МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА - КАСАТЕЛЬНЫХ ПАРАБОЛ НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2023

• Математика. Механика. Информатика •

Вып. 2 (61)

«Математика»

Научная статья УДК 519.6: 532.5

DOI: 10.17072/1993-0550-2023-2-5-15

Модифицированная формула Ньютона - касательных парабол на числовой оси

Н.К. Волосова1, К.А. Волосов2, А.К. Волосова2, М.И Карлов3, Д.Ф. Пастухов4, Ю.Ф. Пастухов4

Московский государственный технический университет МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2 Российский университет транспорта (МИИТ), Москва, Россия ^Московский физико-технический университет (МФТИ), Москва, Россия 4Полоцкий государственный университет, Новополоцк, Республика Беларусь

Автор, ответственный за переписку: Дмитрий Феликсович Пастухов, dmitrij.pastuhov@mail.ru

Аннотация. В работе предложена модифицированная формула Ньютона - касательных парабол на действительной оси. Аналитическая формула содержит квадратный корень (радикал) и применима для кратности корня не выше двух. Показано, что для однократного корня формула с радикалом имеет третий порядок скорости сходимости невязки к нулю, в то время формула Ньютона сходится со вторым порядком скорости. Для кратности корня два порядок скорости для формулы с радикалом равен двум. Формула с радикалом заменена рядом из одиннадцати слагаемых, то есть, продолжена на числовую ось при любой кратности корня. Для корня кратности один предложена итерационная формула из одиннадцати слагаемых. Для кратности корня два и более предложен итерационный алгоритм с параметром 0^<1. На первом этапе до начала итерационного цикла считается параметр q всего один раз, который зависит только от кратности корня m. На втором этапе в цикле работает итерационная формула с фиксированным найденным параметром q со вторым порядком скорости невязки. На примерах показано, что новая формула имеет меньшее число итераций, чем в формуле Ньютона и в модифицированной формуле Ньютона для кратности корня один. Ускоренный алгоритм со вторым порядком скорости невязки эффективен в более широкой области, чем модифицированная формула Ньютона. Итерационный алгоритм применим для функции дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке Ь] и принимающей противоположные знаки на его концах (достаточное условие локализации на отрезке хотя бы одного корня).

Ключевые слова: численные методы; нелинейные уравнения; итерационный метод

Для цитирования: Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю. Ф. Модифицированная формула Ньютона - касательных парабол на числовой оси // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023. Вып. 2(61). С. 5-15. DOI: 10.17072/1993-0550-2023-2-5-15.

Статья поступила в редакцию 11.04.2023; одобрена после рецензирования 10.05.2023; принята к публикации 17.06.2023.

Modified Newton Formula of Tangent Parabolas on the Number Axis

N.K. Volosova1, K.A. Volosov2, A.K. Volosova2, M.I. Karlov3, D.F. Pastuhov4, Yu.F. Pastuhov4

Эта работа О 2023 Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. под лицензией СС BY 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

«Mathematics»

Research article

:Bauman Moscow State Technical University (BMSTU), Moscow, Russia 2Russian University of Transport (RUT MIIT); Moscow, Russia 3Moscow University of Physics and Technology (MIPT), Moscow, Russia 4Polotsk State University, Novopolotsk, Republic of Belarus

Abstract. The paper proposes a modified Newton's formula - tangent parabolas on the real axis. The analytical formula contains a square root (radical) and is applicable for the multiplicity of the root no more than two. It is shown that for a single root the formula with a radical has the third order of the rate of convergence of the residual to zero, while Newton's formula converges with the second order of the rate. For a root multiplicity of two, the order of speed for a formula with a radical is two. The formula with the radical is replaced by a series of eleven terms, that is, it is extended to the numerical axis for any multiplicity of the root. For a root of multiplicity one, an iterative formula of eleven terms is proposed. For the multiplicity of the root two or more, an iterative algorithm with the parameter 0<q<l is proposed. At the first stage, before the start of the iterative cycle, the parameter q is calculated only once, which depends only on the multiplicity of the root. At the second stage, the iterative formula with the parameter q with the second order of the discrepancy rate works in the cycle. The examples show that the new formula has a smaller number of iterations than in the Newton formula and in the modified Newton formula for the multiplicity of the root one. The accelerated algorithm with the second order of the residual rate is efficient over a wider area than the modified Newton formula. The iterative algorithm is applicable to a function that is twice continuously differentiable on the interval [a, b] and takes opposite signs at its ends.

Keywords: numerical methods; nonlinear equations; iterative method

For citation: Volosova N. K., Volosov K. A., Volosova A. K., Karlov M. I., Pastuhov D. F., Pastuhov Yu. F. Modified Newton Formula of Tangent Parabolas on the Number Axis. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2023;2(61):5-15. (In Russ.). DOI: 10.17072/1993-0550-2023-2-5-15.

The article was submitted 11.04.2023; approved after reviewing 10.05.2023; accepted for publication 17.06.2023.

Введение

Итерационная формула касательных Ньютона для численного решения нелинейных уравнений содержится во всех учебниках по численным методам [1], [2]. Также эта формула используется профессором В.М. Тихомировым для поиска точек экстремума в конечномерных задачах на безусловный экстремум [3]. Следовательно, алгоритм может косвенно использоваться и в сложных задачах на экстремум, например в задаче Л.С. Понт-рягина [4], [5]. В случае кратного корня нелинейного уравнения порядок скорости сходимости невязки для итерационной формулы Ньютона падает со второго до первого [1], [2].

Авторы работы [1] предложили модифицированную формулу касательных Ньютона.

