеческого поведения и тестированию предсказаний экономической теории в условиях контролируемого эксперимента. В основе ее методологии лежит использование экспериментальных методов для проверки обоснованности экономических теорий и анализ эффективности рыночных механизмов. Экономические эксперименты позволяют получить представление о типичном поведении экономических агентов в контролируемых условиях лаборатории.

Начнем с одного такого контролируемого эксперимента для игры «Дилемма путешественника» [1]. Данная игра, придуманная Kaushik Basu в 1994 году, является особенно убедительным примером случая, когда логика теории игр противоречит интуитивным представлениям о человеческом поведении.

Пример 1. Дилемма путешественника (ДП — Traveler’s dilemma). Каждый из двух игроков самостоятельно выбирает сумму от A до B долларов, которую он считает справедливой компенсацией морального ущерба от задержки рейса. Обоим игрокам выплачивается меньшая из выбранных ими сумм. Игрок, выбравший большую сумму, передает игроку, выбравшему меньшую сумму, R долларов в виде штрафа за жадность.

Равновесие Нэша в этой игре единственно и совпадает со скромными заявками в размере A, в то время как социальное поведение диктует выбор максимальных заявок для обоих участников. Неправдоподобность прогнозирования равновесия Нэша основывается на том, что даже малые значения штрафа/вознаграждения могут привести к результату минимизирующему индивидуальный выигрыш игроков. Действительно, равновесие Нэша не зависит от размера штрафа, однако интуиция подсказывает нам, что поведение

игроков должно быть близким к равновесию Нэша только при высоких значениях штрафа и быть близким к социальному поведению при уменьшении штрафа практически до 0.

Данное предположение интуиции подтвердили лабораторные эксперименты, проведенные в Вер-джинском университете [2] и повторенные в лаборатории экспериментальной экономики МФТИ. Поведение, близкое к равновесию Нэша, наблюдалось в лабораторных экспериментах, только при крупных штрафах Д. При малых штрафах участники эксперимента тяготели к максимальным заявкам В. Этот эффект зависимости исхода игры ДП от величины штрафа объясним с помощью модификации принципа Нэша о наилучшем ответе (см. пример 2).

Для объяснения подобного поведения вводится понятие модифицированного равновесия, которое основано на предположении, что игрок имеет неточную информацию о стратегиях других игроков. Для этого модифицируется функция выигрыша: в действия всех других игроков добавляется случайная «ошибка», а сам игрок ищет оптимальный ответ на модифицированные действия других игроков, зная, что другие игроки поступают так же. Неподвижная точка подобного процесса будет равновесием в модифицированной игре. Если же уменьшать ошибку, то набор стратегий, к которому сойдутся равновесия в модифицированных играх, будем называть модифицированным равновесием.

Модифицированное равновесие возникает на стыке теории игр и экспериментальной экономики наряду с другими вариантами равновесия, например: агрегированным равновесием [3], квантиль-ным равновесием [4]. Такие равновесия можно назвать поведенческими равновесиями, поскольку в них содержатся предположения об отступлениях от классического принципа рациональности в поведении участника игры.

Идея о добавление ошибки в действия игроков использовалась еще в работах Селтена [5] и

Майерсона [6], где были введены понятия Proper Equilibrium и Perfect Equilibrium. Модифицированное равновесие является в некотором смысле обобщением Proper Equilibrium на непрерывный случай, когда действия игроков принадлежат выпуклым компактам. Однако нас интересует не само модифицированное равновесие, а равновесное поведение игроков в модифицированных играх — играх с ненулевыми «ошибками». Оно сравнивается с данными экспериментов, для этого используется модель, в которой ошибка нормально распределена и несмещена, а дисперсия принята параметром. По экспериментальным данным подбиралось значение дисперсии для модифицированной игры, и равновесие в модифицированной игре сравнивалось с экспериментальными данными.

В работе проведено сравнение результатов моделирования с данными экспериментов, установлены свойства модифицированного равновесия: достаточные условия того, что модифицированное равновесие является равновесием Нэша, и достаточные условия существования модифицированного равновесия.

II. Модифицированное равновесие для игр с полной информацией

Рассмотрим игры в нормальной форме G = {N,(Ci)i£N,(иг)ieN}, в которых множества чистых стратегий Ci — непустые выпуклые компактные подмножества конечномерных евклидовых пространств.

