Научная статья на тему 'Модификация TVD схемы для отрицательной скорости движения одномерной ударной волны'

Модификация TVD схемы для отрицательной скорости движения одномерной ударной волны Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
74
21
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГАЗ / GAS / УДАРНАЯ ВОЛНА / SHOCK WAVE / ПРЯМОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / DIRECT SIMULATION / ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / NUMERICAL SIMULATION / СХЕМА TVD / TVD SCHEME / ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ / ONE-DIMENSIONAL FLOW

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Никонов Валерий Владимирович

В статье решается задача прямого численного моделирования движения одномерной ударной волны с помощью TVD схемы решения уравнений Эйлера. Показано, что в случае отрицательной скорости движения ударной волны схема имеет большую численную диффузию. Схема была модифицирована путем введения зеркального отражения потока относительно ее центрального узла для передачи данных в подпрограмму расчета и повторного отражения при получении результатов. Результаты моделирования сравниваются с точным решением Годунова задачи о распаде разрыва. Результаты, полученные с помощью модифицированной TVD схемы для отрицательной скорости движения ударной волны, практически совпадают по точности с результатами исходной TVD схемы для положительной скорости движения ударной волны. Таким образом, точность схемы сохраняется.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Никонов Валерий Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Модификация TVD схемы для отрицательной скорости движения одномерной ударной волны»

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 20, № 4, 2018

УДК 533.5: 533.72

МОДИФИКАЦИЯ ТУБ СХЕМЫ ДЛЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ

© 2018 В.В. Никонов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва

Статья поступила в редакцию 16.05.2018

В статье решается задача прямого численного моделирования движения одномерной ударной волны с помощью ТУБ схемы решения уравнений Эйлера. Показано, что в случае отрицательной скорости движения ударной волны схема имеет большую численную диффузию. Схема была модифицирована путем введения зеркального отражения потока относительно ее центрального узла для передачи данных в подпрограмму расчета и повторного отражения при получении результатов. Результаты моделирования сравниваются с точным решением Годунова задачи о распаде разрыва. Результаты, полученные с помощью модифицированной ТУБ схемы для отрицательной скорости движения ударной волны, практически совпадают по точности с результатами исходной ТУБ схемы для положительной скорости движения ударной волны. Таким образом, точность схемы сохраняется.

Ключевые слова: газ, ударная волна, прямое моделирование, численное моделирование, схема ТУБ, одномерное течение.

ВВЕДЕНИЕ Здесь

Актуальной проблемой при численном моделировании сверхзвуковых течений газа является корректное воспроизведение движения ударных волн. В настоящее время для расчета таких течений широко используются методы, построенные на так называемых ТУБ схемах [1, 2] решения уравнений Эйлера для сжимаемого невязкого газа. Одним из недостатков данных методов является наличие численной вязкости, приводящей к размазыванию фронтов ударных волн. В работах [1, 2] предлагаются схемы ТУБ второго порядка точности, имеющие существенно меньшую численную вязкость по сравнению со схемами первого порядка точности. Однако предложенные схемы не сохраняют точность при смене направления движения ударной волны. В данной работе рассматривается модификация ТУБ схемы, предложенной в работе [2], как имеющей немного меньшую численную вязкость на ударной волне, хотя с помощью данного подхода можно модифицировать и схему из работы [1].

1. ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА МЕТОДА

w =

m

vEy

f (w) = uw +

Г 0 ^

pu J

(2)

где и - скорость, р - плотность, т = ри - импульс, Е - полная удельная энергия, р - давление, х - координата, t - время.

Система уравнений (1) замыкается с помощью уравнения состояния для идеального газа

p = (к-1)p(E-1pu2) ,

(3)

где к - показатель адиабаты, для воздуха к = 1.4. Собственные значения матрицы Якобиана

0w

определяются, как

= u - c X2 = u X3 = u + c,

где c - скорость звука: c=

к Р

(4)

(5)

(6)

Запишем уравнения Эйлера движения сжимаемого вязкого газа в потоковой форме [1] R1 =

Соответствующие правые собственные векторы находятся следующим образом

г 1 ^ Г 1 ^

0w of (w)

-+ —= 0.

ot oX

(1)

u - c H - uc

, R2(w) =

J

u

viu2 J

Никонов Валерий Владимирович, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры конструкции и проектирования летательных аппаратов. E-mail: v_nikonov@mail.ru

Г 1 ^

R3(w) =

u + c H + uc

J

где Н - полная энтальпия:

Н = (Е + р)/р = с2/(к-1) + |и2.

Введем следующие обозначения для конечных разностей

[Ь] = ь+1 - ь, (8)

и средних величин

(Ь> = Ь+1) . (9)

Тогда мы можем записать левые собственные векторы-строки П, умноженные на вектор столбец конечных разностей переменных (2), в следующем виде

а. 2 = wJ+1 = НС - С2), а2.+! = П2Д w|+2 = [р] - С1, (10)

J+2

a3.+^ = L3, Wj+2 = HC + C2),

где

C, = (к-1) ([E] + K2[P]" u*[m])/c*2

)

C2 =([m] - u*[p])/c*. (11)

Здесь используется осреднение по Roe [1, 3]: u*+1 ^^uWyfe), (12)

c. 1 =

j+ 1

H*+2 ={JpH)^ JP), (13)

2 (к-№*+2 -КР . (14)

ТУБ схема согласно [2] описывается следующими формулами:

n+1 n Дt (с* С* \ г-\

w = W- ^ (( - fj-2), (15)

f*2 = i ((fWjJ - j), (16)