В данной работе также получена модифицированная формула Ньютона касательных парабол. Аналитическая формула (11) затем обобщена для аргумента ъ на всю числовую прямую и имеет вид ряда (18) с одиннадцатью слагаемыми. Показано, что новая формула (18) имеет те же свойства, что и аналитическая формула касательных парабол (11), но требует меньшее число итераций, чем форму-

ла Ньютона и модифицированная формула Ньютона для поиска корня кратности m=1 с заданной точностью. Для кратности корня m>2 нами предложен алгоритм (21), (22) который, как и модифицированная формула Ньютона (23), находит корень с двойной точностью за одну итерацию. Алгоритм (21), (22) работает со вторым порядком скорости в более широкой области принадлежности корня и начальной итерации, чем простая модифицированная формула Ньютона (23) для кратного корня.

Постановка задачи

Рассмотрим итерационную формулу касательных Ньютона (2) [1] для отыскания корней функции одной действительной переменной (1):

/(х) = 0, X е Я, /(X) е Я ; (1)

*„+1 = хп , « = 0,1,2,... . (2)

Ах)

Начальная итерация х0:

хо е [а, Ь], /(а)/(Ь) < 0, /(х) е С\а, Ь] принадлежит отрезку с изолированным корнем х. По определению корня всегда / (х) = 0.

Кроме того, производные порядка т-1 включительно в точке корня х. могут быть равны

нулю: f{k) (x) = 0, k = 0, m -1, тогда функция f (x) представима в виде

* \ /к

(m-1) I * | f(m)

fl ) I x I f{m) I x

f(x) = fIx| + (x-X)m-1 ^(x-x)m +

да r(m+k) / * \ * * да f(>

-Ix|(x-x)m+k = (x-x)m Y^-1 x|(x-x)k =

j(m+k)!I j( ) ( ) j(m+k)!I j( )

* да Wm+k) / * \ * *

= (x - *)m j-f-— I * |(x - *)k = (x - *)m p(x),

k=0 (m + k)! ^ )

да r(m+k) /*\ * * -f(m)f*\ *

p(x) = j--1 x |(x - x)k , p(x) = f— Ix 1 * 0, f (m)(x) * 0 .

P ) j(m + k)!I )( ) P ) m! I ) f ( )

Тогда про корень x говорят, что он имеет кратность т. При выводе формулы (2) в последовательности точек касания (xn, f(xn)) графика функции (x, f(x)) предполагалось, что касательное множество точек - прямая y( x) = fn + (x - xn) fn имеет два очевидных условия согласования: y(xn) = fn, y (xn) = f n.

Идея данной работы заключается в использовании касательного множества точек с тремя условиями согласования (метод "касательных парабол"):

y(x) = fn + (x - xn)fn + (x - Xn2)2 fn о (4)

y(xn ) = fn , У (xn ) = fn, У (xn ) = f .

Следующую точку итерации найдем из условия пересечения действительной оси и касательной параболы (4), обозначим

А n = xn+1 - xn ,

. 2 Г"

y(xn+i) = 0 о 0 = fn + а nfn + ~f о

оА„7J + 2Аf + 2fn = 0 . (5) Последнее уравнение имеет два корня:

- fn ±yl(fn )2 - 2 ff

* да Wm+k) i *

А я =-

fn

p, если существует предел

0 < lim

n^да К \p

= C < +да .

Формулу (6) перепишем в эквивалентном виде (8):

_ ,- fn W(fn )2 - 2fnf

fn

x2,n+1 x2,n

fn +f - 2fnfn fn

. (8)

fn * 0

В формулах (8) из правой и левой части

вычтем значение корня х, обозначим раз* *

ность 81п = х1п - х, 32п = х2,п - х, формулы (8) перейдут в формулы невязок:

°1,n+1 = °1,n +-

- fn +f - 2fnfn

fn

А — А I fn V(fn) 2fnfn ,-'' „

°2,n+1 _ °2,n + X' , Jn * 0

. (9)

fn

В последних формулах (9) вынесем модуль из корня, получим

°1,n+1 = °1,n +■

fn + | ¿[У 1 - 2fnf"n{fn )2

fn

°1,n -J А1 - 2fn/;/(fn )21 fn I * 0, fn > 0 , (10a)

° = ° + -

2,n+1 2,n

-fn -| /п\т1 1 - 2/;/;/(/П )2

fn

°2,n-f[1 А 1 -I/X/)2) \f\ * 0,fn <0 . (106)

fn* 0 . (6)

Определение 1 [1]. Говорят, что бесконечно малая числовая последовательность 5п ^ 0 сходится к нулю с порядком скорости

/п

Таким образом, две формулы (10а) с положительным значением производной

функции /П > 0 и (106) с отрицательным значением производной /П < 0 объединим в одну итерационную формулу (11) без индекса 1 или 2, считая при преобразованиях формулы

(11) для простоты /П > 0 .

^=8п-/- (1А1 - 2/п/:/(/п)2} |/;|* 0. (11)

Обозначим в формуле (1) т кратность

х корня, тогда по определению кратности можно записать

(7)

Если в формуле (6) выражение (f)2 - 2 ff < 0 , то А; будет ко м плексным.

f (x) = |x - xj p(x),p(x) * 0, m > 1 .