Будем считать, что каждый игрок знает стратегии остальных игроков с точностью до некоторой ошибки. Обозначим ошибки вектором случайных величин £ = (£)i^N. Будем считать, что каждый игрок i предполагает, что все остальные игроки j = i реализует действие Cj + £j. Тогда модифицированными функциями выигрыша назовем u\(ci,c-i) = E— щ(ci,c-i + £—), где математическое ожидание берется по ошибкам £-i остальных игроков. Модифицированной игрой назовем игру G^ = {N,(Ci)i^N,(u\ )i^N}, которая получается из игры G заменой функций выигрыша модифицированными функциями выигрыша.

Определение. Пусть имеется последовательность случайных ошибок £m = (£m )^n , для которых для V е > 0 вероятность P(|£m| > е) ^ 0 при m ^ ж, для каждого m существует равновесие Нэша Sm в модифицированной игре G^m, и последовательность равновесий {Sm} сходится, тогда ее предел S будем называть модифицированным равновесием.

Применим данное определение к примеру 1.

Пример 2. Модифицированная Дилемма путешественника. В исходной игре равновесие Нэша (A; A). Равновесие Нэша в модифицированной игре9 (c; c), определяется следующим образом:

+ СЮ

если 2К/(0)+ X /(еЦе ^ 1/2, где /(е) —

В-А

плотность распределения ошибки, то с — решение (следующего) уравнения:

+ СЮ

2К/(0)+ Г /(е)де =1/2;

В-с

• в противном случае с = А.

Отметим, что заявки игроков с в равновесие модифицированной игры убывают с ростом К.

Были проведены эксперименты в лаборатории МФТИ со студентами, повторяющие эксперименты, проведенные в Верджинском университете. Для проведения экспериментов была написана программа для системы Z-tree [7], разработанной в университете Цюриха. Результаты проведенных экспериментов подтверждают на качественном уровне актуальность модифицированного равновесия. В экспериментах брались следующие параметры: А = 80; В = 200; К е {5; 10; 20; 25; 50; 80}. Для каждого значения штрафа рассчитывалось равновесие в модифицированной игре. Дисперсия для нормально распределенной ошибки подбиралась максимизацией функции правдоподобия для каждого значения штрафа К. Результаты экспериментов представлены на рис. 1, из которого видно, что при маленьких значениях штрафа К е {5; 10; 20; 25} действия игроков сильно отличаются от равновесия Нэша, а равновесие в модифицированной игре более корректно описывает поведение игроков, близкое к социальному поведению.

Рис. 1. Среднее значение заявок

На рис. 2, 3, 4 приведены полученные распределения заявок с добавлением «ошибки» в модифицированных играх и распределение заявок игроков в лабораторных экспериментах. Как видно из графиков, поведение игроков сильно различается в играх с разными значениями параметра К, хотя

9 Более подробно поиск модифицированного равновесия рассматривается ниже в разделе 3.

равновесие Нэша для исходной игры не зависит от величины штрафа К. Модифицированное равновесие позволяет описать данную зависимость. С увеличением К равновесия в модифицированных играх уменьшаются так же, как и средние действия игроков.

Данный пример и ряд других значимых для приложений игровых моделей, которые планируется продемонстрировать в следующих публикациях, подтверждают ценность модифицированного равновесия и позволяют перейти к исследованию введенной модели и ее свойств.

Рис. 2. Распределение плотности вероятности заявок для Я = 10

1 1 Экспериментальное распределение Равновесие в модифицированной игре

-

1, 1

1 1 1П

Рис. 3. Распределение плотности вероятности заявок для Я = 25

III. Модифицированное равновесие и равновесие Нэша

Достаточные условия того, что модифицированное равновесие является равновесием Нэша, дает

Теорема 1. Если в игре С = {N,(01 )ieN,(щ)ieN} для функций выигрыша каждого игрока щ (х) выполнены (следующие два) условия:

1. V х е (0i)ieN функция выигрыша щ(х) полунепрерывна сверху,

2. V х е (0i)ieN и V е > 0, найдет-

ся т е 0i такой, что функция выигрыша 2-го игрока непрерывна в точке (т,х—)и|щ(х) - щ(т,х—)| < е,

то модифицированное равновесие будет равновесием Нэша.

Доказательство теоремы приведено в Приложении VI. 1.

