CC BY
26
Сер. 10. 2009. Вып. 2
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 539.3 А. C. Еремин
МОДИФИКАЦИЯ ТЕОРИИ ПОМЕЧЕННЫХ ДЕРЕВЬЕВ
ДЛЯ СТРУКТУРНОГО МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ОДУ
Введение. В [1-3] вводится следующий класс систем обыкновенных дифференциальных уравнений:
Уо = /о (x,y0,...,yn),
< yi fi (x, y0, ..., yi-l, yl + 1, ..., yn) , i 1, 2,...,1, (1)
„ yj = fj (x, yo^.^ yj-i), j = l + 1,...,n, x e [Xo,Xk] С R, ys : [Xo,Xfc] ^ Rrs, s = 0,1,...,n,
n
g = Yj rs,
s=0 l
ri = J2 rs, i =1, 2,...,l,
s=i n
rj =53 rs, j = l +1,...,n.
s=j
Для системы, имеющей такую структуру, предложена группа явных одношаговых методов интегрирования, расчетные схемы которых имеют явное преимущество перед формальным распространением метода Рунге-Кутты на данную систему. Под формальным распространением имеется в виду применение одной и той же расчетной схемы к каждому уравнению системы. Методы, предложенные в [1-3], учитывают струк-
турные особенности рассматриваемой системы (независимость правых частей от некоторых искомых функций) на уровне алгоритма, поэтому будем называть их в дальнейшем структурными.
В [4, 5] удалось построить расчетную схему пятого порядка точности с пятью этапами по компонентам групп i и j при наличии общей группы 0 и с четырьмя при ее отсутствии, что наглядно демонстрирует преимущества структурного метода.
Структурный метод интегрирования. Приближение zs к точному решению ys (x + h),s = 0,1,...,n, в точке x + h e [Xo, Xk ] ищется в виде
ms
ys(x + h) « Zs = ys(x) + ^2 bswksw(h), s = 0, 1,..., n, (2)
w = 1
Еремин Алексей Сергеевич — ассистент кафедры информационных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: докт. физ.-мат. наук И. В. Олемской. Количество опубликованных работ: 5. Научное направление: численные методы решения систем ОДУ. E-mail: ereminh@rambler.ru.
© А. С. Еремин, 2009
/о : [Xo,Xk] X Rg ^ Rr0,
/i : [Xo, Xk] x R— ^ Rr*, /j : [Xo, Xk] x R—,‘ ^ Rri,
причем ksw (h) вычисляются в строгой последовательности
koi, кц, k„i, ko2, ki2, k„2, ko3, k13, ...
по схеме
kow — hfo(To w, Y0w0,
kiw hfi(Tiw , Yiw0, .
. ■} Y0wn),
, Yiwi—1 ■ Yiwl + U . ..■ Yiwn ),
kjw hfj (Tjw Yjw0, . ..■ Yjwj —1) ■
* — 1, 2,...,l, j — l + 1,...
где
Yswv *
[ж + Cs
Vv (x), Vv (x) +
Vv (x) +
если {(w — 1) Л (s ^ l)},
,jh, если {(w — 1) Л (s > l)} V{w > 1};
w—i
wi
V=1
w
E <
v=1
swvv kvv,
если {(w — 1) Л (s ^ l)},
если {(w > 1) Л (s < v)},
если {(w > 1) Л (s > v)}V V{(w — 1) Л (s > l)};
(4)
(5)
b
параметры метода (2)-(5); h - шаг метода.
csw, aswvv
Условия порядка метода и их вывод. Разработка структурного метода сопряжена с достаточно сложными вычислениями даже на стадии формирования системы так называемых условий порядка метода — равенств, связывающих параметры метода, которые вытекают из требований к порядку метода. В настоящей работе предлагается модификация теории помеченных деревьев Бутчера [6] для вывода условий порядка методов типа Рунге-Кутты применительно к структурному методу.
Напомним, что метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений имеет порядок q, если разложение в ряд Тейлора точного решения и получаемого с помощью этого метода приближения к нему совпадают до порядка s включительно. Именно такое требование влечет за собой необходимость выполнения равенств, называемых условиями порядка.
Условия порядка можно получить, непосредственно дифференцируя точное решение и приближение к нему и приравнивая коэффициенты при соответствующих слагаемых - так называемых элементарных дифференциалах. Элементарным дифференциалом порядка p называется каждое слагаемое, входящее в p -тую производную точного решения. Однако формулы становятся крайне громоздкими для высоких порядков, даже для формального метода Рунге-Кутты.
В случае структурного метода, как ясно из расчетной схемы, интегрирование функций, относящихся к различным структурным группам, происходит по-разному. В ходе конструирования методов до пятого порядка включительно было установлено, что коэффициенты расчетной схемы должны совпадать внутри каждой из структурных групп. Поэтому при выводе условий порядка данное предположение принималось априори.
В дальнейшем будем полагать, что индексы 0, i G {1,...,l}, j G {l + 1,...,n}, i G {1,...,i - 1}, j G {l + 1,...,j - 1} параметров метода cow, Qw, Cjw, bow, biw , bjw,
a0w0p^, a0wip^, a0wj^, aiw0p^, aiwгp^, aiwjp^, носят характер признаков.