Найдем первую и вторую производные от функции f (x):

m

/(х) = т х-х I <х)+1 х-х |р(х),р(х)Ф 0

*\т-2 / #\т-1

' (х) = т(т—1)1 х - х| <х)+2т| х - х| р (х)+1 х - х| р (х)

(12)

Необходимо переписать формулы (11) в итерационном виде:

/ * \т

/(хп)=/п =к - х I <(хп)=з:<п ( (13)

п)=кр+5:<п, (13а)

/п = :\хп - х| <(хп ) + 1 хп - х| < (х,

■■ 8 - :: <2 1- 23<:(:- 1)ЗГ<п /(К<)

8п+1 — 8п

п—« (: -1)

1 1 -2(:-1)/:) .

Преобразуем последнюю формулу

К+1 — К -

п—«

К

(: -1)

1 -^ 1 - 2(:-1)/: ) =

= 8

1 —

2(: -1) / :

= 8

(: -1

1 --

- 2(: -1) / :

2

+71

- 2(: -1) / :)

8п+1 — 8п п—«

1—

1 -

V 2

1

(1 + 71-2(1 -1)/1)

К (1 -1) = 0 + оКп ) = о(К ) .

То есть, порядок степени 5П в правой части последней формулы - два либо больше.

Во втором случае для кратности m=2 аналогично из (14) получим

8п+1 — 8п п—>«

1 --

:(1 + ^ 1 - 2(:-1)/: )

= 8

1-

2(1+^ 1-2(2-1)/2)

= 8 (1-1) = 0+0(3, )= о(8„).

/ 2 / 1 / /п = :(:-11)(хп - х| <(хп ) + 2:|хя - х| <(хп ) +[хя - х1 < (хп ) =

= :(: - 1КГ2< + 2:8:'Р» + 8>"« . (136)

Лемма 1. Формула (11) корректна для кратности корня т=1 или т=2, при этом порядок скорости сходимости 8п выше первого (второй или выше).

Доказательство

* *

В пределе хп — х о 8п = хп - х — 0 .

п—« п—«

Тогда в формулах (13), (13а), (136), выделяя главное предельное слагаемое, получим

/ =8<, / « тК^п,/; « :(: - К-<. А формула (11) получит предельный вид

8п+1=8п-/ [1 -д/1 - 2/п/;/(/п)2

п V

То есть, порядок степени 5п в правой части последней формулы - два и более. Следовательно, по определению 1 имеем, что порядок скорости сходимости итерации в формуле (11) -не менее двух для кратности корня уравнения (1) т=1 или т=2. Подкоренное значение в (14) неотрицательно (условие корректности формулы (11) для действительных значений 5л), если 1 - 2(: -1)/: > 0 о : - 2(: -1) = 2 - : > 0 о : < 2 о : = {1,2}. Поэтому важно получить другую формулу аналогичную (11) при кратности корня т>2 на всей числовой прямой. Лемма 1 доказана.

Производные функции ^х) из формул (13), (13а), (136) подставим в формулу (11), получим (15)

8п+1 = 8п -

:8Т<п +8:<,

т(: - К 2рп + 2:8:-1<п +8:<\

^ 2 8<(т(т-К< + 2т8Г<п +8<)

(К< +8^п )2

о

8п+1 =8п -8п

1+

8пР п

т<п

, „, г. < п е 2 Р п т -1 + 28п + 8п

Р п т<п

(14)

1 -

1 - 2

т -11 + 2 8_< + 8 2 <

т<п

п 2

т Рп

1+8

тРп

(15)

В первом случае для кратности т=1 из

формулы (14) получим

/

2

7(1 + ,11 -2(т-1)/т)

Заметим, что формула (15) является точной.

Введем упрощающие преобразования обозначения:

<п , <Р п „II 1,1

а = —, Ь =-,р Ф 0, а < «, Ь < «,

Рп

Рп

2 =

^-/п./; / (/п)2, ^ ^лЯ-^, 5 .

/

т

т=2

т-1

У

т

Р

8

п

С учетом новых обозначений перепишем формулу (15):

8п+1 = 8п -5(1-А)=8п -),В = 8п

8 а

1

т

т-1+28па+8п2 -

т У

([ ^ | + 2^ + 82 -—-7=—т „ т у,А=тт7. (16)

1 + 8,

а

7 = 2

[ + х

^11 + 2 ^ + 8 2А

, т У т т

1 + 8

= 28,

(2а + Ь8п)

1 + 2а 8 + а2 82

■■ 4а8 (1 + 8 |(1 - 2а8 - а282 - 4а282 + о(82)) =

I 2$ / Vй//

= 4а8п | 1 + 8п (— - 2а | + 82 (- 5а2 - ь)+ о(82) |.

В = 8

1 + 8а

т

Л

Ь

т -1 + 28па + 8п — V т

1 + а8

2а[1 +

-8 Ь281 Ь83

Ь8„

= -1(^811- 8-2а \ 2а 4а2 8а

3 + ^-п

2а У

(83 )1 =

2а

1 + 8\ а —— |+8, 2а

(

2 4а2

2 А

+ 8

( Ы-Ы}

8а3 4а

+ 0(8)

Перепишем формулу (16) при т=1 с учетом

Учитывая Лемму 1, уточним порядок скорости для невязки 8п в формулах (15), (16).

Лемма 2. Формула (16) для кратности корня т=1 имеет третий порядок скорости сходимости невязки к нулю 8п — 0 .

п—«

Доказательство. В случае т=1 дробь г в формуле (16) имеет вид, с использованием разложения в ряд Тейлора известной формулы

= 1 -х-х2 + о(х2),|х < 1 1 + х у л 1

найденных выражений

а=41-7, в

8п+1 =8п -5(1 -А) =

Ь1 <

= 8.