Рис. 4. Распределение плотности вероятности заявок для Я = 80

Покажем, что оба условия существенны. Вначале рассмотрим игру двух лиц с полной информацией, для которой не выполнено первое условие теоремы (функции выигрыша не везде непрерывны сверху), и в этой игре существует модифицированное равновесие, но оно не является равновесием Нэша:

Пример 3. Двойной аукцион [8] без ничьих. Игроки (покупатель (В) и продавец (5)) одновременно подают заявки — число qi е [0; 1]. Функции выигрышей участников определяются так:

ив =

ив =

0,

2 ' 0,

если qs ^ qв, если qs < qв,

если qs > qв, если qs < qв.

В этой игре существует единственное равновесие Нэша qS = 1, qB =0, однако имеется и модифицированное равновесие qm = q7в =1/2.

Рассмотрим пример, когда первое условие про непрерывность функций выигрыша игроков выполнено, но не выполнено второе.

Пример 4. Почти совпадающие интересы. Два игрока 1 и 2 выбирают действия: а е К. Функции выигрышей:

— (а\ + а|), если ах = 1,а2 = 0 1, если ах = 1,а2 = 0 и2 (ах ,а2) = —(а\ + а‘2)

В этой игре существует единственное равновесие Нэша а\ = 1, а2^ = 0 и имеется единственное модифицированное равновесие ам = 0, ам = 0.

Поиск равновесия Нэша опустим, найдем модифицированное равновесие. Возьмем некоторую

их (ах,а2) =

ошибку £ = (£1 ,£2), непрерывные функции плотности вероятности распределения для £1 и £2: /1 и /2 соответственно. Найдем модифицированные функции выигрыша:

Щх(ах,а2) = их(ах,а2 + т) • /2(т)^т =

(а2 + т)2 • /2 (т)йт

Для второго игрока модифицированная функция выигрыша получается такой же. Найдем теперь равновесие в модифицированной игре. Пусть а1, а| — равновесие в модифицированной игре, тогда

и1(а1,а2) ^ шаха их(а,а2) =

= шаха (—а2 — $(а| + т)2^ • /2(т)^т и2(а1,а|) ^ шахь^(а^Ь) =

= шахь ^—Ь2 — X(а1 + т)2^ • /х(т)^т

откуда получаем, что единственное равновесие в модифицированной игре: а1 = а| = 0.

Получается, что во всех модифицированных играх существует только одно равновесие 0,а| = 0. Значит, модифицированное рав-

0 и

х

м

новесие тоже единственное и такое же: ах ам = 0, и оно отлично от равновесия Нэша а* = 1, а* =0.

IV. Существование модифицированного равновесия

Утверждение 1. Если существует последовательность случайных ошибок £п = (£n)i£N, для которых матожидание (Ишп^то Е£п = 0) и дисперсия (Ишп^то В£п = 0) стремятся к нулю, и для V п существует равновесие Нэша 8п в модифицированной игре С, и последовательность равновесий {8п} сходится, то ее предел 8 будет модифицированным равновесием.

Доказательство. Легко проверить, что Vе > 0 ЗN такой, что V п > N выполняется

Р(|£п| > е) <

де"

0, то есть выполнены усло-

{е/2У-

вия определения модифицированного равновесия.

Утверждение 2. Если существует последовательность случайных ошибок £п = (£n)ieN, для которых матожидание и дисперсия стремятся к нулю, и для каждого £п существует равновесие Нэша в модифицированной игре & , то тогда в игре С существует модифицированное равновесие.

Доказательство. Множества действий О\ — компакты, значит, из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность к, которая имеет предел 8, тогда для последовательности £пк будет верно, что Ишд^то Е£пк = 0 и Б£пк = 0. Значит, по

предыдущему утверждению, предел 8 будет модифицированным равновесием в игре С.

Докажем теорему существования модифицированного равновесия для выпуклых игр.

Теорема 2. Если в игре С = {N,(Ci)ieN,(щ).£N}, функции выигрыша щ(с) непрерывны по с и вогнуты по с., то тогда в каждой модифицированной игре С « существует равновесие Нэша, а в игре С существует модифицированное равновесие.

Доказательство. Нетрудно показать, что функции и(с.,с-.) будут вогнуты по с., а поэтому в модифицированной игре будет существовать равновесие Нэша. Поскольку это верно для любой модифицированной игры, то по утверждению 2 в игре существует модифицированное равновесие.