Так, индекс на первой позиции указывает на принадлежность параметров к структурно разделенным группам уравнений системы (1): 0 - к первой, г - ко второй, ] - к третьей. Индекс на третьей позиции показывает принадлежность к группам компонент искомой вектор-функции: 0 - к первой, г, г - ко второй, ],] - к третьей.
Из-за разделения уравнений на несколько по-разному интегрируемых групп количество слагаемых в полных производных, а следовательно, и условий порядка возрастает во много раз (см. таблицу). Данные трех нижних строчек получены с помощью разработанного алгоритма и проверены до порядка 6 включительно сравнением с выведенными вручную результатами.
Количество условий порядка
Вид системы Порядок метода, q
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Скалярное уравнение 1 2 4 8 17 37 85 200 486 1205
2 перекрестных уравнения* 2 4 8 16 34 74 170 400 972 2410
Перекрестная система ** 2 4 10 28 88 292 1026 3720 13 882 52 864
Полная система (1) 3 6 18 66 276 1224 5712 27 498 135 873 684 549
* Как частный случай структурного метода: по одному уравнению в группах i и j, в группе 0 — ни одного.
** В группе 0 — ни одного уравнения, в других — по несколько.
Помеченными деревьями (по англ. labelled trees) [6, 7] называются древовидные графы, вершины которых маркированы тем или иным образом, однозначно сопоставляемые с элементарными дифференциалами. По дереву однозначно выписывается одно условие порядка. Изначально вершинам присваивался индекс, соответствующий индексу суммирования той части элементарного дифференциала, которой отвечала вершина графа.
Рис. 1. Помеченное дерево четвертого порядка Вершины обозначены произвольными индексами суммирования.
Порядком р(т) дерева т называют количество его вершин. Эта величина совпадает с порядком, который может быть достигнут методом при выполнении всех условий, соответствующих деревьям данного порядка. На рис. 1 изображено дерево четвертого порядка.
Однако мы будем понимать «помеченность» вершин деревьев несколько иначе. Во-первых, индексы суммирования взаимозаменяемы, и сами по себе не влияют на форму элементарного дифференциала и связанного с ним условия порядка, поэтому необходимости в такой индексации вершин нет. Во-вторых, в случае структурного метода мы сталкиваемся с тремя группами уравнений, и каждой группе соответствуют свои индексы параметров метода. Именно индексами 0, г и ] будем «помечать» вершины. Используя термины «отец», «сын», «потомок» для вершин древовидных графов, удобно назвать индекс, помечающий вершину, ее «именем», а «имя отца» назвать «отчеством».
Хайрер расширил теорию помеченных деревьев на случай разделяющихся систем ОДУ [6]. Принципиальное отличие структурного метода от предложенных им методов, состоит в том, что параметры метода различаются не только по группам уравнений, но и по группам аргументов для вычисления одной функции. В настоящей работе представлена модификация теории, учитывающая эту особенность.
Конструирование деревьев требуемого порядка для структурного метода. Назовем дифференцированием дерева получение деревьев, соответствующих всем возможным элементарным дифференциалам, входящим в полную производную элементарного дифференциала, отвечающего данному дереву.
Применительно к структурному методу мы должны рассмотреть три возможных «имени» вершин и еще один тип вершины, означающий дифференцирование по независимой переменной х. Такую вершину назовем «безымянной». Безымянные вершины могут быть только конечными, т. е. не могут иметь «сыновей». Это следует из свойств дифференцирования. Кроме того, корень даже без «сыновей» тоже всегда имеет «имя».
Таким образом, при дифференцировании дерева можно получить от 4 до 4 х р(т) новых деревьев. На рис. 2 приведен пример дифференцирования дерева четвертого порядка, дающего 12 различных производных деревьев. «Безымянной» вершине соответствует точка, остальным — их «имена».
Рис. 2. Дифференцирование помеченного дерева для структурного метода
Отметим особо, что при использовании стандартных упрощающих предположений вида
т3
^ авии^ = Сви , ^,^ = 1,...,п, Ш = 1,..., Ш8, (6)
ц=1
деревья, различающиеся только «именами» конечных вершин, дают одинаковые условия порядка (количество условий в таблице приведено с учетом выполнения этих соотношений).
Соответственно первым этапом конструирования структурного метода порядка д является получение всех различных помеченных деревьев до порядка д включительно.
На втором этапе по полученным деревьям выписывается система условий порядка конструируемого метода.
Алгоритм записи условия порядка по помеченному дереву. В принципе условия порядка для всех структурных групп имеют похожую структуру. Различия наблюдаются только в границах изменения индексов суммирования, что вызвано априорным равенством нулю некоторых параметров метода. Условия порядка любого метода, будь то явный, полуявный или более сложной конструкции, могут быть получены из условий порядка неявного метода.