2а

V V

1+8.1 а —1+82

ЬЬ

2

2 4а2

+ 8;

( - Ь^

8а 4а

+08)

У\

и

• 2а8п [1 + 8п ( — - а 1-7а28п2 + о(8п2)

= 8п-8п\ 1 + 8 \ а- — + —- а | + п 2а 2а

(

+ 8

- — --Ь—- - 7а2 -(а -— 2 4а2 V 2а

Л

+ о(82)

= -8,

'Ь- - 8а 2 Л ^

v 2 2а у

+ о(8п3).

Согласно определению 1 ,

Шп 18п+11

п—>« I п

8п

Ь «2 Ь1

--8а - -

2

2а2

= С < «,р = 3 .

Применим формулу Тейлора для квадратного корня

л/1 - х = 1 - х - х— — + о(х3): 2 8 16 Х '

А =1 -7 -72 -73+0(73 )= 2 8 16 w

= 1 - 2а8п(1 + 8п- 2а| + 82 (- 5а2 - -)+ о(82) | -

- 2а282 (1 + 28п - 2а|| - 4а383 + о(83) = = 1-2а8 +82(-Ь + 4а2 -2а2)+

п п \ /

+ 8и3 (2аЬ +10а3 - 2аЬ + 8а3 - 4а3)+о(83) = = 1-2а8я +82 (- Ь + 2а2 )+14 а'81 + о(83) 1 - А = 2а8я +82 (- - 2а2)-14 а383п + 0(8 ) =

= 2а8п + 8п - а V 7а282п + о(82 )! .

2а

Далее преобразуем дробь В для кратности корня т=1:

А невязка итерационной формулы (15) при т=1 имеет третий порядок скорости. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Формула (15) для кратности корня т=2 имеет второй порядок скорости стремления невязки к нулю 8п — 0 .

п—«

Доказательство. В случае т=2 дробь ъ в формуле (16) имеет вид, с использованием разложения в ряд Тейлора известной формулы,

= 1 - х - х2 - х3 + о(х3), |х| < 1;

1 + х у /м

7 = 2

11 + 2^ + 82 т У т т

1 8па

т

:2\- + 8па + 8— | 1 + 28 а + 82

п п

1+8г

1 + 8а + 8

т

2

а

т

8—0

2

Ь

2

2

2

4

= 11 + 28па + 8п п

1 -8 а-8„2 -

v

е3 3 Л

8п2 а2 +8а- + )]-83а3 + о^ )

) -

(

(

1 + 8а + 8

Ь - ^ - 2а2 1+83 2 4

< .„з

3а аЬ 5

а

2 2 2

+ о(8

8 )=

(

= 1 + 8па + 8п2

й_ 13а2 ]

2 ~Т

+ 8п3(-4а3- -ЬVо^)

2 )

В = 8

1 + 8а 2

2 Ь

1 + 28па + 8„2 Ь

811 +

8 2

2 Ь

1 + 28„а + 8„2 Ь

= 8п (1+8 )1-28па-8 Ь-( 28па + 8/ Ь

В = 8п (1 - ^ + 8 (-4а2 - Ь - а2 ] + о(8 )| =

28п- +8п2 Ъ-] + <8)

учетом выражений

а = 41-2, в

8п+1 =8п -В(1 -А) = 8п -(8п -3а8п2 + <8,2)]• •(1 -^а + о(8п ) )= 3а 8Щ + о(8„2).

Согласно определению 1,

3а

Шл Ы

8п ^18 I

п^да | п |

2

= С < = 2 .

Разложим в ряд Тейлора функцию

1 ]( 1 ]( 3 ]( 5

„ , х х2 х3 V 2 )V 2 А 2 А 2)

/1 - х = 1------+ -

2 8 16 4!

1 - 2 - 2 - 2

+

5!

2 ](-2

])и (21-21-2 И-2 Г2 I-2 У "6 .

6!

9)(- 2

](- х)7

А = = 4-8па + о(8п),1 - А = 1 -78+08).

Далее преобразуем дробь B для кратности корня т=2:

----------—

7!

Я-2

13

|(- х)8

2 - 2

--—

13 V 15

2 )V 2

К- х)

10!

--—

17 2

19

11!

,(- х)11

2 )( )- + о(хП )=

_ х х2 х3 5х4 7х5 21х6 33х7

= 2 Т 16 128 256 1024 2048

429х8 715 х9 2431х 4199 х11

= 8п-3а8 + о(82) .

Перепишем формулу (16) при т=2 с

+ о(х" ). (17)

32768 65536 262144 524288

В зависимости от кратности корня пе-

ременная z принимает значения:

т^ ]+ 2 ^ + 8п ^ .. т ) т т ) , ч

2 ^-)-:-) = 4а8п + о(8п), т = 1

1+8

а

„I т-1 , „

21-|< 2, т > 2

Формула (11) с учетом формулы (17) примет вид ряда

А невязка итерационной формулы (15) при т=2 имеет второй порядок скорости. Лемма 3 доказана.

Замечание 1. Согласно Лемме 1 итерационная формула (11) корректна только для кратности корня т=1, 2. Но даже в этом случае из-за наличия арифметического квадратного корня формула (11) численно ограничена, так как при отрицательном подкоренном значении программа блокируется функцией SQRT.

Поэтому в данной работе мы предложили новую идею для вычисления формулы (11) при любой кратности корня и даже при отрицательном подкоренном значении в (11).

8п+1 = 8п

/

/п

2 3 г 4

2 2 2 52 ■ +-+-+-+

725 2176

332'

429 г8 715 г9

- + -

2 8 16 128 256 1024 2048 -+-+-+ о(2П )]»

32768 65536 262144

г' ( _ _2 _3 _ -..п 3 п

/п

+

524288

4 725 +-+ -

_+-+ .