Теорема 3. Достаточное условие того, что равновесие Нэша является модифицированным равновесием. Если с* = (с*;...; с2) — равновесие Нэша в игре С = {N,(0 С Я).^,(щ)^^}, и для V г е N функции выигрыша щ(с) являются достаточно гладкими в точке с* и матрица

и

д2щ( с*)

дсг-дсп

невырожденная и

д2

»(с*)

< 0,

дсъ-дсъ

то с* будет модифицированным равновесием.

Доказательство теоремы приведено в приложении VI.2.

Приведем пример игры, в которой есть равновесие Нэша, но нет модифицированного равновесия. Для данной игры не выполнены условия предыдущей теоремы, а именно матрица

и

д2щ(с*)

дсл-дсп

вырожденная.

Пример 5. Игра двух лиц, С\ = Я.

и1(сьс2) = —с1 + с2 • сь

и2 (с1 ,с2) = —с2 + (с1 + 2) • с2.

В этой игре равновесие Нэша (2; 2), но для любой несмещенной ошибки в модифицированной игре нет равновесия Нэша в чистых стратегиях, а значит, и нет модифицированного равновесия.

В данной игре оптимальные ответы: с* = 1/2с2, с2 = 1/2сх + 1. Они имеют единственную точку пересечения (2; 2), в которой их графики касаются друг друга.

Если же добавить несмещенную ошибку £^=0 и рассмотреть модифицированную игру, то оптимальный ответ первого игрока изменится: с* = 1/2(с2 + &), а второго игрока останется тем же с2 = 1/2сх + 1. В результате оптимальные ответы перестают пересекаться даже при маленьких ошибках, то есть в любой модифицированной игре не существует равновесия Нэша, а значит, в самой игре нет модифицированного равновесия.

Данный пример рассматривался для неограниченных заявок, если же множества действий С = Пс. взять ограниченными, то в игре появится еще одно равновесие Нэша на границе С. В игре с ограниченными заявками уже будет существовать модифицированное равновесие, которое выбирает из двух равновесий Нэша новое равновесие Нэша. Старое же равновесие Нэша (2; 2) все равно не будет модифицированным равновесием.

2

а

х

V. Нахождение модифицированного равновесия для игры Дилемма путешественника (Traveler’s dilemma)

Описание игры приводится в примере 1. Найдем равновесие в модифицированной игре, для этого возьмем некоторую несмещенную ошибку £ с функцией плотности /. Запишем модифицированные функции выигрыша:

ui(ci,c2) =

С1—С2 B— С2

(c2 + е — R) • f(e)de + (ci + R) • fe(e)de.

A — C2 С1- С2

Будем искать максимум, для этого продифференцируем функции выигрыша и найдем точку, в которой первая производная равняется 0, легко можно показать, что максимум достигается именно в этой точке.

0

дг/,і(сьс2)

дел

= (c1 — R) ■ fl(c1 — c2) +

+

B— C2

— (c1 + R) ■ fl(c1 — c2) + ІІ(єМє

+ co

fl(є)dє — fi(є)dє — 2R ■ fi(ci — c2).

B -C2

Аналогичное уравнение для C2: dU2(ci ,C2)

dcn

+ CO

+ CO

fl(є)dє — fi^)^ — 2R ■ fl(c2 — c1).

B -Cl

Будем дальше искать симметричное решение с і = С2. Можно показать, что данное решение единственное для симметричной функции (например, нормальное распределение).

+ СО

+ СО

fl(є)dє — fi(є)dє — 2R ■ fi(0) = 0,

B -Cl

+ С^

2К • /(0)+ [ кШе = 1/2.

в— С1

При уменьшении ошибки равновесия в модифицированной игре будут смещаться к точке сх = с2 = А. Начиная с некоторой ошибки, для которой

+с^

2К • /(0)+ [ кШе = 1/2

в-А

уравнение не будет иметь решений и равновесием в модифицированных играх будет равновесие Нэша для исходной игры сх = с2 = А.