Алгоритм записи условий порядка тем самым может быть разбит на последовательные этапы:
1. Запись выражения на параметры метода без расстановки границ изменения индексов суммирования — часть общая для всех методов типа Рунге-Кутты.
2. Расстановка границ изменения индексов суммирования — индивидуальная для каждой расчетной схемы.
Первый этап заключается в последовательной записи сумм параметров метода по следующему правилу:
• корню соответствует суммирование параметров Ьзт, 5 = 0,...,п, и - индекс суммирования, все остальные суммы вложены в эту сумму;
• вершине, имеющей «имя» е, соответствует суммирование параметров а8шеш1, где 5 - «отчество» данной вершины, и - индекс суммирования «отцовской» суммы, и\ -индекс суммирования данной суммы;
• «безымянной» вершине соответствует включение в качестве множителя в «отцовскую» сумму параметра в8и), где ви - последние (или единственные) два индекса параметра объемлющей суммы.
Пример. Рассмотрим два дерева (рис. 3). Они соответствуют элементарным дифференциалам пятого порядка.
Рис. 3. Примеры деревьев пятого порядка
Левые части условий порядка, пока что без расстановки границ суммирования, будут для первого дерева выглядеть следующим образом:
'^2Ь0т ( Е a0wгw1 гт2 1 a0wjw3 cjw3 , (7)
w \ Wl W2 / W3
а для второго - так:
^ Ь0w ^ £ a0wгwl ^ ^ aiwl jw2 ^ a0wjwз • (8)
W \ W1 W2 / w3
Второй этап начинаем с конечных вершин. Сначала расставляем нижние границы суммирования для сумм, не имеющих вложенных сумм. Если в такие суммы включены параметры вот или , то нижняя граница равна 2. В противном случае - 1. Продолжение примера. Рассмотренные выражения (7), (8) примут вид
Далее действуем по следующему правилу:
• Нижняя граница суммы равна максимальной из нижних границ суммирования вложенных сумм, увеличенных на 1, если «отчество-имя» вершины, соответствующей вложенной сумме, имеет вид 0 — 0, 0 — г, 0 — ] или г — ], и не увеличенной в остальных случаях.
• Верхняя граница всех сумм, кроме всеобъемлющей, равна индексу суммирования внешней суммы, уменьшенному на 1, если «отчество-имя» вершины, соответствующей данной сумме, имеет вид 0 — 0, 0 — г, 0 — ] или г — ], и не уменьшенному в остальных случаях.
• Всеобъемлющее суммирование идет до числа, равного числу этапов рассматриваемой схемы интегрирования данного уравнения системы ша.
Само же условие порядка образуется приравниванием полученного выражения к числу, обратному к числу 7(т) рассматриваемого дерева. Число 7(т) равно произведению порядков всех поддеревьев дерева т, включая и само т.
Продолжение примера. Условия порядка, выписываемые по деревьям рис. 3, имеют вид
В первом из этих двух условий изменились границы суммирования из-за появления члена С4т1.
Проверка правильности получаемых выражений проводилась сравнением результата работы программы, генерирующей условия порядка на основе теории помеченных деревьев, с условиями, полученными вручную разложением решения и приближения к нему в ряды Тейлора, до порядка 6 включительно.
С учетом условий (6) они будут аналогичны следующим:
w—1
ад=3
Wl =2
Заключение. Получен мощный инструмент, позволяющий существенно облегчить конструирование конкретных расчетных схем в рамках структурного метода. Вся процедура вывода условий порядка автоматизируется. Кроме того, предложенный алгоритм может быть легко модифицирован для вывода условий порядка других методов типа Рунге-Кутты. При разных вариантах структуры системы (1), таких как наличие или отсутствие группы 0 или j, количество уравнений в группах i и j и т. д., алгоритм несколько изменяется. Эта особенность также учтена при написании программного пакета.
Литература
1. Олемской И. В. Численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Математические методы анализа управляемых процессов: сб. статей. Л., 1986. С. 157—160 (Вопросы механики и процессов управления. Вып. 8).
2. Олемской И. В. Экономичная расчетная схема четвертого порядка точности численного интегрирования систем специального вида // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX науч. конференции. СПб.: НИИ химии С.-Петерб. ун-та, 1999. С. 134—143.
3. Олемской И. В. Структурный подход в задаче конструирования явных одношаговых методов // Журн. вычисл. математики. и мат. физики. 2003. Т. 43, вып. 7. C. 961—974.
4. Олемской И. В. Четырехэтапный метод пятого порядка точности численного интегрирования систем специального вида // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2002. Т. 42, вып. 8. С. 1179— 1190.
5. Олемской И. В. Вложенный пятиэтапный метод пятого порядка типа Дормана—Принса // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. Т. 45, вып. 7. С. 1181—1191.
6. Butcher J. C. Coefficients for the study of Runge—Kutta integration processes // J. Austral. Math. Soc. 1963. Vol. 3. P. 185-201.
7. Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / пер. с англ. И. А. Кульчицкой, С. С. Филиппова; под ред. С. С. Филиппова. М.: Мир, 1990. 512 с.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья принята к печати 25 декабря 2008 г.