2 8 16 128 256 1024 2048

429 2й 715 2У 243121'

■ + ■

- + -

4199 21

32768 65536 262144 524288 Так как

2(т -1)

- + 0(2" )](18)

2 =

2 ///

■ > 0, т > 2;

8

т

к

' /' 8п т-1

л п

Ь

2

4

4

х

+

+

2

+

+

2 =

т

т

+

+

+

+

6

7

+

+

+

8 ^0

формулу (18) для малых 8п — 0 можно приблизить формулой

/

1

8п+1 = 8п

1 --

т -1

-4

,5

-6

( 7 72 73 574 77Ъ 217° 337' - +-+-+-+-+-+-+

2 8 16 128 256 1024 2048

42978 715 79 2431710

-+-

-+-

- + -

4199 71

32768 65536 262144 524288

-+ 0(7

(7")

. (18а)

у)

В (18а) сумма 5л+1 монотонно убывает с каждым новым слагаемым. Формулу (18а)

8.

1

л+1 = 1__

8 т -1

перепишем в эквивалентном виде:

( 7 7 2 73 57 4 7 7 5 217 6 33 7 7 _+-+-+-+-+-+-

2 8 16 128 256 1024 2048

+ -

429 г8 715 г9

+

+

2431710 4199 711

+

32768 65536 262144 524288 Обозначим

■ + о(7П)| |(18Ь)

Г = 1 -

1

(т -1)

(7 72 73 574 775 2176 3377 — +-+-+-+-+-+-+

2 8 16 128 256 1024 2048

429 78 715 79 24317

,10

32768

- + -

65536

/

+

262144

-+ 0(7

(7" ),

Ъ = 1 --

(т -1)

2176 3377

— + — + — + — + -

2 8 16 128 256 1024 2048

429 78 715 79 2431710 4199 711

+-+-+-+-+ о(7

(7П) .

32768 65536 262144 524288 у '

Из формулы (186) видно, что при некотором максимальном числе членов ряда (численно установлено: оно равно десяти) знаки 8и+1, 8п еще совпадают Г, > 0, а при числе членов ряда равном одиннадцати знаки 8И+1,8И противоположны Г2 < 0 .

Действительно, программа дает значения Г1, Г2 для функции f(x)=(x-2)m Г = 0.33428534 9277 ,Г2 = -5.5254551 174Е -002, Я = 0.85815432 2291434 < 1,т = 30 Г = 0.11311156 1929290 ,Г2 = -0.3779228 24952878, Я = 0.23035364 7221112 < 1, т = 20 Г = 2.37936767 3Е -002 , Г2 = -7.1020265 95Е -002, Я = 0.25095124 2652344 < 1, т = 3 .

Значения Г1 , Г2 зависят от кратности корня т. Из формулы (186) видно, что всегда найдется конечное число членов ряда, для которого Г > 0, Г2 < 0, так как каждое новое слагаемое ряда уменьшает его сумму. Рассмотрим ряд с конечным числом слагаемых и с параметром д:

Г = 1 -

1

(т -1)

7 7 2 73 574 7 75 2176 337 7 — +-+-+-+-+-+-+

2 8 16 128 256 1024 2048

| 429 78 | 715 79 | 2431710 | 4199 711 1 (19) + 32768 + 65536 + 262144 + 524288 ^Я)

С учетом формул (186), (19) получим формулу (20):

8.

1

лИ = 1__

8 (т -1)

( 2 3г4т50, 6 от 7

7 7 7 57 /7 217 337 - +-+-+-+-+-+-+

2 8 16 128 256 1024 2048

429 78 715 79 2431710 4199 711 |

+-+-+-+--а |. (20))

32768 65536 262144 524288 )

Теорема 1. Существует единственное значение параметра я в формуле (19), для которого Г (а) = 0 , что равносильно в формуле

(20) 8п+1 = 0(8/ ) р > 2 .

Доказательство. По известной теореме из математического анализа непрерывная на отрезке функция, в нашем случае линейная по переменной я (19), принимающая противоположные знаки на концах отрезка имеет не менее одного корня на отрезке. В силу линейности функции (19) такой корень единственный. Введем обозначения

- 7 72 73 574 775 217е 3377 429 78

А = — + — + — +-+-+-+-+-+

2 8 16 128 256 1024 2048 32768

715 79 2431710 А 4199 711 2(т-1)

+-+-, В =-, 7 = —-- .

65536 262144 524288 т

Перепишем формулу (19) в виде

г = 1—1— (А+В • а)

(т - 1)У р

г = (1 - а)

1 -

А т-1

+а

1 -

А + В т-1

Л

= (1 - а)Г + д¥2 > 0 .

Из последней формулы видно, что числовой вектор У(я) пробегает весь отрезок [У1 У2] пока параметр я пробегает единичный отрезок [0,1], как показано в главе "Выпуклый анализ" авторами [3], У(0)=Уь У(1)=У2. Вычислим параметр я из условия У(я)=0:

Г = 1 -—Г = 1-^^ ,Г > 0,Г < 0,

т-1 т-1

г = 1 —1— (А+В • а)= 0,

(т - ГТ '

Г-А. = 0 о а = ЪС-1 ,

1 т-1 В

(21)

(1 -а)Г1 + д¥2 = 0 о а = -ГЦ- = —^ < 1 (21а) Ъ1 - Ъ2 Ъ1 + \Ъ2\

То есть, Г(д) = 0 . Из формулы (20) имеем

81 = Г (а) = 0 о8п+1 = о8пР) р > 2 .