VI. Приложение

VI.!. Достаточные условия того, что модифицированное равновесие — равновесие Нэша

Для доказательства теоремы потребуются следующие две леммы:

Лемма 1. Если в игре С = {N,(0.).еN,(щ)^N} функция выигрыша г-го игрока и.(х) полунепрерывна сверху в точке х е (С.).^ и ограничена на (с.)i£N, тогда для V 6 > 0 будут существовать а > 0 и е > 0, такие что для любой ошибки £ : Р(|£— .1 > а) < е с непрерывной функцией плотности распределения / и для V у е (С.)i£N : р(х,у) < а выполняется:

и; (у) < и. (х) + 6,

где и1? (у) — модифицированная функция выигрыша с ошибкой £.

Доказательство. и.(х) — полунепрерывна сверху в точке х, то по определению 3 в, такая

что V г : р{х,г) < /3 выполняется щ(г) < щ{х) + |.

Рассмотрим левую часть неравенства, которое нужно доказать:

и\(у) = и; (у) — и.(х) +и.(х) =

(и.(у.,у—. + т) — и.(х)) • /(т)3,т + и.(х) <

It ІКв/2

(ui(yi,y—i + т) — Ui(x)) ■ fl i (т)dт+

It ІКв/2

+

(ui(yi,y—i + т) — Ui(x)) ■ fl i(т)dт.

(Ui(yi,y—i + т) — Ui(x)

It І>в/2

Рассмотрим первый интеграл из правой части неравенства:

(Ui(yi,y—i + т) — Ui(x)) ■ fl-i(т)dт.

It ІКв/2 Возьмем a = f, тогда

в

р(х,Ы,У-г + т)) < р(х,у) + \т\ < а + - = /З,

вспоминая условие полунепрерывности, получаем

иі{УііУ-і + т) < щ(х) + І.

(Ui(yi,y—i + т) — Ui(x)) ■ fl i (т)dт <

It ІКв/2

< S/2

fl i (т)d^ ^ S/2,

І Кв/2

Cl C2

Cl C2

C2 Cl

o

так как /^-€(•) ^ 0 и / /^-€(т)йт ^ 1.

I Т\ <]3/2

Рассмотрим второй интеграл из правой части исходного неравенства:

('щ(Уг,У-г + Т) - щ(х)) ■ /5 *(т)йт <

Г I >в/2

< вир(пі(уі,у-і + т) - Пі(х))

/(т )с!т =

I т | >в/2

= вир(иі(уі,у-і + т) - щ(х)) ■ Р(|£-I > в/2) <

т

< вир(щ(уі,у-і + т) - Пі(х)) ■ є.

Если взять є = лучаем

____________(5/2__________

яир Т(щ(уі,у-і+т)-щ(:х))

то тогда по-

(и.(у.,у—. + т) — и.(х)) • /; *(т)3,т < 6/2.

\ Т\ >в/2

Возвращаясь к первоначальному неравенству, получаем, что и;(у) < и.(х) + 6.

Лемма 2. Если в игре С = {N,(0.).еN,(и.).еN} функция выигрыша г-го игрока непрерывна в точке х е (Ci)ieN и ограничена на (С.).^, тогда для

V 6 > 0 будут существовать а > 0 и е > 0, такие что для любой ошибки £ : Р(|£—.1 > а) < е с непрерывной функцией плотности распределения /; и для V у е (Ci)ieN : р(х,у) < а выполняется:

|и.(х) — и1 (у)| < 6,

где и;(у) — модифицированная функция выигрыша с ошибкой £

Доказательство. Легко показать что неравенство выполнено. Используя лемму 1 и тот факт, что если функция непрерывна в точке, то она в этой точке полунепрерывна сверху и снизу.

Следствие. В точках непрерывности значения модифицированных функций выигрыша с уменьшением ошибки стремятся к значению функции выигрыша. Более формально: если функция выигрыша г -го игрока непрерывна в точке х е (С.).^ и ограничена на (С.).^, тогда ИшР( \; \ )^о и; (х) = и. (х) .

Теорема. Если в игре С = {N,(Ci)ieN,(и.).^} для функций выигрыша каждого игрока и. (х) выполнены следующие два условия:

1. V х е (С.)i£N функция выигрыша и.(х) полунепрерывна сверху,

2. V х е (С.)i£N и V е > 0, найдется т е С. такой что функция выигрыша г-го игрока непрерывна в точке

(т,х-і)и|иі(х) - щ(т,х-

< є,

то модифицированное равновесие будет равновесием Нэша.