Z Pk+A , (17)

d. 1 = V Pk iRk ,

J+2 t ^ J+1 J+2

д L k=1

Pj+2 = Q(j + Y k+i^j+i - (gJ+gj+i), (18)

Л " ' ^ (19)

vL = ^k(Wj+J,

2 д x

J+i

с ограничителем значения функции:

gj = Sj+1 max[0,min

a

J+2

где

' ak- A )]/8, (20) (21)

J =

= sign(a^J, (gk , -gk)/ak,, ak , * 0

v&j+2 &J ' J+2' J+2

0 a k = 0

Q(z) = z2+^

(22) (23)

Модификация схемы заключается в зеркальном отражении относительно узла данных w , передаваемых в подпрограмму для вычисления членов d. 1, выражения (17), и d.-Х ис-

- 1+2 Л 1 2

кусственной вязкости, если т. < 0 :

(

Pj=PJ

*

mj=-mj

E* = EJ

*

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

. p* = PJ .

Л f

Pj-i = P

Л

J+1

f

PJ+1 = PJ-1

m*+1 = -mJ-1

E* = E

mj-i = -mj+i E* = E

. P*-i = Pj+i y

Л

Pj+i = P

V n+1

' Pj-2 = Pj+2 Л '

m*-2 = mj+2 E* = E

J-2 J+2

j-1 У

Pj-2 = P

J+2 У

* Л

Pj+2 = Pj-2

* mj+2 = -mj- 2

Е* J+2 = EJ-2

* Pj+2 = Pj-2 У

(24)

После вычисления членов d. 1 d. - х для об-

1 +2 ' . 2

ращенной задачи необходимо поменять знаки у тех из них, которые отвечают за изменение количества движения в уравнении (16), так как знак у скорости ранее был изменен на обратный.

2. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Модифицированная ТУБ схема тестировалась на широко известной задаче [1, 3] со следующими начальными условиями (НУ).

р0 = 1 и0 = 0 р0 = 1, если х. < 0 , , ,

р0 = 0.1 и0 = 0 р0 = 0.125 , если х. > 0. (26)

Область моделирования принималась равной х е [-4.5,5.5], сетка содержала 100 ячеек, шаг сетки составлял h = 0.1. Эти данные аналогичны параметрам моделирования задачи в работе [1].

Шаг по времени выбирался согласно критерию Куранта-Фридриха-Леви

д tc = kc_ ,

c

(27)

где кс - коэффициент пропорциональности

(кс = 0.4863).

Для заданных параметров моделирования

шаг по времени составлял д tc = 0.0411.

Результаты расчетов для момента времени t = 2.22583 показаны на рис. 1-3 в сравнении с точным решением Годунова [4].

Из сравнения рис. 2 и 3 следует, что модифицированная ТУБ схема в отличие от исходной

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 20, № 4, 2018

Рис. 1. Распределение величин в задаче о распаде разрыва (положительное направление ударной волны):

ТУБ схема [2] и модифицированная схема: о - р , —в--и, —А—

точное решение Годунова [4]:--р ,------и,.......- р .

р;

1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

-1.2

-4.5

^оСОООООС

■Vуъф&ЛМА

/ !

\ У

ч л

; У

гР г

-3.5 -2.5

-1.5 -0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Рис. 2. Распределение величин в задаче о распаде разрыва (отрицательное направление ударной волны):

ТУБ схема [2]: —в--р , —в--и, —А--р ;

точное решение Годунова [4]:--р,------и,.......-р

5.5 X

W 1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2

-4.5

)00

ЛА4А 4WAWM "AMWMA

J^

II

L

ttt 1 M > 1 *

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5 X

Рис. 3. Распределение величин в задаче о распаде разрыва (отрицательное направление ударной волны): модифицированная ТУБ схема: о - р , —в--и, —А--р ;

точное решение Годунова [4]:

схемы значительно повышает точность вычислений при отрицательном направлении движения ударной волны.

ВЫВОД

По численным результатам моделирования задачи о распаде разрыва можно сделать вывод, что модифицированная ТУБ схема по сравнению с исходной схемой значительно повышает точность вычислений при отрицательном направлении движения ударной волны.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Harten, A High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. of Comp. Phys. v.49. 1983. P. 357-393.

2. Carofano, G.C. Blast computation using Harten's total variation diminishing scheme / Garry C. Carofano. Technical report ARLCB-TR-84029. US Army Armament Research and Development Center. 1984.

3. Roe, P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // J. of Comp. Phys. v. 135. 1997. P. 250-258.

4. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. М.: Наука, 1976. 400 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

TVD SCHEME MODIFICATION FOR NEGATIVE VELOSITY OF A ONE-DIMENSIONAL SHOCK WAVE

© 2018 V.V. Nikonov

Samara National Research University named after Academician S.P. Korolyov

The problem of direct numerical simulation of a one-dimensional shock wave by TVD scheme for Ewer's equations is solved. It is shown, that for negative velocity of the shock wave the TVD scheme has large numerical viscosity. The scheme has been modificated by introducing a specular reflection of a flow relative to its central node for a data transfer to a calculation subroutine and its re-reflection for a result obtaining. The simulation results are compared with the exact Godunov's solution of a discontinuities decay problem. The results accuracy of the modificated TVD scheme for negative velocity are almost coincide with ones of the original TVD scheme for positive velocity of the shock wave. Thus, the accuracy of the scheme is preserved.

Keywords: gas, shock wave, direct simulation, numerical simulation, TVD scheme, one-dimensional flow.

Valeriy Nikonov, Candidate of Technics, Senior Lecturer at the Aircraft Construction and Design Department. E-mail: v_nikonov@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.