п

Теорема 1 доказана.

+

2

4

5

+

Итак, мы имеем итерационную формулу (22):

f

fn

21z 33 z7

- + — + — +-+ -

2 8 16 128 256 1024 2048

- + -

429 z8 715 z9

2431 z10 4199 z11

q I . (22)

32768 65536 262144 524288

2 = 2/„/'„/(/„)2, где параметр д определяется формулой (21) с переменной 2 = 2(т -1)/ т , т - кратность корня. Кратность корня легко определяется формулой

m =

1 - f'fn /(fn)2 '

Программа для примера 2 дает значение т= 30.

Приведем также модифицированную формулу Ньютона, полученную школой профессора Н.С. Бахвалова [1]:

f X )f(Xn )

f(Xn )f(Xn )-f (Xn )f(Xn )

n = 0,1,2,... . (23)

Замечание 2. Вычислительный эксперимент показывает при кратности корня m=1, что все слагаемые в формуле (18) важны. Например, если число слагаемых в (18) равно 3, то итерационная формула (18) для функции

f (x) = sinx-x2 /2 = 0, X = 0, x = 1.40441482 409243, щ = щ = 1

~ 0 ; с начальной точкой итерации x = 5 теряет

ближний корень x2 = 1.40441482 409243 и находит второй корень. Если число слагаемых равно 4, то формула Ньютона (2), модифицированная формула Ньютона (23) и формула парабол (18) дают ближайший корень с двойной точностью за 7 итераций: Х(18)= 1.40441482409243 1.675092356490104E-017 (формула (18))

Х(23)= 1.40441482409243 f(23)= 1.675092356490104E-017 (формула (23))

Х(2)= 1.40441482409243 f(2)= 1.675092356490104E-017 (формула (2)).

Пример 1. Если в формуле (18) число слагаемых равно 10, 11, то вычисления дают следующий результат после 5 итераций:

Х(18)= 1.40441482409243 1.675092356490104E-017 (формула (18))

Х(23)= 1.40441480897897 f(23)= 1.872255664679733E-008 (формула (23))

Х(2)= 1.40441498008568 f(2)= -1.932444457081986E-007 (формула (2)).

Для поиска второго корня выберем точку х0 =-5 для 11 слагаемых в (18) после четырех итераций получим двойную точность корня только по формуле (18):

Х(18)= -6.775433974041149Е-021 ^^ -6.775433974041149Е-021 (формула (18))

Х(23)= 7.668850082129399Е-013 $23)= = 7.668850082126459Е-013 (формула (23))

Х(2)= -1.369473868555432Е-009 ^ -1.369473869493161Е-009 (формула (2)).

Таким образом, точность формулы (18), по сравнению с формулами (2), (23), в случае однократного корня достигается не только в малой окрестности, но и вдали от корня, а алгоритм (18) имеет меньшее число итераций, чем остальные формулы.

В работе [1] в одном из примеров приведено только два слагаемых формулы (18), и показан третий порядок ее скорости, очевидно, в меньшей окрестности корня, чем (18) (однако не указано, как формула была получена).

Для сравнения алгоритмов рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2. Решить уравнение /(х) = (х - 2)30 = 0, х = 2, т = 30, х0 = 7.

В примере 2 единственный корень Х=2 имеет кратность т=30.

Достаточно одной итерации для достижения двойной точности в формулах (22) и (23) в случае кратного корня:

Х(22)= 2.00000000000000 ^г 0.000000000000000Е+000

Х(2)= 6.83333333333333 ^ 3.368235318563970Е+020

Х(23)= 2.00000000000003 $23)= 0.000000000000000Е+000.

Пример 3. Решить уравнение

/(х) = (х - 2)20 = 0, х = 2, т = 20, х0 = 7 .

В примере 3 единственный корень Х=2 имеет кратность т=20.

Достаточно одной итерации для достижения двойной точности в формулах (22) и (23) в случае кратного корня:

Х(22)= 2.00000000000000 f(22)=

9.332636185032189E-302

Х(2)= 6.75000000000000 f(2)=

34187881699423.1

Х(23)= 2.00000000000000 f(23)=

9.785978320356312E-296.

z z z3 5z4 7 z

4

5

n

+

x

x

+

+

+

+

1

xn+1 = xn

Пример 4. Решить уравнение f (x) = (x - 2)3 = 0, x = 2, m = 3, x0 = 7 .

В примере 4 единственный корень x=2 имеет кратность m=3.

Достаточно одной итерации для достижения двойной точности в формулах (22) и (23) в случае кратного корня:

x(22)= 2.00000000000000 f(22)= 0.000000000000000E+000

X(2)= 5.33333333333333 f(2)= 37.0370370370370

X(23)= 2.00000000000000 f(23)= 0.000000000000000E+000.

В формулах (18), (22) как и в формуле (23), используются дважды дифференцируемые функции. То есть, в программе кроме функции задаются ее первая и вторая производные.

Ниже написана программа, в которой все переменные и функции имеют двойную точность REAL (8). Алгоритмом программы в формуле (22) сначала вычисляется ряд

1-A = l-yjl—z, z = 2ff /(f)2, во вторую очередь итерации

x"+1 = xn - B(1 - A) = xn - f / fl )1 -JTZ).

Таблица. Последовательность итераций корня в примере 1 с начальной итерацией x0=7 для модифицированной формулы Ньютона (23) и по формуле касательных парабол (18). Второй и четвертый столбцы - значение функции в точке xn.