Доказательство. Будем доказывать от противного. Пусть условие теоремы не верно, то есть выполнены следующие три условия:

1. Существует последовательность ошибок £п, удовлетворяющих условию из определения модифицированного равновесия: V м > 0

Ишп^то Р(|£п | > м) = 0.

2. Для этой последовательности существует модифицированное равновесие 5 = Ишп^то 5п, где 5п — равновесие Нэша в модифицированной игре с ошибкой £п.

3. Модифицированное равновесие 5 не является равновесием Нэша в игре С, то есть для некоторого игрока г е N существует стратегия т е С., такая что и.(5.,5—.) < щ(т,Б—.).

Определим е, таким что 3е = и.(т,5—.)—и.(5.,5—.).

1. Рассмотрим точку (т,Б —.). По второму условию на функцию и.(х) из условий теоремы существует а е С. такая, что и.(а,5—.) непрерывна в точке (а,Б —.) и выполнено следующее условие: |иi(т,S—i) — иi(а,S—i)| < е.

В точке (а,5—.) выполнены условия леммы 2, то есть получаем, что существуют в > 0 и 61 > 0 такие, что для V х : р(х,(а,5—.)) < в и для V п, для которых верно Р(|£!!.| > в) ^ Р(|£п| > в) < 61, выполняется:

їй5 (х) - щ(а,§-і)І < є.

Следовательно:

и (х) - Пі(т,в-і)І < и (х) - щ(а,в-і)|+ + |иі(т,5_і) - щ(а,Б-і)| < 2є.

(1)

3 N1 такой, что это условие выполнено для

Vn > N1, так как Ишп^то Р(|£п| > в) = 0.

1. Рассмотрим точку . В ней выполнены условия леммы 1, то есть существует ^ > 0 и 62 > 0 такие, что для V х : р(х,Б) < ^ и для V п, для которых верно Р(|— > 1) ^ Р(|£п| > 1) < 62, выполняется:

и5 (х) < иі(5) + є.

(2)

3 N2 такой, что это условие выполнено для Vn > N2, так как 11ш„^ю Р(|£п| > ^) = 0.

3 N3 такой, что V п ^ N3 выполнено р(Б, 5п) < п = шш(в,7), так как й1 модифицированное равновесие и й1 = Ишп^то 5п.

1. Возьмем N = шax(N1,N2,N3), получаем что V п ^ ^ N3 выполняется

р(5, 5п) < п < в.

т

т

р((а,5—.), (а,5—.)) < р(5,51п) < п < в и

N * ^ N1, значит, выполнены условия для неравенства (1) при х = (а,5п.), то есть

(а5—) — и.(т,5—.)| < 2е, откуда следует

~ /-гг

щ(т5—.) < и; (а5—) + 2е.

5п является равновесием Нэша для модифицированной игры, значит,

иТ (а^) < иТ (5п).

Подставив в предыдущее неравенство, получаем

и.(т,5—.) < иГ(а,5—.) + 2е < иГ(5п) + 2е.

Учтем, что р(5п,5) < п ^ 7, и воспользуемся неравенством (2) при х = 5п:

/-гг

и^ (Бп) <щ(Б) +е.

Подставив в предыдущее неравенство, получаем

и.(т,5—.) < и.(5) + 3е.

Мы получили противоречие, так как е мы определили как 3е = и.(т,5—.) — и.(5.,5—.). Значит, утверждение теоремы верно.

"1.2. Достаточное условие того, что равновесие Нэша является модифицированным равновесием

Теорема. Если с* — равновесие Нэша в игре

С = {N,(0. С Я).^, (иi)ieN}, и для V г е N функции выигрыша и.(с) являются достаточно

д2щ(с*)

дСг-дСп

гладкими в точке с* и матрица и =

д2и*(с*) п * с:

невырожденная, и дс< 0, то с оудет модн-фицированным равновесием.

Доказательство. Разложим в ряд Тейлора следующие функции /г (с) = в окрвСТНО-

сти точки с* . Для простоты дальнейших рассуждений без уменьшения общности будем полагать, что с* = 0. Тогда V с : |с| <6 выполнено:

/4(с) = 6(0) + ^И-С1 +

д£(0)

дс[

^N/{1} 1

+

I ^ Rjk(cj ,ск) • с^ ck,

3,кеМ

где Кк (х) | < эир \с \ <

д2Ыс)

А, а /. (0) = 0,

до^дск

так как с* = 0 — равновесие Нэша. Из того, что /.(с) ограничены, следует, что 3 В :

V с е (С. )^, V г е N /.(с) < В.

Возьмем некоторое 0 < е < 6 и некоторую несмещенную ошибку £ : Р(|£| > е) = а. Для краткости записи добавим к функции выигрыша

и. ошибку для г-го игрока £., равную нулю, и запишем производные модифицированных функций выигрыша:

ди;(с) д

.(с.,с—. + £—.) • /;-*(£—.)Л£— =

д

"г (г/ -г / I Ч / ) ' ./'с; / )3<, ; -\- I

Х (cj + £3 )(1 — а)+ 1 =

_ \ ' д/г(0)

дел 3^ 3

где обозначено

сз (1 — а)+ Р. (с,£,а,е)(1 — а),

3,кеМ

Запишем в матричной форме: = (и^с+Е)(1—а),

где используются обозначение и

Р = (Р (c,£,а,е))ieN.

9 МО)

дс^

i,j£N'

1. Покажем, что уравнение и • с + Е = 0 имеет корень в некоторой окрестности в :

0 < в < 6 точки 0. По условию |и| — невырожденная, и, значит, существует обратная матрица и—1 и уравнение разрешимо относительно с. Из системы уравнений находим

с = —и—1 • Е(с).

Покажем, что отображение — и—1 • Е(с,£) переводит окрестность в точки 0 в себя. Для этого рассмотрим вектор Е(с) более подробно и оценим его по модулю:

'у (с3 + С3 ,ск + £к )х

3,кеМ

Х (с3 + С3)(ск + Ск) +

1а

<

^ N ■ шах

ieN

^1(с3 + ^)(ск + 601 + ч------

1а

j,k£N

< N • N2 • А • (в + е)2 + ва).

Если взять е = /3 ^ 8-1уз- 41 а ^ N •’в > т0 тогДа получим, что

|и-1-Е(с,£)| < 1Г(с^1 <\А'МЗ- № + £)2 + МВ«1

<

<

|и| |и|

<

и

= в.

Мы получили, что отображение —и—1 • Е(с,£) — непрерывное отображение в окрестности точки 0 в себя, значит, оно имеет неподвижную точку, то есть и • с + Е = 0 имеет решение.

1

1. Покажем, что найденное решение с является равновесием Нэша в модифицированной игре.

д2

dcidci

д2Щ{с) = dcidci

i(ci,c-i + £-i) • fe-i (£-i)d£-i + J-2 =

\ 5-1 \ <E

дЩ

dci

+ X/(Rij (...) +

jEN

+Rji(...)) • (cj + £j) )d£-i + ^2 ^

dcj

jEN

гг дД(0) д2и*(0) „ п

По условию ^ \ ; = дс дс' < и, значит, можно взять в и е такими, что будет выполнено

9 МО)

9ci

так же можно

9 hi о)

9ci

. Полу-

EjeN & ■ {/3 + е)(1 - а) < 2 взять а такую, что ^ ^

д2 г^(е) п

чаем, что деде < U, то есть найденное решение является равновесием Нэша.

Литература

1. 5asu A'. The Traveler’s Dilemma: Paradoxes of Rationality in Game Theory // American Economic Review. — 1994. — N 84. — P. 391-395.

2. Capra M., Goeree J.K., Gomez R, Holt C.A. Anomalous Behavior in a Traveler’s Dilemma // American Economic Review. — 1999. — N 89. — P. 678-690.

3. Голубцов А.А., Меньшиков И.С. Агрегированное равновесие лабораторных сетевых рынков. — М.: ВЦ РАН, 2007.

4. Mc Kelvey R, Palfrey T. Quantal response equilibria in normal form games // Games Economic Behavior. — 1995. — N 10. — P. 6-38.

5. Selten R. Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games // International Journal of Game Theory. — 1975. — N 4. — P. 25-55.

6. Myerson R. Refinements of the Nash equilibrium concept // International Journal of Game Theory. — 1978. — N 7. — P. 73-80.

7. Fischbacher U. z-Tree — Zurich Toolbox for Readymade Economic Experiments // Experimenter’s Manual. — Working Paper Nr. 21, Institute for Empirical Research in Economics, University of Zurich. — 1999.

8. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. — М.: МЗ-Пресс, 2007.

Поступила в редакцию 06.09.2010.