Из таблицы видно, что после пяти итераций для поиска корня кратности т=1 формула касательных парабол (18) имеет двойную точность (16 значащих цифр), а модифицированная формула (23) дает только семь (достигается только первая точность) верных знаков при одной и той же начальной точке итерации Х0=7.

В программе на FORTRAN все функции и переменные заданы с двойной точностью, в программе записано условие примера 2:

program nuton use dfimsl

integer(8),parameter: :n=10,m1=30,m=11;

integer(8)::i,j;

re-

al(8)::x,x0,xx,x10,x20,s,s 1,s2,s0,s10,f,f1,f2,q,B,p ,Y1,Y2;

f(x)=(x-2D0)**30D0;f1(x)=30D0*(x-2D0)**29D0;f2(x)=870D0*(x-2D0)**28D0 x=7d0;x0=x;xx=x;x10=x;x20=x;s=0d0;s1=1d0;s 2=5d- 1;s0=0d0;s10=1d0 xxx1=-2d0*dfloat(m 1 - 1)/dfloat(m 1); do j=1,m;s10=s10*xxx1*(s2-dfloat(j)+1d0)/dfloat(j);

s0=s0+s 10;if(j==m)then;B=s 10;else;endif;end do Y2=1 d0+s0/dfloat(m 1-1);Y1 =Y2 -B/dfloat(m 1-1); p=Y1/(Y1-

Y2);print*,"Y1=",Y1,"Y2=",Y2,"p=",p do i=1,n,1;xxx=-2d0*f(x) *f2(x)/(f1(x) * f1(x)); s1=1d0;s=0d0;do j=1,m;if(j==m)then q=p;elseif(j <=m-1)then;q= 1d0;end if; s1=s1*xxx*(s2-

dfloat(j)+1d0)/dfloat(j );s=s+s1*q; end do ;x=x+s*(f1 (x)/f2(x)) ;x10=x 10-f(x10)/f1(x10);

x20=x20-f(x20) *f 1 (x20)/(f1(x20)*f1 (x20)-f2(x20)*f(x20))

print*,"i=",i;print*,"x=",x,"f=",f(x);

print*,Mxn=M,x10,Mfn='',f(x10);print*,''x20='',x20,

"fx20=",f(x20);

if(dsqrt(f(x) * f(x))<1d-

16)then;print*,"i=M,i;print*,Mx=",x,Mf=M,f(x);

print*,"xn=M,x10,Mfn=",f(x10);print*,Mx20=M,x20,

"fx20=",f(x20);

pause;endif;enddo;end program nuton

Основные результаты в данной работе:

1) Получена модифицированная формула Ньютона - касательных парабол (11).

2) В Лемме 1 доказано, что формула (11) корректна только для случаев кратности корня m=1, m=2. При этом порядок скорости сходимости навязки к нулю в формуле (11) выше первого.

xn x(23) f (x(23) ) xn f (x(18) )

2.0735875 6511538 -1.2736 4 17410333 2.1099472 3230622 -1.36779 37393976

1.2875550 0496885 0.1312556 8837352 1.4210163 8720559 -2.083984 694E-002

1.3914537 7776958 1.5889375 48E-002 1.4044147 2995105 1.1662232 4069E-007

1.4042775 3291033 1.7005758 54E-004 1.4044148 2409243 5.2022188 640E-015

1.4044148 0897897 1.8722556 64E-008 1.4044148 2409243 1.6750923 56E-017

3) В лемме 2 доказан третий порядок скорости невязки в формуле (11) для корня кратности m=1.

4) В лемме 3 доказан второй порядок скорости невязки в формуле (11) для корня кратности m=2.

5) Формула (11) обобщена до формулы (18) на числовой прямой (-да,+да) для переменной z и корректна для кратности корня m=1.

6) Получена формула (22) для кратности корня два и выше с параметром 0<q<1, который определяется формулой (21).

7) На примерах показано, что при кратности корня m=1 алгоритм (22) эффективнее алгоритмов (2), (23). Для кратности корня m=3, 20, 30 и простой функции достаточно одной итерации для достижения двойной точности корня по алгоритму (21), (22).

Новые алгоритмы (18), (21), (22) позволят численно решать нелинейные уравнения и системы за меньшее число итераций, чем формула касательных (2). В задачах на собственные значения (случай действительных корней) при анализе обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем [6], [7], [8], [9] формулы (18), (21), (22) наряду с алгоритмами (2), (23) могут быть полезными.

Список источников

1. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: БИНОМ,2010. 240 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 7-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. 636 с.

3. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации: Теория. Примеры. Задачи. М.: Физматлит, 2008. 256 с. ISBN 978-5-9221-0992-5. EDN QEAJNP.

4. Мансимов К.Б., Ахмедова Ж.Б. Аналог принципа максимума Понтрягина в задаче оптимального управления системой дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто и многоточечным критерием качества // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 3(58). С. 5-10. DOI: 10.17072/19930550-2022-3-5-10. EDN THSSNA.

5. Стрелкова Н.А. Минимизация расхода топлива в задаче оптимального управления вращениями динамически симметричного твердого тела // Вестник Пермского

университета. Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 3(50). С. 79-84. DOI: 10.17072/1993-0550-2020-3-79-84. EDN WYCKUI.

6. Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Королёв В.С. Теорема об области асимптотической устойчивости и ее приложения // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 1(56). С. 5-13. DOI: 10.17072/1993-0550-2022-1-513. EDN CTROYM.

7. Иванов В.Н. Итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с положительно полуопределенными матрицами системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023. Вып. 1(60). С. 30-46. https://doi.org/10.17072/1993-0550-2023-1-30-46.

8. Симонов П.М. Теорема Боля-Перрона и обратная к ней об асимптотической устойчивости для гибридных линейных систем с последействием // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 2(41). С. 38-43. DOI: 10.17072/1993-0550-2018-2-38-43. EDN XUOIOT.

9. Кандаков А.А., Чудинов К.М. Об устойчивости автономных разностных уравнений четвертого порядка // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 4(39). С. 510. DOI: 10.17072/1993-0550-2017-4-5-10. EDN ZXNXFZ.

References

1. Bakhvalov N.S., Lapin A.V., Chizhonkov E.V. Numerical methods in problems and exercises. M.: BINOM, 2010. 240 p.

2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numerical methods. 7th ed. M.: BINOM. Knowledge Laboratory, 2011. 636 p.

3. Alekseev V.M., Galeev E.M., Tikhomirov V.M. Collection of optimization problems: Theory. Examples. Tasks. M.: Fizmatlit, 2008. 256 p. ISBN 978-5-9221-0992-5. EDN QEAJNP.

4. Mansimov K.B., Akhmedova Zh.B. An analogue of the Pontryagin maximum principle in the problem of optimal control of a system of differential equations with a fractional Caputo derivative and a multipoint performance criterion. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer science. 2022. Issue 3(58). P. 5-10. DOI: 10.17072/1993-05502022-3-5-10. EDN THSSNA.

5. Strelkova N.A. Minimization of fuel consumption in the problem of optimal control of

rotations of a dynamically symmetric rigid body. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer science. 2020. Issue 3(50). P. 79-84. DOI: 10.17072/1993-05502020-3-79-84. EDN WYCKUI.

6. Ivanov G.G., Alferov G.V., Korolev V.S. The asymptotic stability domain theorem and its applications. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer science. 2022. Issue 1(56). P. 5-13. DOI: 10.17072/1993-05502022-1-5-13. EDN CTROYM.

7. Ivanov V.N. An iterative method for solving systems of linear algebraic equations with positive semidefinite system matrices. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer science. 2023. Issue 1(60). P. 30-46.

https://doi.org/10.17072/1993-0550-2023-1-30-46.

8. Simonov P.M. The Bol-Perron theorem and its inverse on asymptotic stability for hybrid linear systems with aftereffect. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer science. 2018. Issue 2(41). P. 38-43. DOI: 10.17072/1993-0550-2018-2-38-43. EDN XUOIOT.

9. Kandakov A.A., Chudinov K.M. On the stability of autonomous difference equations of the fourth order. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer science. 2017. Issue 4(39). P. 5-10. DOI: 10.17072/1993-0550-2017-4-5-10. EDN ZXNXFZ.

Информация об авторах:

Наталья Константиновна Волосова - аспирант МГТУ им. Н. Э. Баумана (105005, Россия, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1), navalosova@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0538-2445;

Константин Александрович Волосов - доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Российского университета транспорта (127994, ГСП-4, Россия, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9), konstantinvolosov@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-7955-0587, AuthorlD 128228;

Александра Константиновна Волосова - кандидат физико-математических наук, начальник аналитического отдела ООО "Трамплин" Российского университета транспорта (127994, ГСП-4, Россия, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9), alya01@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-0538-2445, AuthorlD 607500; Михаил Иванович Карлов - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского физико-технического университета (МФТИ) (141701, Россия, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.), karlov@shade.msu.ru, AuthorlD 14680;

Дмитрий Феликсович Пастухов - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования Полоцкого государственного университета (211440, Республика Беларусь, Витебская обл., г. Но-вополоцк, ул. Блохина, 29), dmitrij.pastuhov@mail.ru, https://orcid.org/0000-0003-1398-6238, AuthorlD 405101;

Юрий Феликсович Пастухов - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования Полоцкого государственного университета (211440, Республика Беларусь, Витебская обл., г. Новополоцк, ул. Блохина, 29), pulsar1900@mail.ru, https://orcid.org/0000-0001-8548-6959, AuthorlD 405109.

Information about the authors:

Natalya K. Volosova - Post-graduate Student of Bauman Moscow State Technical University (2nd Baumanskaya St. 5-1, Moscow, Russia, 105005), navalosova@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0538-2445;

Konstantin A. Volosov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics of the Russian University of Transport (Obraztsova St. 9-9, Moscow, GSP-4, Russia, 127994), kon-stantinvolosov@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-7955-0587, AuthorlD 128228;

Aleksandra K. Volosova - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Chief Analytical Department "Tram-plin" LLC, Russian University of Transport (Obraztsova St. 9-9, Moscow, GSP-4, Russia, 127994), al-ya01@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-0538-2445, AuthorlD 607500;

Mikhail I. Karlov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, Moscow University of Physics and Technology (9, Institutskiy per., Dolgoprudny, Moscow region, Russia, 141701), karlov@shade.msu.ru, AuthorlD 14680;

Dmitriy F. Pastukhov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Polotsk State University (Blokhin St. 29, Novopolotsk, Vitebsk Region, Republic of Belarus, 211440), dmitrij.pastuhov@mail.ru, https://orcid.org/0000-0003-1398-6238; AuthorlD 405101;

Yuriy F. Pastukhov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Polotsk State University (Blokhin St. 29, Novopolotsk, Vitebsk Region, Republic of Belarus, 211440), pulsar1900@mail.ru, https://orcid.org/0000-0001-8548-6959, AuthorlD 405109.